精品解析：福建省漳州市长泰区2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

长泰区2025-2026学年第二学期期中素养评价 八年级数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 友情提示：请把所有答案填写（涂）到答题纸上!请不要错位、越界答题! 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂．） 1. 下列各式中，分式的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，根据分式定义判断即可，分式定义为：若A，B是两个整式（），且B中含有字母，则式子是分式． 【详解】解：∵ 选项A的分母含有字母，符合分式定义； 选项B的分母为常数，不含字母，是整式； 选项C是常数，属于整式； 选项D的分母为常数，不含字母，是整式． 2. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它只比大0.0000002，称为密率，将数据0.0000002用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：将数据0.0000002用科学记数法表示为． 3. 在直角坐标系中，点关于x轴对称的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：点关于x轴对称的点是． 4. 下列分式变形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．，故A错误； B．当时无意义，故B错误； C．，故C错误； D．，变形正确． 5. 为了保障艺术节表演的整体效果，某北校在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，则点A的坐标为，点B的坐标为，下列表示其他位置的点的坐标中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴建立平面直角坐标系如图所示： ， 由图可得：，，，， 故表示其他位置的点的坐标中正确的是． 6. 在平行四边形中，对角线、相交于点，若，，，则的周长为（ ） A. 21 B. 12 C. 35 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质对角线平分，对边相等，结合已知条件，即可求出，，的长度，即可求出的周长． 【详解】解：平行四边形中， ，， ，，． 的周长为． 7. 点，，均在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数上点的特征，根据反比例函数求出点的坐标是解题的关键． 通过直接计算各点的函数值，比较大小即可． 【详解】解：∵点在函数上， ∴； ∵点在函数上， ∴； ∵点在函数上， ∴； ∴， 故选：B． 8. 如图，在中，平分交于点E，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，，推出，，证是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，进而求解即可． 【详解】解：平分， ， 平行四边形中，，， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ． 9. 为了探究浮力的大小与哪些因素有关，物理实验小组进行了相关实验．如图1，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示数（单位：N）与铁块下降的高度x（单位：）之间的关系如图2所示．下列说法正确的是（ ） A. 铁块入水之前，烧杯内水的高度为 B. 铁块的高度为 C. 当弹簧测力计的示数为时，此时铁块距离烧杯底 D. 当铁块下降的高度为时，该铁块所受到的浮力为 【答案】C 【解析】 【分析】由图象即可判断A，B；利用待定系数法求出段的解析式为，然后判断C，D选项． 【详解】解：∵烧杯高度为，铁块从烧杯口到下表面接触水时移动了， ∴烧杯内水的高度为，故A错误，不符合题意； ∵烧杯有出水口， ∴水平面在铁块下移过程中保持不变． ∴铁块的高度为段铁块移动的距离，为，故B错误，不符合题意； 设段的解析式为 将，代入得， 解得 ∴段的解析式为 ∴当时， 解得 ∴ ∴此时铁块距离烧杯底，故C正确； ∵当铁块下降高度为时， ∴拉力的大小为， ∵铁块的重力为， ∴铁块所受到的浮力为，故D错误，符合题意． 10. 图，点B为反比例函数（，）图象上的一点，点A为x轴正半轴上一点，将线段绕点A顺时针旋转，点B的对应点C恰好也在函数的图象上，若B、C的纵坐标分别为4和1，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，过点C作轴于点E，过点B作轴于点F，首先证得，得出，，设点，则，根据点B和点C都在函数的图象上列方程求解． 【详解】解：如图，过点C作轴于点E，过点B作轴于点F， ∴， ∴， 由旋转知，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵B、C的纵坐标分别为4和1， ∴，， ∴设点，则， ∴ ∴ ∴ 代入得，． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸的相应位置） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，即分母不能为零，因此此题可根据分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：由分式有意义的条件，分母，解得； 故答案为． 12. 一次函数与轴的交点坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入一次函数解析式即可求出对应纵坐标，进而得到交点坐标． 【详解】解：在中，当时，， 一次函数与轴的交点坐标是． 13. 中，若∠A＝60°，则∠B=____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质即可得． 【详解】解：在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 14. 如图，一次函数和的图象交于点P，则关于x、y的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，两一次函数的交点的横纵坐标是这两个一次函数的解析式联立得到的二元一次方程组的解，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数和的图象交于点， ∴关于x、y的二元一次方程组的解是， 故答案为：． 15. 若关于x的分式方程有解，则m的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】将分式方程去分母转化为整式方程．求出整式方程的解，根据分式方程有解的条件，解不能使最简公分母为零，即可确定的取值范围． 【详解】解： 方程两边同乘最简公分母，得： 展开并整理整式方程，得： 系数化为，得： ∵分式方程有解 ∴，即 解得：． 16. 如图所示，直线 y=x+2 与两坐标轴分别交于A、B 两点，点 C 是 OB 的中点，D、E 分 别是直线 AB、y 轴上的动点，则△CDE 周长的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出A，B两点坐标，得到C点坐标，然后分别求出C点关于直线AB与y轴的对称点C′和C′′的坐标，连接C′，C′′，交AB和y轴的于点D，E，此时△CDE的周长最小，求出线段C′C′′的长即可. 【详解】解： 由题意可知A（0，2），B（﹣2，0）， ∵点 C 是 OB 的中点， ∴C（﹣1，0）， 如图，点C关于直线AB的对称点C′（﹣2,1），点C关于y轴的对称点C′′（1，0）， 连接C′C′′与AB交于D点，与AO交于E点，此时△CDE的周长最小， △CDE周长=CD+DE+CE=DC′+DE+EC″= C′C″=. 故答案为. 【点睛】本题考查轴对称-最短问题、两点之间距离公式等知识，解题的关键是利用对称性在找到点D、点E位置，属于中考常考题型． 三、解答题（本题共9小题，共86分．请在答题纸的相应位置解答） 17. 计算：． 【答案】4 【解析】 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， ∵ ∴原式． 19. 在平行四边形中，对角线交于点O，过点O作直线分别交边于点E、F. 求证：. 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据平行四边形的性质得出相等的边和平行线，利用两直线平行内错角相等得出相等的角，然后证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴． 20. 甲、乙两人同时加工一批零件，已知甲每小时比乙多加工个，甲加工个零件所用时间与乙加工个所用时间相等，求甲、乙两人每小时各加工多少个零件？ 【答案】甲每小时加工个零件，乙每小时加工个零件 【解析】 【分析】设甲每小时加工个零件，则乙每小时加工个零件，根据甲加工个零件所用时间与乙加工个所用时间相同列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设甲每小时加工个零件，则乙每小时加工个零件， 根据题意可列方程：， 等式两边同时乘得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为，得：， 检验，当时，， 此时， 答：甲每小时加工个零件，乙每小时加工个零件． 21. 在平面直角坐标系中，已知点，则称点为点P的“T变换点”．例如：点的T变换点为． （1）点的“T变换点”的坐标为______； （2）若点的T变换点在第四象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据定义求解即可； （2）根据定义分别表示出点的“T变换点”的横纵坐标，再由变换点在第四象限，列不等式求解． 【小问1详解】 解：由题意得，点的“T变换点”的横坐标为：； 纵坐标为：， ∴点的T变换点的坐标为； 【小问2详解】 解：点的“T变换点”的横坐标为， 纵坐标为：， ∵点的T变换点在第四象限 ∴ 解得． 22. 某陶瓷工厂生产一批瓷碗，工人将碗摞起来测量其高度，并记录相关数据如下表： 数量x（个） 1 2 3 4 5 高度y（） 6.8 9.8 10.8 12.8 14.8 小明根据表格画出一摞碗的高度y与数量x之间的函数图像，发现是一条直线，但是有一个点不在这条直线上，重新测量发现是工人测错了． （1）找出这个测错的高度并求出一摞碗的高度y与数量x之间的函数关系式； （2）在（1）的条件下，若包装部将12个碗摞成一摞包装（包装纸厚度忽略不计），要使包装好的一摞碗能直接装入货架，货架的高度至少设置为多少厘米？ 【答案】（1）测错的高度为， （2） 【解析】 【分析】（1）根据后三组数据发现数量每增加，高度y增加，即可写出函数解析式，再验证第一、二组数据即可； （2）将代入（1）中的函数解析式，求出相应的的值即可； 【小问1详解】 解：由表格可得，时，；时，；时，，那么数量每增加，高度y增加， ∴，即 当时，，故在直线上， 当时，，故不在直线上， ∴测错的高度为，函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴货架的高度至少设置为厘米． 23. 某游泳馆推出两种付费方案： 方案一：按次收费； 方案二：购买会员证，凭证享受5折优惠（会员证限本人使用，时效一年）．两种收费方案的函数图像如图所示，请回答下列问题： （1）分别写出两种收费方案年游泳费用和游泳次数之间的函数关系式； （2）结合游泳次数，通过计算分析采用哪种方案年游泳费用较少． 【答案】（1）方案一：（，且为整数）；方案二：（，且为整数） （2）游泳次数小于20次时，选择方案一；游泳次数为20次时，两种方案均可；游泳次数大于20次时，选择方案二． 【解析】 【分析】（1）方案一：可直接用待定系数法求解正比例函数解析式即可；方案二，先确定单价，再由函数图象即可求解； （2）分别令，然后解方程和不等式即可求解． 【小问1详解】 解：方案一：设，代入得， 解得 ∴（，且为整数）； 由方案一可得单价为元/次，则方案二凭证享受5折优惠后为元/次， 由图象可得，方案二先交会员费元， ∴方案二的年游泳费用和游泳次数之间的函数关系式为（，且为整数）； 【小问2详解】 解：当时，则，解得； 当，则，解得； 当，则，解得， ∴当游泳次数小于20次时，选择方案一；游泳次数为20次时，两种方案均可；游泳次数大于20次时，选择方案二． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． （1）分别求出反比例函数和一次函数的解析式； （2）结合图象，请直接写出不等式的解集； （3）若P为直线的动点，连接，已知的面积为，求P点坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集； （3）先求出点C坐标，然后分两种情况讨论，利用割补法表示三角形面积即可． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ． 解得，． 反比例函数解析式为． 在一次函数的图象上， 解得 一次函数解析式为：； 【小问2详解】 解：根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集为：或． 【小问3详解】 解：由题意设， 对于，当时，，解得， ∴， 当点在点下方时， ∴，解得， ∴； 当点在点上方时， ∴，解得， ∴ 综上：P点坐标为或． 25. 分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个不同单位分数之和．数学课上，张老师提出：对于任意单位分数（a为正整数且）均可以拆分成两个不同单位分数的和．兴趣小组对此进行探究，过程如下； 【探索规律】 当时，； 当时，； 当时，； … （1）写出时的拆分结果； （2）【发现规律】猜想拆分结果，并证明你的猜想； （3）【方法应用】仿照上述过程，经历探索规律，发现规律，证明：对于任意奇数，可以拆分成两个不同单位分数的和． 【答案】（1） （2）猜想：（为正整数，且），证明见解析 （3）（为奇数，且），证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过观察已知的拆分结果，找出规律，进而写出时的拆分结果； （2）根据前面的规律猜想出的拆分结果，然后通过分式的运算进行证明； （3）先仿照前面的过程探索的拆分规律，再进行证明． 【小问1详解】 解：∵当时，，其中，；当时，，其中，；当时，，其中，， ∴当时，，，即； 【小问2详解】 解：猜想：（为正整数，且）， 证明： ； 【小问3详解】 解：当时，，其中，； 当时，，其中，； 当时，，其中，； 猜想：（为奇数，且）， 证明： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长泰区2025-2026学年第二学期期中素养评价 八年级数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 友情提示：请把所有答案填写（涂）到答题纸上!请不要错位、越界答题! 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂．） 1. 下列各式中，分式的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它只比大0.0000002，称为密率，将数据0.0000002用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 在直角坐标系中，点关于x轴对称的点是（ ） A. B. C. D. 4. 下列分式变形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 为了保障艺术节表演的整体效果，某北校在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，则点A的坐标为，点B的坐标为，下列表示其他位置的点的坐标中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在平行四边形中，对角线、相交于点，若，，，则的周长为（ ） A. 21 B. 12 C. 35 D. 14 7. 点，，均在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，平分交于点E，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 为了探究浮力的大小与哪些因素有关，物理实验小组进行了相关实验．如图1，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示数（单位：N）与铁块下降的高度x（单位：）之间的关系如图2所示．下列说法正确的是（ ） A. 铁块入水之前，烧杯内水的高度为 B. 铁块的高度为 C. 当弹簧测力计的示数为时，此时铁块距离烧杯底 D. 当铁块下降的高度为时，该铁块所受到的浮力为 10. 图，点B为反比例函数（，）图象上的一点，点A为x轴正半轴上一点，将线段绕点A顺时针旋转，点B的对应点C恰好也在函数的图象上，若B、C的纵坐标分别为4和1，则k的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸的相应位置） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是_________________． 12. 一次函数与轴的交点坐标为____________． 13. 中，若∠A＝60°，则∠B=____． 14. 如图，一次函数和的图象交于点P，则关于x、y的二元一次方程组的解是________． 15. 若关于x的分式方程有解，则m的取值范围是____________． 16. 如图所示，直线 y=x+2 与两坐标轴分别交于A、B 两点，点 C 是 OB 的中点，D、E 分 别是直线 AB、y 轴上的动点，则△CDE 周长的最小值是________． 三、解答题（本题共9小题，共86分．请在答题纸的相应位置解答） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 在平行四边形中，对角线交于点O，过点O作直线分别交边于点E、F. 求证：. 20. 甲、乙两人同时加工一批零件，已知甲每小时比乙多加工个，甲加工个零件所用时间与乙加工个所用时间相等，求甲、乙两人每小时各加工多少个零件？ 21. 在平面直角坐标系中，已知点，则称点为点P的“T变换点”．例如：点的T变换点为． （1）点的“T变换点”的坐标为______； （2）若点的T变换点在第四象限，求的取值范围． 22. 某陶瓷工厂生产一批瓷碗，工人将碗摞起来测量其高度，并记录相关数据如下表： 数量x（个） 1 2 3 4 5 高度y（） 6.8 9.8 10.8 12.8 14.8 小明根据表格画出一摞碗的高度y与数量x之间的函数图像，发现是一条直线，但是有一个点不在这条直线上，重新测量发现是工人测错了． （1）找出这个测错的高度并求出一摞碗的高度y与数量x之间的函数关系式； （2）在（1）的条件下，若包装部将12个碗摞成一摞包装（包装纸厚度忽略不计），要使包装好的一摞碗能直接装入货架，货架的高度至少设置为多少厘米？ 23. 某游泳馆推出两种付费方案： 方案一：按次收费； 方案二：购买会员证，凭证享受5折优惠（会员证限本人使用，时效一年）．两种收费方案的函数图像如图所示，请回答下列问题： （1）分别写出两种收费方案年游泳费用和游泳次数之间的函数关系式； （2）结合游泳次数，通过计算分析采用哪种方案年游泳费用较少． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． （1）分别求出反比例函数和一次函数的解析式； （2）结合图象，请直接写出不等式的解集； （3）若P为直线的动点，连接，已知的面积为，求P点坐标． 25. 分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个不同单位分数之和．数学课上，张老师提出：对于任意单位分数（a为正整数且）均可以拆分成两个不同单位分数的和．兴趣小组对此进行探究，过程如下； 【探索规律】 当时，； 当时，； 当时，； … （1）写出时的拆分结果； （2）【发现规律】猜想拆分结果，并证明你的猜想； （3）【方法应用】仿照上述过程，经历探索规律，发现规律，证明：对于任意奇数，可以拆分成两个不同单位分数的和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $