假期作业13 平面的基本事实与推论-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（B版）

飞壁快乐假阴 连接QO,PQ,易证二面角P一AC一O的平面角为 ∠PQ0=45°，所以QO=PO=1,PQ=2,所以BC=2, 所以AC=2√2，故C对；S△PAe= 7AC·PQ=2,故 D错.] 7.B[由题意可知：三棱锥PABC的高为PA=3,所以该 四面体的体积为号×3X分×2×2=2.] 8.B[如图，分别过M,C作MM'⊥ PA,CC'⊥PA,垂足分别为M, M M C'.过B作BB'⊥平面PAC,垂足 为B',连接PB,过N作NN'⊥ PB',垂足为N' 因为BB'⊥平面PAC,BBC平A R 面PBB', 所以平面PBB'⊥平面PAC. 又因为平面PBB'∩平面PAC=PB',VN'⊥PB',NN C平面PBB',所以NN'⊥平面PAC, 且BB'∥NN'. 在△PCC'中，因为MM⊥PA,CC'⊥PA, 所以MM/cC,所以0-=白 =3 在△PBB中，周方BB∥NN,所以器沿=号 , 所以巡=型=子SAw·NV VP-AB VB-PAC 3S△PAc·BB 号×（合PAMM)·Nw 3X(2PA·CC）·BB 1 9.B[在△AOB中，∠AOB=120°，而OA=OB=√3，取 AB中，点C,连接OC,PC,有OC⊥AB,PC⊥AB,如图， )A ∠AB0=30°，0C三，AB=2BC3,由△PAB的面报 为9得×8x0C-9, 4 解得PC= .于是p0=Pc=OC =√6， 所以圆锥的体积V= xX0m×P0=3X5×6 1 =√6π.] 10.解析：由题意易求正四棱维的高为6，V被台=V大四骏 V。=号X4X4X6-吉×2X2X3 =28. 答案：28 11.解：如图，过C作CE垂直于AD,交 E- AD延长线于E,则所求几何体的体积 可看成是由梯形ABCE绕AE旋转一 周所得的圆台的体积，减去△EDC绕 A包 DE旋转一周所得的圆锥的体积.所以 所求几何体的体积V=V台一V属钟= 3πX(5+5X2 +22)×4- 子x×gx2=148 6 12.解：如图所示，作出轴截面，O是球心， 与边BC,AC相切于，点D,E.连接 AD.OE. 因为△ABC是正三角形， 所以CD=AC 因为Rt△AOER△ACD,所以OE-CD. AO AC 因为CD=1cm,所以AC=2cm,AD=√3cm, 设OE=r,则A0=3-r,所以”=} 3-r2' 所以= cm, 3 4 =4 V=3r3= 27x(cm),即球的体积等 .cn. 新题快递 1.C[如图将正方体还原可得如 下图形： N M B 1 则VAAw=3×2X1X1×2 =子Vam4,= =×号×1×2 2 &2三号VpAB99=2三8 所以该几何体的体积V=8一 1 3 2=7.] 2.解析：四面体的体积最大时 即面SAB⊥面ABC, SA=SB=2,且SA⊥SB, BC=√5，AC=√3，所以 ∠ACB=90°， 取AB的中点H,连接 CH,SH, A 、H SH⊥AB,平面SAB∩平面 ABC=AB,SH在平面 SAB内西SH=合2： SA=√2 所以SH⊥平面ABC,所以VsA= 3·S△ABC·SH= 号5=， 6 则外接球的球心在SH上，设球心为O,连接OC,CH= 名·AB=E·SM=E.因为SH=号E·SM= 2,所以O与H重合，所以R=CH=SH=√2， 所以四面体的外接球的表面积S=4πR=8元. 答案：30 6 8K 假期作业13 思维整合室 1.不在一条直线上两点有且只有一条 3.平行相交任何4.10无数0无数 技能提升台素养提升 1.D 2.C[在①中，因为P,Q,R三点既在平面ABC上，又在 平面a上，所以这三点必在平面ABC与a的交线上，即 P,Q,R三，点共线，故①正确；在②中，因为a∥b,所以a 与b确定一个平面a,而1上有A,B两点在该平面上，所 以l二a,即a,b,l三线共面于a;同理a,c,l三线也共面， 不妨设为B,而a,B有两条公共的直线a,l,所以a与B重 合，故这些直线共面，故②正确：在③中，不妨设其中四 点共面，则它们最多只能确定7个平面，故③错.] 三0022 3.D[对于A、B,一条直线与另两条直线都相交或三条直 线两两都相交，比如棱柱共点三条棱，这三条直线就不 共面，也不一定能确定一个平面，故A、B错，对于C,若 三条直线相互平行，其中两条可以确定一个平面，另一 条可以与已知平面平行，故C错误，对于D,一条直线与 两条平行直线都相交，这三条直线能确定一个平面.门 4.解析：当一个点在平面一侧，另三个点在平面另一侧时， 这种平面有4个：当平面两侧各有两个点时，这种平面有 3个.故共有7个 答案：7 5.C[由于a∥b, a 0 a,c异面，此时，b 和c可能相交，也 c 即共面，如图所示 b与c相交；b和c 也可能异面，如图所示b与c异面.综上所述，b与c不可 能是平行直线，] 6.CD LAM与C1C异面，故A错；AM与BN异面，故 B错.易知C、D正确.] 7.B[对于A,当P是A1C的中点时，BP与DD1是相交 直线；对于B,根据异面直线的定义知，BP与AC是异面 直线；对于C,当点P与C1重合时，BP与AD1是平行直 线：对于D,当点P与C1重合时，BP与BC是相交 直线，门 8.解析：①中HG∥MN;③中GM∥HN且GM≠HN,所 以直线HG与MN必相交 答案：②④ 9.C[取BC的中点为E,连接DE,AE,则DE∥PB, 所以∠ADE为AD与PB所成的角（或其补角）. 设正四面体的棱长为2a, 则DE=a,AD=√3a,AE=√3a, 所以在△ADE中，cos∠ADE=5a)'+a-3a) 2X√3a·a = 6· 10.A[连接AD1,D1M(图略).：AB=CD1,AB ∥CD, ∴四边形ABCD1为平行四边形，则AD1∥BC1,则 ∠D1AM(或其补角)为异面直线AM与BC1所成的 角，设正方体的棱长为2，则AD,=2√2，AM=D,M =√5， cos∠D,AM=22+5)_⑤=，即并 2×2√2×W5 5 面直线AM与BC,所成角的余孩值是四.故选A.] 5 11.解析：在正方体ABCD D A,BC1D1中，E,F分别为 CD,A1B,的中点， A 设正方体ABCDA,BC,D 中棱长为2，EF中点为O, 取AB,BB1中点G,M,侧面 D BB1C1C的中心为N, 连接FG,EG,OM,ON, MN,如图， 由题意得O为球心，在正方体ABCD-A,B,C,D1中， EF=√FG+EG=√4+4=2√2， .R=√2， 则球心O到BB,的距离为OM=√OW+MN= √1+1=√2， ∴球O与棱BB,相切，球面与棱BB,只有一个交点， 同理，根据正方体ABCD-A1B,CD1的对称性可知，其 余各棱和球面也只有一个交点， ∴以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数 为12. 答案：12 6 高一数类恐) 12.解：(1)6条棱中，PC,AB成异 面直线，PB,AC成异面直线， PA,BC成异面直线，共3对， (2)如图，取AB的中，点Z,连 接MZ,NZ,因为M是PBC 中，点， Z是AB中点， 所以Z/PA.Z-PA=2 同里，NZ/BC,NZ=2BC=3. 所以异面直线PA与BC所成角为∠MZN(或其补角)， 在△MZN中，由余弦定理可得cos∠MZN 22+32-4 2×2×3 =-子，故并面直线PA与BC所成角的余 弦位为 新题快递 l.D[当a∥m,B∥m时，a,B可以相交，故选项A不正确； 当m∥a,n二a时，m,n可以是异面直线，因此选项B不 正确；当m∥n,n∥a时，存在m二a这一情况，所以选项 C不正确；根据面面平行的性质可知选项D正确.] 2.D[连接AD1,则AD1∥EF,连 接FD,则平面AEF截正方体所 得截面多边形为梯形AD,FE, ,正方体棱长为2，故AD= 22,EF=√2， 又AE=D,F=√2+1=5， ∴等腰梯形ADFE的高为 、六梯形AD,EE的面积为二222×豆一号] 2 假期作业14 思维整合室 1.这个平面内交线2.相交直线相交交线 技能提升台素养提升 1.A 2.A[五棱台中，AB∥A1B1,.四边形AA1B1B是梯形， 、AF=SFG∥AB,而FG立平面ABCDE,ABC 平面ABCDE.∴.FG∥平面ABCDE.] 3.D[A可由上底面与下底面平行的性质定理判定正确， B,C可由线面平行的判定定理判定正确性，D错在D,B ∥l,1与B,C1所成角是45°.] 4.解析：由题易知EF∥BC,BC∥AD,所以EF∥AD,故 EF∥平面PAD,因为EF∥AD,所以E,F,A,D四，点共 面，所以AD为平面AEF与平面ABCD的交线. 答案：平行AD 5.C 6.BD[A:若a∩y=a,3∩Y=b,且a∥b,则a,B可能相交、 平行，错误；B:若a,b相交，且都在a,B外，a∥a,b∥a,a ∥B,b∥B,由面面平行的判定可得a∥B,正确：C:若a∥ a,b∥B,且a∥b,则a,B可能相交、平行，错误；D:若aC a,a∥B,a∩B=b,由线面平行的性质定理得a∥b,正确.] 7.C[由，F分别是AB,AC的中点可知EF/BC,既 分在三校桂ABC-AB,C中，平面ABC∥平面 ABC,由两个平面平行的性质可得GH∥BC,而GH经 过△ABC的重心，所以能=子所以=专且 EF∥GH,GH中平面AEF,EFC平面AEF,所以GH ∥平面A1EF.因为AB1∥BE且BEA1B,所以直线 AE与BB1有交点，所以平面AEF与平面BCC,B1相 交.故①②③正确，④错误.故选C.门三-0022 富一数半， 恢弘志士之气，不宜妄自菲薄。 假期作业13 平面的基本事实与推论 完成日期： 月 日 【《思维整合室 《 技能提升台 1.三个基本事实 素养提升 基本事实1：经过 的3个 ◆[考点一]平面的基本性质 点，有且只有一个平面 1.下列两个相交平面的画法中正确的是 基本事实2：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平 面内. 基本事实3：如果两个不重合的平面有 个公共点，那么它们 过 该点的公共直线。 2.三个推论 推论1：经过一条直线与直线外一点，有 2.下列命题中正确的个数为 且只有一个平面： ①若△ABC在平面a&外，它的三条边所在 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个 的直线分别交α于P,Q,R,则P,Q,R三点 平面； 共线； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个 ②若三条直线a,b,c互相平行且分别交 平面. 直线l于A,B,C三点，则这四条直线 3.空间直线的位置关系 共面； ③空间中不共面五个点一定能确定10 共面直线 个平面 异面直线：不同在 一个平面内 A.0 B.1 C.2 D.3 4.空间中直线与平面、平面与平面的位置 3.下列四个命题中的真命题是 关系 A.如果一条直线与另两条直线都相交， 那么这三条直线必共面 图形语言 符号语言 公共点 B.如果三条直线两两都相交，那么它们 能确定一个平面 a 相交 a∩a=A 个 C.如果三条直线相互平行，那么这三条 直线在同一个平面上 真 D.如果一条直线与两条平行直线都相 平行 a∥a 交，那么这三条直线确定一个平面 面 Q 4.若空间4个点不共面，则到这4个点距离 在平 都相等的平面的个数为 aCa 个 面内 ◆[考点二]空间两直线的位置关系 5.若直线a,b,c满足a∥b,a,c异面，则b 平行 a∥B 个 与c ( A.一定是异面直线 平 B.一定是相交直线 相交 a∩B=l C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 29 蜜快慨期 -900-= 6.（多选)如图所示，在正方体 (2)若PB中点为M,AC中点为N,MN ABCD-AB,C,D1中，M,A =4,求异面直线PA与BC所成角的余 N分别是棱C1D1,C,C的 弦值. 中点，给出以下结论，其中 正确的结论为 ( A.直线AM与直线C,C相交 B.直线AM与直线BN平行 C.直线AM与直线DD1异面 D.直线BN与直线MB1异面 7.(2023·上海卷)如图所 示，在正方体ABCD A1B,C1D1中，点P为边 AC,上的动点，则下列直 线中，始终与直线BP异 面的是 A.DD B.AC C.AD D.B C 8.如下图，G,H,M,N分别是正三棱柱的 顶点或所在棱的中点，则表示直线GH, MN是异面直线的图形有 ① ② 新题快递 ◆[考点三]异面直线所成的角 1.若m,n是空间两条不同的直线，a,3是空 9.在正四面体PABC中，D 间两个不同的平面，那么下列命题成立 为PC的中点，则直线PB 的是 () 与AD所成角的余弦值为 A.若a∥m,β∥m,那么a∥3 ) B.若m∥a,nCa,那么m∥n A哥 以竖 c D.23 C.若m∥n,n∥a,那么m∥a 3 D.若a∥B,mCa,那么m∥3 10.如图，M是正方体ABCD 2.正方体ABCD-A1B1CD1的棱长为2，E ABCD1的棱CD的中点， F分别是BC,CC1的中点，则平面AEF 则异面直线AM与BC,所成 D-- 截该正方体所得的截面面积为() 的角的余弦值是 ( B名 c 0.2 A.B.25 C.D. 5 《益智欢乐谷 11.(2023·全国甲卷（理）)在正方体ABCD 踏上幽径，追逐星光 A1B,CD1中，E,F分别为CD,AB,的中 人有两条路要走，一条是必须走的，一条 点，则以EF为直径的球面与正方体每条 是想走的，你必须把必须走的路走漂亮才可以 棱的交点总数为 走想走的路，有些路，你不走下去，就不会知道 12.如图，在三棱锥P-ABC 那边的风景有多美，所以内心难过也不要把自 中，PA=4,BC=6. 己丢在黑暗中.按时睡觉，好好吃饭，洗个热乎 (1)该棱锥的6条棱 c4--- 的澡，喝甜甜的奶茶.看看长河落日，花朵树 中，共有多少对异面直 木，驱逐丧气再努力奔跑，生活到处是发光的 线？请一一列出. 星星. 30