精品解析：福建省漳州市诏安县2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

诏安县2025-2026学年下学期期中质量监测八年级 数学试卷 （考试时间120分，全卷满分150分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 一个三角形的两个内角分别是和，则第三个内角的度数是（ ） A. B. C. D. 2. 若成立，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（  ） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕着点顺时针旋转得到，若，，则旋转的角度是( ) A. 15° B. 30° C. 45° D. 75° 6. 某超市花费元购进苹果千克，销售中有的正常损耗，为避免亏本（其它费用不考虑），售价至少应定为多少元？设售价定为每千克元时不亏本，根据题意列不等式是（　　） A. B. C. D. 7. 如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D、E可在槽中滑动，若∠BDE=72°，则∠CDE的度数是（　　）    A. 63° B. 65° C. 75° D. 84° 8. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：河、爱、我、仙、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱美 B. 仙河游 C. 我爱仙河 D. 美我仙河 9. 对一个实数按如图所示的程序进行操作，计算机运行从“输入一个实数”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行两次操作才停止，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等边中，于，延长到，使，是的中点，连接并延长，交于，的垂直平分线分别交、于点、点，连接、，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 11. 因式分解：______． 12. 若不等式（1-a）x > 1-a的解集是x< 1，则a的取值范围是________ 13. 如图是的边的垂直平分线，D为垂足，交于点E，．则的周长是__________． 14. 甲、乙两个同学分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，则正确的分解结果为_____． 15. 如图等腰三角形的底边长为，腰长为，一动点P(不与B，C重合)，在底边上从B向C以的速度移动，当P运动________秒时，三角形是直角三角形． 16. 如图，点是边上的一点，且，点是直线上一动点，连接，并绕点逆时针旋转，得到线段，连接，若运动过程中的最小值为，则_____． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 18. 因式分解： （1）； （2）． 19. 如图，已知，于点，于点，．求证：． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形边长都是，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画三角形． （1）在图①中画一个，使三角形的面积为3； （2）在图②中画一个，使三角形为等腰三角形且底边长为，腰长为； （3）在图③中画一个，使三角形为直角三角形且一条直角边长为，斜边长为． 21. 已知关于x、y的方程组 （1）若此方程组的解满足，求a的取值范围； （2）在（1）的条件下，若关于m的不等式的解集为，求满足条件的a的整数值． 22. “滨滨”和“妮妮”是2025年哈尔滨亚冬会的吉祥物．商丘某商家连续两周销售“滨滨和“妮妮”摆件，销售情况如下表所示． 销售个数（个） 销售额（元） 滨滨 妮妮 第1周 20 15 3080 第2周 30 10 3520 （1）分别求出“滨滨”和“妮妮”摆件的零售价格； （2）根据消费者需求，该商家决定购进这两种摆件共100个，其中“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，至少需要购买多少个“滨滨”摆件？ （3）在题（2）的条件下，若“滨滨”和“妮妮”摆件的进价分别是68元/个和58元/个，商店售完这100个摆件能否实现利润超过2310元的目标？若能，给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 23. （1）如图（a），BD平分，CD平分．试确定和的数量关系． （2）如图（b），BE平分，CE平分外角．试确定和的数量关系． （3）如图（c），BF平分外角，CF平分外角．试确定和的数量关系． 24. 我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大（小）值等． 例如：分解因式：． 再例如：求代数式的最小值： ，因为，所以当时，有最小值，最小值是． 阅读材料，用配方法解决下列问题： （1）分解因式：①___________；②___________． （2）①求多项式的最大值；②若，试求的最小值． （3）①若，，，求的值；②已知、、是的三边，且满足，求第三边的取值范围． 25. 如图①，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明． （1）如图②，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； （2）如图③，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若求线段的长； （3）若为中点，连接，，，当绕点逆时针旋转时，最大值为，最小值为，则的值为_____ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 诏安县2025-2026学年下学期期中质量监测八年级 数学试卷 （考试时间120分，全卷满分150分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 一个三角形的两个内角分别是和，则第三个内角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形三个内角的和是180°是解题的关键．根据三角形三个内角的和是计算即可． 【详解】解：一个三角形的两个内角分别是和，则第三个内角的度数是， 故选：C． 2. 若成立，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，故本选项正确； B、∵， ∴，故本选项错误； C、∵， ∴， ∴，故本选项错误； D、∵， ∴，故本选项错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变，熟练掌握性质是解题的关键． 3. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义逐项作出判断即可． 【详解】解：A. ,是乘法运算，不是因式分解，不合题意； B. ，变形错误，不是因式分解，不合题意； C. ，是因式分解符合题意； D. ，没有化为整式的积的形式，不是因式分解，不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫因式分解． 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解不等式组及在数轴上表示解集，解题的关键是正确求解两个不等式．分别解出两个不等式再数轴上表示出来即可得到答案． 【详解】解：， 由①得，， 由②得 ， 在数轴上表示为： 故选A． 5. 如图，将绕着点顺时针旋转得到，若，，则旋转的角度是( ) A. 15° B. 30° C. 45° D. 75° 【答案】D 【解析】 【分析】先根据旋转的定义可得为旋转角，再根据角的和差即可得． 【详解】由题意得：为旋转角， ，， ， 即旋转的角度是， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转角、角的和差等知识点，正确找出旋转角是解题关键． 6. 某超市花费元购进苹果千克，销售中有的正常损耗，为避免亏本（其它费用不考虑），售价至少应定为多少元？设售价定为每千克元时不亏本，根据题意列不等式是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设售价为元/千克，因为销售中有的水果正常损耗，故千克苹果损耗后的质量为，根据题意列出不等式即可． 【详解】解：设售价为元/千克， 根据题意得：， 故选：． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，根据题意列出不等式是解答本题的关键． 7. 如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D、E可在槽中滑动，若∠BDE=72°，则∠CDE的度数是（　　）    A. 63° B. 65° C. 75° D. 84° 【答案】D 【解析】 【分析】根据OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE=3∠ODC=72°，即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数． 【详解】∵OC=CD=DE， ∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC， ∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC， ∵∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=72°， ∴∠ODC=24°， ∵∠CDE+∠ODC=180°﹣∠BDE=108°， ∴∠CDE=108°﹣∠ODC=84°． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键． 8. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：河、爱、我、仙、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱美 B. 仙河游 C. 我爱仙河 D. 美我仙河 【答案】C 【解析】 【分析】先对原式进行因式分解，再根据因式与汉字的对应关系得到密码信息即可． 【详解】解：∵ ， ∵对应我，对应爱，对应仙，对应河， ∴结果呈现的密码信息可能是：我爱仙河． 9. 对一个实数按如图所示的程序进行操作，计算机运行从“输入一个实数”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行两次操作才停止，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了程序流程图，一元一次不等式组的应用，根据程序运行一次的结果小于等于，运行两次的结果大于，可得出关于的一元一次不等式组，求解即可，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得， ， 解得：， 故选：C． 10. 如图，在等边中，于，延长到，使，是的中点，连接并延长，交于，的垂直平分线分别交、于点、点，连接、，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握勾股定理和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．根据等边三角形的性质和三角形外角的性质得，由，可得，可判断①正确；设，则，表示和的长，可判断②正确；③作辅助线，构建三角形全等，先根据角平分线的性质得，由线段垂直平分线的性质得，证明，可判断③正确；设设则，，再表示出与即可判断④不正确． 【详解】解：是等边三角形， ，， ，是的中点， ， ， ， ， ， ，故①正确； 设，则， ，， 中，，， ， 故②不正确； ③如图，过作于，连接， 在等边三角形中， ， 平分，， ， ， 是的垂直平分线， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，故③正确； 设 在中，， ，是的中点，，则， 设则，， 是等边三角形，， ， ， ， ， ， 故④错误， 故①③正确． 故选：B． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】提取公因式即可完成因式分解. 【详解】解：. 12. 若不等式（1-a）x > 1-a的解集是x< 1，则a的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由不等式的性质，判断得到答案即可． 【详解】解：∵不等式（1-a）x > 1-a的解集是x< 1， ∴1-a＜0， 解得： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，不等式的解集，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 13. 如图是的边的垂直平分线，D为垂足，交于点E，．则的周长是__________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ， ∴的周长， 故答案为：13． 14. 甲、乙两个同学分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，则正确的分解结果为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分别运算和，确定、的值，然后进行因式分解即可． 【详解】解：∵甲看错了，分解结果为， ∴由，可知 ， 又∵乙看错了，分解结果为， ∴由，可知， ∴， ∵， ∴正确的分解结果为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了整式乘法运算以及因式分解的知识，解决本题的关键是理解题意，求出、的值． 15. 如图等腰三角形的底边长为，腰长为，一动点P(不与B，C重合)，在底边上从B向C以的速度移动，当P运动________秒时，三角形是直角三角形． 【答案】或4 【解析】 【分析】本题综合考查了等腰三角形的性质、勾股定理等内容，要求学生能通过做辅助线构造直角三角形，列出关系式，求出对应线段的长，本题蕴含了分类讨论的思想方法． 先利用等腰三角形“三线合一”求出、以及边上的高，再分别讨论和为直角的情况，利用勾股定理分别求出两种情况下的长，即可求出所需时间． 【详解】解：如图，作， ∵， ∴， 当点P运动到与点D重合，即为直角时，是直角三角形， 此时， ∴运动时间为(秒)； 当时，设 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 所以运动时间为(秒)； 综上可得：当P运动4秒或秒时，是直角三角形； 故答案为：或4． 16. 如图，点是边上的一点，且，点是直线上一动点，连接，并绕点逆时针旋转，得到线段，连接，若运动过程中的最小值为，则_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质等知识点，确定取最小值的条件是解题的关键． 过点F作，过点E作，过点E作，过点A作，根据矩形的判定和性质得出四边形为矩形，，再由旋转的性质及全等三角形的判定和性质得出，确定点F的运动轨迹为直线，设，则，，利用含30度角的直角三角形的性质得出当时，有最小值为：，即可求解． 【详解】解：过点F作，过点E作，过点E作，过点A作，如图所示： ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵旋转 ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F的运动轨迹为直线， ∵， ∴设，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，有最小值为：， 解得：， ∴． 故答案为：6． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】；数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，将一元一次不等式组的解集在数轴上表示出来，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．先分别解不等式①和②，然后求公共解，得到不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解集是； 在数轴上表示为： 18. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． （1）先提取公因式，再用完全平方公式分解； （2）先提取公因式，再用平方差公式分解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 19. 如图，已知，于点，于点，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键 根据题意得出，再由直角三角形全等的判定方法证明即可． 【详解】证明：∵ ∴ ∴ ∵ ∴与是直角三角形 ∵在与中， ， ∴ 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形边长都是，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画三角形． （1）在图①中画一个，使三角形的面积为3； （2）在图②中画一个，使三角形为等腰三角形且底边长为，腰长为； （3）在图③中画一个，使三角形为直角三角形且一条直角边长为，斜边长为． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3）图见解析 【解析】 【分析】（1）底边取，高取即可满足要求； （2）底边为2易取，根据勾股定理可知当三角形的直角边分别为3和1时则斜边为，由此画三角形即可； （3）由勾股定理可知当一条直角边长为，斜边长为5时，另一条直角边为，由此画三角形即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 上图中可知，，， ∴，满足题意要求． 【小问2详解】 解：如图所示： 当三角形的直角边分别为3和1时则斜边为， 上图中，、均为直角边分别为和时对应的斜边， 即，且两个边长为的直角边恰好能组成． 【小问3详解】 解：如图所示： 图中方格为， 若要有一条边长为，则需满足直角边为和， 上图中满足该情况，故， 同理根据勾股定理可得， 另一条直角边需为，图中的长度为． 【点睛】本题考查了勾股定理以及格点三角形的画法；已知三角形的底边，关键是掌握勾股定理． 21. 已知关于x、y的方程组 （1）若此方程组的解满足，求a的取值范围； （2）在（1）的条件下，若关于m的不等式的解集为，求满足条件的a的整数值． 【答案】（1） （2）、0 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式； （1）解方程组得到，再根据列出关于的不等式，可解得的范围； （2）结合（1），由为整数，可得的值． 【小问1详解】 解：， 得：， ∴， ∵， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵关于的不等式的解集为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴满足条件的的整数值是、0． 22. “滨滨”和“妮妮”是2025年哈尔滨亚冬会的吉祥物．商丘某商家连续两周销售“滨滨和“妮妮”摆件，销售情况如下表所示． 销售个数（个） 销售额（元） 滨滨 妮妮 第1周 20 15 3080 第2周 30 10 3520 （1）分别求出“滨滨”和“妮妮”摆件的零售价格； （2）根据消费者需求，该商家决定购进这两种摆件共100个，其中“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，至少需要购买多少个“滨滨”摆件？ （3）在题（2）的条件下，若“滨滨”和“妮妮”摆件的进价分别是68元/个和58元/个，商店售完这100个摆件能否实现利润超过2310元的目标？若能，给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）“滨滨”“妮妮”摆件的零售价都为88元/件 （2）至少需要购买67个“滨滨”摆件 （3）能，可以购买67个“滨滨”摆件，33个“妮妮”摆件或者购买68个“滨滨”摆件，32个“妮妮”摆件 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用． （1）设“滨滨”摆件的零售价格为元/件，“妮妮”摆件的零售价格为元/件，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案； （2）设购进“滨滨”摆件个，则购进“妮妮”摆件个，根据题意确定的取值范围，即可确定答案； （3）根据题意求出，进而作答即可. 【小问1详解】 解：设“滨滨”摆件的零售价为x元/件，“妮妮”摆件的零售价为y元/件，依题意，列得方程组得， 解得 答：“滨滨”“妮妮”摆件的零售价都为88元/件； 【小问2详解】 解：设购进“滨滨”摆件m个，则购进“妮妮”摆件个， ∵“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件的数量的2倍， ， 解得：． ∵m应为正整数， ∴可得m至少为67． 答：至少需要购买67个“滨滨”摆件； 【小问3详解】 解：商店售完这100个摆件能实现利润超过2310元的目标． 根据题意，得：， 解得： ， ∵m应为正整数， ∴m可以取67，68． 当时，；当时，． 答：可以购买67个“滨滨”摆件，33个“妮妮”摆件或者购买68个“滨滨”摆件，32个“妮妮”摆件． 23. （1）如图（a），BD平分，CD平分．试确定和的数量关系． （2）如图（b），BE平分，CE平分外角．试确定和的数量关系． （3）如图（c），BF平分外角，CF平分外角．试确定和的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义即可确定和的数量关系； （2）根据三角形的外角性质以及角平分线的定义可得，进而可得和的数量关系； （3）根据三角形的内角和定理可得，，结合角平分线的定义，根据即可确定和的数量关系． 【详解】（1）在中，． 在中，． ∵，， ∴ ； （2）在中，． 在中，． ∵，， ∴． （3）在中，． 在中，． ∵，． ，， ∴ ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 24. 我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大（小）值等． 例如：分解因式：． 再例如：求代数式的最小值： ，因为，所以当时，有最小值，最小值是． 阅读材料，用配方法解决下列问题： （1）分解因式：①___________；②___________． （2）①求多项式的最大值；②若，试求的最小值． （3）①若，，，求的值；②已知、、是的三边，且满足，求第三边的取值范围． 【答案】（1）①② （2）①② （3）①② 【解析】 【分析】（1）①先在一次项后加上，再减去，构造完全平方式，最后用平方差公式分解；②在一次项后加上​，再减去，得到完全平方式后用平方差公式分解； （2）①先提取负号，将括号内的二次三项式配方，利用完全平方式的非负性，求出最大值；②对和分别配方，构造完全平方式，再利用非负性求最小值； （3）① 将原式转化为，代入，，计算；②先将等式配方，求出和的值，再利用三角形三边关系确定的范围． 【小问1详解】 解：① ； ② ． 答：①②． 【小问2详解】 解：① ， ，， 当，有最大值； ② ， 且， 当且，即，时， 取得最小值． 答：①②． 【小问3详解】 解：①，，， ，，， ； ②， ， ，即， ，， ，， 、、是的三边， ， 故． 答：①②． 【点睛】本题考查配方法的应用，因式分解，代数式的最值问题，三角形三边关系，代数恒等变形，通过添加和减去适当的项，构造完全平方式是解题关键． 25. 如图①，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明． （1）如图②，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； （2）如图③，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若求线段的长； （3）若为中点，连接，，，当绕点逆时针旋转时，最大值为，最小值为，则的值为_____ 【答案】（1）依然成立，理由见解析 （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出相等角和边，利用证明，即可得出结论； （2）同（1）证明，得出，，然后利用勾股定理进行求解即可； （3）利用勾股定理求出斜边长度，利用勾股定理和直角三角形斜边中线定理求出，然后根据旋转的性质得出最值，最后利用平方差公式求解即可． 【小问1详解】 解：依然成立，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， 由勾股定理得， ∴， 由勾股定理得； 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵都是等腰直角三角形，， ∴由勾股定理得， ∵为中点， ∴， ∴点在以点为圆心，长为半径的圆上运动， 当点在直线上时，有最大值和最小值， ∴由图可知，的最大值为，最小值为， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，直角三角形斜边中线定理，二次根式的运算，线段最值问题等知识点，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $