假期作业5 平面向量的概念与线性运算-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（北师版）

曼快乐假期 假期作业5平面向量 【《思维整合室 1.向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有 的量叫向 量；向量的大小叫做向量的 (2)零向量：长度等于 的向量，其方向 是任意的. (3)单位向量：模等于 的向量 (4)平行向量：方向相同或 的非零向 量，又叫共线向量，规定：0与任一向量 共线 (5)相等向量：长度相等且 相同的 向量 (6)相反向量：长度相等且 相反的 向量 2.向量的线性运算 (1)向量的加法和减法 ①加法法则：服从三角形法则，平行四 边形法则.运算性质：a十b=b十a;(a+ b)+c=a+(b+c). ②减法与加法互为逆运算；服从三角形 法则. (2)实数与向量的积 ①实数入与向量a的积是一个向量，记 作a,规定： a.长度：a|=la|a; b.方向：当入>0时，a与a的方向相 同；当入<0时，λa与a的方向相反；当入 =0时，a=0. ②运算律：设入∈R,则：入(a)=()a; (λ+)a=a+a;λ(a+b)=a+λb. 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存 在唯一一个实数入，使得b=a. 《技能提升台 素养提升 ◆[考点一]平面向量的基本概念 1.下列各命题中假命题的个数为( ①向量AB的长度与向量BA的长度相等； ②向量a与向量b平行，则a与b的方向 相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其 终点必相同； ④两个有共同终点的向量，一定是共线 向量； 0-= 图即刻扫码 的概念与线性运算 A伴学助手 整安凌喜王环 同步学习微 了新知预习宝典 ⑤向量AB与向量CD是共线向量，则点 A,B,C,D必在同一条直线上； ⑥有向线段就是向量，向量就是有向 线段 A.2 B.3 C.4 D.5 2.(多选)如图，在菱形ABCD中，∠BAD =120°，则以下说法正确的是 ( A.与AB相等的向量只有一个（不含AB) B.与AB的模相等的向量有9个（不含AB) C.BD的模恰为DA的模的√倍 D.CB与DA不共线 3.已知在边长为2的菱形ABCD中， ∠ABC=60°，则|BD川= 4.如图，四边形ABCD和 ABDE都是平行四边形. (1)与向量ED相等的向 量有 (2)若|AB|=3,则|EC ◆[考点二]平面向量的线性运算 5.如图，在正六边形ABC D DEF中，BA+CD+EF ( A.0 B.BE C.AD D.CF 6.(多选)已知m,n是实数，a,b是向量，则 下列说法中正确的是 A.m(a-b)=ma-mb B.（m-n)a=a-na C.若ma=mb,则a=b D.若ma=a,则m=n 7.(多选)下列各式中，化简结果为AD的是 A.(AB-DC)-CB B.AD-(CD+DC) C.-(CD+MC)-(DA+DM) D.-BM-DA+MB 10 三0022 8.(2023·天津卷)在△ABC中，∠A=60°， |BCI=1,点D为线段AB的中点，点E 为线段CD的中点，若设AB=a,AC=b, 则AE可用a,b表示为 ◆[考点三]向量共线定理及其应用 9.已知向量a,b不共线，c=ka十b(k∈R), d=a一b,如果c∥d,那么 () A.k=1且c与d同向 B.k=1且d与c反向 C.k=一1且c与d同向 D.k=-1且d与c反向 10.已知AB=上BC,且BA=mAC,求实数 m的值. 11.已知O,A,B是平面上不共线的三点， 直线AB上有一点C,满足2AC+CB=0. (1)用OA,OB表示OC; (2)若点D是OB的中点，证明：四边形 OCAD是梯形. 12.如图，G是△OAB的重 心，OG的延长线交AB 于点M,P,Q分别是边 P OA,OB上的动点，且P, G,Q三点共线， (1)设PG=入PQ,将OG用λ，OP,OQ 表示； (2)设OP=xOA,OQ=yOB, 证明：1+1是定值. 一数半恐 新题快递 1.(多选)以下选项中，能使a∥b成立的条 件有 A.al=b B.|a|=0或|b|=0 C.a=-2b D.a与b都是单位向量 2.如图，在△ABC中， 点D是BC的中 点，点E在边AC 上，且满足3AE= AC,BE交AD于点F,设BF=入AB十 Ca∈R,求1+=的值，(2)铝 的值 《益智欢乐谷 一男子和老婆 在火锅店，边吃边 还人类一片清新 聊，正高兴时，有个 请丢掉手中的香烟 少妇走过来，直视着 他说：“我怀孕了！”那个男人的老婆先是一 愣，紧接着甩手给了他一耳光，又拉又扯， 连哭带闹.全火锅楼的目光都聚焦在他俩 身上，那哥们欲哭无泪！ 这时，少妇又幽幽的来了一句：“麻烦 你把烟掐了，谢谢！” 哥们捂住脸哭都哭不出来， 吃饭有风险，抽烟需谨慎！三0022 对子B选项，当x=2时，画数值0s(受X2）=-1,故x =2是函数的一条对称轴，] 2.C[因为y=c0s(亿x+答）向左年移答个单往所得西 数为y=co[(+看）+】 cos(2z+乏）=-sin2,所以fx)=-sin2x, 而y=2-号显然过(0，-号)与(10)两点， 作出f代x)与y=2x-2的大致图像如下， fx) 考虑2.x= 受2x=2z=受即x=-= 41 =处f()与y=x-的大小关系， 当x=- 华时()(）=1 =×(）- 1=-3m+4<-1: 8 当=时时(）=-sin=1y=×- 2 42 3元一4∠1： 8 当x=时(）=-im受=1y=×华-号 所以由因可知)与y=分-号的交点个数为3.] 假期作业5 思维整合室 1.(1)方向模(2)0(3)1个单位长度(4)相反 (5)方向(6)方向 技能提升台素养提升 1.C 2.ABC[由于AB=DC,因此与AB相等的向量只有DC 而与AB的模相等的向量有DA,DC,AC,CB,AD,CD, CA,BC,BA.因此选项A,B正确；而Rt△AOD中， ∠ADO=30°， DO=DA,故D=DA.因此选项C正 确；由于CB=DA,因此CB与DA是共线的，故选项D 错误.门 3.解析：易知AC⊥BD,且∠ABD=30°，设AC与BD交于 点O,则A0=号AB=1.在R△AB0中，易得1BO =3, .|BD1=2BO1=2V3. 答案：2√3 4.解析：(1)根据向量相等的定义以及四边形ABCD和 ABDE都是平行四边形，可知与向量ED相等的向量有 AB.DC. (2)因为AB=3,1EC1=21AB1,所以EC1=6. 答案：(1)AB,DC(2)6 5.D 高一数学) 6.AB[A和B属于数乘对向量与实数的分配律，正确； C中，若m=0,则不能推出a=b,错误；D中，若a=0,则 m,n没有关系，错误.] 7.ABC[对于A.(AB-DC)-CB=AB+CD+BC=AB +BD=AD:对于B,AD-(CD+DC)=AD-0 =AD;对于C,-(CD+MC)-(DA+DM)=-MD DA-DM=DM+AD-DM=AD:对于D,-BM-DA +MB=MB+AD+MB=AD+2 MB. 8.解析：在△ABC中，∠A=60°，|BC1=1,点D为AB的 中点，点E为CD的中点，A店=a,AC=,则A店=号 i+心=子a话+号AC=a+26 答案：a+0 9.D[由c∥d,得c=d,∴ka+b=a(a-b) 即{.六：即c=-a+6且c=-a 10,解：B=-A店=-C--子(B+A0. Bi=-子a花=mA, 11.解：(1)因为2AC+CB=0,所以2(O元-OA)+(O 0C)=0,2OC-20A+0B-OC=0, 所以OC=2OA-OB. (2)证明：如图，DA=D0+OA 成+i=号(0i-0. 由(1)知Di=号O心.即DA∥oC,且0 DA≠OC,故四边形OCAD为梯形 12.解：(1)OG=OP+PG=OP+λPQ=OP+A(O0-OP) =(1-)OP+AOQ. (2)由(1)及0=x0A,0成=y0B, 得OG=(1-1)OP+1OQ=(1-A)xOA+AyOB.① :G是△OAB的重心， :0号0i=号×0i+o =号0+30成.四 由①②得[(1-A)x- 3]可i=(号-w). 而OA,OB不共线， 1-)x= 3 3-3入 ,解得 λy23 =3入 y “+=3即+是定位 y x y 新题快递 1.BC[对于A、D:不妨取a,b分别为x、y轴上的单位向 量，满足“|a=|b”,满足“a与b都是单位向量”，但是a ∥b不成立，故A、D错误；对于B:由零向量与任何向量 平行，可知a=0或|b=0时，a∥b.故B正确：对于C: 因为a=-2b,所以a∥b.故C正确.] 2.解：设AF=mAD,BF=nBE, 根据向量共线定理，得：AF=mAD, AF=nAE+(1-n)AB,3AE=AC, 所以=号A花+1-m), 快乐假期 0-= 又因为市-子店+A心、 .点C的坐标为(3，一6)， 所以号C+1-nA店=受店+Ad. 又：C=ED,且E在DC的延长线上， 2 -受 m= 1 :C正=-成 解得： ,即 方法一：向量相等法。 1-=受 n= 3 4 设E(x,y),则(x-3,y十6)= 4(4一x,-3-y), 代入BF=nBE=n(AE-AB)= 子（仔花-A) x-3=- 4- =- +6=-子(-3- 解得x= 8 3 (y=-7. 解得：=一3， 4=本， 六点E的坐标为（停，-7）小 1 (1)A+=- 2,(2)AE1 AD2 方法二：定比分点公式法 设E(x,y), 假期作业6 思维整合室 c房=-D.c8,-6.4.-3》 1.不共线入1e1十入2e2基2.(1)0°≤0≤180° (2)同向180°(3)90°a⊥b3.(1)x1+x2y1十y: 则x=3-18 (2)x1-x2y1-y(3)入x,y4.(1)a=Ab 3y= (2)x1y2-x2y1=0 1- 技能提升台素养提升 1.B ∴点E的坐标为（停-7） 2.BCD CBC-a.CA-b.AD-CB+AC--a-. 答案：（得-）】 故A错：B成-BC+C=a+b,故B正确：C市 9.B[因为向量a=(一3,1)，b=(1,3),所以c=2a+b= (一6+k,2+3k). =2Ci+Ci)=号(-a+b)=-7a+26:故c正 因为a∥c,所以一6十k=(2+3k)×(-3),解得k=0.故 选B.」 确，所以A市+B正+C京-b-2a+a+号b+号6- 10.解析：由a=(3,2),b=(2,一1)，得0十b=(3m十2n, >a 2m-n),a+2b=(7,0).因为ma十b与a十2b共线，所 =0.故D正确.] 3.B[如图，因为CB=C+AB, 以14m-7n=0,解得m=1 n 2 BD=2DA,所以AD=AC+CD 答案： =n-m.AB=3AD,CB=CA+ 11.解：AB=(-4,0),AC=(1,-1), 3AD=m+3(n-m)=3n-2m, B4 -4×(-1)-0×1≠0， 故选B.门 ∴.AB,AC不共线. 5 λ= A,B,C三点不共线 解柄：由条件可如公十一子的路 2 12.解：(1)由题意得(3,2)=m(一1,2)十n(4,1), = 2 5 m=9' 答案：号-日 所以{。m十4n。3得 {2m+n=2, 8 n=9 5.A[建立平面直角坐标系. (2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 用三角形法则画出向量2a 由题意得2×(3+4k)-(-5)×(2十k)=0. +b,如图，由图可知2a十b 在平面直角坐标系中的坐标 =-骨 为(3,4).故选A. 新题快递 1 6.B[由题意可知b=3[(2a 10 1.ACD[设D(x,y),若AB=CD,则(1，-1)=(x-3, +36)-2a1=35.-3) y2,即1.解得中.1若店 (y=1,1 (-4,3)]=(3,-2).故选B.] 7.B[设P(x,y),则由AP=AB+AAC, D元，则(1，-1)=(3-，2-，即3二，1解得 1y-2=1, 得(x-2,y-3)=(2,2)+λ(5,7)=(2+5A,2+7). 所以x=5入+4，y=7a+5. {即020#-d成.时y1）=（-2-2,即 又点P在直线x一2y=0上， 之2期件-*D(-2,-1.达A0D] 故5x+4-2(7以+5)=0，解得X=-号] 1y=-1. 2解析：建立如下图的平面直角坐标系， 8.解析：设O为坐标原点， 由已知得B(6,0),D(0,4),E(3,4),EB=(3,-4), ACC.0C-0A-(0C-0B), 由E亦-3F成得=早成=（是-3小 ∴.OC=2OA-OB=(3,-6). 设0，则x-3y-4)=(是-3 56