19.2.1二次根式的乘法 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第十九章 二次根式 人教版八年级（初中）数学下册 授课老师：XXX 19.2 二次根式的乘法与除法 19.2.1 二次根式的乘法 1 学习目标 1. 理解和掌握二次根式的乘法法则： · = (a ＞0，b ＞0) ，能准确表述法则并说明成立条件，发展数学抽象与逻辑推理能力. 2. 运用二次根式的乘法法则进行简单运算，利用逆向思维得出积的算术平方根 = · (a ＞0，b ＞0)，并能用它进行计算和化简，提升运算技能与符号意识. 3. 通过观察、归纳、验证的过程，经历法则的推导，培养合情推理与演绎推理能力. 在运算与化简中，体会 “转化” 的数学思想. 2 旧知回顾 一、二次根式有哪些性质？ 1.双重非负性： 2.一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. 3.任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值. ≥ 0 (a ≥ 0). ()2 = a (a ≥0). = |a| = a (a ≥ 0) -a (a ＜0) 3 旧知回顾 1.计算： 二、练一练： 2.化简： (1) (4)2= ； (2) 2 ；= ； (3)= . (1)= ； (2) ；= ； (3)= . (4) = . 48 18 16 7-2π 4 情境导入 面积： . × = 2×3= 6 现在，如果已知一个长方形的长和宽分别是和，那么，这个长方形的面积应该如何计算呢？ 同学们，我们在学习几何图形的时候，经常会遇到求面积的问题. 5 情境导入 面积： . × = 2×3= 6 没错，我们先把根号开出来再相乘，得到的面积就是 6. 不过，大家有没有想过 —— 如果不先开方，有没有更直接的方法一步算出结果呢？ 这其中藏着二次根式乘法的重要规律，今天我们就一起来探索这个法则，让这类运算变得更快捷！ 6 新知探究 计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？ 探究 (1) = × = ； (2) = = ； (3) = × = ； = = ； = × = ； = = ； 6 20 42 2 3 6 4 5 20 6 7 42 7 = × = ； = = ； = × = ； = = ； = × = ； = = ； 6 20 42 2 3 6 4 5 20 6 7 42 新知探究 (1) (2) (3) ＝ ＝ ＝ 观察三组式子的结果，我们得到上面三个等式，你能用字母表示你所发现的规律吗？ 8 新知探究 即：二次根式相乘， 不变， 相乘. 语言表述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根. 一般地，二次根式的乘法法则是： · = (a ≥ 0，b ≥ 0). 根指数 被开方数 你能证明这个规律吗？ 9 新知探究 求证： · = (a ≥ 0，b ≥ 0). 证明：根据积的乘方法则，有 ( · )2 = ( )2 ·()2 = ab ∴ · 就是ab的算术平方根. 又∵ 表示ab的算术平方根， ∴ · = (a ≥ 0，b ≥ 0). 10 典例解析 例1 计算： (1) × ； (2) × ； (3) × ； (4) × × . 解：(1) × = = ； (2) × = = = 3； (3) × = = = . 11 典例解析 解：(4) × × = ( ) × = × = . 即 · … = (a ≥ 0，b ≥ 0，k ≥ 0) 例1 计算： (1) × ； (2) × ； (3) × ； (4) × × . 只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘. 12 针对练习 计算： (1) × (2) × (3) × (4) × (5)× × = = ； =2； = = = 6； = = ； = = = 2； 13 新知探究 二次根式的乘法法则反过来还成立吗？ 反过来： 一般的： · = (a ≥ 0，b ≥ 0) = · (a ≥ 0，b ≥ 0) 我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简. 语言表述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积. 积的算术平方根的性质 14 典例解析 例2 化简： (1) ； (2) . 在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数; 解：(1) = × = 4 × 9=36； (2) = · · = 2·a· = 2a · = 2a (2)中4a2b3含有像4，a2，b2，这样开的尽平方的因数或因式，把它们开方后移到根号外. 15 针对练习 化简： (1) (2) (3) 解： (1) = × = 7 ×9 = 63； (2) = · = 2 ； (3) = ··· = 4bc . 16 典例解析 例3 计算： (1) × ； (2) 3 × 2 ； (3) × . 解：(1) × = = = × = 7 ； (2) 3 × 2 = 3 ×2 × =6 = 6 × =30 ； 即m ·n = (m ·n) (a ≥ 0，b ≥ 0) 当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项式的法则计算. 17 典例解析 例3 计算： (1) × ； (2) 3 × 2 ； (3) × . 解：(3) × = = =× = . 18 针对练习 计算： (1) 4×； (2) 6×(-3)； (3) 3×2． 解： (1)原式=； (2)原式=； (3)原式= . 19 典例解析 例4 比较大小： (1) 2 与 3 ； (2) -2 与 -3 . 解：(1) 方法一： ∵ 2 = = ，3 = = ， 又∵ 20 ＜27， ∴ ＜ ， 即2 ＜ 3 . 20 典例解析 例4 比较大小： (1) 2 与 3 ； (2) -2 与 -3 . (1) 方法二： ∵ 2 ＞0 ，3 ＞ 0， ∴(2 ) 2 = 22 ×()2=20，(3 )2=32 ×()2=27， 又∵ 20＜ 27， ∴ (2)2 ＜ (3)2 ， 即2 ＜ 3 . 21 典例解析 例4 比较大小： (1) 2 与 3 ； (2) -2 与 -3 . (2) ∵ -2 = - = - ， -3 =- = - ， 又∵ 52＜ 54， ∴ ＜ ， ∴ -＞ - ， 即-2 ＞ -3 . 22 方法点拨 比较两个二次根式大小的方法: (1) 被开方数比较法，即先将根号外的非负因数移到根号内，当两个二次根式都是正数时，被开方数大的二次根式大. (2) 平方法，即把两个二次根式分别平方，当两个二次根式都是正数时，平方大的二次根式大. (3) 计算器求近似值法，即先利用计算器求出两个二次根式的近似值，再进行比较. 23 课程小结 m ·n = (m ·n) (a ≥ 0，b ≥ 0) · … = (a ≥ 0，b ≥ 0，k ≥ 0) 二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘. · = (a ≥ 0，b ≥ 0). 二次根式的乘法 法则逆用：= · (a ≥ 0，b ≥ 0) 24 随堂演练 1. 计算×的结果为( ) A.2 B.4 C.2 D.4 2. 下列计算正确的是( ) A.×2=6 B.5×5=5 C.4×2=6 D.4×2=8 3. 下列各式化简后的结果为3的是( ) A. B. C. D. B D C 25 随堂演练 4.己知，a=，b=，用含a,b的代数式表示,这个代数式可以是( ) A.a+2b B.a2b C.4a D.ab2 5.在中，，，，则的面积是（     ） A．5 B． C．10 D． 6．当时，化简的结果是（     ） A． B． C． D． 7．把根号外面的因式移到根号内得(    ) A． B． C． D．-1 D A A C 26 随堂演练 8.=_____， =______. 9.=______， =______，=______. 10.一个长方形的长为2cm，宽为cm，则这个长方形的面积 为 cm2. 11.若点P(x，y)在第二象限内，化简的结果是______. 12.已知·的积是一个整数，则正整数a的最小值是_____. 13.若=-a时，则a____0，b____0. 14.比较大小: (1)3_____6； (2)-3_____-2. 12 15 8 7 6 1 - 2 ≤ ≥ ＜ ＜ 27 随堂演练 15．计算 (1)； (2). 解：（1）原式； （2）原式= = = 28 随堂演练 16．计算： (1) ； (2) 2×. 解：（1）原式=； （2）原式=． 29 随堂演练 17.一个长方形的长和宽分别是和2 . 求这个长方形的面积. 解： × 2 = 2 = 2 = 2 × × = 4 . 答：这个长方形的面积为4 . 30 第十九章 二次根式 人教版八年级（初中）数学下册 授课老师：XXX 19.2 二次根式的乘法与除法 19.2.1 二次根式的乘法 31 $