假期作业7 正弦定理-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（B版）

空快乐假明 .AD[:画数f(x)=sin(x+)+cos(2x+) sinx++Vsin x+)-2cos 2x, x∈R,f(-x)=V2cos(-2x)=√2cos2x=f(x),∴.f(x) 为偶函数，故A正确. 令2kx十元≤2z≤2x十2x,k∈乙，解得kx+受≤x≤元十 r,k∈，当k=0时，乏≤x≤元，则函数∫(x)在 (受)上单洞递增，故B不正确，f()的最大值为， 故C不正确.由2x=x十吾，k∈Z,解得=经+牙， 2 ∈么，可得当=0时，共图像关于点（不，0）对称，故D 正确.故选AD.] 10.解析：连接BP,设∠CBP=a,其中0≤a<,则PM= 1-sina,PN=2-cosa,四边形OMPN的周长C=6 2(sina十cosa),因为(sina十cosa)2=1十2 sin acos a= 1十sin2a,所以要让周长最小，即让(sina十cosa)最大， 即sin2a最大，因为sim2a在a=平时取到最大值1，所 以当a=平时，周长有最小值6-2V2。 答案：6-2√2 1l.解：(1)'f(x)=OA·OB=sinx+-sin xcos+sinx-sinz Z),即z=x+经(k∈时，f()取得景大位l+正】 8 2 f(x)的最小正周期为元 2)号m2:-）+ 当2x-≤2-≤26x+受∈ 即天一后≤<x十k∈Z时，画数)为增函就 8 )的单调递增区同为[x一音x+餐】∈D, 12解：D由角a的终边过点P(一子，一音) 得sina=一，所以sna十)=一n= (2白角a的终边过点P(号，一司)得@s。= 3 51 由sna+=音得co+0=士 12 由B=(a+B)-a,得cosB=cos(a+B)cosa+sin(a十B)sina, 新题快递 1A[a-号n(r+）+w(+音）号n2+） o(x+)+=sm(x++若）+号 s血(2x+骨+晋)+-os2x+2, 1 所以ga)-as2x-p+子-cos2z-2p)+7 1 因为西数g)的图象关于x=夸对称，所以2X音-29 =kx(k∈Z), 所以g=晋一经(k∈D,因为p>0,所以=0时9=晋 最小，门 5 0M-= 2.解析：sin(2a+）= (sin2a+cos2a） 2 22sin acos a+cos'a-sin a 2 sin'a+cosa 4 4 22tan a+1-tan'a2 2 tan'a+1 2 =-72 261 答案：-7v2 26 假期作业7 思维整合室 b 1.sin A-sin B-sin C2.元素解三角形 技能提升台素养提升 1.D2.B3.C 4.C[在△ABC中，已知A=吾，BC=3,AB=6, 周尚正资定理可得二品年三 来得snC=号， C∈(0，x),.C=元或C=3四 4 4 再由BC>AB,以及大边对大角可得C=不<A.] 5.C[acos A=beos B,由正弦定理得sin Acos A =sin Bcos B, 即7sn2A=之sin2B,故sin2A=sin2B, 因为A,B∈(0，π)，且属于三角形内角，所以A十B<π， 所以2A=2B支2A十2B=元，解得A=B或A十B=受， 所以△ABC为等腰或直角三角形.] 6.BD[将a=2 Rsin A,b=2 Rsin B(R为△ABC外接圆的 半径)代入已知条件，得sin'Atan B=sinBtan A,则 sin'Asin Bsin Asin'B cos B cos A 因为sin Asin Ba≠0，所以sinA=sinB cos B cos A' 所以sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A=π-2B, 所以A=B或A十B=受，故△ABC为等腰三角形或直角三 角形.门 7.解析：如图所示：记AB=c,AC= b,BC=a; 22+b2-2×2Xb×cos60°=6， 因为b>0,解得：b=1+√5， 由S△ABC=S△ABD十S△AcD可得， 号×2 XbX sin60=合×2XAD ×sin30+7×ADX6×sin302. 解得：AD=B=2B1+D=2. 3+√5 答案：2 动sB得snB=mA= 8.解析：由a 7 又a=6+2-2 bccos A,2-2c-3=0,解得c=3. 答案：3 7 6 三0022 9.D[在△ABC中，由正孩定理得入sRBC b 3 sin 60 =2, .a 一b 一c =2, sin A -sin B -sin C a-b-c 六sin A sin B-sin C=2.故选D.] 10.BD[因为A十B=r一C,所以sinC=sin(x一C) =sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B. sin C+sin(A-B)=3sin 2B, 所以2 sin Acos B=6 sin Bcos B, 即2cosB(sinA-3sinB)=0,解得cosB=0或 sin A=3sin B. 当c0sB=0时，因为B∈(0，x),所以B=乏又C 苔，所以A=吾，对snA=合sinB=1,所以由正孩定 理得 合一疆合子当mA=3mB时，由E發充理得公 =3b, 所以号=3.综上所迷，号=3减子故选BD,] 11.解：(1)因为A+B=3C,所以A十B=3(π一A一B),所 以A+B=平，所以C= 4, 另外，由题意得：2sin(A一C)=sin(A十C), p2sin Acos C-2cos Asin C =sin Acos C++cos Asin C, 所以sinA=3cosA,变形得sinA=9(1-sinA). 故sinA=-3V0 10 (2)由sinA=3cosA, 得cosA= 3 sin A=10 10 所以血B=(A+0=3严×号+晋×号 10 2 由nB simC,解得AC=2, 25,由AC=AB 5 所以5w=合X5X2V而x3①=15. 10 设AB边上的高为M,则号AB·h=15,解得A=6.故 AB边上的高为6. 12.解：1)因为5a4r=25ax=2×号×号X1×sin60 =9。=5,解得=4 在△ADC中由余弦定理得b=12+2-2×1X2× c0s=3 2x=1, 在△ABD中，c2=1+22-2×1×2×cos 在△ABC中，c0sB=+Q-b=7+16-3=5 2ca 27×42√7 面BsB2因光nB如日的 cos B5 (2)在△ABC中，由中线长公式可得(2AD)2+BC2= 2(AB2+AC),即22+a2=2(b+c2)=16,所以a2= 12,又Sa=之esinA=5,因而besinA=25,又由 余弦定理得a=b+c2-2 bccos A,即12=8-2 bccos A,所 以bccos A=--2,故anA=-3今cosA=-号，所8 bc=4,又b+c2+2bc=8+8=16=(b+c)2,b+c2- 2bc=8-8=0=(b一c)2,故可得b=c=2. 5 新题快递 1,D[在△ABC中，由已知可得， s血A=V-osA=是. 又cosA=5 >0,所以A为锐角. 由正孩定理可得，sin A sin C BC AB 3 所以，sinC=4 Bsin A=了7=3 BC 2=02 要使命题饣是真命题，则C有唯一满足条件的解. 若0<x<2,则sinC<号，温然C有唯一满足条件的解： 若x=2,则C=A,满足； 若x>2,且sinC<1,即是<1， 即2<<号，此时C有两解满足条件，此时命题b是复伞题： 当工=19时，此时有sinC=1,C=受有唯一解，满足； 3 当x>9时，此时有snC>1,显然C无解，不满足. 3 辩上所递，当0<x<2或=号时，命题p是真命题.] 2.AD对于A,由正弦定理得sinA:sinB:sinC=a: b:c,所以sinA,sinB,sinC作为三条线段的长一定能 构成三角形，A正确，对于B,由正弦定理得1 1 子sinA:snB c=：知a=56=12c=18期。 1 11 11= 古方市上由女甘盒上+古立 11 十一瓷上+名<不能三角的三 长，故B错误， 对于C,由正弦定理得sin2A:sin2B:sinC=a2:b ：2, 例如：a=3、b=4、c=5,则a2=9、b=16、c2=25, 则a+b=25=c2,sinA,sinB,sinC作为三条线段的 长不能构成三角形，C不正确； 对于D,由正弦定理可得√sinA:√sinB:√sinC √a:Wb:,不妨设a<b<c,则a十b>c,故a<b<, 且(wa+√b)2-(W0)=a+b-c+2√ab>2√ab>0,所 以（√a十√b)>√c,故D正确.] 假期作业8 思维整合室 1.a+-2accos B a+b-2abcos C 2. 2ca 。+6一c3.直角钝角锐角 2ab 技能提升台素养提升 1.B2.D 3.A「如图，由余弦定理可知： Cos C=2-BC+AC:-AB 3 2BC·AC =3+4-AB 2×3×4 可得AB=3,又由余弦定理可知： B=B8SC-表=t速A] 2AB·BC 4.D[依题意，5-3<c<5十3，即2<c<8, 由于B为能角，所以cosB=。+c-6<0,a十c2-6 2ac =9十c2-25=c-16<0 解得2<c4, 所以c的取值范围，也即AB的取值范围是(2,4)，门三-0022 富一数学) 有志者，事竟成。 假期作业7正弦定理 完成日期： 月 【《思维整合室 3.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为 1.正弦定理 a,b,c,a=15,b=18,A=30°，则此三角形 在△ABC中，若角A,B,C对应的三边分 解的个数为 () 别是a,b,c,则各边和它所对角的正弦的 A.0 B.1 比相等，即 正弦定理对任意 C.2 D.不能确定 三角形都成立 4在△ABC中，已知A=号，BC=3,AB= 2.解三角形 一般地，把三角形的三个角A,B,C和它 √6，则C等于 们的对边a,b,c叫做三角形的 A.B. D. ,已知三角形的几个元素求其他元 素的过程叫做 ◆[考点二]正弦定理的应用之边角互化 3.正弦定理的常见变形 5.在△ABC中，若acos A=bcos B,则 △ABC为 () (1)a=2Rsin A,6=2Rsin B,c=2Rsin C, 其中R为△ABC外接圆的半径 A.等腰三角形 B.直角三角形 (2)sin A=a smB=泉simC=录R为 C.等腰或直角三角形 △ABC外接圆的半径). D.等腰直角三角形 (3)三角形的边长之比等于对应角的正弦 6.（多选)在△ABC中，已知a'tan B=btan 比，即a:b:c=sinA:sinB:sinC. A,则△ABC的形状可能是 () (4) a+b+c A.锐角三角形 B.直角三角形 a sin A+sin B+sin C sin A sin B C.钝角三角形 D.等腰三角形 7.(2023·全国甲卷（理）)已知△ABC中， = sin C" ∠BAC=60°，AB=2,BC=√6，∠BAC的角 (5)asin B=bsin A,asin C=csin A,bsin C 平分线交BC于点D,则AD= =csin B. 8.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a, 《技能提升台 b,c.若a=√7，b=2,A=60°，则sinB= 素养提升 ◆[考点一] 已知两边及一边的对角解三 ◆[考点三]正弦定理的综合应用 角形 9.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是 1.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为 a,b,c.若A=60°，a=√5，则 a,b,c,a=8√3，b=6,A=60°，则sinB= a-b-c sin A-sin B-sin C ( ( A c. A.? 号 C.√3 D.2 2.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为 10.(多选)在△ABC中，内角A,B,C的对 边分别为a,b,c.sinC+sin(A-B)= a,b,c,若a=√2，B=45°，b=2则A= 3sin2B,C-号，则号 A.30°或150 B.30° C.150° D.45 A.3 C.2 D.3 15 人曼快乐假期 900-= 11.(2023·新课标I卷)已知在△ABC中， 新题快递 A+B=3C,2sin(A-C)=sin B. (1)求sinA; 1.命题：“若△ABC与△DEF满足：AB (2)设AB=5,求AB边上的高. -DE-x,BC=EF=2,cos A=cos D= 号，则△ABC≌△DEF,已知命题p是 真命题， 则x的值不可以是 c.9 7 A.1 B.2 D.3 2.(多选)若△ABC的三个内角A,B,C的 正弦值为sinA,sinB,sinC,则() A.sinA,sinB,sinC一定能构成三角形 的三条边 B. 12.（2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角 dABC一定能构成三角形 A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 的三条边 △ABC的面积为3，D为BC的中点， Csin2A,sin2B,sin2C.一定能构成三角形 且AD=1. (I)若∠ADC-于，求ianB: 的三条边 (2)若b+c2=8,求b,c. D.√sinA,√/sin B,√sinC一定能构成三 角形的三条边 【《益智欢乐谷 数学魔术家 1981年，印度的一位名叫沙贡塔娜的 37岁妇女，凭借心算与一台先进的电子计 算机展开竞赛.题目是求一个201位数的 23次方根.但令人惊奇的是，沙贡塔娜只用 了50秒钟就报出了正确的答案.而计算机 得出同样的结果，花费的时间要多得多.这 一奇闻，在国际上引起了轰动，沙贡搭娜被 称为“数学魔术家” 16