假期作业12 基本立体图形及立体图的直观图-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（北师版）

三-0022 含一数学 学而不思则罔，思而不学则殆。 假期作业12基本立体图形及立体图的直观图 完成日期： 月」 日 〈《（思维整合室 几何体 旋转图形 旋转轴 1.空间几何体的结构特征 直角腰所在的直 (1)多面体的结构特征 直角梯形或 线或等腰梯形上 圆台 多面体 结构特征 等腰梯形 下底中点连线 在直线 有两个面 ,其余各 棱柱 面都是四边形且每相邻两个四 球 半圆或圆 直径所在的直线 边形的公共边都互相平行 2.直观图 (1)画法：常用斜二测画法。 有一个面是多边形，而其余各面 (2)规则：①原图形中x轴、y轴、之轴两两 棱锥 都是有一个 的三 垂直，直观图中，x'轴，y轴的夹角为 角形 ,z轴与x'轴和y轴所在平 面垂直 棱锥被 底面的平面所 ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观 棱台 截，截面和底面之间的部分叫做 图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和之 棱台 轴的线段在直观图中保持原长度不变， 平行于y轴的线段长度在直观图中 (2)旋转体的形成 技能提升台 几何体 旋转图形 旋转轴 素养提升 ◆[考点一]空间几何体的结构特征 矩形一边所在的 1.观察如图所示的四个几何体，其中判断 圆柱 矩形 直线或对边中点 不正确的是 连线所在直线 直角边所在的 直角三角形 直线或等腰三角 圆锥 或 形底边上的高所 等腰三角形 在直线 25 火毫饶乐假期 0M-= A.①是棱柱 B.②不是棱锥 ◆[考点二]空间几何体的直观图 C.③不是棱锥 D.④是棱台 5.已知正三角形ABC的边长为a,那么 2.下列说法中，正确的是 △ABC的平面直观图△A'B'C'的面 积为 A.棱柱的侧面可以是三角形 B.若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱 的其他侧面也是矩形 C.正方体的所有棱长都相等 C冷 D. 16a 6.用斜二测画法画出的 D.棱柱的所有棱长都相等 某平面图形的直观图 3.(多选)下列命题正确的是 如图，边AB平行于y A.过球面上任意两点只能作一个经过球 轴，BC,AD平行于x轴.已知四边形 心的圆 ABCD的面积为2√2cm2,则原平面图形 B.球的任意两个经过球心的圆的交点的 的面积为 ( 连线是球的直径 A.4 cm2 B.4√2cm2 C.用不过球心的截面截球，球心和截面 C.8 cm2 D.8 2 cm2 圆心的连线垂直于截面 7.在直观图（如图）中，四 2 D.球的半径是球面上任意一点和球心的连 边形为OA'BC'菱形 且边长为2cm,则在 线段 0 xOy坐标系中，四边形 4.下列命题正确的是 .(填序号) ABCO周长为 cm,面积为 ①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转 cm2. 一周所得的旋转体是圆台； 8. 如图所示，四边形 ②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； OABC是上底为2，下 ③以等腰三角形的底边上的高线所在的 底为6，底角为45°的 0 直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成 等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形 的几何体是圆锥； 的直观图OA'B'C',则直观图中梯形的 高为 ④半圆面绕其直径所在直线旋转一周形 ◆[考点三]空间几何体的计算问题 成球面； 9.如图，一个矩形边长为1和 D ⑤用一个平面去截球，得到的截面是一 4,绕它的长为4的边旋转二 个圆面 周后所得如图的一开口容器 26 三-0022 富一数学 (下表面密封)，P是BC中点，现有一只 12.长方体ABCD-AB,C1D 妈蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒， (如图所示)中，AB=3,BCA, 若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点 =4,A1A=5,现有一甲壳虫 从A出发沿长方体表面爬 P处取得米粒，则它所需经过的最短路 行到C来获取食物，试画 程为 ( 出它的最短爬行路线，并求 A.√π2+36 B.√π2+16 其路程的最小值。 C.√4π+36 D.√4π2+1 10.埃及胡夫金字塔是古 代世界建筑奇迹之 一，它的形状可视为 一个正四棱锥，以该 四棱锥的高为边长的正方形面积等于 该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其 侧面三角形底边上的高与底面正方形 的边长的比值为 ( 新题快递 A.5-1 B.5-1 A 4 2 1.如图所示，在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB= B C.5+1 D.5+1 M 4 2 2,AA1=2,由顶点B沿 棱柱侧面（经过棱AA,) 11.圆台的一个底面周长是 到达顶点C1,与AA1的 另一个底面周长的3倍， 交点记为M,则从点B经点M到C,的 轴截面的面积等于 最短路线长为 () 392cm2,母线与轴的夹角是45°，求这 A.2√2 B.2√5 C.4 D.45 个圆台的高、母线长和两底面半径. 2.棱台的上下底面面积分别为4和9，则这 个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的 比是 [《益智欢乐谷 某学生本科读的重 大，硕士读的浙大，博士读 的北大，毕业证上校长栏 统统盖的林建华的章 找工作的时候，面试 官：“同学，造假也要专业 一点，你就不能多刻几个 章？”（林建华先后任重大、浙大、北大的 校长) 27火壁快乐假期 则1+)(3+4D 2i(3+4i) 2之 2(-4+3D =2=4十3)3+4=3+4红 2(-4+3i) 12.解：(1)设x=a+bi(a,b∈R), 由已知条件得：a2+b=2,x=a-6+2abi,所以2ab=2. 所以a=b=1或a=b=一1，即x=1十i或≈=一1一i. (2)当之=1+i时，x=(1+i)2=2i,之一g2=1一i, 所以点A(11),B(0,2),C(1,-1), 所以Sa=21ACX1=2×2X1=1: 当=-1-i时，x2=(-1-i)2=2i,x-x2=-1-3i 所以，点A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3), 所以Sam=21ACX1=号×2X1=1.即△ABC的 面积为1. 新题快递 2+i 2i=i2+D 1.B[由题意可得：=1十+=-1中 2 2i-1=1-2i,则=1+2i.] -1 2.AD[对于A,若1十=0，则名1=一，所以|1|= |一|=2，所以A正确；对于B,设心=2+4i,2= 4,则|之1+1|=13+4i=5=|+1|=151,而|之1= √2十4=2√5≠|2|=4，所以B错误；对于C,设≈1= x十yi(x,y∈R),则=(x+yi)=x-y2+2yi,|名 =√十y,所以之12=x+y2,所以≠|名2，所以 C错误；对于D,设之1=x十yi(x,y∈R),=a-bi(a,b ∈R),则12=(x+yi)(a-bi)=(a:x十by)(ay-bx)i, 所以|12|=√(ax+by)'+(ay-bx) =√(x+y)(a+b),|x11lz1 =√(x+y)(a+b),所以当=名12时， |≈3=|1之2，所以D正确.故选AD.门 假期作业12 思维整合室 1.互相平行公共顶点平行于 2.(2)①45°（或135°）②变为原来的一半 技能提升台素养提升 1.B2.C 3.BCD[当任意两，点与球心在一条直线上时，可作无数个圆， 故A错；B正确；C正确；根据球的半径的定义可知D正确.] 4.解析：①以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋 转一周可得到圆台：②它们的底面为圆面；③④⑤正确. 答案：③④⑤ 5.D[如图所示为原图形和其直观图」 2 Y AOB A'ODB 由图可知，A'B'=AB=a,OC'= 在图中作CD'LA'B于点D', 则CD'=oc'=5。 8 4. 选D.] 6.C[解法一：依题意可知∠BAD=45°，则原平面图形为 直角梯形，上下底面的长与BC,AD相等，高为梯形AB CD的高的2√2倍，所以原平面图形的面积为8cm.故 选C, 6 0-= 解法二：依题意可知，S现国=2V2cm, 故S原图=2√2S袁见周=8cm.故选C.] 7.解析：在直观图中，四边形为OA'B'C菱形且边长为 2 cm, ∴.由斜二测法的规则得：在xOy坐标系中，四边形AB CO是矩形， 其中OA=2cm,OC=4cm, .四边形ABC0的周长为：2×(2+4)=12(cm), 面积为S=2×4=8(cm2). y y' B 答案：128 8.解析：作CD,BE⊥OA于点D,E, 2 C B O D E A 则OD=EA=OA,BC=2, ∴.CD=OD=2, 在直现因中福号的高为了×2×号号 答案9 9.A[依题意可得圆柱的底面半径r=1, 高h=4 将圆柱的侧面（一半）展开后得矩形AB CD, 0 其中AB=π，AD=4, 问题转化为在CD上找一点Q,使AQ十 PQ最短， 作P关于CD的对称点E,连接AE,令 AE与CD交于，点Q, 则得AQ十PQ的最小值就是为AE=√π+(4+2) =√π+36.] 10.C[如图，设正四棱锥的高为h,底 面边长为a,侧面三角形底边上的高为 (n-ak ,则依题意有： =-(受)】 因此有” (）广=，化得4（） 1 2(白)-1=0，解得仁-（负旅己合门 4 11.解：圆台的轴截面题图所示，设圆台上、下底面半径分 别为xcm,3.xcm,延长AA,交OO1的延长线于S,在 Rt△SOA中，∠ASO=45°，则∠SAO=45°， 所以SO=AO=3x,SO1=A1O1=x,所以OO1=2x. 又S。a=合(6x+2x)…2x=392,所以x=7. 所以圆台的高OO,=14(cm),母线长1=√2OO =14√2(cm), 两底面半径分别为7cm,21cm. 三0022 12.解：把长方体的部分面展开，如图所示 对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC1的长分别 为√90、√74、√80，由此可见乙是最短线路，所以甲壳虫可 以先在长方形ABB,A1内由A到E,再在长方形BCCB, 内由E到C,也可以先在长方形AADD内由A到F,再 在长方形DCC,D,内由F到C,其最短路程为√74. 新题快递 1.B「沿侧棱BB,将正三棱柱的侧 B A 面展开，得到一个矩形BB,B,'B M (如图). 由侧面展开图可知，当B,M,CB 三，点共线时，从，点B经过M到达C,的路线最短. 所以最短路线长为BC,=√4+2=25.] 2.解析：不妨设原棱锥为四 D 棱锥， 设棱台的高为，藏得棱台的 原棱雏的高为九1， 如图所示，即MN=h,PN =h 因为四边形ABCD与四边形 EFGH相似， -N 且上下底面面积分别为4和 9,故E42 AN3' 由△PEM∽△PAN, 21 6-EM-2MN=h=1-3=3 PNAN 3'PN 这个棱台的高和截得棱台的原棱维的高的比为了 答案：号 假期作业13 思维整合室 1.2xrl xrl xr十)12.5&h子5s·h4R 技能提升台素养提升 1.C 2.A[依题意，圆柱的母线长1=2πr,故S剑=2πrl=4πr =4x2.] 3.A[设正三棱维的侧棱长为b,由条件知2b=a2,所以 三找维的表面教为气。十3x号×号×。=35.] 2 2 4 4.AC[如图，由 ∠APB=120°，AP =2可知，底面直径 AB=25,高PO=1, 故该圆锥的体积为 π，故A对：该圆锥的 0 侧面积为2√3π，故B 错；连接CB,取AC中点为Q,连接QO,PQ,易证二面 角P一AC一O的平面角为∠PQO=45°，所以QO=PO =1,PQ=√2，所以BC=2,所以AC=2√2，故C对： SP=号AC·PQ=2,故D错.] 5.B[由题意可知：三棱锥PABC的高为PA=3,所以该 四面体的体积为号×3×号×2×2=2.] 6 富一数学遗) 200 2 6.B[按相似，小圆锥的底面半径，=乞mm=50mm, 1 故V4#=3X元X50X150mm=50·元mm, 积水厚度h= V小丝=503·元 mm=12.5mm,属于中雨， S大属π·1009 选B.] 7.B[如图，分别过M,C作 D MM'⊥PA,CC⊥PA,垂足 M 分别为M,C'.过B作BB'⊥ 平面PAC,垂足为B',连接 PB,过N作NN'⊥PB,垂 足为N'. 因为BB'⊥平面PAC,BB'C 平面PBB, 所以平面PBB⊥平面PAC, 又因为平面PBB∩平面PAC=PB,NN'⊥PB',NN' C平面PBB',所以NN'⊥平面PAC, 且BB'∥NN'. 在△PCC'中，因为MM⊥PA,CC⊥PA, 所以MM∥CC',所以PM-MM=⊥ PCCCT-3 在△P附中，因为册Nw,降以器浴-号， V-MMNVN-PHM3 SAPAM·NN 所以Vp-eVB-Pa 合Sae·BB XPA·N）:NN 专×（合PA:G心）：B 8,解析：由题意易求正四棱锥的高为6，V锁台=V大四骏雏 Vm=子×4X4X6 号×2×2×3 =28. 答案：28 9A[由题意知⊙0的年径r为2，由正孩定理知能=2 则OO=AB=2rsin60°=2√3，所以球O的半径R= √JT+O=4,所以球O的表面积为4πR=64π，故选A] 10.A[记△ABC的外接圆圆心为O1,由AC⊥BC,AC= BC起0为AB的中点，且AB=E.0C-号又 球的半径为1，所以OA=OB=OC=1,所以OA+OB =AB.00,-号，f是00+0C=0C,所以有00 ⊥O,C,OO⊥AB,进而OO1⊥平面ABC,所以V。-ABC 选A.] 11.解：如图，过C作CE垂直于AD,交E克 AD延长线于E,则所求几何体的体积D 可看成是由梯形ABCE绕AE旋转一 周所得的圆台的体积，减去△EDC绕 DE旋转一周所得的圆锥的体积. 1 所以所求几何体的体积V=V一Va=3πX(5+ 5X2+2)X4-子X2×2=1 3元.