8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 同步课时练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 同步课时练 熟记表面积与体积公式：侧面积与母线、半径相关，体积与底面积、高相关.球的公式最特殊，计算时注意半径、π取值与单位统一，避免混淆台体与锥体关系. 学科网（北京）股份有限公司 考点1·圆柱、圆锥、圆台的表面积 1.已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径和高分别相等，圆柱的轴截面是一个正方形，则这个圆柱的侧面积和圆锥的侧面积的比值是( ) A. B. C. D. 2.羽毛球是一项全民喜爱的体育活动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得羽毛顶端所围圆的直径是，底部所围圆的直径是，据此可估算球托之外羽毛所在的曲面的面积大约为（取3.14）( ) A. B. C. D. 3.用油漆涂100个圆台形水桶（桶内外侧都要涂），桶口直径为，桶底直径为，母线长是.已知每平方米需用油漆，则共需用油漆（精确到）( ) A. B. C. D. 考点2·圆柱、圆锥、圆台的体积 4.若一个圆台的高为，母线长为2，侧面积为，则该圆台的体积为( ) A. B. C. D. 5.已知两个圆锥的母线长均为6，它们的侧面展开图恰好拼成一个半圆，若它们的侧面积之比是，则它们的体积之和是( ) A. B. C. D. 6.（多选）沙漏是古代的一种计时装置，由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图①，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为，细沙全部在上部容器时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下的沙，且细沙全部漏入下部容器后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，如图②.以下结论正确的是( ) A.沙漏的侧面积是 B.沙漏中的细沙体积为 C.细沙全部漏入下部容器后的圆锥形沙堆的高约为 D.该沙漏的一个沙时大约是837秒（） 7.某学生到某工厂进行劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为一个大圆柱中挖去一个小圆柱后的剩余部分（两个圆柱底面圆的圆心重合）.大圆柱的轴截面是边长为的正方形，小圆柱的侧面积是大圆柱侧面积的一半，打印所用原料的密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为__________g（取3）. 考点3·球的表面积和体积 8.若球的表面积扩大到原来的9倍，那么该球的体积扩大到原来的( ) A.9倍 B.27倍 C.81倍 D.729倍 9.记半径为R的球的表面积和体积分别为和，某底面半径为R的圆锥的表面积和体积分别为和，若，则( ) A. B. C. D. 10.已知三个球的体积之比为，则它们的表面积之比为__________. 能力拔高题 11.（多选）已知棱长为2的正方体的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球O，则下列说法正确的是( ) A.球O的体积为 B.球O内接圆柱的侧面积的最大值为 C.球O在正方体外部的体积小于 D.球O在正方体外部的面积大于 从古代容器、建筑穹顶到现代球体结构，人们长期探索旋转体的度量问题.阿基米德最早严谨推导球体积公式，圆柱、圆锥、圆台公式逐步完善，构成空间计算的重要基础. 学科网（北京）股份有限公司 答案以及解析 1.答案：B 解析：设圆柱和圆锥的底面半径为r，由圆柱的轴截面是一个正方形，得其高， 则圆柱的侧面积，圆锥 的侧面积，则，故选B. 2.答案：A 解析：法一：由题意知圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，则曲面的面积为.故选A. 法二：给圆台补一个小圆锥，使它成为一个大圆锥，则球托之外羽毛所在曲面的面积为大、小圆锥的侧面积之差，设小圆锥的母线长为，则大圆锥的母线长为，由相似三角形的性质得，即，所以球托之外羽毛所在曲面的面积，故选A. 3.答案：C 解析：，，，， ，， 故一个水桶需要涂漆的面积，故100个水桶需用油漆 .故选C. 4.答案：B 解析：设圆台的上底面半径为，下底面半径为r，母线长为l，则圆台的侧面积，可得.因为圆台的高，所以，解得，.所以.故选B. 5.答案：A 解析：因为两个圆锥的母线长均为6，侧面展开图恰好拼成一个半圆，所以两个圆锥的底面圆的周长之和为，因为两个圆锥的侧面积之比为，所以两个圆锥的底面圆的周长之比为，则底面圆的周长分别为，，底面圆的半径分别为1，2，所以两个圆锥的高分别为，，则两个圆锥的体积之和为.故选A. 6.答案：BD 解析：A选项，设下圆锥的母线长为l，则， 故下圆锥的侧面积，故沙漏的侧面积为，故A错误； B选项，当细沙全部在上部容器时，其高度为圆锥高度的，所以细沙形成的圆锥的底面半径为，高为，故细沙形成的圆锥的底面积为，所以沙漏中的细沙体积为，故B正确； C选项，由B选项可知，细沙全部漏入下部容器后的圆锥形沙堆的体积为，此圆锥形沙堆的底面积为，故其高为，故C错误； D选项，（秒），故该沙漏的一个沙时大约是837秒，故D正确. 故选BD. 7.答案：4500 解析：根据题意可知，大圆柱的底面半径，两圆柱的高.设小圆柱的底面半径为，则，解得.所以该模型的体积为，所以制作该模型所需原料的质量为. 8.答案：B 解析：设扩大前后球的半径分别为，由表面积之比为，得，则体积之比为.故选B. 9.答案：D 解析：，.设圆锥的高为h，母线长为l，则.由，得，所以，所以，所以，所以，故选D. 10.答案： 解析：设三个球的半径分别为，，，则由题意知，所以，故表面积之比为. 11.答案：BCD 解析：对于A，依题意，得棱切球的半径为，则球O的体积为，A错误； 对于B，记球O的内接圆柱的底面半径为r，则内接圆柱的高为，则内接圆柱的侧面积，当且仅当时等号成立，故球O的内接圆柱的侧面积的最大值为，B正确；对于C，球O在正方体外部的体积小于球O的体积与正方体内切球的体积之差，即，C正确； 对于D，球O在正方体外部的面积等于正方体外6个球冠的表面积，每一个球冠的表面积大于这个球冠中内接圆锥的侧面积，则内接圆锥的底面半径为1，高为，则内接圆锥的母线长为，则内接圆锥的侧面积为，所以6个球冠的表面积大于，D正确. 故选BCD. 错题记录： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $