19.3.1二次根式的加减 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第十九章 二次根式 人教版八年级（初中）数学下册 授课老师：XXX 19.3 二次根式的加法与减法 19.3.1 二次根式的加减 1 学习目标 1.理解二次根式加减法的算理，掌握二次根式加减法的运算步骤. 能熟练进行二次根式的加减运算，并解决简单的实际问题. 2.通过类比整式加减中 “合并同类项” 的思想，自主探究二次根式加减的法则. 经历 “观察 — 猜想 — 验证 — 应用” 的过程，提升运算能力和转化思想. 3.体会数学知识之间的内在联系，感受二次根式运算在实际生活中的应用. 在合作交流中增强学习数学的兴趣和自信心. 2 课程导入 7.5 dm 5 dm 8 dm2 18 dm2 工人师傅在计算两块正方形木板的边长之和. 现有长7.5dm、宽5dm的木板能否裁出这两块正方形木板？ 同学们，我们能否用已学的数学知识帮助工人师傅解决这个问题呢？ 3 旧知回顾 1. 被开方数不含分母； 2. 被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式. 一、满足什么条件的根式是最简二次根式? 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化简，使其中的二次根式为最简二次根式，并且分母中不含二次根式. 4 旧知回顾 1.下列二次根式中，最简二次根式是( ) A. B. C. D. 2.把下列二次根式化成最简二次根式： (1) = ；(2) = ；(3) = . 二、练一练： C 5 2ab 5 新知探究 化简下列二次根式，化简后有什么共同特点？ = ， = ， = ， = . 2 -15 4 化简后被开方数相同. 化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式. 6 新知探究 将二次根式化成最简二次根式，若被开方数相同，则这样的二次根式(同类二次根式)可以合并. 如 和 ， 化成最简二次根式是2 ，所以 和 可以合并. 合并的方法：合并二次根式的方法与合并同类项类似，将根号外的因数或因式相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是分配率，如m + n = (m+n) (a ≥0). 7 典例解析 例1 若最简根式与 可以合并，求 的值. 解：由题意得 解得 即 = = . 确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方数相同，根指数都为2，列关于待定字母的方程求解即可. 8 针对练习 如果最简二次根式 和 是同类二次根式，求，的值． 解：由题意，得： 解得： ， ∴，． 9 新知探究 例如：3x+2x = (3+2)x = 5x 二次根式的加减 找同类二次根式 合并同类二次根式 类比 思考 如何计算 + ？ 我们学过整式的加减，其关键是什么？ 整式的加减 合并同类项 找同类项 10 新知探究 将 与 化为最简二次根式，它们可以合并吗？为什么？ 分析： = ， = . 可以合并，因为它们有共同的因数 ，可以利用分配率进行合并. 3 2 + = 3 + 2 = (3+2) = 5 (化为最简二次根式) (利用分配率合并) 11 新知探究 一般地，二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式(同类二次根式)进行合并. 加减法的运算步骤： (1)化—将非最简二次根式的二次根式化简； (2)找—找出被开方数相同的二次根式； (3)并—把被开方数相同的二次根式合并. “一化简二判断三合并” 12 典例解析 例2 计算： (1) ； (2) ； (3)2 + 3. 解：(1) = 4 - 3= ； (2) = 3+ 5=8 ； (3)2 + 3 = 4 - 2+ 12 =14 . ①将每个二次根式化成最简二次根式. ②将同类二次根式的系数相加，被开方数不变. 二次根式加减的核心是“合并同类二次根式”. 13 针对练习 2.计算：； . 1.下列计算是否正确？为什么？ (1) ( ) (2) ( ) (3) ( ) (4) ( ) √ √ × × 解： = (2-6) = 4； . 14 归纳小结 对比二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？ 对比维度 整式加减 二次根式加减 核心思想 合并同类项 合并同类二次根式 “同类” 定义 所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项 被开方数相同的最简二次根式 运算前提 先去括号、再合并同类项 先将二次根式化为最简二次根式 运算依据 乘法分配律：ax+bx=(a+b)x 乘法分配律：a​+b​=(a+b) ​ 运算步骤 1. 去括号 2. 合并同类项 1. 化简为最简二次根式 2. 合并被开方数相同的二次根式 易错点 非同类项不能合并，如 3x+2y 被开方数不同不能直接合并，如​+​ 15 典例解析 例3 计算：(1)( + )+2()； (2) ()- (). 解： (1) ( + )+2() = 2 = 4 ； (2) ()- () = = . 注意：(1) 若被开方数中含有带分数或者小数，则要先化成假分数，进而化为最简二次根式； (2) 原式中若有括号，要先去括号，特别注意需要变号的情况，再将被开方数相同的二次根式进行合并. 16 针对练习 ； 解：(1) = 3 ； = 2 = 3 . 17 典例解析 现在，我们来解决课堂导入中提出的问题. 例4 有一块长为7.5 dm，宽为5 dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板？ 分析：由图可以看出，只要木板的宽大于大正方形木板的边长，木板的长大于两个正方形木板的边长的和，就能截出所要求的两个正方形木板. 7.5 dm 5 dm 8 dm2 18 dm2 18 典例解析 7.5 dm 5 dm 8 dm2 18 dm2 解：大正方形木板的边长为dm. 因为<5，所以这块木板够宽. 两个正方形木板的边长的和为()dm， 而=2 +3 =(2+3) =5 . 由<1.5 可知 5 <7.5, 即两个正方形木板的边长的和小于这块木板的长，所以这块木板够长. 因此，可以用这块木板按要求截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板. 19 针对练习 有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板. (1)求剩余木板的面积； 解：(1)方法一：两个正方形的面积分别为 18 dm2和32 dm2， 这两个正方形的边长分别为3dm和4dm， ∴剩余木板的面积为(4 -3 ) × 3 =6(dm2) 方法二：由题意知，长方形木板的长和宽分别为7 dm和4 dm， ∴剩余木板的面积为7 × 4 -18-32=6(dm2). 18 dm2 32 dm2 20 针对练习 有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板. (2) 如果木工想从剩余的木板中截出长为1.5dm， 宽为1dm的长方形木板，最多能截出几块这样 的木板? 解：(2) 4 -3 = . ∵ 4<3 <4.5， 1< <1.5， ∴从剩余的木板中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木板，最多能截出2块这样的木板. 18 dm2 32 dm2 21 归纳小结 二次根式的乘除法 二次根式的加减法 根号外的因数(式) 根号外的因数(式)相乘除 根号外的因数(式)相加减 被开方数 被开方数相乘除 被开方数不变 化简 结果化为最简二次根式或整式 先化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式 二次根式的乘除法与二次根式的加减法的区别 22 课程小结 二次根式的加减 将二次根式化成最简二次根式，若被开方数相同，则这样的二次根式(也叫同类二次根式)可以合并. 可以合并的二次根式 化—将非最简二次根式的二次根式化简； 找—找出被开方数相同的二次根式； 并—把被开方数相同的二次根式合并. 运算步骤 运算顺序 与实数的运算顺序一样 运算原理 运算律仍然适用 23 随堂演练 1．下列各式中，与是同类二次根式的是（　 ） A． B． C． D． 2．下列二次根式化简后可以合并的一组是 （     ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．下列计算中，正确的是（　 ） A． B．4 C． D． B C C 24 随堂演练 4. 估算的值是（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 5. 若两个最简二次根式与可以合并，则合并后的结果是（     ） A． B． C． D． 6. 已知的整数部分是，小数部分是，则的值是（    ） A． B． C．2 D．1 B D C 25 随堂演练 7.已知等腰三角形的两边长分别为和则这个三角形的周长为( ) A.9或12 B.9 C.7或9 D. 12 D 8. 计算：＝_______． 9. 已知 ，，则 __________． 10. 已知是的整数部分,是的小数部分,则_______． 11.已知等腰的两边长分别为和,则等腰的周长 是 ． 26 随堂演练 12.计算：(1)； (2)； (3)． (1)解：原式． (2)解：原式 ； (3)解：原式 ． 27 随堂演练 13. 如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是62.8和141.3，求圆环的宽度d (π取3.14). d 解：设大圆的半径是R，小圆的半径为r， 则d =R-r. ∵ R = ≈ = 3 ， r = ≈ = 2 ， ∴ d = R-r ≈ 3 - 2 = . 答：圆环的宽度d约为. 28 随堂演练 14.若最简二次根式与可以合并，求的算术平方根． 解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴， 解得， ∴， ∴，即的算术平方根是5． 29 第十九章 二次根式 人教版八年级（初中）数学下册 授课老师：XXX 19.3 二次根式的加法与减法 19.3.1 二次根式的加减 30 $