假期作业15 空间直线、平面的平行-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（北师版）

三0022 .球O与棱BB,相切，球面与棱BB只有一个交，点， 同理，根据正方体ABCDA,B,C,D,的对称性可知，其 余各棱和球面也只有一个交点， ∴以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数 为12. 答案：12 11.解：(1)连接AC(图略)，EG∥AC, .∠ACB即是BC和EG所成的角. :在长方体ABCD-EFGH中，AB=AD=2N3, .tan∠ACB=1,∴.∠ACB=45°， .直线BC和EG所成的角是45° (2):AE∥BF,∴∠FBG即是AE和BG所成的角. 易知tan∠FBG=√3， .∠FBG=60°， .直线AE和BG所成的角是60 12.解：(1)CG∥FB, .∠EBF是异面直线BE与CG所 E 成的角 在Rt△EFB中，EF=FB, .∠EBF=45°， D ∴.BE与CG所成的角为45° (2)连接FH, FB∥AE,FB=AE,AE∥HD,AE=HD, .FB=HD,FB∥HD, .四边形FBDH是平行四边形， .BD∥FH, .∠HFO或其补角是FO与BD所成的角，连接 HA,AF. 则△AFH是等边三角形， 又O是AH的中点，∴.∠HFO=30, .FO与BD所成的角为30°. 新题快递 1.C[设底面圆心为O,连接EO,CO, OD,如图所示，可知EO∥AC,故 ∠OED为异面直线AC与DE所成的 角（或其补角）， ,COL底面ABD, ∴.CO⊥OD.又点D为半圆孤AB的 D 中点， .AB⊥OD,又CO∩AB=O, .OD⊥平面ABC, .OD⊥EO,在Rt△ODE中，OD=OE=1, ∠0ED=冬m∠0ED-吗放异西直线AC与 DE夫角的三弦值光盟（造C] 2.D[连接AD,则AD,∥ 0 EF,连接FD,,则平面AEF 截正方体所得截面多边形 为梯形AD1FE, A 正方体棱长为2，故AD =2√2，EF=√2， C D 又AE=D,F=√2+1 =√5， .等腰梯形ADFE的 高为 ∴梯形AD,FE的面积为=2+22X后=号.门 2 6 假期作业15 思维整合室 1.(1)平行(2)相等或互补 2.这个平面内交线3.相交直线相交交线 技能提升台素养提升 1.A 2.BCD[对于A,若直线1在平面a内，l上有两点到a的 距离为0，相等，此时1不与a平行，所以A错误；对于B, 因为1∥B,所以存在直线m二B使得1∥m,因为l⊥a,所 以m⊥a,又m二B,所以3⊥a,所以B正确；对于C,l∥a, 故存在mCa使得l∥m,因为a∥B,所以m∥B,因为l∥ m,l中B,所以l∥B,C正确.对于D由面面平行的判定定 理知D正确.] 3.D[A可由上底面与下底面平行的性质定理判定正确， B,C可由线面平行的判定定理判定正确性.D错在D,B ∥1,1与B1C1所成角是45°.J 4.解析：连接HN,FH,FN(图略)，则FH∥DD,HN ∥BD, 易知平面FHN∥平面B,BDD,,只需M∈FH,则MN C平面FHN,∴.MN∥平面BBDD. 答案：点M在线段FH上（或点M与点H重合） 5.C 6.BD[A:若a∩y=a,∩Y=b,且a∥b,则a,B可能相交、 平行，错误；B:若a,b相交，且都在a,3外，a∥a,b∥a,a ∥B,b∥B,由面面平行的判定可得a∥B,正确；C:若a∥ a,b∥B,且a∥b,则a,B可能相交、平行，错误；D:若aC a,a∥B,a∩B=b,由线面平行的性质定理得a∥b,正确.] 7.AB[如图，：EG∥E,G,EG寸平 H 面EFG,EGC平面E1FG1, .EG∥平面EFG,又GF∥H1E, 同理可证H1E∥平面E,FG, 又H1E∩EG=E,∴.平面EFG1∥ EGH1,故A正确，同理可得B正确， 故选AB.门 8.解析：平面MNE∥平面ACB,, 由平面平行的性质定理可得EN∥B,C,EM∥B,A, 又E为BB1的中，点， ∴M,N分别为BA,BC的中点， MN=号4c.即器合 答案：2 9.D[如图，任取线段A1B上一点 A M,过M作MH∥AA,交AB于 H,过H作HG∥AC交BC于G, Bi 过G作CC1的平行线，与CB, N 定有交，点N,连接MN, 可证平面MNGH∥平面ACC1A 所以MN∥平面ACC1A1,则这样 H G 的MN有无数条.] 3 10.解析：，EF∥DG,BE∥AD,BE∩EF=E,AD∩DG= D,BE,EFC平面BEF,AD,EGC平面ADGC,∴.平面 BEF∥平面ADGC. :BFC平面BEF, .BF∥平面ACGD,故①正确； 由于DG=2EF, 则四边形EFGD是梯形， GF的延长线必与直线DE相交，故④不正确： 选项②③不能推出. 答案：① 人壁快乐假期 11.证明：(1)因为M,N分别是CD,CB 的中点， 所以MN∥BD.又因为BB,LDD1, 所以四边形BB,DD是平行四边形， 所以BD∥B1D, 从而MN∥BD1. (2)连接A,C1,交B1D于点O,连接OE. 因为四边形A1B,C1D1为平行四边形，则O点是A!C 的中，点，因为E是AA1的中，点，所以EO是△AAC的 中位线，所以EO∥AC1· 又AC车平面EB1D,EO平面EBD, 所以AC1∥平面EB,D. (3)连接GH,因为EALB1H,则四边形EAHB,是平 行四边形，所以EB,∥AH.因为AD HG,则四边形 ADGH是平行四边形，所以DG∥AH,所以EB,∥DG. 又因为BBDD1,所以四边形BB,D1D是平行四边形， 所以BD∥BD. 因为BD∩DG=D, 所以平面EB,D,∥平面BDG 12.证明：(1)连接AE,则AE必过DF与 GN的交点O,连接MO,则MO为 △ABE的中位线，所以BE∥MO. 又BE寸平面DMF,MOC平 面DMF, 所以BE∥平面DMF (2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF 的中点，所以DE∥GN, 又DE中平面MNG,GNC平面MNG, 所以DE∥平面MNG.又M为AB的中，点， 所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN, 又MVC平面MNG,BD庄平面MNG, 所以BD∥平面MNG, 又DE,BDC平面BDE,DE∩BD=D, 所以平面BDE∥平面MNG. 新题快递 1.D[A中，a∩B=a,bCa,a,b可能平行也可能相交：B 中，a∩B=a,a∥b,则可能b∥a,b∥B,也可能b在平面a 或B内；C中，a∥B,b∥B,aCa,b二a,根据平面平行的判 定定理，若加上条件a∩b=A,则a∥B.故选D.] 2.D[如图所示，A',B分别是 A,B两点在a,B上运动后的 A a 两点，此时AB中点C变成 A'B'中点C'.连接A'B,取 A'B的中点E,连接CE, C'E',CC,AA',BB'.则CE ∥AA',又AA'Ca,CEta, B B B ∴.CE∥a,同理CE∥B. 又a∥B,∴.CE∥a. ,CE∩CE=E,.平面CCE∥平面a.∴.CC∥a.故不 论A,B如何移动，所有的动点C都在过点C且与Q,B平 行的平面上.] 假期作业16 思维整合室 1.两条相交直线平行2.垂线 交线3.(1)锐角 ∠PAO 技能提升台素养提升 1.D 2.A[过，点A作AH⊥BD于点H(图略)，由平面ABDL 平面BCD,得AH⊥平面BCD,则AH⊥BC.又DA⊥平 面ABC,所以BC⊥AD,所以BC⊥平面ABD,所以BC ⊥AB,即△ABC为直角三角形.故选A.] 6 00= 3.C[连接AC,因为ABCD是菱 形，所以AC⊥BD, 又MC⊥菱形ABCD所在的平 面，BDG平面ABCD,所以MC ⊥BD, 又MC∩AC=C,MC,ACC平面 MAC,所以BD⊥平面MAC,MAC平面MAC, 所以MA⊥BD.] 4.解析：连接AC1,则∠AC1A1为AC 与平面AB,C,D所成的角. 因为AB=BC=2,所以AC1=AC 2√2，又AA1=1,所以AC=3, 所以∠ACA-治-子 1 答案：3 5.D 6.BCD[A中当m⊥n,m⊥a,n∥B时，两个平面的位置关 系不确定，A不正确.B中，过直线n作平面Y与B交于 c,则n∥c. 由m⊥a,所以m⊥c,所以m⊥n,B正确.C中由面面平行 的性质，易得m∥3，C正确.D中，由线面角的定义与等 角定理可知D正确.] 7.A[对于A选项，在正方体 D ABCD-AB,C,D1中，因为 E,F分别为AB,BC的中点， A 易知EF⊥BD,EF⊥DD1,又 BD∩DD,=D,从而EF⊥平 面B1BDD1,又因为EFC平 面B,EF,所以平面B,EF⊥ 平面BDD,所以A选项正 确；对于B选项，因为平面 E B A,BD∩平面BDD,=BD,由上述过程易知平面B,EF ⊥平面A1BD不成立；对于C选项，由题意知直线AA 与直线B,E必相交，故平面B,EF与平面A,AC有公共 点，从而C选项错误；对于D选项，连接AC,AB,B,C, 易知平面AB,C∥平面A,C,D,又因为平面AB,C与平 面B1EF有公共点B1,故平面AB,C与平面B,EF不平 行，所以D选项错误.] 8.解析：如图，取AB的中点E,连接 DE,CE, 因为△ADB是等边三角形， 所以DE⊥AB. E 当平面ADB⊥平面ABC时， 因为平面ADB∩平面ABC=AB,B DEC平面ABD, 所以DEL平面ABC.又CEC平面ABC, 可知DELCE,由已知可得DE=√5，C=1, 在Rt△DEC中，CD=√DE+CE=2. 答案：2 9.C[如图，过E做EO⊥平面ABCD,垂足为O,过E分 别做EG⊥BC,EM⊥AB,垂足分别为G,M,连接 OG,OM, 由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底 面夹角分别为∠EMO和∠EGO, 所以tan∠EMO=tan∠EGO= 5 6快乐假期 图即刻扫码 假期作业15 空间直线、平面的平行 AI伴学助手 了答案速查手册 同步学习微 了新知预习宝典 《思维整合室 《技能提升台 1.（1)基本事实4：平行于同一条直线的两 素养提升 条直线互相 ◆[考点一] 直线与平面平行的判定与 (2)等角定理：空间中如果两个角的两边分 性质 别对应平行，那么这两个角 1.设AB,BC,CD是不在同一平面内的三 2.直线与平面平行的判定定理和性质定理 条线段，则经过它们的中点的平面和直 线AC的位置关系是 () 文字语言 图形语言 符号语言 A.平行 B.相交 平面外一条直线 C.平行或相交 D.AC在此平面内 的 因为1∥ 条直线平行，则 a,aCa,l 2.(多选)已知，β，y是三个不重合的平面，l 定 该直线与此平面 在&，所以 是直线.给出下列命题中正确的命题是 理 平行（线线平行→ l∥a ( 线面平行) A.若l上两点到a的距离相等，则l∥α 一条直线与一个 B.若l⊥a,l∥B,则a⊥3 平面平行，则过这 C.若a∥B,l庄B,且l∥a,则l∥B 条直线的任一平 因为1∥ D.若a∥B,a∥y则B∥y 面与此平面的 a.ICB, 理 与该直 a∩3=b, 3.已知1是过正方体ABCD-A1BC,D1 线平行（简记为 所以1∥b 的顶点的平面AB,D1与下底面ABCD “线面平行→线线 所在平面的交线，下列结论错误的是 平行”) ( 3.平面与平面平行的判定定理和性质定理 A.DB1∥平面ABCD 文字语言 图形语言 符号语言 B.BD∥平面AD1B, 因为a∥ C.1∥平面AC 个平面内的两条 B,b∥B, 与另 D.l⊥B,C 判定定理 a∩b 一个平面平行，则 4.(答案不唯一型)如图所示， =P, 这两个平面平行 aCa: 在正四棱柱ABCA (简记为“线面平行 bCa, DA1B1CD1中，E,F,G,H →面面平行”) 所以α∥B 分别是棱CC,CD,DD, 如果两个平行平 因为α∥ DC的中点，N是BC的中 面同时和第三个 8,any 点，点M在四边形EFGH及其内部运动， 质 平面 那 =a, 则M只需满足条件 时，就有MN 么它们的 3∩Y=b, ∥平面B1BDD.(注：请填上你认为正确的 平行 所以ab 一个条件即可，不必考虑全部可能情况) 32 三0022 富一数学塑 ◆[考点二]平面与平面平行的判定与性质 10.如图，在多面体ABC 5.平面α内有不共线的三点到平面3的距 DEFG中，平面 B 离相等且不为零，则α与3的位置关系为 ABC∥平面DEFG, ( ) AD∥BE,AC∥DG∥ A.平行 B.相交 EF,且AB=DE,DG C.平行或相交 D.可能重合 =2EF,则下列说法中正确的是 6.(多选)已知a,b表示两条直线，a,B,Y表 (填序号) 示三个不重合的平面，给出下列命题，正 ①BF∥平面ACGD; 确的是 ②CF∥平面ABED; A.若a∩y=a,β∩y=b,且a∥b,则a∥B ③BC∥FG; B.若a,b相交，且都在a,B外，a∥a,b∥ ④平面ABED∥平面CGF. a,a∥3，b∥3，则a∥3 11.如图，在平行六面体 C.若a∥a,b∥3，且a∥b,则a∥3 ABCD- ABC D D.若aCa,a∥3，a∩3=b,则a∥b 中，E,M,N,G,H分 H 7.(多选)在正方体EFGH一 别是AA1,CD,CB, EFGH1中，下列四对平 E CC1,BB1的中点， 面彼此平行的一对是 H 求证： (1)MN∥B,D1; A.平面E,FG1与平面EGH B.平面FHG1与平面EF,H C.平面FH,H与平面FHE, D.平面E1HG1与平面EHG 8.如图，在长方体AB CD-A1B,C1D1中， A 过BB,的中点E作 一个与平面ACB, 平行的平面交AB与M,交BC与N,则 MN AC ◆「考点三]平行的综合应用 9.如图，在棱长均为1的正 A C 三棱柱ABCA1B,C 中，M,N分别为线段 A1B,B,C上的动点，且 MN∥平面ACC,A1,则 这样的MN有 ( A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条 33 人受快乐假期 00- (2)AC1∥平面EB,D1: (2)平面BDE∥平面MNG. (3)平面EB,D1∥平面BDG. 新题快递 1.已知a,b表示直线，a,B表示平面，下列 选项正确的是 () A.a∩B=a,bca→a∥b B.a∩B=a,a∥b→b∥a且b∥3 C.a∥B,b∥B,aCa,bCa→a∥B D.a∥B,a∩y=a,3ny=b→a∥b 2.设a∥B,A∈a,B∈B,C是AB的中点，当 A,B分别在平面a,B内运动时，那么所 有的动点C () 12.如图，ABCD与ADEF A.不共面 均为平行四边形，M,N, B.当且仅当A,B分别在两条直线上移 G分别是AB,AD,EF 动时才共面 的中点.求证： C.当且仅当A,B分别在两条给定的异 (1)BE∥平面DMF; 面直线上移动时才共面 D.不论A,B如何移动，都共面 《益智欢乐谷 1.不要向这个世界 认输，因为你还有牛逼 的梦想！ 2.即使梦想不能实 现，我们也不会放弃 努力！ 3.所有的伤害只会让我变强，用更强 大的自己守护我的梦想！ 4.我若不努力，那谁来替我完成梦想！ 34