假期作业13 简单几何体的表面积与体积-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（北师版）

快乐假期 假期作业13简单几何体的表面积与体积 《思维整合室 2.若圆柱的底面半径为 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积 一个正方形，则这个圆柱的侧面积是 ( ) 公式 A.4π2 B.3π2 C.2π2 D.π2 圆柱 圆锥 圆台 3.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥， 侧 底面边长为a时，该三棱锥的表面积是 2 展开图 2T刀 () e0y.2πr. T0 -◆0 A B. 面积公式 S网柱侧= S网锥铡= S圆台侧= C.33 2 D.6+B2 4a1 4.（多选)(2023·新课标Ⅱ卷)已知圆锥的 2.空间几何体的表面积与体积公式 顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直 名称 径，∠APB=120°，PA=2,点C在底面 表面积 体积 几何体 圆周上，且二面角PACO为45°，则 S表面积= ( 柱体（棱柱和圆柱） V= S例十2S族 A.该圆锥的体积为π S表面积= B.该圆锥的侧面积为4π 锥体（棱锥和圆锥） V= S侧十S底 C.AC=22 V= D.△PAC的面积为√3 S表面积= 3· ◆[考点二]空间几何体的体积 台体（棱台和圆台） S侧十S上+S下 (St+S下+ 5.《九章算术》中记载，四个 WSES下)h 面都为直角三角形的四面 球 S- 体称之为鳖臑.现有一个 “鳖臑”，PA⊥底面ABC, 技能提升台 AC⊥BC,且PA=3,AC 素养提升 =BC=2,则该四面体的体积为( ◆[考点一] 空间几何体的表面积与侧 A.1 B.2 C.4 D.8 面积 6.(2021·北京卷，8)定义：24小时内降水 在平地上积水厚度(mm)来判断降雨程 1.如图所示，圆锥的底面半 度，其中小雨(<10mm),中雨(10mm 径为1，高为√3，则该圆锥 √3 25mm),大雨(25mm-50mm),暴雨 的表面积为 ( (50mm一100mm),小明用一个圆锥形 A.元 B.2π 容器接了24小时的雨水，如图，则这天 C.3π D.4π 降雨属于哪个等级 () 28 三0022 高一数学) 200mm 12.轴截面是正三角形的圆锥内有一个内 切球，若圆锥的底面半径为1cm,求球 的体积 300mm 150mm A.小雨B.中雨C.大雨 D.暴雨 7.(2023·天津卷)在三棱锥P一ABC中， 线段PC上的点M满足PM=PC,线 段PB上的点N清足PN-号PB,则三校 锥P一AMN和三棱锥P一ABC的体积 之比为 () Ao B号 c D.g 8.(2023·新课标Ⅱ卷)底面边长为4的正 四棱锥被平行于其底面的平面所截，截 去一个底面边长为2，高为3的正四棱 锥，所得棱台的体积为 ◆[考点三]切与接问题 新题快递 9.已知A,B,C为球O的球面上的三个点， 1.(2023·全国乙卷（理）)已知圆锥PO的 ⊙O1为△ABC的外接圆.若⊙O1的面 积为4π，AB=BC=AC=OO1,则球O的 底面半径为√3，O为底面圆心，PA,PB 表面积为 为圆锥的母线，∠AOB=120°，若△PAB A.64πB.48π C.36π D.32π 10.已知A,B,C是半径为1的球O的球面 的面积等于则该圆维的体积为 上的三个点，且AC⊥BC,AC=BC=1, ( 则三棱锥O一ABC的体积为 A晋 B c号 D.③ A.元 B.√6π C.3π D.3√6π 2.在四面体SABC中，SA=SB=2,且SA 11.如图，在四边形ABCD ⊥SB,BC=√5，AC=√3，则该四面体体 中，∠DAB=90°， ∠ADC=135°，AB=5, 积的最大值为 ,该四面体外 CD=2√2，AD=2,求四 A 接球的表面积为 边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体 《益智欢乐谷 的体积. 今天做数学题.十个 人排队，甲不能站中间， 不能站两端，还得和乙挨 着，还得和丙隔两个人， 还得站丁后面.经过激烈 的讨论，大家一致认为，让甲滚… 29三0022 12.解：把长方体的部分面展开，如图所示 对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC1的长分别 为√90、√74、√80，由此可见乙是最短线路，所以甲壳虫可 以先在长方形ABB,A1内由A到E,再在长方形BCCB, 内由E到C,也可以先在长方形AADD内由A到F,再 在长方形DCC,D,内由F到C,其最短路程为√74. 新题快递 1.B「沿侧棱BB,将正三棱柱的侧 B A 面展开，得到一个矩形BB,B,'B M (如图). 由侧面展开图可知，当B,M,CB 三，点共线时，从，点B经过M到达C,的路线最短. 所以最短路线长为BC,=√4+2=25.] 2.解析：不妨设原棱锥为四 D 棱锥， 设棱台的高为，藏得棱台的 原棱雏的高为九1， 如图所示，即MN=h,PN =h 因为四边形ABCD与四边形 EFGH相似， -N 且上下底面面积分别为4和 9,故E42 AN3' 由△PEM∽△PAN, 21 6-EM-2MN=h=1-3=3 PNAN 3'PN 这个棱台的高和截得棱台的原棱维的高的比为了 答案：号 假期作业13 思维整合室 1.2xrl xrl xr十)12.5&h子5s·h4R 技能提升台素养提升 1.C 2.A[依题意，圆柱的母线长1=2πr,故S剑=2πrl=4πr =4x2.] 3.A[设正三棱维的侧棱长为b,由条件知2b=a2,所以 三找维的表面教为气。十3x号×号×。=35.] 2 2 4 4.AC[如图，由 ∠APB=120°，AP =2可知，底面直径 AB=25,高PO=1, 故该圆锥的体积为 π，故A对：该圆锥的 0 侧面积为2√3π，故B 错；连接CB,取AC中点为Q,连接QO,PQ,易证二面 角P一AC一O的平面角为∠PQO=45°，所以QO=PO =1,PQ=√2，所以BC=2,所以AC=2√2，故C对： SP=号AC·PQ=2,故D错.] 5.B[由题意可知：三棱锥PABC的高为PA=3,所以该 四面体的体积为号×3×号×2×2=2.] 6 富一数学遗) 200 2 6.B[按相似，小圆锥的底面半径，=乞mm=50mm, 1 故V4#=3X元X50X150mm=50·元mm, 积水厚度h= V小丝=503·元 mm=12.5mm,属于中雨， S大属π·1009 选B.] 7.B[如图，分别过M,C作 D MM'⊥PA,CC⊥PA,垂足 M 分别为M,C'.过B作BB'⊥ 平面PAC,垂足为B',连接 PB,过N作NN'⊥PB,垂 足为N'. 因为BB'⊥平面PAC,BB'C 平面PBB, 所以平面PBB⊥平面PAC, 又因为平面PBB∩平面PAC=PB,NN'⊥PB',NN' C平面PBB',所以NN'⊥平面PAC, 且BB'∥NN'. 在△PCC'中，因为MM⊥PA,CC⊥PA, 所以MM∥CC',所以PM-MM=⊥ PCCCT-3 在△P附中，因为册Nw,降以器浴-号， V-MMNVN-PHM3 SAPAM·NN 所以Vp-eVB-Pa 合Sae·BB XPA·N）:NN 专×（合PA:G心）：B 8,解析：由题意易求正四棱锥的高为6，V锁台=V大四骏雏 Vm=子×4X4X6 号×2×2×3 =28. 答案：28 9A[由题意知⊙0的年径r为2，由正孩定理知能=2 则OO=AB=2rsin60°=2√3，所以球O的半径R= √JT+O=4,所以球O的表面积为4πR=64π，故选A] 10.A[记△ABC的外接圆圆心为O1,由AC⊥BC,AC= BC起0为AB的中点，且AB=E.0C-号又 球的半径为1，所以OA=OB=OC=1,所以OA+OB =AB.00,-号，f是00+0C=0C,所以有00 ⊥O,C,OO⊥AB,进而OO1⊥平面ABC,所以V。-ABC 选A.] 11.解：如图，过C作CE垂直于AD,交E克 AD延长线于E,则所求几何体的体积D 可看成是由梯形ABCE绕AE旋转一 周所得的圆台的体积，减去△EDC绕 DE旋转一周所得的圆锥的体积. 1 所以所求几何体的体积V=V一Va=3πX(5+ 5X2+2)X4-子X2×2=1 3元. 人壁快乐假期 12.解：如图所示，作出轴截面，0是球心， 与边BC,AC相切于点D,E.连接 AD.OE. 因为△ABC是正三角形， 所以CD=子AC 因为R△A0EOR△ACD,所以器-是 因为CD=1cm,所以AC=2cm,AD=√3cm, 设0E=,期A0=5-所以后，宁 所以= 3 cm, 4 V3{ =45x(cm),即球的体积等 27 cnt 新题快递 1.B[在△AOB中，∠AOB=120°，而OA=OB=√3，取 AB中点C,连接OC,PC,有OC⊥AB,PC⊥AB,如图， --.01 B ∠AB0=30°，0C三号，AB=2BC=3,由△PAB的面积 为，得2×3xp0=9里 4 解得PC= 3y3,于是P0=√PC-0C- 2 √( 6 所以圆雏的体积V= X0AXP0=子xXW5X,6 =√6π.] 2.解析：四面体的体积最大时 即面SAB⊥面ABC, SA=SB=2,且SA⊥SB, BC=5,AC=√3，所以 ∠ACB=90°， 取AB的中，点H,连接 CH,SH, H A B SH⊥AB,平面SAB∩平面 ABC=AB,SH在平面 sAB内，而SH=之E· C SA=√2 1 所以SH⊥平面ABC,所以VsAe=3·SAA·SH= }·=@ 6 则外接球的球心在SH上，设球心为O,连接OC,CH= }·AB=EsA=E,周为sH=合E·SA= √2，所以O与H重合，所以R=CH=SH=√2， 所以四面体的外接球的表面积S=4πR=8π， 答案：8m 6 900-= 假期作业14 思维整合室 1.两点不在一条直线上有且只有一条 2.平行相交任何3.10无数0无数 4.(1)锐角（或直角） 技能提升台素养提升 1.ABD[选项C中，a与B有公共，点A,则它们有过点A 的一条交线，故C错.门 2.D 3.C[在①中，因为P,Q,R三点既在平面ABC上，又在 平面a上，所以这三点必在平面ABC与a的交线上，即 P,Q,R三点共线，故①正确；在②中，因为a∥b,所以a 与b确定一个平面《，而1上有A,B两，点在该平面上，所 以l二a,即a,b,l三线共面于a;同理a,c,l三线也共面， 不妨设为B,而a,3有两条公共的直线a,l,所以a与B重 合，故这些直线共面，故②正确；在③中，不妨设其中四 点共面，则它们最多只能确定7个平面，故③错.] 4.解析：，AC∥BD, AC与BD确定一个平面，记作平面B,则a∩B=CD. :lna=0,∴.0ea. 又O∈ABCB,∴OE直线CD,.O,C,D三点共线. 答案：共线 5.C 6.C[由于a∥b, a,c异面，此时，b 6 和c可能相交，也 o c 即共面，如图所示 b与c相交；b和c 也可能异面，如图所示b与c异面.综上所述，b与c不可 能是平行直线.门 7.B[对于A,当P是A,C,的中点时，BP与DD,是相交 直线：对于B,根据异面直线的定义知，BP与AC是异面 直线；对于C,当点P与C,重合时，BP与AD,是平行直 线；对于D,当点P与C1重合时，BP与B1C是相交 直线.] 8.解析：①中HG∥MN;③中GM∥HN且GM≠HN,所 以直线HG与MN必相交. 答案：②④ 9.D[由题意可知，连接BP,BC1,PC,(图略)，则BP, BC所成角即为所求角0，设AB=2,则BP=√6，BC1= 2VE,PC=E,由余孩定理可知os)BPr+BC-CP 2BP·BC 6+8-2_ 26·22 ,所以夹角为令] 10.解析：在正方体ABCD D C A1B,CD1中，E,F分 别为CD,A1B1的 F A 中点， 设正方体ABCD ->W AB,C1D1中棱长为 0 2,EF中点为O, 取AB,BB1中点G,M, E 侧面BB,CC的中心 A G 为N, 连接FG,EG,OM,ON,MN,如图， 由题意得O为球心，在正方体ABCD-A1B,CD中， EF=√FG+EG=√W4+4=2√2， .R=√2， 则球心O到BB,的距离为OM=√ON+MN= √+I=√2，