精品解析：广东省茂名市化州市2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题

广东省茂名市化州市2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题 说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1、答卷前，考生务必填写答题卷上的有关项目． 2、选择题每小题选出答案后，把答案填在答题卷相应的位置上． 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4、考生必须保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回． 一、单项选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 已知的展开式的第4项展的系数为（ ） A. 70 B. 84 C. 140 D. 280 4. △ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则的值为 A. 19 B. 14 C. -18 D. -19 5. 记为等差数列的前项和，已知，，则的最大值为（ ） A. 16 B. 18 C. 23 D. 25 6. 函数的大致图像为（ ） A. B. C. D. 7. 某医学院校计划从5名男生和3名女生中选派2人参加义诊活动，则在派出的2人中，在已知1人是男生的条件下，另1人恰好是女生的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知为球的球面上的四个点，圆为的外接圆．若圆的面积为，，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3个小题，每个小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，选齐全对的得6分，漏选答案得相应分，错选和不选得0分． 9. 某校文艺汇演共6个节目，其中歌唱类节目3个，舞蹈类节目2个，语言类节目1个，则下列说法正确的是（ ） A. 若以歌唱类节目开场，则有360种不同的出场顺序 B. 若舞蹈类节目相邻，则有120种出场顺序 C. 若舞蹈类节目不相邻，则有240种不同的出场顺序 D. 从中挑选2个不同类型的节目参加市艺术节，则有11种不同的选法 10. 如图，正方体的棱长为是棱上的动点（含端点），则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. C. 二面角的平面角的大小为 D. 存在某个点，使直线与平面所成角为 11. 如果一个函数在其定义区间内对任意，都满足，则称这个函数为下凸函数，下列函数为下凸函数的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3个小题，每个小题5分，共15分． 12. 向量满足，，与的夹角为，则______． 13. 若直线与曲线相切，则实数的值为__________. 14. 已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的一点，直线与圆切于点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率是______． 四、解答题：本大题共5个小题，满分共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试、某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程（单位：万公里）将这些汽车分为4组：并整理得到如图的频率分布直方图： （1）求的值； （2）该机构用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有辆汽车行驶里程不小于8万公里，求的分布列． 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，且，，M是AD的中点，N是AB的中点． （1）求证：平面ADE； （2）求直线CM与平面DEN所成角的正弦值． 17. 已知函数，. （1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； （2）讨论的单调性； （3）当时，，求的取值范围. 18. 已知椭圆（）的左顶点为A，左、右焦点分别为，，离心率为，P为椭圆上任一点，且的面积的最大值为． （1）求C的方程； （2）若直线l与C有两个不同的交点M，N（均不与点A重合），且，判断直线l是否恒过一个定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由； （3）在（2）的条件下，求△AMN面积的最大值． 19. 若给定数列，对于任意的，若满足，则称为“型数列”．若数列满足：，，当时，． （1）判断数列是否为“型数列”，并证明； （2）求数列的通项公式； （3）若，，使不等式成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省茂名市化州市2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题 说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1、答卷前，考生务必填写答题卷上的有关项目． 2、选择题每小题选出答案后，把答案填在答题卷相应的位置上． 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4、考生必须保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回． 一、单项选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解对数不等式得集合，然后由交集定义计算． 【详解】由已知，所以． 故选：C． 2. 若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则进行运算，继而直接求模即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：B． 3. 已知的展开式的第4项展的系数为（ ） A. 70 B. 84 C. 140 D. 280 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用通项求出，即可求解． 【详解】由题意可得的展开式的第4项为：． 故选：D． 4. △ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则的值为 A. 19 B. 14 C. -18 D. -19 【答案】D 【解析】 【分析】 运用余弦定理，求得，再由向量的数量积的定义，即可得到所求值． 【详解】解：由于，，， 则， 则 ． 故选：． 【点睛】本题考查向量的数量积的定义，注意夹角的大小，考查余弦定理及运用，属于基础题和易错题． 5. 记为等差数列的前项和，已知，，则的最大值为（ ） A. 16 B. 18 C. 23 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】设出公差，根据通项公式和求和公式得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式，当时，，当时，，从而确定当时，取得最大值，求出答案. 【详解】设公差为，则，， 解得，所以， 当时，，当时，， 所以当时，取得最大值，最大值为. 故选：D 6. 函数的大致图像为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用排除法，先利用函数值正负的分布判断B错误，再利用特殊值判断D错误,根据极值点确定C错误，即得答案. 【详解】函数中，，当时,,看图像知B选项错误； 函数中，，当时,, 看图像知D选项错误； 解得，故为函数的极值点，故C选项不符合，A选项正确. 故选：A. 7. 某医学院校计划从5名男生和3名女生中选派2人参加义诊活动，则在派出的2人中，在已知1人是男生的条件下，另1人恰好是女生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用条件概率公式，结合古典概型，组合和组合数公式计算即可. 【详解】记“派出的2人中有1人是男生”为事件，“另一人恰好是女生”为事件． 则． 故选：C 8. 已知为球的球面上的四个点，圆为的外接圆．若圆的面积为，，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得等边三角形的外接圆半径为，再利用正弦定理可得三角形的边长为，由四面体为正四面体，将正四面体放在正方体中，正四面体的外接球即为正方体的外接球，进而得到外接球的半径，利用球的体积公式即可求解. 【详解】由题意可得为等边三角形， 设外接圆半径为，，解得， 由，可知三棱锥为正四面体， 将正四面体放在正方体，如图： 设正方体的棱长为，则， 解得， 设正方体的外接球半径为， 则， 所以， 所以球的体积为. 故选：B 二、多项选择题：本大题共3个小题，每个小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，选齐全对的得6分，漏选答案得相应分，错选和不选得0分． 9. 某校文艺汇演共6个节目，其中歌唱类节目3个，舞蹈类节目2个，语言类节目1个，则下列说法正确的是（ ） A. 若以歌唱类节目开场，则有360种不同的出场顺序 B. 若舞蹈类节目相邻，则有120种出场顺序 C. 若舞蹈类节目不相邻，则有240种不同的出场顺序 D. 从中挑选2个不同类型的节目参加市艺术节，则有11种不同的选法 【答案】AD 【解析】 【分析】根据全排列、捆绑法、插空法，结合分步与分类计数原理依次分析选项，即可判断. 【详解】A：从3个歌唱节目选1个作为开场，有种方法，后面的5个节目全排列， 所以符合题意的方法共有种，故A正确； B：将2个舞蹈节目捆绑在一起，有种方法，再与其余4个节目全排列， 所以符合题意的方法共有，故B错误； C：除了2个舞蹈节目以外的4个节目全排列，有种，再由4个节目组成的5个空插入2个舞蹈节目， 所以符合题意的方法有种，故C错误； D：符合题意的情况可能是1个歌唱1个舞蹈、1个歌唱1个语言、1个舞蹈1个语言， 所以不同的选法共种，故D正确. 故选：AD. 10. 如图，正方体的棱长为是棱上的动点（含端点），则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. C. 二面角的平面角的大小为 D. 存在某个点，使直线与平面所成角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】A.根据等体积法的等高等底即可判断；应用空间向量法计算得出线线垂直判断B，再应用空间向量法计算线面角的正弦范围得出线面角的最大值为判断D，再结合二面角空间向量法计算判断C. 【详解】对于选项A：三棱锥转化为三棱锥的底面积为定值， 因为平面平面，所以到平面高不变，体积为定值，故选项A正确； 对于选项B： 如图建系，设，则 因为，， 所以得，故选项B正确； 对于选项D：取平面的法向量为， 因为 ， 则设直线与平面ABCD所成角,则， 当时，，这时直线与平面ABCD所成角最大值为，故选项D不正确； 对于选项C：设平面法向量为，， 所以，所以 所以令，可得，设平面法向量为， 设二面角 为，则 所以二面角的大小为，故选项C正确. 故选：ABC. 11. 如果一个函数在其定义区间内对任意，都满足，则称这个函数为下凸函数，下列函数为下凸函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】 定义域内任取，先求出的解析式以及的解析式，利用函数的单调性、基本不等式判断它们的大小关系，再根据“下凸函数”的定义，得出结论． 【详解】A.对于函数，定义域内任取， 有 ∴下凸函数． B. 对函数，在定义域内取， ， ，因为， 即，不满足任意性，所以不是下凸函数. C.对于函数，定义域内任取， 有, 故不是下凸函数； D. ，由已知，若满足下凸函数，则任取两个数的中点的函数值应该小于等于两个函数值的中点，反映到图象上则任取两个点的连线应该在所给函数图象的上方或重合，由图象可知，此函数满足下凸函数定义 故选：AD 【点睛】本题考查新定义，考查基本不等式的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 三、填空题：本大题共3个小题，每个小题5分，共15分． 12. 向量满足，，与的夹角为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先对进行平方，再结合数量积的定义求解即可. 【详解】由题意得，，与的夹角为， 所以 ，则. 故答案为： 13. 若直线与曲线相切，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由切线的斜率为可知，进而得切点，代入直线中可得. 【详解】由得， 令得，此时，故切点为， 故，得， 故答案为： 14. 已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的一点，直线与圆切于点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率是______． 【答案】 【解析】 【分析】由化简可得，由条件结合切线性质可得，，设双曲线的右焦点为，结合双曲线定义可得，根据关系，结合余弦定理可得，亦可做辅助线，利用三角形中位线和勾股定理求解，再由离心率定义求结论. 【详解】因为， 所以，所以， 因为直线与圆切于点，所以，， 又，所以， 所以，，， 设双曲线的右焦点为， 则， 又，故， 由余弦定理可得，， 所以， 所以， 又，，，， 所以， 所以，所以， 所以则双曲线的离心率. 另解：作，垂足为， 由，，于是为的中位线， 结合已知分析，，， 由勾股定理，即，整理得，其余同上. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5个小题，满分共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试、某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程（单位：万公里）将这些汽车分为4组：并整理得到如图的频率分布直方图： （1）求的值； （2）该机构用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有辆汽车行驶里程不小于8万公里，求的分布列． 【答案】（1） （2）分布列： 0 1 2 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，列出方程，即可求得的值； （2）由4组无人驾驶汽车的数量比为，得到行驶里程在和抽取的车辆数，得到随机变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望和方差的公式，即可求解； 【小问1详解】 由频率分布直方图的性质，可得，解得. 【小问2详解】 由4组无人驾驶汽车的数量比为：， 若采用分层抽样抽取10辆汽车，则行驶里程在，这一组的无人驾驶汽车有辆， 在行驶里程，这一组的无人驾驶汽车有辆， 由题意知，随机变量的可能取值为， 可得， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，且，，M是AD的中点，N是AB的中点． （1）求证：平面ADE； （2）求直线CM与平面DEN所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知线面关系，证明平面，有，又可证，可证得平面； （2）以C为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值. 【小问1详解】 证明：因为平面，平面，所以， 由，知，， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，是的中点，所以， 又，平面， 所以平面． 【小问2详解】 平面，，以为坐标原点， 以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 故，，， 设平面的法向量， 则，令，则， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知函数，. （1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； （2）讨论的单调性； （3）当时，，求的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）求出，利用导数的几何意义，根据斜率之积为求解即可； （2）求出函数的导数，分类讨论，解不等式即可得出单调性区间； （3）利用导数确定，分离参数后，再利用导数求函数最小值即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 又在处的切线与直线垂直，所以， 即，所以. 【小问2详解】 ，. ①当时，，所以在上单调递增. ②当时，令，得，又，所以. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由，得在上恒成立. 令，，则，令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，即， 则在上恒成立. 令，， 则 . 因为，所以，则， 令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以， 所以，即的取值范围是. 18. 已知椭圆（）的左顶点为A，左、右焦点分别为，，离心率为，P为椭圆上任一点，且的面积的最大值为． （1）求C的方程； （2）若直线l与C有两个不同的交点M，N（均不与点A重合），且，判断直线l是否恒过一个定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由； （3）在（2）的条件下，求△AMN面积的最大值． 【答案】（1） （2）存在定点 （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积与椭圆性质，及离心率公式与基本关系式计算. （2）利用直线于椭圆联立方程，韦达定理与向量的数量积. （3）利用点到直线距离，与弦长公式，三角形面积公式，换元法与函数最值，求出最大值. 【小问1详解】 设椭圆C的焦距为． 当P在短轴的端点处时，的面积最大，所以， 又C的离心率，所以，结合， 得，，所以椭圆C的方程为． 【小问2详解】 解法一：由题意知直线的斜率不为0，否则， 所以可设直线的方程为， 联立得， 所以， ， 所以， ， 由（1）知， 因为，所以， 所以，即， 即，解得或（舍去）， 又满足，故存在定点. 解法二：将椭圆方程向右平移2个单位，得 ， 即 ①，设直线MN方程为， 代入（1）得：， 即， ，两边同时除以得： ②， 设， ，、是②式的两根， 得，，平移回去（向左平移2个单位）， 得直线过定点. 【小问3详解】 解法一：由（2）知，，， 所以A到的距离， 所以面积 ， 令， ，因为， 所以当时，，此时，满足，故． 18题图 解法二： ，其余同上. 【点睛】思路点睛：知识点综合利用，解决直线与椭圆相交问题，坐标平移变换椭圆方程，通过点到直线距离公式和弦长公式得出三角形面积表达式，综合运算. 19. 若给定数列，对于任意的，若满足，则称为“型数列”．若数列满足：，，当时，． （1）判断数列是否为“型数列”，并证明； （2）求数列的通项公式； （3）若，，使不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）是“型数列”， 证明：数列是“型数列”，证明如下： 由，得， 因为，则， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 则，， ， 所以数列满足“型数列”的定义， 即数列是“型数列”． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）变形得到，数列是首项为2，公比为2的等比数列，得到，得到结论； （2）在（1）的基础上，累加得到通项公式； （3）求出，参变分离得到，换元后，利用导函数得到函数单调性，进而得到，得到的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，…，， 累加得， 又，所以． 【小问3详解】 由（2）可知，，不等式有解， 整理为，有解，即， 设，，则， 设，，， 所以在上单调递增， ，所以函数的值域为， 则， 当时，，所以， 所以的取值范围是． 【点睛】方法点睛：由递推公式求解通项公式，根据递推公式的特点选择合适的方法， （1）若，采用累加法； （2）若，采用累乘法； （3）若，可利用构造进行求解； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $