假期作业21 余弦定理、正弦定理的应用-【快乐假期必刷题】2025年高一数学暑假作业必刷题（北师大版）

　　　假期作业２１　余弦定理、正弦定理的应用　　　　　　　　　　 １．解三角形应用题的基本思想 解三角形应用题时,通常都要根据题意,从实 际问题中抽象出一个或几个三角形,然后通过 解三角形,得到实际问题的解,求解的关键是 将实际问题转化为　　　　 　问题． ２．运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基 本步骤 (１)分析:理解题意,弄清已知与未知,画出示 意图(一个或几个三角形); (２)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量 与待求量尽可能地集中在有关三角形中, 建立一个解三角形的数学模型; (３)求解:利用正弦定理、余弦定理解三角形, 求得数学模型的解; (４)检验:检验所求的解是否符合实际问题,从 而得出实际问题的解． ３．三角形面积公式 (１)三角形的高的公式:hA＝bsinC＝csinB, hB＝csinA＝asinC,hC＝asinB＝bsinA． (２)三角形的面积公式:S＝１２absinC ,S＝ 　　　　,S＝　　　　． ◆[考点一]　测量角度问题 １．若水平面上点B 在点A 南偏东３０°方向上, 则在点A 处测得点B 的方位角是 (　　) A．６０°　　B．１２０°　　C．１５０°　　D．２１０° ２．如图,两座相距６０m的建 筑物AB,CD 的高度分别 为２０m,５０m,BD 为水平 面,则从建筑物AB的顶端 A看建筑物CD的张角∠CAD＝ (　　) A．３０° B．４５° C．６０° D．７５° ３．根据气象部门提醒,在距 离某基地正北方向５８８km 处的热带风暴中心正以 ２１km/h的速度沿南偏 东４５°方向移动,距离风暴中心４４１km以内 的地区都将受到影响,则该基地受热带风暴 中心影响的时长为 (　　) A．７h B．１４h C．(１４ ２－７)h D．(１４ ２＋７)h ４．如图所示,位于A 处的 信息中心获悉:在其正 东方向相距４０海里的 B处有一艘渔船遇险, 在原地等待营救,信息中心立即把消息告知 在其南偏西３０°、相距２０海里的C处的乙船, 现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援,则cosθ的值为　　　　． ◆[考点二]　测度距离和高度问题 ５．如图,巡航艇在海上 以６０km/h的速度 沿南偏东４０°的方向 航行．为了确定巡航 艇的位置,巡航艇在B 处观测灯塔A,其方 向是南偏东７０°,航行１２h 到达C处,观测灯 塔A 的方向是北偏东６５°,则巡航艇到达C 处时,与灯塔A 的距离是 (　　) A．１０km　　　　　　B．１０ ２km C．１５km D．１５ ２km 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０５ ６．一艘海轮从A 处出发,以每小时４０海里的 速度沿南偏东４０°的方向直线航行,３０分钟 后到达B 处,在C 处有一座灯塔,海轮在A 处观察灯塔,其方向是南偏东７０°,在B 处 观察灯塔,其方向是北偏东６５°,那么B,C 两点间的距离是 (　　) A．１０ ２海里 B．１０ ３海里 C．２０ ３海里 D．２０ ２海里 ７．为运输方便,某工程 队将从A 到D 修建 一 条 湖 底 隧 道,如 图,工程队从A 出发向正东行１０ ３km 到 达B,然后从B 向南偏西４５°方向行了一段 距离到达C,再从C 向北偏西７５°方向行了 ４ ２km到达D,已知C 在A 南偏东１５°方 向上,则A 到D 的距离为 (　　) A．１５ ６km B．２ ３８km C．１０ ２km D．１５ ３km ８．如图,一位同学从P１ 处观 测塔顶B 及旗杆顶A,得 仰角分别为α和９０°－α． 后退lm 至点P２ 处再观 测塔顶B,仰角变为原来 的一半,设塔 CB 和旗杆BA 都垂直于地 面,且C,P１,P２ 三点在同一条水平线上,则 塔BC 的高为　　　　m;旗杆BA 的高为 　　　　m．(用含有l和α的式子表示) ◆[考点三]　三角形的面积问题 ９．在△ABC中,A＝６０°,AC＝４,BC＝２ ３,则 △ABC的面积为 (　　) A．４ ３　　B．４　　C．２ ３　　D．２ ２ １０．已知△ABC的内角A,B,C 的对边分别为 a,b,c． 若 △ABC 的 面 积 为 ３(a２－b２－c２) ４ ,则角A＝ (　　) A．π６ B． π ３ C． ２π ３ D． ５π ６ １１．在△ABC 中,角A,B,C 所对的边长分别 为a,b,c,b＝a＋１,c＝a＋２． (１)若２sinC＝３sinA,求△ABC的面积; (２)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角 三角形? 若存在,求出a的值;若不存在, 说明理由． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １５ １２．如图,已知扇形的圆心角 ∠AOB＝２π３ ,半径为４ ２, 若点C 是AB ︵ 上的一动点 (不与点A,B 重合)． (１)若弦BC＝４(３－１),求BC ︵ 的长; (２)求四边形OACB 面积的最大值． １．(多选)«数书九章»是南宋时期著名的数学 家秦九韶的著作,全书十八卷,共八十一个 问题,分为九类,每类九个问题,«数书九章» 中记录了秦九韶的许多创造性成就,其中在 某一卷中提出了“三斜求积”,其求法是“以小 斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上．以 小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实．一为从 隅,开平方得积．”即已知三角形三边a,b,c,求 面积的公式．若把以上这段文字写成公式,即 S＝ １４c ２a２－c ２＋a２－b２ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ é ë êê ù û úú．现 有 △ABC 满足sinA∶sinB∶sinC＝２∶３∶ ７,且 △ABC的面积S＝６ ３,请运用上述公式判 断下列结论正确的是 (　　) A．△ABC的周长为１０＋２ ７ B．△ABC三个内角A,B,C满足２C＝A＋B C．△ABC外接圆的直径为４ ２１３ D．△ABC的中线CD 的长为３ ２ ２．某中学研究性学习小组为测量四门通天铜 雕高度,在和它底部位于同一水平高度的共 线三点A,B,C 处测得铜雕顶端P 处仰角 分别为π ６ ,π ４ ,π ３ ,且AB＝BC＝２０m,则四 门通天铜雕的高度为　　　m． 中国女排打了８场,赢了５ 场,输了３场,冠军! 塞尔维亚打了８场,赢了６ 场,输了２场,亚军! 美国女排打了８场,赢了７ 场,输了１场,季军! [总结]　人生呀,关键不在于你赢过多少 次,而在于你在什么时候,什么场次赢了什么 对手! 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２５ １ ２×２×b×sin６０°＝ １ ２×２×AD×sin３０°＋ １ ２×AD×b×sin３０° , 解得:AD＝ ３b １＋b２ ＝２ ３ (１＋ ３) ３＋ ３ ＝２． 答案:２ １１．解:(１)因为A＋B＝３C,所以A＋B＝３(π－A－B),所以A ＋B＝３π４ ,所以C＝π４ , 另外,由题意得:２sin(A－C)＝sin(A＋C), 即２sinAcosC－２cosAsinC ＝sinAcosC＋cosAsinC, 所以sinA＝３cosA,变形得sin２A＝９(１－sin２A)．故sinA ＝３ １０１０ ． (２)由sinA＝３cosA, 得cosA＝１３sinA＝ １０ １０ , 所以sinB＝sin(A＋C)＝３ １０１０ × ２ ２＋ １０ １０ × ２ ２＝ ２ ５ ５ , 由 AC sinB＝ AB sinC ,解得AC＝２ １０, 所以S△ABC＝ １ ２×５×２ １０× ３ １０ １０ ＝１５ , 设AB 边上的高为h,则 １２AB 􀅰h＝１５,解得h＝６．故 AB 边上的高为６． １２．解:(１)因为S△ABC ＝２S△ADC ＝２× １ ２ × a ２ ×１×sin６０°＝ ３ ４a＝ ３ ,解得a＝４, 在△ADC中由余弦定理得b２＝１２＋２２－２×１×２×cos π３ ＝３, 在△ABD中,c２＝１２＋２２－２×１×２×cos２π３＝７ , 在△ABC中,cosB＝c ２＋a２－b２ ２ca ＝ ７＋１６－３ ２ ７×４ ＝ ５ ２ ７ ,sinB ＝ １－cos２B＝ ３ ２ ７ ,因此tanB＝sinBcosB＝ ３ ５． (２)在 △ABC 中,由 中 线 长 公 式 可 得 (２AD)２ ＋BC２ ＝ ２(AB２＋AC２),即２２＋a２＝２(b２＋c２)＝１６,所以a２＝１２,又 S△ABC＝ １ ２bcsinA＝ ３ ,因而bcsinA＝２ ３,又由余弦定理 得a２＝b２＋c２－２bccosA,即１２＝８－２bccosA,所以bccosA＝ －２,故tanA＝－ ３⇒cosA＝－ １２ ,所以bc＝４,又b２＋ c２＋２bc＝８＋８＝１６＝(b＋c)２,b２＋c２－２bc＝８－８＝０＝ (b－c)２,故可得b＝c＝２． 新题快递 １．D　[在△ABC 中,由已知可得,sinA＝ １－cos２A＝３５． 又cosA＝４５＞０ ,所以 A为锐角． 由正弦定理可得,BC sinA＝ AB sinC , 所以,sinC＝ABsinABC ＝ ３ ５x ２ ＝ ３ １０x． 要使命题p是真命题,则C有唯一满足条件的解． 若０＜x＜２,则sinC＜３５ ,显然C有唯一满足条件的解; 若x＝２,则C＝A,满足; 若x＞２,且sinC＜１,即３１０x＜１ , 即２＜x＜１０３ ,此 时 C 有 两 解 满 足 条 件,此 时 命 题 p 是 假 命题; 当x＝１０３ 时,此时有sinC＝１,C＝π２ 有唯一解,满足; 当x＞１０３ 时,此时有sinC＞１,显然C无解,不满足． 综上所述,当０＜x≤２或x＝１０３ 时,命题p是真命题．] ２．AD　[对于 A,由正弦定理得sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶ c,所以sinA,sinB,sinC 作为三条线段的长一定能构成三 角形,A正确,对于B,由正弦定理得 １sinA∶ １ sinB∶ １ sinC＝ １ a∶ １ b∶ １ c ,例如a＝５,b＝１２,c＝１３,则 １a ＝ １ ５ ,１ b ＝ １ １２ , １ c＝ １ １３ ,由于１ a＝ １ ５＝ ２５ １２５ ,１ c ＋ １ b ＝ １ １２＋ １ １３＝ ２５ １５６ ,１ c ＋ １ b＜ １ a ,故不能构成三角形的三条边长,故B错误, 对于 C,由正弦定理得sin２A∶sin２B∶sin２C＝a２∶b２∶c２, 例如:a＝３、b＝４、c＝５,则a２＝９、b２＝１６、c２＝２５, 则a２＋b２＝２５＝c２,sin２A,sin２B,sin２C作为三条线段的长不 能构成三角形,C不正确; 对于 D,由正弦定理可得 sinA∶ sinB∶ sinC＝ a∶ b∶c,不妨设a＜b＜c,则a＋b＞c,故 a＜b＜c,且(a＋ b)２－(c)２＝a＋b－c＋２ ab＞２ ab＞０,所以(a＋ b) ＞c,故 D正确．] 假期作业２１ 思维整合室 １．解三角形　３．(２)１２bcsinA　 １ ２casinB 技能提升台　素养提升 １．C　２．B　 ３．B　[如图所示建立平面直角坐标系,假设|OE|＝|OG|＝ ４４１,OF⊥EG, 由题 意 易 知|OF|＝ ２２ ×５８８＝２９４ ２ ,则|GF|＝ |OG|２－|OF|２＝ ２１６０９＝１４７, 所以该基 地 受 热 带 风 暴 中 心 影 响 的 时 长|EG| ２１ ＝ １４７×２ ２１ ＝１４．] ４．解析:在△ABC中,AB＝４０,AC＝２０,∠BAC＝１２０°, 由余弦定理得BC２＝AB２＋AC２－２AB􀅰AC􀅰cos１２０° ＝２８００⇒BC＝２０ ７． 由正弦定理,得 AB sin∠ACB＝ BC sin∠BAC ⇒sin∠ACB＝ABBC 􀅰sin∠BAC＝ ２１７ ． 由∠BAC＝１２０°,知∠ACB为锐角,则cos∠ACB＝２ ７７ ． 由θ＝∠ACB＋３０°,得cosθ＝cos(∠ACB＋３０°) ＝cos∠ACBcos３０°－sin∠ACBsin３０°＝ ２１１４ ． 答案: ２１ １４ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９９ ５．D　[在△ABC 中,BC＝６０× １２ ＝３０ (km),∠ABC＝７０°－ ４０°＝３０°,∠ACB＝４０°＋６５°＝１０５°,则∠A＝１８０°－(３０°＋ １０５°)＝４５°,由正弦定理,可得AC＝１５ ２(km)．故选 D．] ６．A　[如 图 所 示,易 知,在△ABC 中,AB＝ ２０,∠CAB＝３０°,∠ACB＝４５°, 根据正弦定理得 BC sin３０°＝ AB sin４５° ,解得BC ＝１０ ２(海里)．] ７．B 　 [连 接 AC,由 题 意, ∠ABC＝４５°,∠ACD＝７５° －１５°＝６０°,∠BCD＝７５°＋ ４５°＝１２０°, ∠ACB＝６０°,AB＝１０ ３, CD＝４ ２, 在△ABC 中,由 正 弦 定 理 得, ABsin∠ACB＝ AC sin∠ABC ,即 １０ ３ ３ ２ ＝AC ２ ２ ,则AC＝１０ ２, 在△ACD 中,由 余 弦 定 理 得,AD２＝AC２＋CD２－２AC􀅰 CDcos∠ACD＝１５２, 则AD＝２ ３８km．] ８．解析:在 Rt△BCP１ 中,∠BP１C＝α,在 Rt△P２BC中, ∠P２＝ α ２． ∵∠BP１C＝∠P１BP２＋∠P２,∴∠P１BP２＝ α ２ , 即△P１BP２ 为等腰三角形,BP１＝P１P２＝l,∴BC＝lsinα． 在 Rt△ACP１ 中, AC CP１ ＝ AClcosα＝tan (９０°－α), ∴AC＝lcos ２α sinα ,则BA＝AC－BC＝lcos ２α sinα－lsinα ＝l (cos２α－sin２α) sinα ＝ lcos２α sinα ． 答案:lsinα　lcos２αsinα ９．C　[由余弦定理可得(２ ３)２＝AB２＋４２－２×４􀅰AB􀅰cos６０°, 整理得AB２－４AB＋４＝０,解得AB＝２,∴△ABC 的面积S＝ １ ２AC 􀅰AB􀅰sinA＝１２×４×２× ３ ２＝２ ３． 故选 C．] １０．C　[由余弦定理可得a２＝b２＋c２－２bccosA,而三角形面 积为１ ２bcsinA , 故 ３(b ２＋c２－２bccosA－b２－c２) ４ ＝ １ ２bcsinA , 整理得到tanA＝－ ３,又A∈(０,π),故A＝２π３． 故选 C．] １１．解:(１)２sinC＝３sinA,∴２c＝３a,又∵c＝a＋２, ∴a＝４,b＝５,c＝６． cosA＝b ２＋c２－a２ ２bc ＝ ３ ４ ,在△ABC中得sinA＝ ７４ , S△ABC＝ １ ２bcsinA＝ １５ ７ ４ ． (２)由△ABC 为钝角三角形,b＝a＋１,c＝a＋２,得c边最 大,所以C角最大 cosC＝a ２＋b２－c２ ２ab ＝ a２＋(a＋１)２－(a＋２)２ ２a(a＋１) ＜０ , 得a２－２a－３＜０, 所以－１＜a＜３,因为a为正整数,所以a＝１或a＝２, 当a＝１时,b＝２,c＝３,此时a＋b＝c,与题不符 ∴存在正整数a＝２,使得△ABC为钝角三角形． １２．解:(１)在△OBC 中,BC＝４(３－１),OB＝OC＝４ ２,所以 由余弦 定 理 得 cos∠BOC＝OB ２＋OC２－BC２ ２OB􀅰OC ＝ ３ ２ ,所 以 ∠BOC＝π６ ,于是BC︵ 的长为 π６􀅰４ ２＝ ２ ２ ３ π． (２)设∠AOC＝θ,θ∈ ０,２π３( ) ,则∠BOC＝ ２π ３－θ , S四边形OACB＝S△AOC ＋S△BOC ＝ １ ２ ×４ ２×４ ２sinθ＋ １ ２ × ４ ２×４ ２􀅰sin ２π３－θ( )＝２４sinθ＋８ ３cosθ ＝１６ ３sinθ＋π６( ) ,由于θ∈ ０, ２π ３( ) , 所以θ＋π６∈ π ６ ,５π ６( )．所以１６ ３sinθ＋ π ６( ) ∈ (８ ３,１６ ３],所以四边形OACB面积的最大值为１６ ３． 新题快递 １．ABC　[由正弦定理可得a∶b∶c＝２∶３∶ ７．设a＝２m,b＝ ３m,c＝ ７m(m＞０), ∴S＝ １４ ７m ２􀅰４m２－ ７m ２＋４m２－９m２ ２( ) ２ [ ] ＝３ ３２ m ２＝６ ３,解得m＝２, ∴△ABC的周长为a＋b＋c＝４＋６＋２ ７＝１０＋２ ７,故 A 正确;由余弦定理得cosC＝a ２＋b２－c２ ２ab ＝ １６＋３６－２８ ２×４×６ ＝ １ ２ , ∵C∈(０,π),∴C＝π３ ,∵A＋B＋C＝π,∴A＋B＝２π３ ,∴２C ＝A＋B,故 B 正 确;由 正 弦 定 理 知,△ABC 外 接 圆 的 直 径 ２R＝ csinC＝ ２ ７ sin π３ ＝４ ２１３ ,故 C正确;由中线定理得a２＋ b２＝１２c ２＋２CD２,即CD２＝ １２ × １６＋３６－ １ ２×２８( ) ＝１９, ∴CD＝ １９,故 D错误．故选 ABC．] ２．解析:设四门通天铜雕PQ 的高度h m, 由∠PAQ＝ π６ ,∠PBQ＝ π４ ,∠PCQ＝ π３ ,可 得AQ＝ ３h,BQ＝h,CQ＝ ３３h , 在△ABC中,因为∠ABQ＋∠QBC＝π, 所以cos∠ABQ＝－cos∠QBC, 可得AB ２＋BQ２－AQ２ ２AB􀅰BQ ＝－ BC２＋BQ２－CQ２ ２BC􀅰BQ , 即４００＋h ２－(３h)２ ２×２０×h ＝－ ４００＋h２－ ３ ３h æ è ç ö ø ÷ ２ ２×２０×h ,解得h＝１０ ６, 所以四门通天铜雕的高度为１０ ６m． 答案:１０ ６m 假期作业２２ 思维整合室 １．sinαcosβ±cosαsinβ　cosαcosβ±sinαsinβ　 tanα±tanβ １∓tanαtanβ 　２．２sinαcosα　cos２α－sin２α　２cos２α－１　１－２sin２α 技能提升台　素养提升 １．A　 ２．ABC　 [对 于 A,tan２５°＋tan３５°＋ ３tan２５°tan３５°＝ tan(２５°＋３５°)(１－tan２５°tan３５°)＋ ３tan２５°tan３５°＝ ３－ ３tan２５°tan３５°＋ ３tan２５°tan３５°＝ ３; 对于B,２(sin３５°cos２５°＋cos３５°cos６５°)＝２(sin３５°cos２５°＋ cos３５°sin２５°)＝２sin６０°＝ ３; 对于 C,１＋tan１５°１－tan１５°＝ tan４５°＋tan１５° １－tan４５°tan１５°＝tan６０°＝ ３ ; 对于D, tanπ６ １－tan２ π６ ＝１２× ２tanπ６ １－tan２ π６ ＝１２×tan π ３＝ ３ ２． 综上,式子的运算结果为 ３的选项为 ABC．故选 ABC．] ３．A　[原式＝ １２tan１５° １－tan２１５° ＝ １tan３０°＝ ３． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ００１