假期作业8 正弦定理和余弦定理-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（北师版）

快乐假期 S00= 业精于勤，而荒于嬉。 假期作业8正弦定理和余弦定理 完成日期： 月」 日 〈《（思维整合室 〈《技能提升台 1.正、余弦定理 素养提升 在△ABC中，若角A,B,C所对的边分别 ◆[考点一] 已知两边及一角解三角形 是a,b,c,R为△ABC外接圆半径，则 1.如果等腰三角形的周长是底边长的5 定理 正弦定理 余弦定理 倍，那么它的顶角的余弦值为() a2= a A员 c B子 D.居 公式 sin A 62= =2R 2.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为 2= a,b,c,a=8√3，b=6,A=60°，则sinB= (1)a=2Rsin A,b= () c= 常 (2)sin A= 2R sin B= cos A= 见 A号 c竖 D是 .sin C=2R' cos B= 变 3.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为 cos C= 形 (3)a:b:c= a,b,c,a=15,b=18,A=30°，则此三角形 (4)asin B=bsin A,bsin C= 解的个数为 esin B,asin C=csin A A.0 B.1 D.不能确定 2.三角形面积公式S△ABC= 2absin C= C.2 4.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为 thesin A 2acsin B= 4R=2(a+b+ abc ab.若a=20=2,0sA-,且 c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并 b<c,则b= () 可由此计算R,r. A.3 B.2 C.22 D.3 3.在△ABC中，已知a,b和A时，解的情况 ◆[考点二]已知三边或三边的关系解三 如下 角形 A为钝角 5.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别 A为锐角 或直角 为a,b6.若0-（+c)=-1,则A bc 图形 ( A.120° B.45° C.60° D.30 bsin A< 6.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别 关系式 a=bsin A a≥b a≥>bab a<b 是a,b,c,已知c=2h.若sinC=子，则 解的 sin B= ;若b2+bc=2a2, 个数 则cosB= 16 三0022 富一数学) ◆[考点三]正、余弦定理的综合应用 新题快 7.(多选)在△ABC中，已知a tan B=btan A, 1.(2022·北京卷)在△ABC中，sin2C= 则△ABC的形状可能是 ( √3sinC. A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 (1)求∠C; 8.(多选)在△ABC中，内角A,B,C的对边分 (2)若b=6,且△ABC的面积为6√3，求 别为a,b,c.sinC+sin(A-B)=3sin2B,C △ABC的周长. =5则号 ( A号 B号 C.2 D.3 9.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c,面积为3，B=60°，a2+c2=3ac, 则b= 10.在△ABC中，已知BC=7,AC=8,AB 2.在①(sinB-sinC)=sinA-sin Bsin C; =9,则AC边上的中线长为 B+C 11.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别 ②bsin 2 =asin B;③asin B= 为a,b,c,已知sinA：sinB:sinC= 2:1:√2，b=√2 6cosA-君这三个条件中任选一个，补 (1)求a的值； 充在下面问题中并作答， (2)求cosC的值； 问题：△ABC的内角A,B,C的对边分别 (3)求sm2c-吾的值. 为a,b,c,若√2a=b+c, ,求A 和B. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一 个解答计分. 12.(2022·全国乙卷)记△ABC的内角 A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A). （1)证明：2a2=b2+c2; 2)若a=5,oA=引，求△ABC的 《益智欢乐谷 周长 数学魔术家1981年，印度的一位名 叫沙贡塔娜的37岁妇女，凭借心算与一台 先进的电子计算机展开竞赛，题目是求一 个201位数的23次方根.但令人惊奇的是， 沙贡塔娜只用了50秒钟就报出了正确的 答案.而计算机得出同样的结果，花费的时 间要多得多.这一奇闻，在国际上引起了轰 动，沙贡塔娜被称为“数学魔术家” 17900-= =√32-32sin0, 因为∈(0，π)，所以sin0∈(0,1]，所以|PA+PB+PC 10.解析：由已知及余弦定理可得cosA=AB十AC一BC 2AB·AC +PD1∈[0,4√2)， 7?,设中线长为，由余孩定理得 2×9X8 故PA+PB+PC+PD有最小值为0，无最大值.] ()+a8-2. :·AB·cosA=4+92-2X4 假期作业8 2 思维整合室知识梳理 X9X号=49，即x=1.所以AC边上的中战长为7. b 1.sim B sin C2bccos A +a-2cacos B 答案：7 -2abcos C (1)2Rsin B 2Rsin C (2)2R 1l.解：(1)因为sinA:sinB:sinC=2:1:√2，由正弦定 理可得a:b:c=2:1:√2， (3)sin A sin B:sin C b2+c2-a2 2+a2-b b=√2，a=2V2,c=2. 26c 2ac 8+2-4 a2+b-c 2ab 3.一解两解一解一解无解 (2)由余孩定理可得cosC=(+B-C 2ab 2×2V2X√2 技能提升台素养提升 =3 4 1.D2.D3.C4.B 5.A[因为0-b+c) bc =-1,所以a2-(b+c)=-bc, (3):cosC=3 即a2-b-c2-2bc=-bc,所以a2=b+c2+bc,由余弦 ∴.sinC= √-cos'C- 定理释0sA6士正-分因为0<A<180,所 4 2bc sin2C=2 sin Ceos C=2x4×3=3万 以A=120°，故选A.] 448 6.解析：周为c=2b,所以simC=2sinB=是，所以sinB cos20=2cosC-1=8X号-1= 8 吾周为c=26,所以公+=36=20，所以a=, 3 所以sn(2c-吾）=sin20cos吾-cos2Csin音 6 所以cosB=Q+c2-6 多5+6-公 -3×5-1 x2-8X2 =3W2-1 3√6 81 16 12.解：(1)已知sin Csin(A一B) 2ac 2√6b 8 =sin Bsin(C一A)可化简为 答案： 3√6 sin Csin Acos B-sin Ccos Asin B=sin Bsin Ccos A- 8 sin Bcos Csin A, 7.BD[将a=2 Rsin A,b=2 Rsin B(R为△ABC外接圆的 由正弦定理可得accos B-bccos A=becos A-abcos C, 半径)代入已知条件，得sin'Atan B=sin'Btan A,则 即accos B=2 bccos A一abcos C,由余弦定理可得 sinAsin B sin Asin'B acaitcibi-2bebitai abaitb-c, cos B cos A 2ac 2bc 2ab 因为sin Asin B≠0，所以nA=sinB. 即得2a2=b+c2. cos B cos A' 所以sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A=x-2B, (2)由(1)可知6+c2=2a°=50，cosA=6+c-a 2bc 所以A=B或A十B=,故△ABC为等腰三角形或直角三 0225-=装-票2=31.：6++=6+ 2bc 角形.] =81,.b+c=9,.a+b+c=14,.△ABC的周长 8.BD[因为A+B=r-C,所以sinC=sin(π-C) 为14. =sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B. 新题快递 sin C+sin(A-B)=3sin 2B, 所以2 sin Acos B=6 sin Bcos B, 1.:(1)sin 2C-/sin C.2sin Ccos C-3sin C.cosC 2 p2cos B(sin A-3sin B)=0, 解得cosB=0或sinA=3sinB. 又0<C<受∴∠C= 当0sB=0时，因为B∈0，)，所以B=受又C=号 (2)abin C6C 所以A=吾，则snA=合sinB=1,所以由正孩定理得 sinC=号∴a=4,由余弦定理得c=d十6 6一sinB?,当sinA=3sinB时，由正孩定理得a asin A 1 2ac0sC=48+36-2X45×6x9-12, =3b, 所以号=综上所，号=3或故选BD] 所以c=2√3，所以△ABC的周长为6√3+6. 2.解：选择条件①，由(sinB-sinC)'=sinA-sin Bsin C 9.解析：由S△A= 1 -acsin B,得√3= 2acsin60, 1 及正弦定理知(b一c)2=a一bc, 2 整理得b十c2一a=bc,由余弦定理可得c0sA= 即B=5c,得ac=4,所以a2+2=3a=12. 6+c2-a=bc=1 2bc 2bc 2 则由余弦定理，得b=a2十c2-2 accos60°=12-2X4× 1 :A∈0，xA= =8,所以b=2√2. 2 由√2a=b+c, 答案：2√2 得√2sinA=sinB+sinC=sinB+sin(A+B), 58 三00p2 即2sin号=sinB+sim(答+B登理得sim(B+)】 由0=∠ACB+30°，得cos0=cos(∠ACB+30°) = =cos∠ACBeos30°-sin∠ACBsin30°=Y2▣ 14 2 s∈(0，)B+晋∈（后） 答案：图 “B+晋=平或要，解得B=音或侣 5.D[在△ABC中，BC=60X号=30(km),∠ABC=70 选择条件②，，A十B十C=π， -40°=30°，∠ACB=40°+65°=105°，则∠A=180° :.B+C=:-A.由sinB时C=asin B得， (30°+105)=45°，由正弦定理，可得AC=15√2(km). 2 -22 2 故选D. A 6.A[如图所示，易知，在△ABC中，AB1北 bcos 2=asin B. =20,∠CAB=30°，∠ACB=45°， A2 由正孩定理知，sin Beos今=-sin Asin B 根据正弦定理得BC AB sin30sin15,解得 165一 =2sin A 2cos、 BC=10√2（海里）.] 7.B「连接AC,由题意， 又nB>0,os>0，可得sn- ∠ABC=45°，∠ACD= 75°-15°=60°，∠BCD= 又A∈0，合-吾A=子 75°+45°=120°， ∠ACB=60°，AB=10 下同选择条件① 3,CD=4√2， 选择条件③，由asin B=bcos(A-）及正弦定理得 在△ABC中，由正弦定理得 AB AC in Asin B=Beos(A-吾） sin∠ACB sinZABC·即 a(A-)-A+子A 105=AC,则AC=10E, sin B>0,'sin A= 2 解得tanA=√3. 在△ACD中，由余弦定理得，AD=AC2+CD-2AC· :A∈(0，xA=子 CDcos∠ACD=152, 则AD=2√38km.] 下同选择条件①， 8.解析：在Rt△BCP1中，∠BP1C=a,在Rt△P,BC中， 假期作业9 思维整合室 ∠B=号 1.解三角形3.(2)之-besin A 2casin B :∠BP,C=∠P,BP+∠P∠PBP:= 技能提升台素养提升 即△PBP为等腰三角形，BP1=PP,=l,.BC=Isin a. 1.C2.B 3.B[如图所示建立平面直角坐标系，假设OE=|OG 本△ACR中；-。 =tan(90°-a), =441,OF⊥EG, 北 ÷AC=lcos'a,则BA=AC-BC=lcosa-lsin a sin a sin a 人热带风暴中心 -l(cos'a-sina)lcos 2a sin a sin a F 答案：Isin a Icos 2a sin a 9.C[由余弦定理可得(2√3)2=AB+4-2X4·AB· 0基地 cos60°，整理得AB-4AB+4=0,解得AB=2, 南 △ABC的西积S=之AC·AB·血A=子X4X2X号 由题意易知OF1=号X588=294V2,则1GF =2√3.故选C.] 10.C[由余弦定理可得a2=b十c2-2 bccos A,而三角形 √TOG-OFF=√21609=147， 所以该基地受热带风暴中心影响的时长EG=147×2 面积为-besin A, 21 21 =14.] 装56+-2meA=--nA 4 4.解析：在△ABC中，AB=40,AC=20,∠BAC=120°， 由余弦定理得BC=AB+AC2-2AB·AC·c0s120° 整理得到tanA=-尽，又A∈(0，π)，故A=2红.故 3 =2800→BC=20√7. 选C.] 由正弦定理，得AB BC 11.解：(1)2sinC=3sinA,2c=3a,又：c=a+2, sin∠ACB sin∠BAC ∴.a=4,b=5,c=6. SSin∠ACB=A能.sin∠BAC=Va 7 cos A=tc'-a 3 2bc ，在△ABC中得sinA=F, 4 由∠BAC=120,知∠ACB为锐角，则cos∠ACB=2y互 S△A:= sinA=1 4 59