专练：与球有关的切、接问题 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专练：与球有关的切、接问题 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、选择题 1.将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为（　　） A.π B. C.π D.4π 2.表面积为16π的球的内接正方体的体积为（　　） A.8 B. C. D.16 3.已知直三棱柱ABC－A1B1C1的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和2，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为（　　） A. B. C. D. 4.在正三棱柱ABC－A1B1C1内，有一个体积为V的球.若AB＝6，AA1＝4，则V的最大值是（　　） A.16π B. C.12π D.4π 5.如图所示，在四面体ABCD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝2，则四面体ABCD外接球的表面积为（　　） A.2π B.4π C.8π D. 6.魏晋时期，数学家刘徽在其著作《九章算术注》中将一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体称为“牟合方盖”.刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π∶4.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（　　） A.16 B.16 C. D. 7.（2025·江西阶段练习）已知某棱长为2的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为（　　） A.4π B.2π C. D.π 8.（多选）一棱长等于1且体积为1的长方体的顶点都在同一个球的球面上，则该球的体积可能是（　　） A.π B.π C.π D.π 9.（多选）已知某多面体的平面展开图如图所示，每个面都是边长为2的正三角形，则下列结论中，正确的有（　　） A.该多面体的体积为 B.该多面体的外接球的表面积为8π C.该多面体的内切球的体积为 D.该多面体的表面积为8 二、填空题 10.若圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为 . 11.若圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为 . 12.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 . 13.已知棱长为2的正方体内含有一个可以旋转的小正方体，则所含的小正方体的体积的最大值是 . 三、解答题 14.在正三棱锥P－ABC中，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，求球心到截面ABC的距离. 15.一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，圆锥里又有一个内切球.求： （1）圆锥的侧面积； （2）圆锥的内切球的体积. 16.（2025·绍兴高一期中）在桌面上放置四个半径都是2的玻璃小球，并用一个半球形容器罩住这四个小球，求这个容器的内壁半径的最小值. 参 考 答 案 一、选择题 1.将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为（　B　） A.π B. C.π D.4π 解析： 根据题意知，此球为正方体的内切球，∴球的直径等于正方体的棱长， r＝1，∴V＝πr3＝π. 2.表面积为16π的球的内接正方体的体积为（　C　） A.8 B. C. D.16 解析： 设表面积为16π的球的半径为r，则4πr2＝16π，解得r＝2.设内接正方体的棱长为a，则a＝2r，∴a＝，∴内接正方体的体积V＝a3＝＝. 3.已知直三棱柱ABC－A1B1C1的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和2，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为（　C　） A. B. C. D. 解析： 由题意，将直三棱柱ABC－A1B1C1补成长方体，如图所示，则该长方体的体对角线为＝4，设长方体的外接球的半径为R，则2R＝4，R＝2，∴该长方体的外接球的体积V＝πR3＝. 4.在正三棱柱ABC－A1B1C1内，有一个体积为V的球.若AB＝6，AA1＝4，则V的最大值是（　D　） A.16π B. C.12π D.4π 解析： 由题意知正三角形ABC的边长为6，其内切圆的半径r＝＜AA1＝2，∴正三棱柱ABC－A1B1C1内的球的半径的最大值是，则V的最大值是πr3＝4π. 5.如图所示，在四面体ABCD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝2，则四面体ABCD外接球的表面积为（　B　） A.2π B.4π C.8π D. 解析： 如图所示，设O是AB的中点，连接OC，OD，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴O是四面体ABCD外接球的球心，外接球的半径为OA＝OB＝OC＝OD＝AB＝1，∴外接球的表面积为4π×12＝4π. 6.魏晋时期，数学家刘徽在其著作《九章算术注》中将一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体称为“牟合方盖”.刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π∶4.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（　C　） A.16 B.16 C. D. 解析： 若正方体的棱长为2，则其内切球的半径r＝1，∴正方体的内切球的体积V球＝π×13＝π.又＝，∴V牟合方盖＝×π＝. 7.（2025·江西阶段练习）已知某棱长为2的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为（　A　） A.4π B.2π C. D.π 解析： 如图所示，在棱长为2的正方体中构造棱长为2的正四面体A－BCD ，显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球，球的半径r＝1，则该球的表面积为S＝4πr2＝4π. 8.（多选）一棱长等于1且体积为1的长方体的顶点都在同一个球的球面上，则该球的体积可能是（　BCD　） A.π B.π C.π D.π 解析： 设长方体未知的两棱长分别为a，b，则ab×1＝1，ab＝1，设外接球半径为R，则2R＝，球的体积为V＝πR3＝（a2＋b2＋1，a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，∴V≥π. 9.（多选）已知某多面体的平面展开图如图所示，每个面都是边长为2的正三角形，则下列结论中，正确的有（　ABC　） A.该多面体的体积为 B.该多面体的外接球的表面积为8π C.该多面体的内切球的体积为 D.该多面体的表面积为8 解析： 如图所示，该多面体是棱长均为2的正八面体，其中四棱锥A－BCDE和四棱锥F－BCDE均为正四棱锥，连接BD，CE，交于点O，连接AO，则AO为正四棱锥A－BCDE的高，易知BD＝CE＝2，AO＝＝，∴该多面体的体积V＝2V四棱锥A－BCDE＝2××S四边形BCDE×AO＝2××2×2×＝，该多面体的表面积S＝8BC＝8××2×2×＝8，A正确，D错误；由题易知，该多面体的外接球的半径为，内切球的半径为，该多面体的外接球的表面积为8π，内切球的体积为，B，C正确. 二、填空题 10.若圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为　100π　. 解析： 如图所示，由已知条件知，O1A＝3，OO1＝4，∴OA＝5，∴球的表面积为100π. 11.若圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为　61π　. 解析： 设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，则R＝5，r＝4.由题意可知，圆台的下底面为球的大圆，∴圆台的高h＝＝3，∴其体积V＝πh（R2＋r2＋Rr）＝π×3×（52＋42＋5×4）＝61π. 12.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为　　. 解析： 如图所示，设球的半径为R，底面中心为O'且球心为O，∵在正四棱锥 P－ABCD中，AB＝2，∴AO'＝.∵PO'＝4，∴在Rt△AOO'中，AO2＝AO'2＋OO'2，∴R2＝（）2＋（4－R）2，解得R＝，∴该球的表面积为4πR2＝4π×＝. 13.已知棱长为2的正方体内含有一个可以旋转的小正方体，则所含的小正方体的体积的最大值是　　. 解析： 设棱长为2的正方体的内切球的半径为r，则2r＝2，解得r＝1.设所求的小正方体的棱长为a，当小正方体的体积最大时，有3a2＝（2r）2，∴a＝＝， ∴小正方体体积的最大值是a3＝＝. 三、解答题 14.在正三棱锥P－ABC中，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，求球心到截面ABC的距离. 解：由题可知PA＝PB＝PC，又PA，PB，PC两两垂直， ∴此正三棱锥的外接球即为以PA，PB，PC为三条棱的正方体的外接球O.∵球O的半径为，∴正方体的棱长为2，即PA＝PB＝PC＝2，球心O到截面ABC的距离即为正方体的中心到截面ABC的距离. 设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥P－ABC的体积V＝S△ABC×h＝S△PAB×PC＝××2×2×2＝，又△ABC是边长为2的正三角形， ∴S△ABC＝×（2）2＝2，∴h＝＝， ∴球心O到截面ABC的距离为－＝. 15.一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，圆锥里又有一个内切球.求： （1）圆锥的侧面积； 解：（1）如图所示，作出轴截面，则等腰三角形SAB内接于圆O，而圆O1内切于△SAB. 设圆O的半径为R，则有πR3＝972π，∴R＝9，SE＝2R＝18.∵SD＝16， ∴ED＝2. 连接AE，又SE是圆O的直径，∴SA⊥AE，∴SA2＝SD×SE＝16×18＝288， SA＝12.∵AB⊥SD，D为AB的中点，∴AD2＝SD·DE＝16×2＝32，AD＝4，∴S圆锥侧＝π×AD×SA＝π×4×12＝96π. （2）圆锥的内切球的体积. 解：（2）设内切球的半径为r，即圆O1的半径为r， ∵△SAB的周长为2×（12＋4）＝32，∴r×32＝×8×16，解得r＝4.圆锥的内切球的体积V球＝πr3＝π. 16.（2025·绍兴高一期中）在桌面上放置四个半径都是2的玻璃小球，并用一个半球形容器罩住这四个小球，求这个容器的内壁半径的最小值. 解：要使半球形容器内壁的半径最小，只需保证四个小球的球心构成正方形，相邻的两个小球相切，且四个小球与半球形容器的内壁都相切.如图所示， O为半球的球心，A为其中一个小球的球心，连接OA，则OA是棱长为2的正方体的体对角线，且该小球与半球形容器内壁的切点和点O，A共线，∴半球形容器内壁的半径的最小值是小球半径与OA长度之和，即2＋2. 学科网（北京）股份有限公司 $