19.3.2二次根式的混合运算 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

第十九章 二次根式 人教版八年级（初中）数学下册 授课老师：XXX 19.3 二次根式的加法与减法 19.3.2 二次根式的混合运算 1 学习目标 1. 通过类比整式混合运算的方法，经历二次根式混合运算的探究过程，能正确运用运算法则和乘法公式进行计算，提升代数运算能力. 2. 在解决实际问题的过程中，学会观察式子结构特征，选择简便运算方法，发展数感和符号意识，体会转化与数形结合的思想. 3. 通过小组合作与成果展示，感受数学运算的逻辑性和严谨性，养成认真细致的运算习惯，增强学好数学的信心. 2 旧知回顾 1.单项式与多项式、多项式与多项式相乘的法则分别是什么? 单项式乘多项式： . 多项式乘多项式： . 2.多项式除以单项式的法则是什么? (am+bm)÷m=am÷m+bm÷m. p(a+b+c)=pa+pb+pc (a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq 3 旧知回顾 3.学习过的乘法公式，你还记得吗? 完全平方公式： . 变式：(a+b)2-(a-b)2 = . 变式：(a+b)2+(a-b)2 = . 变式： a2+ b2 = = . 平方差公式： . (a±b)2=a2±2ab+b2 4ab 2(a2+b2) (a + b)2-2ab (a -b)2+ 2ab (a+b)(a-b)=a2-b2 4 旧知回顾 4.二次根式的乘法法则•＝______(a≥0，b≥0)， 积的算术平方根＝________(a≥0，b≥0). 5.二次根式的除法法则＝____(a≥0，b＞0)， 商的算术平方根＝____(a≥0，b＞0). 6.二次根式的加减时，可以先将二次根式化为_____________，再将被开方数相同的二次根式进行________. • 最简二次根式 合并 5 旧知回顾 7.下列二次根式中，最简二次根式是( ) A. B. C. D. 8.计算：(1) × =_____；(2) ÷ =_____； (3) 12 + 5 =______. 9.填空：(1)(a+b)(a-b)=_______； (2)(a+b)2=____________； (3)(a-b)2=____________. B 24 a2-b2 a2+2ab+b2 a2-2ab+b2 6 课程导入 + 花坛面积： . (+ ) × 学校计划修建一个矩形花坛，长为(+ )米，宽为米，如何计算花坛的面积？ 这个式子属于什么运算？能否用我们学过的方法计算？ 7 新知探究 运算依据: 实数的运算律(交换律，结合律，分配律)，整式的乘法法则和乘法公式(平方差公式，完全平方公式)在二次根式的混合运算中仍然适用. 知识点：二次根式的混合运算 8 新知探究 运算顺序: 无括号的先乘方，再乘除，最后加减. 有括号的先算括号里面的(或先去掉括号). 同级运算，从左到右进行计算. 有绝对值先去绝对值，结果为正。 9 典例解析 例1 计算： (1) (2) 解：(1) = × + × = + = 4 + 3 ； (2) = (4 －3 )× =4× － 3 × = 2 － . 运用了分配率 10 典例解析 例2 计算： 有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数. 解：原式= = ； (2)原式=1+2 = . 11 典例解析 例3 计算： (1) (2) 解：(1) = ()2+3 － 5 －15 = 2 －2 －15 = －13 －2 ； (2) = ()2 － ()2 = 5 －3 = 2 . 运用了多项式乘多项式的法则. 即(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab. 运用了平方差公式.即(a+b)(a-b)=a2-b2 12 针对练习 计算： (1) ； (2) . (2) ． 解：(1) ； 13 新知探究 在前面我们学习了二次根式的除法法则时，学会了怎样去掉分母的二次根式的方法，比如： 如果分母不是单个的二次根式，而是含二次根式的式子，该怎样去掉分母中的二次根式呢？ = = = = = 14 典例解析 例4 已知，，求的值． 解：∵， ， ∴ ． 15 针对练习 化简并求值：已知，求的值． 解：∵， ∴ ． 16 典例解析 例5 计算： ； 解： = [ ]2018 =(－1)2018 =1； 17 典例解析 例5 计算： = [ ]2017 (2 )2 －2 ×() =12017 ×(7+4 ) － = 7+4 － = 7+3. 18 新知探究 二次根式混合运算的几种常见类型及计算方法： (1) (+)=+ ； (2) (+)(+)=+++ ； (3) (+)( － )=( )2 －( )2=a －b； (4) ( ± )2= ( )2 ±2 + ( )2=a ± 2 +b； (5) (+) ÷ = = . 二次根式的混合运算，先要弄清运算类型，再确定运算顺序，最后按照二次根式的相应的运算法则进行. 19 典例解析 例6 某居民小区有块形状为矩形的绿地，长为米，宽 为米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛(即 图中阴影部分)，每个长方形花坛的长为米，宽为米． (1)求矩形的周长．（结果化为最简二次根式） (1) 解：矩形的长为米，宽为米， ∴矩形的周长为 (米)． 答：矩形的周长为米． A D B C 20 典例解析 例6 某居民小区有块形状为矩形的绿地，长为米，宽为米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛(即图中阴影部分)，每个长方形花坛的长为米，宽为米． (2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为 6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ (2) 解：通道的面积为 （平方米）， 则购买地砖需要花费（元）．答：购买地砖需要花费336元． A D B C 21 针对练习 为了表示对老师的敬意，张昊同学特地做了两张大小不同的正方形的画送给老师，其中一张面积为800cm2，另一张面积为450cm2.他想：如果再用金色细彩带把画的边镶上会更漂亮．他手上现有1.2m长的金色细彩带．请你帮他算一算，他的金色细彩带够用吗？如果不够用，还需买多少厘米的金色细彩带？(≈1.414，结果保留整数) 解：镶壁画所用的金色彩带的长为： 4×（+） =4×（20+15） =140 ≈197.96（cm）， 因为1.2m=120cm＜197.96cm， 所以小号的金色彩带不够用. 197.96-120=77.96≈78（cm），即还需买78cm的金色彩带． 22 课堂练习 1. 计算：(1) ( + ) ； (2) ( + ) ÷ ； (3) ( +3)( +2)； (4) ( + )( － ). 解：(1) ( + ) = + ； (2) ( + ) ÷ = ( + ) × = × + × = + = 4+2 ； 23 课堂练习 1. 计算：(1) ( + ) ； (2) ( + ) ÷ ； (3) ( +3)( +2)； (4) ( + )( － ). (3) ( +3)( +2) =5+ 2 + 3+6 = 11+ 5 ； (4) ( + )( － ) = ()2 －()2 = 6 － 2 = 4. 24 课堂练习 2. 计算：(1) (4+ ) (4 － ) ； (2) ( + ) ( － ) ； (3) ( +2)2； (4) (2 － )2. (1) (4+ ) (4 － ) = 42 － ()2 = 16 － 7 = 9 ； (2) ( + ) ( － ) = ()2 －()2 = a －b. 25 课堂练习 2. 计算：(1) (4+ ) (4 － ) ； (2) ( + ) ( － ) ； (3) ( +2)2； (4) (2 － )2. (3) ( +2)2 =3 + 4 + 4 = 7+ 4； (4) (2 － )2 = ()2 －2 ×× + ()2 = 20 － +2 = 22 － . 26 课程小结 二次根式的混合运算 先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号里面的；同级运算从左到右进行. 运算顺序 二次根式中单乘多、多乘多、多除多与整式乘法非常相似，均可以运用整式乘法法则与整式乘法公式进行计算。运用的乘法公式主要是：平方差公式与完全平方公式. 综合运用 分母有理化：找有理化因式，利用平方差公式化简； 含绝对值的运算先去绝对值，注意符号. 特殊技巧 27 随堂演练 1.下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． D 28 随堂演练 2.设实数的整数部分为m，小数部分为n，则(2m+n)(2m﹣n)的值是( ) A． B． C． D． 3.化简的结果为( ) A．－1 B． C． D． 4．如果+＝3，那么a+的值为( ) A．3 B．7 C．9 D．11 A B B 29 随堂演练 5.已知那么的大小关系是（     ） A． B． C． D． 6．计算：_________． 7．已知，，则______． 8．对于任意的正数、定义运算“★”为：a★b，则(4 ★ 2) ×(8 ★9)的运算结果为________． C 4 30 随堂演练 解:（1） = =； 9.计算： (1)； (2)； （2） = = =； 31 随堂演练 (3) = = = =； 9.计算：(3)； (4). (4) = = =． 32 随堂演练 10.化简求值：． 解：原式＝ ＝ ＝； 把代入，得：原式＝． 33 随堂演练 11.观察下列一组等式，解答后面的问题： (＋1)(－1)＝1，(＋)(－)＝1，(＋)(－)＝1， (＋)(－)＝1， (1)根据上面的规律： ①＝________； ②＝________； 34 随堂演练 11.观察下列一组等式，解答后面的问题： (＋1)(－1)＝1，(＋)(－)＝1，(＋)(－)＝1， (＋)(－)＝1， (2)计算：（＋＋＋…＋）×(＋1)； 解：原式 ； 35 随堂演练 11.观察下列一组等式，解答后面的问题： (＋1)(－1)＝1，(＋)(－)＝1，(＋)(－)＝1， (＋)(－)＝1， (3)若a＝，则求的值． 解：∵， ∴， ∴，即， 36 随堂演练 ∴ ． 37 第十九章 二次根式 人教版八年级（初中）数学下册 授课老师：XXX 19.3 二次根式的加法与减法 19.3.2 二次根式的混合运算 38 $