19.2.2二次根式的除法 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第十九章 二次根式 人教版八年级（初中）数学下册 授课老师：XXX 19.2 二次根式的乘法与除法 19.2.2 二次根式的除法 1 学习目标 1. 理解并掌握二次根式的除法法则，能熟练进行二次根式的除法运算和化简. 2. 经历观察、归纳、验证的过程，培养类比迁移的数学思维，提升运算能力. 3. 通过探究活动感受数学的严谨性与规律性，激发学习兴趣. 2 旧知回顾 一、二次根式的乘法你都知道哪些核心知识？ 1.二次根式的乘法法则： 语言表述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根. 即：二次根式相乘，________不变， 相乘. 根指数 被开方数 应用范围：我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简. 语言表述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积. 2.积的算术平方根的性质： · = (a ≥ 0，b ≥ 0) = · (a ≥ 0，b ≥ 0) 3 旧知回顾 1.计算： × 的结果是( ) A.2 B.6 C.8 D.16 二、练一练： B 2.计算： · 的结果是 . 3.等式 = · 成立的条件是 . x≥4 4 情境导入 同学们，我们之前学了二次根式的定义、性质和乘法法则，其实这正是数学史上根式运算体系的建立顺序. 每一个运算规则的诞生，都藏着数学家们千百年的探索与思考，二次根式的除法法则也不例外. 接下来这段小视频，就带大家走进这段数学发展史，看看除法法则是如何被发现、确立的！ 5 6 情境导入 从古希腊学者的困惑，到 17 世纪法则的最终确立，一代代数学家的严谨探索，才让我们今天能轻松掌握这份数学知识.而这个跨越千年才确立的二次根式除法法则，就是我们今天课堂的核心内容，接下来，我们就深入探究它的运算方法. 7 新知探究 计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？ 探究 (1) = ÷ = ， = ； (2) = ÷ = ， = ； (3) = ÷ = ， = . 2 3 4 5 6 7 8 新知探究 ＝ ＝ ＝ (1) (2) (3) 观察三组式子的结果，我们得到右面三个等式，你能用字母表示你所发现的规律吗？ 9 新知探究 一般地，二次根式的除法法则是： = (a ≥ 0，b＞0) 若b=0，则无意义. 语言表述：算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根. 即：二次根式相除，________不变，________相除. 根指数 被开方数 10 新知探究 ① 当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得 = (a ≥ 0，b＞0，n ≠ 0). ② 多个二次根式相除的情况： ÷ ÷ = (a ≥ 0，b＞0，c ＞ 0). 二次根式的除法法则的推广： 11 典例解析 例1 计算： ( ； (2) ÷. 解：( = = = 2 ； (2) ÷ = = = = 3 . 除式是分数或分式时，先要转化为乘法再进行运算. 当a是b的倍数或a，b为分数时，利用 = 直接进行计算. 12 针对练习 计算： (1) ； (2) 2 ÷ ； 解： (1) = = ； (2) 2 ÷=(2 ÷ ) ×( ÷ )=(2×2)×=4×=12； 如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数. 13 针对练习 (3) ÷ ； (4) ÷ ÷ . (3) ÷ = = = 5y. (4) ÷ ÷ = (-1 ÷ ÷1) × = - × = - . 14 新知探究 二次根式的除法法则的逆用： 反过来： 一般的： = (a ≥ 0，b＞0) (a ≥ 0，b＞0) 我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简. 语言表述：商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商. 15 典例解析 例2 化简： (1) ； (2). 解：(1) = = ； (2) = = = . 16 针对练习 化简： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 解： (1) = = ； (2) = = = = ； (3) = = = ； (4) = = . 17 典例解析 例3 设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b. 已知S= ，b= ，求a. 解：因为S = ab，所以 a= = = = = = = . 注意哦，二次根式化简的结果中被开方数不含分母. 18 课堂练习 1. 计算：(1) ÷ ；(2) ；(3) ；(4) ÷ . 解：(1) ÷ = = = 3 ； (2) = = = 2 ； (3) = =2 = 2 ； (4) ÷ = = = 2a.. 19 课堂练习 2. 化简： (1) ； (2) ； (3) . 解：(1) = = ； (2) = = ； (3) = = . 20 课堂练习 3. 化简： (1) ； (2) ÷ . 解：(1) = = ； (2) ÷ = = = . 21 课程小结 ÷ ÷ = (a ≥ 0，b＞0，c ＞ 0). = (a ≥ 0，b＞0，n ≠ 0). 法则：二次根式相除，根指数不变，被开方数相除. = (a ≥ 0，b＞0) 二次根式的除法 逆用法则： (a ≥ 0，b＞0) 22 随堂演练 1.计算，则 中的数是( ) C A.4 B. C.2 D. 【解析】由题意得 ，故选C. 2.△ABC的面积S=12cm2，底边 ，则底边上的高为 ． 【解析】设底边上的高为 ，， . 故答案为 ． 23 随堂演练 3.若成立，则 的值可以是( ) B A. B.2 C.4 D.5 【解析】因为成立，所以 解得 ，故选项中只有2符合题意，故选B. 24 随堂演练 5. 若，则 的值可以估算为 .(保留四位小数) 【解析】 . 4.下列计算正确的是( ) A. B. C. D. C 25 随堂演练 6. 计算. (1) ； (2) ； (3) × . 解：(1) = = = 5； (2) = = = = ； (3) × = × = = . 26 随堂演练 7. 化简. (1) ； (2)； (3) . 解：(1) = = = ； (2) = = = ； (3) = = = 3ab . 27 随堂演练 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，S△ABC​=3​ cm2，BC= cm，AB=3 ​ cm，CD⊥AB于点D. 求AC，CD的长. A C B D 解：∵ S△ABC ​= AC·BC = AB·CD ， ∴ AC = = = 2 (cm)， CD = = = (cm) . 28 随堂演练 9.老师在黑板上写出下面一道题：已知=a， =b，用含a，b的代数式表示4.9. 同学甲、乙分别展示了自己的解答： 同学甲： = = == = . 同学乙：= = = = × = . (1)你认为这两名同学的解答正确吗? 答：这两名同学的解答都正确. 29 随堂演练 (2)同学丙得出的结果为 ，老师说是正确的，请你写出同学丙的解答过程. 解：同学丙的解答过程是: = = 7 = 7 = 7× = . 30 第十九章 二次根式 人教版八年级（初中）数学下册 授课老师：XXX 19.2 二次根式的乘法与除法 19.2.2 二次根式的除法 31 $