假期作业9 余弦定理、正弦定理的应用-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（北师版）

快乐假期 图即刻扫码 假期作业9 余弦定理、正弦定理的应用 AI伴学助手 整安凌喜王所 同步学习微 新知预习宝典 《(思维整合室 2.如图，两座相距60m 1.解三角形应用题的基本思想 的建筑物AB,CD的 高度分别为20m, 解三角形应用题时，通常都要根据题意，从 50m,BD为水平面， 实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后 则从建筑物AB的顶端A看建筑物 通过解三角形，得到实际问题的解，求解的 CD的张角∠CAD= ) 关键是将实际问题转化为 A.30° B.45° C.60° D.75° 问题. 3.根据气象部门提醒，在 ↑北 人热带风暴中心 2.运用正弦定理、余弦定理解决实际问题 距离某基地正北方向 45 的基本步骤 588km处的热带风暴 (1)分析：理解题意，弄清已知与未知，画出 中心正以21km/h的西 基地 示意图（一个或几个三角形）； 速度沿南偏东45°方 南 向移动，距离风暴中心441km以内的地 (2)建模：根据已知条件与求解目标，把已 区都将受到影响，则该基地受热带风暴 知量与待求量尽可能地集中在有关三 中心影响的时长为 ( 角形中，建立一个解三角形的数学 A.7h B.14h 模型； C.(14√2-7)h D.(14√2+7)h (3)求解：利用正弦定理、余弦定理解三角 4.如图所示，位于A 北 形，求得数学模型的解； 东 处的信息中心获悉： (4)检验：检验所求的解是否符合实际问 在其正东方向相距 40 题，从而得出实际问题的解. 40海里的B处有一 20® 3.三角形面积公式 艘渔船遇险，在原地 (1)三角形的高的公式：hA=bsin C 等待营救，信息中心立即把消息告知在其 南偏西30°、相距20海里的C处的乙船， =csin B,hn=csin A=asin C,hc 现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往 =asin B=bsin A. B处救援，则cos日的值为 (2)三角形的面积公式：S= 2absin C, ◆[考点二]测度距离和高度问题 5.如图，巡航艇在海 北 S- ;S= 上以60km/h的 《技能提升台 速度沿南偏东 20 409 素养提升 40°的方向航行. 659 ◆[考点一]测量角度问题 为了确定巡航艇 的位置，巡航艇在 1.若水平面上点B在点A南偏东30°方向 B处观测灯塔A,其方向是南偏东70°，航 上，则在点A处测得点B的方位角是 ( 行h到达C处，观测灯塔A的方向是 A.60°B.120°C.150° D.210° 北偏东65°，则巡航艇到达C处时，与灯 8 三022 一数类 塔A的距离是 ( A.4√5 B.4 C.25 D.22 A.10 km B.10√/2km 10.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别 C.15 km D.15√2km 为a,b,c.若△ABC的面积为 6.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里 5(a2-6-c2),则角A= ( 4 的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30 分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海 A B吾c D. 轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东 11.在△ABC中，角A,B,C所对的边长分 70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东 别为a,b,c,b=a+1,c=a+2. 65°，那么B,C两点间的距离是( (1)若2sinC=3sinA,求△ABC的 A.10√2海里 B.10√3海里 面积； (2)是否存在正整数a,使得△ABC为 C.20√3海里 D.202海里 钝角三角形？若存在，求出a的值；若 7.为运输方便，某工 不存在，说明理由. 程队将从A到D 修建一条湖底隧 道，如图，工程队从A出发向正东行10 √3km到达B,然后从B向南偏西45°方 向行了一段距离到达C,再从C向北偏西 75°方向行了4√2km到达D,已知C在 A南偏东15°方向上，则A到D的距离为 ( ) A.15√6km B.2√/38km C.10√2km D.15 3 km 8.如图，一位同学从P 处观测塔顶B及旗杆 顶A,得仰角分别为a B 和90°-a.后退1m至 点P2处再观测塔顶 B,仰角变为原来的一半，设塔CB和旗 杆BA都垂直于地面，且C,P1,P2三点 在同一条水平线上，则塔BC的高 为 m;旗杆BA的高为 m. (用含有l和α的式子表示) ◆[考点三]三角形的面积问题 9.在△ABC中，A=60°，AC=4,BC=2√3， 则△ABC的面积为 19 人多快乐期 0- 12.如图，已知扇形的圆心 新题快递 角∠AOB= 货半径为 1.(多选)《数书九章》是南宋时期著名的数 学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十 4√2，若点C是AB上的 一个问题，分为九类，每类九个问题，《数 动点（不与点A,B重合）. 书九章》中记录了秦九韶的许多创造性 (1)若弦BC=4(√3-1)，求BC的长； 成就，其中在某一卷中提出了“三斜求积”， 其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余 (2)求四边形OACB面积的最大值. 半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余 四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”即已 知三角形三边a,b,c,求面积的公式.若把以 上这段文字写成公式，即S= a- 现有△ABC满 足sinA:sinB:sinC=2:3:√7，且 △ABC的面积S=6√3，请运用上述公式 判断下列结论正确的是 A.△ABC的周长为10+2√7 B.△ABC三个内角A,B,C满足2C=A+B C.△ABC外接圆的直径为42四 3 D.△ABC的中线CD的长为3√2 2.某中学研究性学习小组为测量四门通天 铜雕高度，在和它底部位于同一水平高 度的共线三点A,B,C处测得铜雕顶端P 处仰角分别为若，至，晋，且AB=BC=20 m,则四门通天铜雕的高度为 m. 《益智欢乐谷 中国女排打了8场，赢 高了一起经 新了一2 了5场，输了3场，冠军！ 塞尔维亚打了8场，赢 了6场，输了2场，亚军！ 美国女排打了8场，赢 了7场，输了1场，季军！ [总结]人生呀，关键不在于你赢过 多少次，而在于你在什么时候，什么场次赢 了什么对手！ 20三00p2 即2sin号=sinB+sim(答+B登理得sim(B+)】 由0=∠ACB+30°，得cos0=cos(∠ACB+30°) = =cos∠ACBeos30°-sin∠ACBsin30°=Y2▣ 14 2 s∈(0，)B+晋∈（后） 答案：图 “B+晋=平或要，解得B=音或侣 5.D[在△ABC中，BC=60X号=30(km),∠ABC=70 选择条件②，，A十B十C=π， -40°=30°，∠ACB=40°+65°=105°，则∠A=180° :.B+C=:-A.由sinB时C=asin B得， (30°+105)=45°，由正弦定理，可得AC=15√2(km). 2 -22 2 故选D. A 6.A[如图所示，易知，在△ABC中，AB1北 bcos 2=asin B. =20,∠CAB=30°，∠ACB=45°， A2 由正孩定理知，sin Beos今=-sin Asin B 根据正弦定理得BC AB sin30sin15,解得 165一 =2sin A 2cos、 BC=10√2（海里）.] 7.B「连接AC,由题意， 又nB>0,os>0，可得sn- ∠ABC=45°，∠ACD= 75°-15°=60°，∠BCD= 又A∈0，合-吾A=子 75°+45°=120°， ∠ACB=60°，AB=10 下同选择条件① 3,CD=4√2， 选择条件③，由asin B=bcos(A-）及正弦定理得 在△ABC中，由正弦定理得 AB AC in Asin B=Beos(A-吾） sin∠ACB sinZABC·即 a(A-)-A+子A 105=AC,则AC=10E, sin B>0,'sin A= 2 解得tanA=√3. 在△ACD中，由余弦定理得，AD=AC2+CD-2AC· :A∈(0，xA=子 CDcos∠ACD=152, 则AD=2√38km.] 下同选择条件①， 8.解析：在Rt△BCP1中，∠BP1C=a,在Rt△P,BC中， 假期作业9 思维整合室 ∠B=号 1.解三角形3.(2)之-besin A 2casin B :∠BP,C=∠P,BP+∠P∠PBP:= 技能提升台素养提升 即△PBP为等腰三角形，BP1=PP,=l,.BC=Isin a. 1.C2.B 3.B[如图所示建立平面直角坐标系，假设OE=|OG 本△ACR中；-。 =tan(90°-a), =441,OF⊥EG, 北 ÷AC=lcos'a,则BA=AC-BC=lcosa-lsin a sin a sin a 人热带风暴中心 -l(cos'a-sina)lcos 2a sin a sin a F 答案：Isin a Icos 2a sin a 9.C[由余弦定理可得(2√3)2=AB+4-2X4·AB· 0基地 cos60°，整理得AB-4AB+4=0,解得AB=2, 南 △ABC的西积S=之AC·AB·血A=子X4X2X号 由题意易知OF1=号X588=294V2,则1GF =2√3.故选C.] 10.C[由余弦定理可得a2=b十c2-2 bccos A,而三角形 √TOG-OFF=√21609=147， 所以该基地受热带风暴中心影响的时长EG=147×2 面积为-besin A, 21 21 =14.] 装56+-2meA=--nA 4 4.解析：在△ABC中，AB=40,AC=20,∠BAC=120°， 由余弦定理得BC=AB+AC2-2AB·AC·c0s120° 整理得到tanA=-尽，又A∈(0，π)，故A=2红.故 3 =2800→BC=20√7. 选C.] 由正弦定理，得AB BC 11.解：(1)2sinC=3sinA,2c=3a,又：c=a+2, sin∠ACB sin∠BAC ∴.a=4,b=5,c=6. SSin∠ACB=A能.sin∠BAC=Va 7 cos A=tc'-a 3 2bc ，在△ABC中得sinA=F, 4 由∠BAC=120,知∠ACB为锐角，则cos∠ACB=2y互 S△A:= sinA=1 4 59 人密快系假翻 S00= (2)由△ABC为钝角三角形，b=a十1，c=a十2，得c边 假期作业10 最大，所以C角最大 思维整合室 cos C=+b-c* =a+(a+1)2-(a+2)2 l.sin acos B±cos asin3 2ab ∠0 cos acos B±sin asin B 2a(a+1) tana士tanB 得a2-2a-3<0, 2.2sin acos a cos'a-sin'a 2cos'a-1 1干tan atan3 所以一1<a<3,因为a为正整数，所以a=1或a=2, 1-2sin'a 当a=1时，b=2,c=3,此时a十b=c,与题不符 素养提升 ∴存在正整数a=2,使得△ABC为钝角三角形， 技能提升台 1.A 12.解：(1)在△OBC中，BC=4(5-1),OB=OC=4√2， 2.ABC[对于A,tan25°+tan35°+√3tan25°tan35° 所以由余弦定理得cos∠BOC=OB+OC-BC 2OB·OC =tan(25°+35)(1-tan25°tan35°)+√3tan25°tan35 =9所以∠0C-吾，干是C的长为吾4E =√3-√3tan25°tan35°+√3tan25tan35°=√5； 对于B,2(sin35°cos25°+cos35cos65)=2(sin35°cos25°+ =22 cos35sin25)=2sin60°=√5： 3元 对于C,}+1an15° tan45°+tan15 (2)设∠A0C=9.9∈(0，)则∠B0C-至-0. ”1-tan15 1-tan 45'tan 15 =tan60°=√5； SX4X sin 0 2tan 6 对于D, X- -ta 2 一am吾 -2 X tan 3-2. X4x4E·sn(g-）=24sin9+85cos0 综上，式子的运算结果为√3的选项为ABC.故选ABC.] =166n(+看）由于c(0,) 3.A[原式=2am15° tan30=v5.] 所以+吾∈（答，语）所以165sm(+晋) 1-tan159 4.解析：0<a<元， (8√3,16√3，所以四边形OACB面积的最大值为16√5. a 1-cos a sin a 新题快递 'tan 2 1+cos a 1+cos a 1.ABC[由正弦定理可得a:b:c=2:3:√7.设a= ∴.(1+cosa)tan 2 =sin a. 2m,b=3m,c=√7m(m>0), (7m+4m-9m 又cos(受-）=-sne,且1-cosa=2sin号， .原式=二sina-sina=」 -2sin a 3√3 2 m2=6√3，解得m=2, √sim号 .△ABC的周长为a+b+c=4+6+2√7=10+2√7，故 A正确；由余孩定理得c0sC=a+B-c=16+36-28 2厄sin号cos号 2ab 2×4×6 合Ce(0.).C=营：A+B+C=A+B n号 =经2C=A+B:放B正确：由正弦定理知，△ABC :0<a<0<号<受m号>≥0 外接圆的直径2R= c=2反=4匹，故C正确； “原式=-2反c0s号 sin C sin 3 3 答案：-2巨cos受 由中线充理得。+6=合+2CD,即CD= 5.B 2 (16+36-之×28）=19，CD=,故D错误。 6.B[因为sm(a-8)=sis月-cos sin=子 故选ABC,] 2 2.解析：设四门通天铜雕PQ的高度hm, 由∠PAQ=音，∠PBQ=冬，可得AQ=5 .0.CQ-9 o2+2=1-2ine+=1-2x(号）=] 在△ABC中，因为∠ABQ+∠QBC=π， .D[由来角公式可知sn号=一四，解得sim号 所以cos∠ABQ=-cos∠QBC, 可得AB+BQ-AQ BC2+BQ-CQ2 2AB·BQ 2BC·BQ 即400+-(W3) 400+- &解析：ana=an[(e-)十] 2×20×h 2×20×h ,解得h= 10√6， 所以四门通天铜雕的高度为10√6m. 1m-)m1否 答案：10√6m 答案：5 60