19.2.3最简二次根式 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第十九章 二次根式 人教版八年级（初中）数学下册 授课老师：XXX 19.2 二次根式的乘法与除法 19.2.3 最简二次根式 1 学习目标 1.通过观察实例、归纳特征，理解最简二次根式的定义，能准确判断一个二次根式是否为最简形式. 2. 运用二次根式的性质，掌握将二次根式化为最简二次根式的方法，能规范完成化简与计算. 3. 结合实例，体会最简二次根式在简化运算、解决实际问题中的价值，培养数学表达的严谨性与应用意识. 2 若两座塔的高分别为h₁，h₂，它们的传播半径之比是 ，这个式子能化简吗？如何化简才能更简洁地计算比值？ 3 新知探究 2 ， 3 ， ， ， 特点1：被开方数不含分母； 特点2：被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式. 观察这些式子中的二次根式，它们有什么共同特点？ 4 新知探究 特点1：被开方数不含分母； 特点2：被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式. 2 ， 3 ， ， ， 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化简，使其中的二次根式为最简二次根式，并且分母中不含二次根式. 5 典例解析 例1 下列各式是最简二次根式的是( ) ① ； ② ； ③ ； ④ ；⑤ ； ⑥ ；⑦ . ①⑤⑥ ②③被开方数含有能开得尽平方的因数或因式. ④⑦被开方数含有分母. 6 针对练习 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？不是最简二次根式的，说明理由. ① ； ② ； ③ ； ④ ；⑤ . 解： ①④ 是，满足最简二次根式的条件. ②不是，被开方数含有分母. ③不是，被开方数含有能开得尽平方的因数4. ⑤不是， ∵ = (a2-2a+1)=a(a-1)2， ∴被开方数含有能开得尽平方的因式. 7 新知探究 把分母中的根号化去，通过给分式的分子、分母同时乘以一个合适的式子，使分母变成有理数，且保持分式的值不变，这个过程就叫做分母有理化. 思考 前面我们学习了二次根式的除法法则，你会去掉这样的式子分母的根号吗？ = = = = = = = 还有别的方法吗？ 8 新知探究 化简二次根式的一般方法： 1. 将被开方数中能开得尽平方的因数或因式进行开方. 2. 化去根号下的分母：若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数；若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数. 3. 被开方数是多项式的要先进行因式分解. 9 典例解析 例2 计算：(1) ； (2) ； (3) . 解： (1)解法一： = = = = = . 解法二： = = = . 分母形如的式子，分子、分母同乘以 可使分母不含根号. 10 典例解析 例2 计算：(1) ； (2) ； (3) . 解： (2) = = = = = ； (3) = = = . 11 新知探究 分母中含有二次根式的式子的化简方法： 方法一：先应用分数(式)的基本性质，把分母化成一个完全平方数(式)，再逆用二次根式的除法法则. 方法二：先直接逆用二次根式的除法法则，把分子和分母分别化简，再应用分数(式)的基本性质，使分母中不含二次根式. 12 针对练习 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简. ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ . 解： ② 是最简二次根式. ①不是， = 3 ；③不是， = xy ； ④ 不是， = = = ； ⑤不是， = = = . 13 针对练习 化简： (1)； (2) ； (3) . 解：(1) = = = 2 ； (2) = = = = = ； (3) = = = = = . 14 新知探究 将二次根式化成最简二次根式的一般步骤： 一分：将被开方数(或被开方数的分子、分母)分解因数(式). 二移：把能开得尽平方的因数(式)，利用公式 = a(a≥0)移到根号外. 三化：化去被开方数中的分母. 四约：约分，化为最简二次根式. 15 新知探究 现在来看本章引言中的问题. 如果两个广播电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传播半径之比是 ，这个式子如何化简呢？ = = = = . 可以看出，这个比与地球半径无关.这样，只要知道h1，h2，就可以求出比值. 16 新知探究 二次根式的乘除混合运算 1. 进行二次根式的乘除混合运算时，有括号的先算括号内的，没有括号的按照从左到右的顺序进行. 2. 两个二次根式相乘除，根号前的系数对应相乘除，根号内的被开方数对应相乘除. 17 典例解析 例3 计算：(1) ； (2) 4 ÷ (- ) × . 分析：根据运算法则，按照运算顺序进行计算. 解：(1) = = = 10 ； (2) 4 ÷ (- ) × = (-4) × = - . 18 新知探究 二次根式的乘除混合运算中的四点注意： (1) 带分数要化成假分数. (2) 要注意确定最后结果的符号. (3) 最后结果一般要化为最简二次根式或整式. (4) 在二次根式的乘除混合运算中，有理数的运算法则同样适用. 19 课堂练习 1. 化简，使结果中的二次根式为最简二次根式： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) . 解：(1) = = 4 ； (2) = = 2 ； (3) = = = = ； 20 课堂练习 1. 化简，使结果中的二次根式为最简二次根式： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) . (4) = = = ； (5) = = ； (6) = = = . 21 课堂练习 2. 计算： (1) ； (2) ； (3)； (4) . 解：(1) = = ； (2) = = = ； (3) = = = ； (4) = = = . 22 课堂练习 3. 一个长方体的体积V=4 ，高h=3 ，求它的底面积S. 解： ∵ V=Sh， V=4 ，h=3 ， ∴ S= = = = . 故这个长方体的底面积S为 . 23 课程小结 分母有理化 “一分”“二移”“三化”“四约” 1. 被开方数不含分母 2. 被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式 最简二次根式 特点 化简步骤 相关概念 在二次根式的乘除混合运算中，有理数的运算法则同样适用. 24 随堂演练 1．下列式子中，属于最简二次根式的是（　 ） A． B． C． D． 2．的倒数是（　 ） A． B． C． D． 3．若成立，则的值可以是（     ） A．-4 B．2 C．4 D．5 B A B 25 随堂演练 4.化简 时，最好将分子、分母都乘以( ) A. B. C. D. 5.下列计算正确的是( ) A. ÷ = = B. ÷ = C. ÷ = = D. = D C 26 随堂演练 6.二次根式 ， ， ， ， 中，最简二次根式是 . 7.已知长方形的面积是48cm2， 其中一边的长是cm ,则另一边的长 是 cm. ， 27 随堂演练 8. 把下列二次根式化成最简二次根式： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 解：(1) = = 4 ； (2) = = 2 ； (3) = = = ； (4) = = . 28 随堂演练 9. 计算：(1) ÷ × ； (2) ÷ × (- )； 解：(1) ÷ × = = =2 ； (2) ÷ × (- ) = - = - = - = -； 29 随堂演练 9. 计算：(3) ÷ · ； 解： ÷ · = = = 4 ； 30 随堂演练 9. 计算：(4) ÷(- ) × . 解：方法一：÷(- ) × = ×(- ) × = (- × ) × = - = - . 方法二：÷(- ) × = [1 ÷ (- ) ×] × = (- × ) × = - = - . 31 随堂演练 10.若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 解：∵ 与是被开方数相同的最简二次根式. 解得： ∴符合题意 . 32 第十九章 二次根式 人教版八年级（初中）数学下册 授课老师：XXX 19.2 二次根式的乘法与除法 19.2.3 最简二次根式 33 $