精品解析：福建省漳州市诏安县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

诏安县2024-2025学年下学期片区期中考 数学试卷 考试时间：120 分钟 满分：150分 一．选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列各式：①，②，③，④，⑤，其中属于不等式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 3. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线，交边于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 平面坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在同一平面内，若，，则”时，首先应假设（ ） A. B. C. 与相交 D. 与相交 7. 如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），当kx+b＜x时，x的取值范围是（　　） A. x＞3 B. x＜3 C. x＜1 D. x＞1 10. 如图，这是一个地铁站入口的双翼闸机的示意图双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每小题4分，共24分） 11. 不等式的解集是______． 12. 如图，一个小孩坐在秋千上，秋千绕点O旋转了86°，小孩的位置也从A点运动到了点，则______度． 13. 如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为__________. 14. 如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是________． 15. 将含角直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为_______cm． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，将线段绕点按顺时针方向旋转至；将线段绕点按顺时针方向旋转至；将线段绕点按顺时针方向旋转至，依次类推，则的坐标为______． 三．解答题（共86分） 17. （一）下面是小英解不等式∶的过程 ①去分母，得， ②移项、合并同类项，得， ③两边都除以，得． 先阅读以上解题过程，然后解答下列问题． （1）小英的解题过程从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 ； （2）错误原因是 ； （3）第③步的依据是 ； （4）该不等式的解集应该是 ． （二）解不等式组∶并将它的解集在数轴中表示出来． 18. 阅读下面的材料： 对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如：． 根据上面的材料回答下列问题： （1）______； （2）当时，求x的取值范围． 19. 如图，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D．求证：△BCD为等腰三角形． 20. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移4个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标． 21. 如图，中，，的垂直平分线交于点． （1）若，求的度数； （2）若，，求的周长． 22. 某超市销售甲、乙两种驱蚊手环，某天卖出3个甲种驱蚊手环和1个乙种驱蚊手环，收入128元；另一天，以同样的价格卖出1个甲种驱蚊手环和2个乙种驱蚊手环收入76元． （1）每个甲种驱蚊手环和每个乙种驱蚊手环的售价分别是多少元？ （2）某幼儿园欲购买甲、乙两种驱蚊手环共100个，总费用不超过2500元，那么最多可购买甲种驱蚊手环多少个？ 23. 如图，中，，现有两点M，N分别从点A，B同时出发，按图中箭头指向沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达点B时，M，N同时停止运动． （1）点M，N运动几秒时，M，N两点重合？ （2）点M，N运动几秒时，可得到等边三角形？ 24. 如图，请根据图象所提供信息解答下列问题： （1）当x　　时，； （2）不等式的解集是　　； （3）求两个一次函数表达式； （4）若直线分别交x轴、y轴于点M、A，直线分别交x轴、y轴于点B、N，求点M坐标和四边形的面积． 25. 综合与实践，问题情境∶活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中．将从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到(点D，E分别是点B，C的对应点)，旋转角为(，设线段与相交于点M，线段分别交于点O，N． 特例分析∶（1）如图2，当旋转到时，求旋转角的度数？  探究规律∶（2）如图3，在绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论． 拓展延伸∶（3）①求出当是等腰三角形时旋转角α的度数． ②在图3中，作直线，交于点P，直接写出当是直角时旋转角的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 诏安县2024-2025学年下学期片区期中考 数学试卷 考试时间：120 分钟 满分：150分 一．选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列各式：①，②，③，④，⑤，其中属于不等式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的定义，解题的关键是掌握用不等号连接的式子是不等式． 根据不等式的定义：用不等号连接的式子是不等式，逐个进行判断即可． 【详解】解：①，是不等式，符合题意； ②，是不等式，符合题意； ③，是等式，不符合题意； ④，是多项式，不符合题意； ⑤，是不等式，符合题意； 综上：是不等式的有①②⑤，共3个， 故选：C． 2. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为． 在数轴上表示如下：    ． 故选：A． 3. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形；据此进行逐项判断即可 【详解】解：A、是中心对称图形，故该选项符合题意； B、不中心对称图形，故该选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：A 4. 如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线，交边于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由作图可得：为直线的垂直平分线，从而得到，则，再由三角形外角的定义与性质进行计算即可． 【详解】解：由作图可得：为直线的垂直平分线， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了尺规作图—作垂线，线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 5. 平面坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标系下的旋转．过点和点分别作轴的垂线，证明，得到，，据此求解即可． 【详解】解：过点和点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵点的坐标为， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：B． 6. 牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在同一平面内，若，，则”时，首先应假设（ ） A. B. C. 与相交 D. 与相交 【答案】D 【解析】 【分析】用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与结论相反的假设即可 【详解】解：反证法证明命题“在同一平面内，若，，则”时， 首先应假设与不平行，即与相交． 故选：D． 【点睛】本题考查的是反证法的应用，解题的关键是要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 7. 如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转可得，再结合旋转角即可求解． 【详解】解：由旋转性质可得：，， ∵， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了几何—旋转问题，掌握旋转的性质是关键． 8. 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组解集的取法是解题的关键． 根据不等式组无解，即“大大小小无处找”，即可得出答案． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 不等式组无解， 故选A． 9. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），当kx+b＜x时，x的取值范围是（　　） A. x＞3 B. x＜3 C. x＜1 D. x＞1 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式kx+b＜x的解集即为一次函数图象在正比例函数图象下方的自变量的取值范围求解即可 【详解】解：由函数图象可知不等式kx+b＜x的解集即为一次函数图象在正比例函数图象下方的自变量的取值范围， ∴当kx+b＜x时，x的取值范围是， 故选A． 【点睛】本题主要考查了根据两直线的交点求不等式的解集，利用图象法解不等式是解题的关键． 10. 如图，这是一个地铁站入口的双翼闸机的示意图双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，过点作于，作于，则，同理可得：，结合双翼边缘的端点A与B之间的距离为，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于，作于， ， 则在中，， 同理可得：， 双翼边缘的端点A与B之间的距离为， 可以通过闸机的物体的最大宽度为， 故选：C． 二．填空题（每小题4分，共24分） 11. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，通过移项，未知数系数化为1，求解即可解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 12. 如图，一个小孩坐在秋千上，秋千绕点O旋转了86°，小孩的位置也从A点运动到了点，则______度． 【答案】47 【解析】 【分析】根据旋转角的定义、旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行解答． 【详解】解：∵秋千旋转了86°，小艾同学的位置也从A点运动到了A'点， ∴ ∴ 故答案为：47． 【点睛】本题考查了旋转性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 13. 如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据第一步马往外跳，第二步马再往回跳但路线不与第一步的路线重合，这样走两步后的落点与出发点距离最短． 【详解】解：如下图所示： 马第一步往外跳，可能的落点为A、B、C、D、E、F点， 第二步往回跳，但路线不与第一步的路线重合，这样走两步后的落点与出发点距离最短， 比如，第一步马跳到A点位置，第二步在从A点跳到G点位置，此时落点与出发点的距离最短为， 故答案为：． 【点睛】本题借助象棋中的“马走日”的规则考察了两点之间的距离公式，解题的关键是读懂题意． 14. 如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是________． 【答案】（1，3） 【解析】 【分析】根据点A和点的坐标可得出平移规律，从而进一步可得出结论． 【详解】解：∵顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5）， 又 ∴平移至规律为：将向右平移5个单位，再向上平移1个单位即可得到 ∵B（﹣4，2） ∴的坐标是（-4+5，2+1），即（1，3） 故答案为：（1，3） 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，正确找出平移规律是解答本题的关键． 15. 将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为_______cm． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵直尺的两边平行， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∵点，表示的刻度分别为， ∴， ∴ ∴线段的长为, 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，将线段绕点按顺时针方向旋转至；将线段绕点按顺时针方向旋转至；将线段绕点按顺时针方向旋转至，依次类推，则的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据所给旋转方式，画出示意图，并得出每旋转六次，点的坐标循环出现一次是解题的关键． 根据题中所给旋转方式，画出示意图，结合图形发现每旋转六次，点的坐标循环出现一次，据此可解决问题． 【详解】解：∵正六边形的内角为 ∵每次旋转，旋转6次刚好围成正六边形，即每旋转六次，点的坐标循环出现一次， 如图所示， 因为余2， 所以点的坐标与点的坐标相同． 因为点与点关于轴对称， 所以点的坐标为， 则点的坐标为． 故答案为：． 三．解答题（共86分） 17. （一）下面是小英解不等式∶的过程 ①去分母，得， ②移项、合并同类项，得， ③两边都除以，得． 先阅读以上解题过程，然后解答下列问题． （1）小英的解题过程从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 ； （2）错误的原因是 ； （3）第③步的依据是 ； （4）该不等式的解集应该是 ． （二）解不等式组∶并将它的解集在数轴中表示出来． 【答案】（一）（1）①；（2）去分母时，不等式左边第二项没有乘2；（3）不等式的性质3；（4）；（二） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式和不等式组，熟练掌握不等式和不等式组的解法是解本题的关键． （1）根据解一元一次不等式方法逐步判断即可； （2）先分别 求出每一个不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”原则确定出不等式组解集即可． 【详解】解：（一）(1)小英的解题过程从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号①；  (2)错误的原因是去分母时，不等式左边第二项没有乘2；  (3)第③步的依据是不等式的基本性质3；  (4)去分母，得， 移项、合并同类项，得， 两边都除以，得． ∴该不等式的解集应该是．  故答案为：①；去分母时，不等式左边第二项没有乘2；不等式的基本性质3；． （二）解不等式①，得， 解不等式②，得 不等式组的解集表示在数轴上如图∶ ∴不等式组的解集为． 18. 阅读下面的材料： 对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如：． 根据上面的材料回答下列问题： （1）______； （2）当时，求x取值范围． 【答案】（1）﹣1 ；（2）x≥ 【解析】 【分析】（1）比较大小，即可得出答案； （2）根据题意判断出 解不等式即可判断x的取值范围． 【详解】解：（1）由题意得﹣1 故答案为：﹣1； （2）由题意得： 3（2x－3）≥2（x+2） 6x－9≥2x+4 4x≥13 X≥ ∴x的取值范围为x≥． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键． 19. 如图，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D．求证：△BCD为等腰三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据三角形内角和得：，由角平分线及已知角可得：，可得结论． 【详解】证明：在中，，， ， 平分， ， ， 为等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的证明，角平分线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形角平分线的性质． 20. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移4个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】本题考查了根据平移作图、作已知图形的中心对称图形、根据旋转的性质确定对称中心等知识． （1）根据平移的要求确定点、、三个点，即可做出； （2）根据中心对称的性质确定、、三个点，即可做出； （3）如图，观察图形得到和关于某点中心对称，连接，，交于点，即可得到旋转中心为． 【小问1详解】 解：解：如图，即为所求作的三角形： ； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作的三角形： 【小问3详解】 解：如图，连接，，交于点，即可得到旋转中心为． 21. 如图，中，，的垂直平分线交于点． （1）若，求的度数； （2）若，，求的周长． 【答案】（1）； （2）的周长为 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，以及三角形的外角定理，等腰三角形的性质． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解； （2）求出的周长，代入数据计算即可得解． 【小问1详解】 解的垂直平分线交于点， ， ， ； 【小问2详解】 解：的周长 ， ，， 的周长． 22. 某超市销售甲、乙两种驱蚊手环，某天卖出3个甲种驱蚊手环和1个乙种驱蚊手环，收入128元；另一天，以同样的价格卖出1个甲种驱蚊手环和2个乙种驱蚊手环收入76元． （1）每个甲种驱蚊手环和每个乙种驱蚊手环的售价分别是多少元？ （2）某幼儿园欲购买甲、乙两种驱蚊手环共100个，总费用不超过2500元，那么最多可购买甲种驱蚊手环多少个？ 【答案】（1）36；20 （2）31 【解析】 【分析】（1）设每个甲种驱蚊手环的售价x元，每个乙种驱蚊手环的售价是y元，根据“卖出3个甲种驱蚊手环和1个乙种驱蚊手环，收入128元；卖出1个甲种驱蚊手环和2个乙种驱蚊手环，收入76元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论; （2）设购买甲种驱蚊手环m个，则购买乙种驱蚊手环个，利用总价=单价×数量，结合总价不超过2500元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论. 【小问1详解】 解：设每个甲种驱蚊手环的售价x元，每个乙种驱蚊手环的售价是y元， 根据题意得， ，解得: ， 答：每个甲种驱蚊手环的售价是36元，每个乙种驱蚊手环的售价是20元； 【小问2详解】 解：设购买甲种驱蚊手环m个，则购买乙种驱蚊手环个， 根据题意得：， 解得， 又∵m为正整数， ∴m的最大值为31. 答：最多可购买甲种驱蚊手环31个. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是： 找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式. 23. 如图，中，，现有两点M，N分别从点A，B同时出发，按图中箭头指向沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达点B时，M，N同时停止运动． （1）点M，N运动几秒时，M，N两点重合？ （2）点M，N运动几秒时，可得到等边三角形？ 【答案】（1）12秒 （2）4秒 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，利用方程的思想解决动点问题是本题的关键． （1）设点M，N运动时，M，N两点重合，由点N运动路程=点M运动路程间的路程，列出方程，即可求x的值； （2）设点M，N运动时，可得到等边三角形，由等边三角形的性质可得可列方程，计算求出t的值； 【小问1详解】 解：设点M，N运动时，M，N两点重合．则 ， 解得． 即点M，N运动时，M，N两点重合． 【小问2详解】 解：由题可知是等边三角形，由(1)可知当点M在边上，点N在边上，且时， 是等边三角形． 设点M，N运动时，可得到等边三角形，则 ， ． ∵是等边三角形， ∴， 解得， ∴点M，N运动时，可得到等边三角形． 24. 如图，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）当x　　时，； （2）不等式的解集是　　； （3）求两个一次函数表达式； （4）若直线分别交x轴、y轴于点M、A，直线分别交x轴、y轴于点B、N，求点M的坐标和四边形的面积． 【答案】（1） （2） （3）直线的解析式为，直线l2的解析式为 （4）M点的坐标为；四边形的面积 【解析】 【分析】（1）根据函数图象，得出的解集即可； （2）根据函数图象，得出不等式的解集即可； （3）用待定系数法求出函数解析式即可； （4）把代入求出x的值，即可得出点M的坐标；先求出点N的坐标，再根据求出结果即可． 【小问1详解】 解：根据图象可知，当时，； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由图象可知：不等式的解集为x＞3； 故答案为：； 【小问3详解】 解：把，分别代入， 得：， 解得， ∴直线的解析式为， 把、分别代入， 得， 解得， 所以直线的解析式为； 【小问4详解】 解：当时， 解得：， ∴M点的坐标为， 当时，，则N点坐标为， ∴四边形的面积为： ． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法． 25. 综合与实践，问题情境∶活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中．将从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到(点D，E分别是点B，C的对应点)，旋转角为(，设线段与相交于点M，线段分别交于点O，N． 特例分析∶（1）如图2，当旋转到时，求旋转角的度数？  探究规律∶（2）如图3，在绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论． 拓展延伸∶（3）①求出当是等腰三角形时旋转角α的度数． ②在图3中，作直线，交于点P，直接写出当是直角时旋转角的度数． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①或；② 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是画出图形，正确分类． （1）根据等腰三角形“三线合一”可得结果； （2）可证明，从而得出结论； （3）①分成，及，根据，利用旋转的性质、等腰三角形的性质，每种情形可求得另外两个角，进一步求得结果； ②根据旋转的性质进行计算即可． 详解】（1）解：，， ，， ， ， 故答案为：； （2）证明：， ， 即：， 由旋转知，； 在和中， ， ， ； （3）解：①如图1， 当时，， ，， ， ， 如图2， 当时，， ， 如图3， 当时，， ， 此时和重合，这种情形不存在． 综上所述：或． ②如图： 当时， ， ， 由旋转知，， ∴是等边三角形， ， ， 旋转角为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$