新知预览3 空间向量基本定理-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（B版）

三0022 11.证明：因为OB=OC,AB=AC,OA=OA,所以△OAC≌ △OAB,所以∠AOC=∠AOB. 又OA·BC=OA·(OC-OB)=OA.O元-OA.OB= 1OA1·1OC1cos∠AOC-1OA1·IOB1cos∠AOB=0, 所以OA⊥BC,即OA⊥BC. 12.解：(1)证明：设CA=a,CB=b,CC=c, 根据题意得|a=|b=|c,且a·b=b·c=c·a=0. :ci=6+2c.i=-+202a 成.i=(+2)(+0-） =-2c+26=0, ∴CELA'D,即CE⊥A'D (2)AC=-a+c, IAC1-lal,ICl, :Ac.Ci-(-a+e·(b+c）=2c ->lal. ∴cos(AC,CE)= =0 ,9o 10 六异面直线CE与AC'所成角的余弦值为 10 新知预览3 知识梳理 1.p=za+yb+zc 2.(1)不共面基底基向量(2)不共面 3.(1)两两垂直1(2)a=i+十yj+k两两垂直 典例探究 [例1]解：假设OA,OB,O心共面，则存在实数入，口使得 OA=OB+gOC. .e1+2e-e3=λ(-3e1+e+2e3)+(e1+e2-e) =(-3入+u)e1+(a+u)e2+(2λ-u)eg· ,-3入十u=1, :e,e2,e不共面，∴{十u=2,此方程组无解， (2入-4=一1， .OA,OB,OC不共面，.{OA,OB,OC}可以作为空间的 一个基底」 变式训练 1.解析：如图，所设Q=AB,b= D AA1c=AD,则x=AB1,y= AD=AC,a+b+c=AC A 由A,B1,D,C四点不共面 6 D -YC 可知向量x,y,z也不共面. 同理可知b,c,z和x,y,a+b 十c也不共面，可以作为空间 的基底，因x=a十b,故a,b,x共面，故不能作为基底. 答案：②③④ [例2][解](1)因为P是C1D1的中点， 所以AP=AA+AD,+DP=a+AD+D,C -ate+AB-ate+. (2)因为N是BC的中点， 所以A衣=AA+A店+B成=-a+6+2BC=-a+b +2AD--a+b+zc. 6 富一教类恐) (3)因为M是AA1的中点， 所以M亦-Mi+=2A才+A产 =-2a+(a+c+2)=a+2b+c 又NC=NC+CC-BC+AA =a市+A=名+a 所以M+NC=(2a+26+c)+(a+c)=2a+ 变式训练 2.解：(1)BD,=AD,-AB=AD+DD,-AB=AD+AA -AB=b+c-a. 2M不=Mi+店+B武+C-DA+A店+Ai+ 2cC-A店+2Ai+2AA,=a+2b+名c [例3][解]1)BN:=B成N·BN=(BA+AN)· (BA+AN) =BA12+AN12+2BA·AN=1+1=2, ∴|BN1=√2. (2)证明：AB·C1M=(A1A+AB)·(CA1+A1M) =AA·C1A1+A1A·AM+AB·C1A1+AB·A1M =0+0+1X1·c0s120+1×号·os0=0. AB1C1M,.AB⊥CM. 变式训练 3.解：(1)证明：：AC=AB+AD+AA =A店+市+子A+号，=（国店+子AA)十 (国+号AA)=A+成)+i+D)=A花+A, .AC,AE,AF共面，又它们有公共点A,A,E,C1,F 四，点共面. (2):E求=AF-A正=A市+DF-(AB+BE) =Ai+号DD-A店-号BB=-A店+Ai+号AA, 又EF=xAB+yAD+之AA1, x=-1y=1=}z+yt=子 检测评价 1.C[因为0-=a-6且a,6不共线.所以a,60心共 面，所以OC与a,b不能构成一个空间基底.] 2.C[因为a=p+q,所以a,pg共面，故a,pg不 1 1 能构成空间的一个基底，排除A.因为b=2p-29,所 以b,p,q共面，故{b,p,q}不能构成空间的一个基底，排 除且因为a十b=子p-q,所以a十6，p9共面，故 1 {a+b,p,q}不能构成空间的一个基底，排除D.故选C.] 3.C[CD=BD-BC,所以BA·CD=BA·(BD-BC)= Bi.B舫-BM.B元=1×1x号-1×1×号=0，故BM ⊥CD,即直线AB与CD垂直.] 9 姿味乐假糊 4.A[取AC的中点N,连接BN, MN,如图所示， M M为A1C1的中点，AB=a, BC=b.AA=c,:.NM=AA=c, B B时-2Bi+C=(-店+0) =-2a+2, 1 Bi=B+N成=-a+b+e.] 5.C AD =DD-DA.DB =DA+DC+DD ∴AD·DB=(DD-DA)·(DA+DC+DD) =DD,·DA+DD,·DC+DD-DA-DA·DC DA·DD=0+0+3-1-0-0=2, 1AD1I=2,DB11=√2+1+(W3)=5, 六cos(AD,DB)=AD·DB 2 IAD11·1DB12X55 故选C.] 6.ABCD[根据基底的概念，知空间中任意三个不共面的 向量才可作为空间的一个基底，B是真命题.C中由 BA,BM,BN不能构成空间的一个基底，知BA,BM,BN 共面.又BA,BM,BN过同一点B,知A,B,M,N四点共 面，C为真命题.下面证明A是真命题：假设d与a,b共 面，则存在实数入，μ，使得d=a十b,:d与c共线，c≠ 0,∴.存在实数k,使得d=c.,d≠0，∴k≠0，从而c= 名0十b,∴c与a,b共面，与条件矛盾，d与a6不 共面，同理证明D是正确的.] 7.AD[根据空间向量基本定理，有A京=A心+？AB+ a所以a=子-=子即=-子] 8.解析：D成=D0+Oi=-O元+2O. 又：DM=xOA+yOC+xOD. 1 六x=2y=0=-1 答案：(20，-) 9.解析：AB=-2CD :.0i-04=-20D-00. b-a=-20i-0).0i-2a-2b+c. 答案：2a-合b+c 10.解析：MN=AN-AM=AN-AC =AB+BN-1(AB+AD+AA) 0M- :M1√（号A+。AA-名Aò √后+病P+号亦=T。 答案。 11.解：连接BO, 晾-励=（ò+ -2(-b-a+e) 1 、1 2c, 成-成+成=-a+苏-++0丽 =-a-2b+2c… A正-AP+PE=A0+OP+号(Pd+OC)=-a+c+ 2 合（-c+b)=-a+2b+, 成-=2成=2-2a. 12.解：(1)证明：设AB=p,AC=q,AD=r 由题意可知，p=|q=r=a, 且p,9,r三个向量两两夹角均为60 M=AN-A成=名心+A)-号A店 (q+r-p). .MN.B(+r). =gpt…p-p =7dcos60+ac0s60°-a2)=0, .MN⊥AB,即MN⊥AB.同理可证MN⊥CD. (2)设向量AN与MC的夹角为日. Ad=合C+AD)=(g+r MC-AC-AM-9-Zp. AN.M心=2(g+)·(g-2p） =(g-9p+r…g-…p） cos6cs60 (-受+号-)号 又：1A1=MC-。, :.AN.MC=IANIIMCIcos 0 “向量不矿与M心的夫角的余孩值为子，从西并面直线 AN与CM所成角的会弦值为号 70快乐假职 00-= 新知预览3空间向量基本定理 博观而约取，厚积而薄发。 完成日期： 月」 ★[学习目标]1.理解空间向量基本定理及其意义并会简单应用.2.掌握空间向量的正交 分解. 知识梳理—一自学教材，素养奠基 1.空间向量基本定理 3.正交分解 如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意 (1)单位正交基底：如果空间的一个基底中的 一个空间向量p,存在唯一的有序实数组 三个基向量 ,且长度都为 (x,y,z),使得 那么这个基底叫做单位正交基底，常用 2.基底 (1)定义：如果三个向量a,b,c ,那 (i,j,k)表示」 么所有空间向量组成的集合就是{p|p (2)正交分解：由空间向量基本定理可知， =0十b十c,x,y,z∈R},这个集合可 对空间中的任意向量a,均可以分解为 看作由向量a,b,c生成的，我们把{a,b,c》 三个向量xi,yj,k,使 叫做空间的一个 ,a,b,c都叫做 像这样，把一个空间向量分解为三个 (2)性质：空间任意三个 的向量都 的向量，叫做把空间向量正交 可以构成空间的一个基底 分解。 典例探究—探究学习，素养形成 ◆[题型一] 基底的判断 规律方法判断基底的基本思路 例1已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底， (1)判断一组向量能否作为空间的一 且OA=e1+2e2-e2,OB=-3e1+e2十 个基底，实质是判断这三个向量是 2e,OC=e1十e2-e,试判断{OA,OB, 否共面，若不共面，就可以作为一 OC}能否作为空间的一个基底. 个基底 (2)判断基底时，常常依托正方体、长方 体、平行六面体、四面体等几何体，用 它们从同一顶点出发的三条棱对应 的方向向量为基底，并在此基础上 构造其他向量进行相关的判断， [变式训练] 1.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c} 是空间的一个基底.给出下列向量组： ①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z}, ④{x,y,a+b+c}. 其中可以作为空间的基底的向量组有 (填序号) 46 三0022 富一数学 ◆[题型二] 利用基底表示向量 [变式训练] 例2如图，在平行六面 D 2.如图所示，在正方体ABCD 体 ABCD-A B C D A1B1C1D1中，取AB=a,AD A B 中，设AA1=a,AB=b, =b,AA-c. M AD=c,M,N,P分别 D (1)用a,b,c表示BD1; 是AA1,BC,C1D1的中 (2)若M,N分别为AD,CC1的中点，用 点，试用a,b,c表示以下各向量； a,b,c表示MN】 (1)AP;(2)A,N:(3)MP+NC ◆[题型三]空间向量基本定理的应用 例3 如图所示，直三棱柱 C ABCA1B,C1的底面ABC A 规律方法用基底表示向量的步骤 中，CA=CB=1,∠BCA= N 定 根据已知条件，确定三个不共 60°，棱AA,=2,M、N分别 面的同量构成空间的一个基 底 是A1B1、A1A的中点. 底 (1)求BN的长； 用确定的基底（或已知基底） (2)求证：A,B⊥CM. 表示目标向量，需要根据三角 找 形法则及平行四边形法则，结 合相等向量的代换、向量的运 算进行变形、化简，最后求出 结果 利用空间向量的一个基底{a, b,c}可以表示出空间所有向 下 量.表示要彻底，结果中只能 论 含有a,b,c,不能含有其他形 式的向量 47 快乐假期 0- 规律方法将几何问题转化为向量 (1)证明：A,E,C1,F四点共面； 问题的求解策略 (2)若EF=xAB十yAD+之AA1, (1)将距离和线段长转化为求向量 求x+y十z 的模； (2)将线线、线面、面面垂直问题转化 为向量垂直问题； (3)将空间角问题转化为向量夹角 问题， [变式训练] 3.如图所示，平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，E, F分别在B,B和D,D 上，且BE= 吉BB,DF- D 3 检测评价——诊断落实，素养达标 一 、选择题 4.如图所示，在三棱柱ABC 1.已知点O,A,B,C为空间不共面的四点， -A1B1C1中，M为A1C 且向量a=OA+OB+OC,向量b=OA+ 的中点，若AB=a,BC=b, AA,=c,则BM可表示为 OB-O心C,则与a,b不能构成空间基底的 向量是 A.-gatibte A.OA B.OB c.oc D.OA或OB Ba+b 2.若{a,b,c}是空间的一个基底，则一定可 c-2a- 2a-2b+c 以与向量p=2a十b,q=2a一b构成空间 D. 1 1 的另一个基底的向量是 () 5.在长方体ABCD一 D A.a B.b C.c D.a+b A1B1C1D1中，AB= A BC=1,AA,=√3， D-1 3.在棱长为1的正四面体ABCD中，直线 则异面直线AD,与 AB与CD DB1所成角的余弦 A.相交 B.平行 值为 C.垂直 D.无法判断位置关系 B.5 6 D 2 48 三0022 高一数学 6.(多选)给出下列命题，其中真命题有( 三、解答题 A.若{a,b,c}可以作为空间的一个基底， 11.如图，四棱锥P-OABC的 d与c共线，d≠0，则{a,b,d}也可以作 底面为一矩形，PO⊥平 为空间的一个基底 面OABC,设OA=a,OC B.已知a∥b,则a,b与任何向量都不能 =b,OP=c,E,F分别是 构成空间的一个基底 PC和PB的中点，试用a,b,c表示BF C.A,B,M,N是空间四点，若BA,BM, BE,AE.EF. BN不能构成空间的一个基底，则A, B,M,N四点共面 D.已知{a,b,c}是空间的一个基底，若 m=a+c,则{a,b,m}也是空间的一个 基底 7.(多选)在正方体ABCD一A1B1C1D1中， 若点F是侧面CDD,C的中心，且AF= AD+mAB-nAA1,则 ( ) A.m=2 B.m=- 2 12.如图所示，已知空间 C.n=2 D.n=-2 四边形ABCD的各边 和对角线的长都等于 二、填空题 B a,点M,N分别是 8.如图所示，点M是OA AB,CD的中点， 的中点，以{OA,OC, (1)求证：MN⊥AB,MN⊥CD; D OD}为基底的向量DM (2)求异面直线AN与CM所成角的余 弦值. =xOA+yOC++OD, 则(，y,z)= 9.如图，在梯形ABCD中，AB ∥CD,AB=2CD,点O为空 间任一点，设OA=a,OB= b,OC=c,则向量OD用a,b,c表示 为 10.正方体ABCD-AB,CD, 的棱长为a,AM=号 MC,点N为B,B的中 点，则MN等于 g