假期作业6 三角恒等变换-【快乐假期】2025-2026学年高一数学暑假作业（B版）

三0022 |a-bl=√/(a-b)'=√a2-2a·b+b =√4b2-2b+1b=V31b1, la+bl_v21 所以a-b3 答案：2 21 3 10.AC[设a=励(>0)，所以{”=5解得{=B. 13k=3, n=1, 即a=√3b,故A正确： 设c=(x,y)是与a垂直的单位向量，则有5x十3y=0,x 十y2=1,所以c= 9》该-（停》数B 2-2 误：因为b在a上的投影向量为3，所以a:b=3,所以 a 尽n十35=3解得n=3,故C正确： 23 因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0且a,b不共 线，所以5n十35<0解得{，3即-3，所以n 13-3n≠0， n≠1， ∈（一0，一3），故D错误.故选AC.] 11.解：如图所示，建立直角坐标系，显然 EF是AM的中垂线，设AM与EF 交于点N,则N是AM的中，点，文正方 形边长为8，所以M(8,4),V(4,2). 设，点E(e,0),则AM=(8,4),AN=(4, 2),AE=(e,0),EN=(4-e,2), O(A) 由AMLEN得AM·EN=0,即(8,4)·(4-e,2)=0, 解得e=5,即|AE1=5. 所以Saw=21A正1B=2X5X4=10. 12.解：(1)AB.AC=0,.AB⊥AC 又AB=12,|BC1=15,.|AC1=9. 由巴知可得市=号成+A心.=A店-花， AD.C第=之(AB+AC)·(A店-AC) =2萨-A)=2144-81)=2 (2)AE.CB的值为一个常数 理由：：1为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D, E为1上异于D的任意一点，DE·CB=0. 故AE·CB=(AD+DE)·CB=AD·CB+DE.CB =AD.C成-2（常数）. 新题快递 1.C[关于x的方程ax2+2a·bx十b=0有实数根，则 △=4(a·b)2-4a2b2≥0， 故(a·b)≥ab2,即a·b|≥al|b1, 文|a·b1|a|b,所以|a·b=|a|Ib,即向量a,b共 线，反之也成立，因此两者应为充要条件. 2.A[设正方形的边长为2，如图建立 平面直角坐标系， 则A(一1,0)，B(1,0),C(1,2), D-1,2),P(cos9,sin(其中0<fx), PA+PB+PC+PD=(-1-cos 0,- sin )+(1-cos 0,-sin 0)+(1-cos 9,2-sin)+(-1-cos6,2-sin) =(-4cos 0,4-4sin 所以IPA+PB+PC+PD =/(-4cosθ)2+(4-4sin8)2=/32-32sin8, 因为e(0,x),所以sin0∈(0,1]，所以1PA+PB+P己 +PD∈[0,4√2)， 故|PA十PB+PC+PD有最小值为0，无最大值.] 5 一学恐) 假期作业6 思维整合室 l.sin acos B±cos asin B cos acos B±sin asin B tana士tanB 1干tan atan3 2.2sin acos a cos'a-sin'a 2cos'a-1 1-2sina 技能提升台 素养提升 1.A2.B 3.ABC[对于A,tan25°+tan35°+√3tan25°tan35°= tan(25°+35)(1-tan25°tan35)+√3tan25°tan35°= √3-√3tan25°tan35°+√3tan25°tan35°=√3； 对于B,2(sin35cos25°+cos35°cos65°)=2(sin35°cos25°+ cos35sin25)=2sin60°=√3； 对子c,吉5- =tan60°=√5； tan 6 1 1 对于D, 1-tan2 1-am 2Xtan 3-2 综上，式子的运算结果为√的选项为ABC.故选ABC.] 4.B[因为sin(a-B)=sin acos B-cos asin B=3, cos asin B=有，则sin acos B-2 1 故sna+0=sin scos叶os6n=号+日=号 2 即m2a+0=1-2ina+m=1-2x(号)广=分】 5.D[由半角公式可知sim号=1二0s2,解得sim号 2 2 6解折sn0-29,0e(,受）os9=个-m0-号 5 tan 0=sin =2.'tan20= 2tan 4 4 cos 0 -tan01-4 -31 an(9-）- an20-tam至 =tan20-1 1+tan 20tan 4 1+tan 20 4 -1 -=7 答案：7 xB[由道意知：)=是n+4X1十=受m: 2 +2cosx+2=号sin(x+9)+2(共中ang-号)又因 为x∈R,所以)的最大值为号] 8.D[由题意得：，y=sinx(sinx十cosx)=sinx十 2 sin 2x-1-cos 2x+1 2 sin2-2、 sin(2x-)+ 选项A:函数的最小正周期为Tn=2证-经=，故 1 2 A错误，选项B:由于-1≤sin(2x-）≤1，函数的最大 维为号+弓收B错民：选项C函数的对帮勒满足2：一子 =+号=台x+行当=号时=.故C k 提：选项D:◆：=音代入画教的（侣）9如 (x音-）十日=日款（信）为西数的-个对 称中心，故D正确.] 空快乐假明 .AD[:画数f(x)=sin(x+)+cos(2x+) sinx++Vsin x+)-2cos 2x, x∈R,f(-x)=V2cos(-2x)=√2cos2x=f(x),∴.f(x) 为偶函数，故A正确. 令2kx十元≤2z≤2x十2x,k∈乙，解得kx+受≤x≤元十 r,k∈，当k=0时，乏≤x≤元，则函数∫(x)在 (受)上单洞递增，故B不正确，f()的最大值为， 故C不正确.由2x=x十吾，k∈Z,解得=经+牙， 2 ∈么，可得当=0时，共图像关于点（不，0）对称，故D 正确.故选AD.] 10.解析：连接BP,设∠CBP=a,其中0≤a<,则PM= 1-sina,PN=2-cosa,四边形OMPN的周长C=6 2(sina十cosa),因为(sina十cosa)2=1十2 sin acos a= 1十sin2a,所以要让周长最小，即让(sina十cosa)最大， 即sin2a最大，因为sim2a在a=平时取到最大值1，所 以当a=平时，周长有最小值6-2V2。 答案：6-2√2 1l.解：(1)'f(x)=OA·OB=sinx+-sin xcos+sinx-sinz Z),即z=x+经(k∈时，f()取得景大位l+正】 8 2 f(x)的最小正周期为元 2)号m2:-）+ 当2x-≤2-≤26x+受∈ 即天一后≤<x十k∈Z时，画数)为增函就 8 )的单调递增区同为[x一音x+餐】∈D, 12解：D由角a的终边过点P(一子，一音) 得sina=一，所以sna十)=一n= (2白角a的终边过点P(号，一司)得@s。= 3 51 由sna+=音得co+0=士 12 由B=(a+B)-a,得cosB=cos(a+B)cosa+sin(a十B)sina, 新题快递 1A[a-号n(r+）+w(+音）号n2+） o(x+)+=sm(x++若）+号 s血(2x+骨+晋)+-os2x+2, 1 所以ga)-as2x-p+子-cos2z-2p)+7 1 因为西数g)的图象关于x=夸对称，所以2X音-29 =kx(k∈Z), 所以g=晋一经(k∈D,因为p>0,所以=0时9=晋 最小，门 5 0M-= 2.解析：sin(2a+）= (sin2a+cos2a） 2 22sin acos a+cos'a-sin a 2 sin'a+cosa 4 4 22tan a+1-tan'a2 2 tan'a+1 2 =-72 261 答案：-7v2 26 假期作业7 思维整合室 b 1.sin A-sin B-sin C2.元素解三角形 技能提升台素养提升 1.D2.B3.C 4.C[在△ABC中，已知A=吾，BC=3,AB=6, 周尚正资定理可得二品年三 来得snC=号， C∈(0，x),.C=元或C=3四 4 4 再由BC>AB,以及大边对大角可得C=不<A.] 5.C[acos A=beos B,由正弦定理得sin Acos A =sin Bcos B, 即7sn2A=之sin2B,故sin2A=sin2B, 因为A,B∈(0，π)，且属于三角形内角，所以A十B<π， 所以2A=2B支2A十2B=元，解得A=B或A十B=受， 所以△ABC为等腰或直角三角形.] 6.BD[将a=2 Rsin A,b=2 Rsin B(R为△ABC外接圆的 半径)代入已知条件，得sin'Atan B=sinBtan A,则 sin'Asin Bsin Asin'B cos B cos A 因为sin Asin Ba≠0，所以sinA=sinB cos B cos A' 所以sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A=π-2B, 所以A=B或A十B=受，故△ABC为等腰三角形或直角三 角形.门 7.解析：如图所示：记AB=c,AC= b,BC=a; 22+b2-2×2Xb×cos60°=6， 因为b>0,解得：b=1+√5， 由S△ABC=S△ABD十S△AcD可得， 号×2 XbX sin60=合×2XAD ×sin30+7×ADX6×sin302. 解得：AD=B=2B1+D=2. 3+√5 答案：2 动sB得snB=mA= 8.解析：由a 7 又a=6+2-2 bccos A,2-2c-3=0,解得c=3. 答案：3 7 6三-0022 学而不思则罔，思而不学则殆。 假期作业6三角恒等变换 完成日期： 月 日 【《思维整合室 C. 1+tan 15 1-tan 15 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 π sin(a士B)= D.- tan 6 cos(a干B)= tan(a士β)= -tam8 〔a士月a,9均不为x+受，∈Z 4.(2023·新课标I卷)已知sin(a-β)= 2.倍角公式 有c0ssin9=日则cos(2a+29》= sin 2a= ( cos 2a= A. 2tan a R司 c.- tan 2a- 1-tana( 2a均不为x+受keZ 5.(2023·新课标Ⅱ卷)已知a为锐角，cosa 3.三角函数公式的变形 (1)tana士tanB=tan(a士B)(l干tan atan 1+5,则in号 4 B); (2)cos2a= 1+cos 2a 2 sin'a=1-cos 2a A.3-5 B.-1+5 8 8 2 (3)1+sin 2a=(sin a+cos a)2,1-sin 2a=(sin C.35 D.-1+5 4 4 aosw,ma士osa=2sn士 【《技能提升台 素养提升 tan 20- ◆[考点一]三角函数式的化简与求值 ◆[考点二]二角变换的简单应用 1.√3sin 5π 12 co彩的值是 ) 7.函数/八x)=3sim营cos营+4cos营(x∈ R)的最大值等于 () A.√2 C.-2 D.sin 12 2.已知a∈（0，}，2sim2a=os2a+1,则 A.5 B c D.2 8.关于函数y=sinx(sinx十cosx)描述正 sin a- ) 要 确的是 () A. A.最小正周期是2π 3.(多选)下列式子的运算结果为3的是 B.最大值是√2 ( C.一条对称轴是x=牙 A.tan25°+tan35°+√3tan25°tan35 B.2(sin35cos25°+cos35cos65°) D一个对称中心是（后 13 壁快乐期 900-= 9.(多选)设函数f(x)=sin 12.已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴 的非负半轴重合，它的终边过点 os2x+}则fx) - A.是偶函数 (1)求sin(a+π)的值； B在区间0，上单调递增 (2)若角，B满足ma十0一是·求cosA的值 C.最大值为2 D.其图像关于点（行0对称 10.如图，矩形OABC中，AB=1,OA=2, 以B为圆心，BA为半径在矩形内部作 弧，点P是弧上一动点，PM⊥OA,垂足 为M,PN⊥OC,垂足为N,则四边形 OMPN的周长的最小值为 0 11.已知OA=(1,sinx-1),OB=(sinx+ 新题快递 sin xcos x,sinx),f(x)=OA·OB(.x∈ R).求： 1.将函数f(x)=号sm2x+引 (1)函数f(x)的最大值和最小正周期： cos x+6 的图象向右平移(9>0)个 (2)函数f(x)的单调递增区间. 单位长度，得到函数g(x)的图象关于x =吾对称，则的最小值为 B 7元 D.6 2.若tana=- 则m2+到 《益智欢乐谷 前进步伐，永不停歇 六点起床很困难，背单词很困难，静下 心很困难…但是总有一些人，五点可以 起床，一天背六课单词，耐心读完一本书 谁也没有超能力，但是自己可以决定一天 去做什么事情.你以为没有路，事实上路可 能就在前方一点点.那些比自己强大的人 都在拼命，我们还有什么理由停下脚步. 14