19.1.1二次根式的概念 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

致－同－学 人教版八年级（初中）数学下册 授课老师：XXX 1 亲爱的同学们，春风拂面，暖意渐浓，我们带着满满的元气重返校园，再次相聚在这充满思维碰撞的数学课堂，共同拉开八年级下学期学习的序幕.看到大家如春日新苗般活力满满的脸庞，老师心里满是欢喜. 这一学期，是我们数学学习路上承前启后的重要阶段，老师期待和每一位同学一起，在探索中收获知识，在坚持中见证成长！ --致同学-- 2 在数学学习中，知识的积累很重要，但优秀的品质更是我们前行的底气. 拥有好的品质，能让我们在解题时更有思路，在探索时更有勇气. --致同学-- 3 新学期，“坚持”就是我的底气！再难的数学题，我都要迎难而上，一步一个脚印拆解分析、反复钻研. 只要不放弃，就没有攻克不了的难关，我坚信自己一定能突破自我，遇见更棒的自己！ --致同学-- 4 我坚信“合作”能让我们走得更远！一个人或许能走得快，但一群人一定能走得远. 这学期我要主动搭起互助的桥梁，和伙伴们分享思路、互补不足，携手并肩冲刺，我们都能成为更优秀的学习者！ --致同学-- 5 “严谨细致”是我新学期的必胜法宝！我要彻底和粗心说再见，审题时字字留心，计算时步步精准，检查时一丝不苟. 细节决定成败，只要我坚持做好每一个环节，就一定能收获满意的成绩，成为细心的数学能手！ --致同学-- 6 --致同学-- “勇敢”表达，就是我新学期的成长宣言！课堂上我要主动举手，大胆分享自己的解题想法，哪怕说错也不怕——每一次表达都是一次进步，每一次尝试都是一次突破！我一定能克服胆怯，变得更自信、更闪耀！ 7 坚持、合作、严谨、勇敢，这四个闪闪发光的品质，不仅是你们对新学期的承诺，更是你们成长路上最珍贵的财富. 有了这些品质的陪伴，你们在学习的道路上，一定会少走弯路、更有力量！ --致同学-- 8 八下的数学学习，或许会有不少新的挑战，但也藏着很多有趣的知识等着我们去发现. 而你们刚才提到的坚持、合作、严谨、勇敢，正是我们应对挑战、探索新知的“秘密武器”. --致同学-- 9 坚持能让我们在难题面前不低头，一点点找到解题的突破口；合作能让我们集思广益，从不同的角度理解知识；严谨能让我们避开粗心的陷阱，把每一个知识点都学扎实；勇敢能让我们敢于尝试、勇于提问，不断突破自己的局限. --致同学-- 10 未来的日子里，老师会一直陪伴在大家身边，和你们一起践行这些优秀品质，一起攻克难关、收获进步. --致同学-- 11 新的学期，新的开始，愿我们都能带着对优秀品质的坚守，以饱满的热情、坚定的信念投入到数学学习中.相信只要我们携手并肩、勇往直前，就一定能在数学的世界里收获满满，成为更好的自己！ --致同学-- 12 现在，就让我们带着这份初心和勇气，一同开启新学期的数学探索之旅吧！ --致同学-- 13 第十九章 二次根式 人教版八年级（初中）数学下册 授课老师：XXX 19.1 二次根式及其性质 19.1.1 二次根式的概念 14 学习目标 1. 理解二次根式的概念，掌握二次根式有意义的条件，能判断一个式子是否为二次根式，并会求二次根式中字母的取值范围. 2. 通过实际问题抽象出二次根式的过程，体会数学建模思想；通过思考、练习，提升分析问题、解决问题的能力. 3. 感受二次根式在实际生活中的应用，体会数学与生活的联系，激发学习兴趣. 15 旧知回顾 名称 定义 表示方法 性质 平方根 算术平方根 平方根与算术平方根 若 (a为实数)，则x叫做a的平方根 ① 正数有两个平方根，互为相反数； ② 0的平方根是0； ③ 负数没有平方根. 正数a的正的平方根； 0的算术平方根是0 ①被开方数(非负性)； ②结果 (非负性). ------双重非负性 16 旧知回顾 ① 4的平方根是 ，算术平方根是 . ②  表示的是9的 .(填“平方根”或“算术平方根”)， 其值为 . ③ 若 x2=16，则 x=( )；若 ，则 x=( ). ④ 判断：a. -5 是25的平方根( )；b. -3 ( ). ⑤ 式子  一定无意义吗？请举例说明. 不一定，当  时，如 ，则 . 回答下列问题： ±2 2 算术平方根 3 ±4 16 ✔ ✘ 17 情境导入 18 情境导入 O r R A B h R+h C 塔高h 信号传播最远距离r 地球半径R 同学们，为什么电视塔建得越高，信号覆盖范围越广？ 19 情境导入 若塔高h从0.1km增加到0.4km，传播半径r是否也会从10km增加到40km？ ，R ≈ 6 400km. O r R A B h R+h C ∵ R2+r2=(R+h)2 ∴ r2=2Rh+h2 因为地球半径 R 远大于塔高 h，h2 的值可以忽略不计，最终近似得到信号覆盖半径公式： 20 情境导入 如果两个广播电视塔的高分别是h1 km，h2 km，那么它们的传播半径之比是 ，与以往学过的整式和分式不同，这个式子中含有根号，如何化简这个式子呢？ 解决上面的问题需要二次根式的有关知识. 本章我们将在已学的算术平方根的基础上，类比整式、分式，学习二次根式的概念、性质和运算法则. 通过本章的学习，为后面的勾股定理、一元二次方程等内容的学习打下基础. 21 新知探究 思考 用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征： (1)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为 m. (2)一个大正方形的面积是一个边长为a的正方形与另一个边长为1的正方形的面积之和，则大正方形的边长为 . 22 新知探究 思考 用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征： (3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t (单位：s)与开始落下时离地面的高度 h (单位：m)的关系近似为h=5t2. 如果用含有h的 式子表示 t ，那么 t 为 . 23 新知探究 上面问题的结果 ，，. (1) 这些式子分别表示什么意义？ 分别表示65，a2+1， 的算术平方根. (2) 这些式子有什么共同特征？ ① 含有“”，根指数都为2. ②被开方数(式)为非负数. (3) 是否存在，为什么？ 不存在，因为实数范围内，负数没有算术平方根. 24 新知探究 一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，二次根式也是代数式. 注意：(1) a 既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子. (2) 已知 是二次根式，就意味着满足a ≥0. ① 外在特征：含有“” ② 内在特征：被开方数(式) a ≥0. 两个必备特征 25 新知探究 第一步：看外形 —— 是否带二次根号 “” （根指数 2 可省略，若根指数是 3、4 等，直接排除） 第二步：看内部 —— 被开方数是否≥0 （若被开方数是代数式，需判断其是否恒非负或满足非负条件） 口诀总结：先看 “” 根指数，再看被开方数非负. 两步都满足，才是二次根式！ 判断二次根式 26 针对练习 指出下列哪些是二次根式？ (1) （ ） (2) （ ） (3) （ ） (4) （ ） (5) （ ） (6) （ ） (7) （ ） (8) （ ） ✔ ✘ ✘ ✔ ✔ ✔ ✘ ✔ 27 新知探究 只有在满足条件a≥0时才叫二次根式. 即a≥0是为二次根式的前提条件. 1.二次根式有意义的条件是被开方数(式)为非负数，反之也成立， 即： 2.二次根式无意义的条件是被开方数(式)为负数，反之也成立， 即： 有意义 a ≥ 0 无意义 a ＜ 0 28 典例解析 例1 当x满足什么条件时， 在实数范围内有意义？ 解：由x － 2 ≥ 0，得 x ≥ 2. 当x ≥ 2时， 在实数范围内有意义. 29 针对练习 1. 当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) ； (2) ； (3) . 解：(1) 由a-1 ≥0，得a ≥1. 所以当a ≥1时， 在实数范围内有意义； (2) 由5-a ≥ 0，得a ≤ 5. 所以当a ≤ 5时， 在实数范围内有意义； (3) 无论  取何实数，，因此 ，进而 . 所以当a为任意实数时， 在实数范围内均有意义. 30 针对练习 2. 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) ； (2) . 解（1）由题意得x-1＞0， ∴x＞1. （2）∵被开方数需大于或等于零， ∴3+x ≥ 0， ∴x ≥ -3. ∵分母不能等于零，∴ x-1≠0，∴ x≠1. ∴x≥-3 且x≠1. 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零. 31 总结提升 1. 单个二次根式如有意义的条件： . 2. 多个二次根式相加如 + +... 有意义的条件： . 3. 二次根式作为分式的分母如 或 有意义的条件： . 4. 二次根式与分式的和如 或+ 有意义的条件： . A≥0 A＞0 A≥0且B≠0 A ≥ 0；B ≥ 0...N ≥ 0； 32 新知探究 思考 当x满足什么条件时， 在实数范围内有意义？ 呢？ 代数式 x 满足的条件 x 取任意实数 x 取非负数 33 典例解析 例2 若，求a-b+c的值. 解：因为 ≥0， ≥0，(c-4)2 ≥0， 由题意可知a-2=0，b-3=0，c-4=0， 解得a=2，b=3，c=4. 所以a-b+c = 2-3+4=3. 多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式. 34 针对练习 已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根． 解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0． 解得x=1，y=2． ∴x+4y=1+2×4=9， ∴x+4y的平方根为±3. 35 典例解析 例3 已知 y = + +8，求3x+2y的算术平方根. 解：由题意得 ∴x=3，y=8， ∴3x+2y=25. ∵25的算术平方根为5， ∴3x+2y的算术平方根为5． 若y = + +b，则根据被开方数大于等于0，可得a = 0. 36 针对练习 已知a，b为等腰三角形的两条边长， 且a，b满足b=，求此三角形的周长． 解：由题意得 ∴a=3， ∴b=4. 当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10； 当b为腰长时，三角形的周长4+4+3=11． 37 典例解析 例4 (1)当x = -2时，二次根式 的值是 ； (2)当x = 时，二次根式的值是 ； (3)当x = 2时，二次根式的值是 . 把未知数的值代入二次根数求值，注意化简. 4 3 38 针对练习 (1) 当x = -6时，二次根式的值是 ； (2) 当a = 7时，二次根式的值是 ； (3) 当x = -1时，二次根式的值是 ； (4) 当a = 5时， 的值是 . 2 2 39 课程小结 二次根式 代入求值 定 义 一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，二次根式也是代数式. 被开方数大于等于0，即a≥0 有意义的条件 若二次根式出现在分母时，还需保证分母不为0. 在有意义的条件下求字母的取值范围 抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集. 40 随堂演练 1.下列式子：①；②；③；④；⑤，是二次根式的有（     ） A．①③⑤ B．①③ C．①②③ D．①②③⑤ 2.使分式有意义的x的取值范围是（     ） A． B．且 C． D． A B 41 随堂演练 3.使得有意义的x值有（     ） A.0个 B.1个 C.无数个 D.以上都不对 4.使式子 有意义的x的取值范围在数轴上表示为（     ） A B A. -3 -2 -1 0 1 2 B. -3 -2 -1 0 1 2 C. -3 -2 -1 0 1 2 D. -3 -2 -1 0 1 2 42 随堂演练 5．已知，的平方根是（     ） A．16 B．8 C． D． 6．若、为实数，且，则的值（     ） A．-2 B．1 C．2 D．-1 C D 43 随堂演练 7．代数式有意义，则x的取值范围是______． 8．已知则ab=_____． 9．已知等腰三角形ABC的两边满足，则此三角形的周长为_______. 10．若，则________. x≥4 6 15 -2021 44 随堂演练 11. 要画一个面积为18cm2的长方形，使它的长与宽之比为3:2，它的长、宽各应取多少？ 解：设长方形的长、宽分别为3xcm、2xcm，依题意得 3x•2x =18 6x2 =18 x2 =3 解得 x= 答：矩形的长、宽分别为3cm、2cm. 45 随堂演练 12．先化简，再求值：，其中实数x、y满足 ． 解：    ， ∵，x−3≥0，6−2x≥0， ∴x=3，y=1 ，      ∴原式． 46 第十九章 二次根式 人教版八年级（初中）数学下册 授课老师：XXX 19.1 二次根式及其性质 19.1.1 二次根式的概念 47 sundaymorning null 78785.18 eng - iTunPGAP 0�� eng - iTunNORM 0000076D 00000697 00003B34 000040D5 00007AA7 00007AA7 0000761C 000072FF 00004BEB 000089A7� eng - iTunSMPB 00000000 00000210 00000830 000000000034F9C0 00000000 002FF58D 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000� $