假期作业11 复数-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（北师版）

三0022 富一数学 9B[由题意知f(x)=号smx+4X1+c08E= 2 2 sin +2s+2=+p+2(中am9=）又因 2 tan a+1 g+1 为x∈R,所以)的最大值为号.] 72 26 10.解析：因为f(x)=反n号c0s专-巨i号 答案：-7E 26 号(i+ms-1D=n+受）一号，所以高数 假期作业11 f(x)的最小正周期为2x;因为x∈[-π，0]，所以x十 思维整合室 子【平]则当计导=一受即=平时 1.(1)ab(2)= ：≠(3)a=c且b=d(4)a=c 4 且b=-d(5)lxla+bil 函数f()在区间[-，0]上取最小值-1- 3.(1)①(a+c)+(b+d)i②(a-c)+(b-d)i③(ac-bd)+ 2 答案2x1-号 d+i+学2+++ 技能提升台素养提升 11.解：(1)f(x)=OA.OB LB[由题意=1-i则t=1-=一21-中 1 =sin z++sin ccos a++sin'x-sin a 子=寻-是纯虚款：e=区：+D =i(1-i计i)=i,是纯虚数.故选B] Z),即x=x+爱k∈刀时(a)取得装大值+， 2 f(x)的最小正周期为π 2m=名2”=1+ “=√2,2=2i,之的共轭复数为1-i,之的虚部为1.故A, (2)fx)= C错，B,D正确. 3.B[由a十3i=(仍+i)i,得a+3i=i-1,复数相等定义，知a 当2x-受<2x-年<2kx+受k乙. =-1,b=3,故选B.] +否EZ时，函数)为增函数。 4,D[在复平面对应的点是（一1W3),根据复数的几何意 )防单调递增区间为k红吾+晋引u∈ 义，=一1十3i,由共轭复数的定义可知，=一1一√3i] 5.A[由题知(1+3iD(3-iD=3-i+9i-3i=6+8i,所以该复 数在复平面内对应的点为(6,8)，位于第一象限，] 6.B[根据复数加、减法的几何意义及名十之= 得sina=一 所以aa十)=一na=手 |:一|，知以OA,OB为邻边所作的平行四边形的对角线 相等，则此平行四边形为矩形，故△AOB为直角三角形.] 由商a的终边过成P(是，一吉)得m。 5 c[南4+0=2-可得得是 由ma+0音得oa+用=士号 号-号台对于A的虚率为-号成A错误：时于 由B=(a+B)一a得cosB-cos(a+B)cosa十sin(a+B)sin a, 所以cosB- 16 B在复平西内对应的点（信号）位于第四象限故B 正确；对于C, 新题快递 LAa)-9m2+）+w(+) nx+)++(2✉+川 1=号个+(-分-怎故D错说.故达C 8解析：由题意将 1+i 号n2+）+(x+）十号 -i2i =0化简得，之·2i+i(1十i)=0, 云景=}-所以=+ 1 m(2++晋)+是=m(2x++)+司 所以复数之在复平面内对应的点在第二象限。 -cos 2x+2 答案：二 g.A[因为=2计=-合，所以= 1-i 1 1 所以g)=o2-9+号=cas2z-29+号， 2i,所以之-= -i.] 因为函教g)的图象美于=吾对称，所以2X音 -29 10解折：由题意可得盟-停侣器-2 13 x∈》，所以g=吾-经k∈刀，因为9>0，所以=0 =4+i. 时9后最小] 答案：4+i 11,解：设x=a+bi(a,b∈R),由lx|=1+3i-x, 2解折n(2么+)号cm么+m2 得√a+b-1-3i+a+i=0, 则{√云+b+a-1=0,所以a。4, 22sin acos a+cos'a-sina b-3=0, 1b=3, sin a+cos'a 所以之=一4十3. 61 火快乐假期 -00-= 则1+)(3+D2 2i(3+4i)2 解法二：依题意可知，S见国=2√2cm2, 2之 2(-4+3D 2(-4+3D(3+4位=3+4i 故S原图=2W2S见周=8cm.故选C.] 2(-4+3i) 7.解析：在直观图中，四边形为OA'B'C‘菱形且边长为 12.解：(1)设x=a+bi(a,b∈R), 2 cm, 由已知条件得：a+6=2,=a2-b+2abi,所以2ab=2. ∴由斜二测法的规则得：在xOy坐标系中，四边形AB 所以a=b=1或a=b=-1,即x=1十i或x=-1-i. CO是矩形， (2)当=1+i时，2=(1+i)2=2i,之-2=1-i, 其中OA=2cm,OC=4cm, 所以点A(1,1),B(0,2),C(1,一1)， .四边形ABC0的周长为：2×(2十4)=12(cm), 面积为S=2×4=8(cm). 所以5aaw=合ACX1=号×2X1=1 当=-1-i时，x2=(-1-i)2=2i,g-x2=-1一3i 所以点A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3), 所以Sam=合1ACX1=号×2X1=1.即△ABC的 2 面积为1. 新题快递 上B[由装意可得=-2型 2+i 答案：128 2-1-2对=1+21] 8.解析：作CD,BE⊥OA于点D,E, 2.AD[对于A,若十4=0，则1=一，所以|1|= |一|=|2，所以A正确：对于B,设=2十4i,心= 4,则|x1+11=13+4i=5=|4+1=15,而x1 √2+4=2√5≠|2|=4，所以B错误；对于C,设名= 主 x十yi(x,y∈R),则=(x+yi)=x2-y2+2xyi,|名 =√x+y,所以名12=x2+y,所以≠|2，所以 则OD=EA=OA与BC=2, C错误；对于D,设之1=x十yi(x,y∈R),=a-bi(a,b ..CD=OD=2, ∈R),则12=(x十yi)(a-bi)=(a.x+by)(ay-bx)i, 所以12|=√(a.x+by)+(ay-bx) 在症现图中帮号的高为宁×2×号号 =√(x+y)(a2+6),|x11l =√(x+y)(a+b),所以当3=之1之时， 答案号 ||=|之1I|x,所以D正确.故选AD.] 9.A[依题意可得圆柱的底面半径r=1, 假期作业12 高h=4 思维整合室 将圆柱的侧面（一半）展开后得矩形AB CD, 1.互相平行公共顶点平行于 D 其中AB=π，AD=4, 2.(2)①45°（或135°）②变为原来的一半 问题转化为在CD上找一点Q,使AQ十 技能提升台素养提升 1.B2.C PQ最短， 3.BCD[当任意两点与球心在一条直线上时，可作无数个圆， 作P关于CD的对称，点E,连接AE,令 AE与CD交于，点Q, 故A错；B正确：C正确；根据球的半径的定义可知D正确.] 4.解析：①以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋 则得AQ+PQ的最小值就是为AE=√π+(4+2) 转一周可得到圆台；②它们的底面为圆面；③④⑤正确」 =√元+36.] 答案：③④⑤ 10.C[如图，设正四棱锥的高为h,底 5.D[如图所示为原图形和其直观图. 面边长为a,侧面三角形底边上的高为 [-ak C ',则依题意有： B AO DB =-(受)》 由图可知，A'B'=AB=a,OC'=号 因此有2 ()=，化简得4（任） 4, 在图中作C'D'LA'B于点D', 2(任)1=0，屏得名-6中负根已合.] 4 则cD=ac'=6。 11,解：圆台的轴截面题图所示，设圆台上、下底面半径分 8 4. 别为xcm,3.xcm,延长AA,交OO1的延长线于S,在 Rt△SOA中，∠ASO=45°，则∠SA0=45°， 所以S0=A0=3x,SO,=AO1=x,所以O0,=2x 选D.] 6.C[解法一：依题意可知∠BAD=45°，则原平面图形为 又S0&面=2(6.x+2x)·2,x=392,所以x=7. 直角梯形，上下底面的长与BC,AD相等，高为梯形AB 所以图台的高OO1=14(cm),母线长l=√2OO CD的高的2√2倍，所以原平面图形的面积为8cm.故 =14√2(cm), 选C. 两底面半径分别为7cm,21cm. 62三-0022 假期作业 《(思维整合室 1.复数的有关概念 (1)复数的定义 形如a十bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中实 部是 ,虚部是 (2)复数的分类 复数z=a+bi(a,b∈R) 实数(b 0), 纯虚数(a0,b0) 虚数(b 0) {非纯虚数(a≠0，b≠0). (3)复数相等 a+bi=c+di台 (a,b,c, d∈R). (4)共轭复数 a+bi与c+di共轭台 (a,b, c,d∈R) (5)复数的模 向量OZ的模叫做复数x=a+bi的模，记 作 或 ,即|之|= la+bil=r=√a+b(r≥0，a、b∈R). 2.复数的几何意义 (1)复数之=a+bi 一一对应复平面内的 点Z(a,b)(a,b∈R). （2)复数之=4十bi(a,b∈R)-对应平面 向量0z. 3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设x1=a+bi,x2=c+di(a,b,c,d∈ R),则 ①加法：之1+2=(a+bi)+(c+di) ②减法：之1-x2=(a十bi)-(c十di) 图即刻扫码 AI伴学助手 11 复数 答案速查手册 同步学习微 了新知预习宝典 ③乘法：之1·x2=(a十bi)·(c十di) ④除法：立=a十bi (a+bi)(c-di) z2 c+di (c+di)(c-di) (c+di≠0). (2)复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律，即对 任何之1,22，之3∈C,有之1十2= (之1十z2)十之3= 《技能提升台 素养提升 ◆[考点一]复数的有关概念 1.已知复数之在复平面上对应的点为 (1,一1)，则 ( A.2=2i B,十是纯虚数 C.|z|=2 D.i(z十i)是实数 2.（多选)下面是关于复数之= 的四个 命题，其中真命题为 A.|z=2 B.2=2i C.之的共轭复数为一1+i D.之的虚部为1 3.(2022·浙江卷)已知a,b∈R,a+3i= (b+i)i(i为虚数单位)，则 () A.a=1,b=-3 B.a=-1,b=3 C.a=-1,b=-3 D.a=1,b=3 4.(2023·北京卷)在复平面内，复数之对应 的点的坐标是（一1，√3）.则之的共轭复 数乏= ( A.1+√3i B.1-√3i C.-1+3i D.-1-√3i ◆[考点二]复数的几何意义 5.(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内，(1+ 3)(3一i)对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 23 蜜快慨期 0-= 6.A,B分别是复数x1,x2在复平面内对应 12.已知复数之满足|之=√2，z2的虚部 的点，O是坐标原点.若之1十之2|=|之1一 为2. 21,则△AOB一定为 ( (1)求复数z; A.等腰三角形 B.直角三角形 (2)设之，之2，之一之2在复平面内对应的点 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形 分别为A,B,C,求△ABC的面积. 7.(多选)设复数之满足z(4+3i)=2一i(其 中ⅰ是虚数单位)，则下列说法正确的是 A.之的虚部为一 B.之在复平面内对应的点位于第四象限 2 C.+= D-号 a b 8.定义运算 ad-bc,则符合条件 1+i =0的复数之在复平面内对应 -i 2i 的点在第 象限 ◆[考点三] 复数的代数运算 9.(2023·新课标I卷)已知之= 2+7,则 1-i 新题快递 一= () 2+i A.-i B.i C.0 D.1 1.(2023·全国乙卷（理）)设之= 1++, 10.(2023·天津卷)已知i是虚数单位，化 则之= () 简+”的结果为 A.1-2i B.1+2i C.2-i D.2+i 11.已知复数满足|之|=1+3i一之，求 1+i)2(3+4)的值. 2.(多选)已知复数之1，x2,之3，则下列结论正 ( 2x 确的是 A.若之1十x2=0,则之1|=|z2 B.若|x1+1=|x2十11，则|之=|之2 C.z=|x112 D.若之=之12，则|之=|之1川z2 【《益智欢乐谷 世上没有坐享其成的好事，要幸福就 要奋斗！ 幸福是奋斗出来的，不是等出来的！ 向着目标，我们一起努力吧！ 24