精品解析：广东梅州市兴宁市第一中学2025-2026学年高二下学期5月期中数学试题

高二数学试题 2026.05. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是（ ） A. 5.25 B. 10.5 C. 5.5 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均变化率的定义，可得答案. 【详解】∵，∴． 故选：B 2. 已知，则（ ） A. 7 B. 21 C. 35 D. 42 【答案】B 【解析】 【分析】根据组合数的性质 建立方程解得的值，利用组合数的计算公式，可得答案. 【详解】由，则或，解得或， 所以. 故选：B. 3. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求导得到，从而得到，再利用导数的几何意义求解切线方程即可. 【详解】由，得， 所以，得，所以，， 所以，切点为. ， 所以所求切线方程为，即. 故选：A 4. 某电视台连续播放4个广告，现将2个不同的公益广告插入其中，保持原来的4个广告播放顺序不变，不同的播放方式有（ ） A. 10种 B. 20种 C. 30种 D. 60种 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由分步乘法计数原理，代入计算，即可得到结果. 【详解】原来有4个广告，则这4个广告之间以及两端共有5个空位插入第一个公益广告， 则有5种方法； 插入第一个公益广告之后，此时包括原来的4个广告和已经插入的第一个公益广告， 共5个元素，它们之间以及两端共有6个空位可以插入第二个公益广告， 则有6种方法； 由分步乘法计数原理可得，将两个公益广告插入的方式有种. 故选：C 5. 的展开式中的系数是（ ） A. B. C. 120 D. 210 【答案】B 【解析】 【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 令，解得，所以展开式中的系数是. 故选：B 6. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导函数有2个不同的零点，且两个零点均大于零可求解. 【详解】函数的定义域为， 因为函数有两个不同的极值点， 所以有两个不同正根， 即有两个不同正根， 所以解得， 故选:A. 7. 中秋节吃月饼是我国的传统习俗，若一盘中共有两种月饼，其中4块五仁月饼、6块枣泥月饼，现从盘中任取3块，在取到的都是同种月饼的条件下，都是五仁月饼的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用条件概率计算公式即可求解. 【详解】设“取到的都是同种月饼”为事件A，“都是五仁月饼”为事件B， 则，， 所以． 故选：D. 8. 在如图所示的的方格纸上（每个小方格均为正方形），则下列正确的个数是（ ） ①图中共有675个不同的矩形 ②有4种不同的颜色，给正方形ABCD中内4个小正方形涂色，要求有公共边的小正方形不同色，则不同的涂色方法共有84种 ③如图一只蚂蚁沿小正方形的边从点A出发，经过点C，最后到点E，则蚂蚁可以选择的最短路径共168条 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】①分析可得在方格纸上，有6条水平方向的线，9条竖直方向的线，在6条水平方向的线中任选2条，在9条竖直方向的线中任选2条，就可以组成一个矩形，由分步计数原理计算可得答案；②分两类，选其中一组对角分同色和异色先涂，再涂余下的两个小正方形，按分步乘法计数原理求出每一类的方法种数，再按加法计数原理相加即可；③先求出蚂蚁由到的最短路径方法，再求出由到的最短路径方法，按分步乘法计数原理得到蚁可以选择的最短路径条数. 【详解】①根据题意，的方格纸上，有6条水平方向的线，9条竖直方向的线， 在6条水平方向的线中任选2条，在9条竖直方向的线中任选2条， 就可以组成一个矩形，则可以组成个矩形，故①错误； ②当其中一组对角区域同色时，有种， 当其中一组对角区域异色时，有种， 由分类加法计数原理得四个区域涂色方法共有种，故②正确； ③蚂蚁沿小正方形的边从点A出发到达C的最短路径，需要走4条小正方形的边， 向上走2条边，向右走2条边，所以有条， 然后从点C出发到达E的最短路径，需要走9条小正方形的边， 向上走3条边，向右走6条边，所以有条， 由分步乘法计数原理，则共有条，故③错误. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对给6分，部分选对的给部分分，有错选的给0分. 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 各项系数之和为 B. 二项式系数之和为 C. 展开式中二项式系数最大的项是第项 D. 展开式中第项为常数项 【答案】AC 【解析】 【分析】直接用赋值法可得A正确；由二项式系数的性质可得B错误；由二项式的通项公式可得CD选项对错. 【详解】对于A：令得，所以展开式中各项系数之和为，故A正确； 对于B：二项式系数和，故B错误； 对于C：因为，所以第项二项式系数为最大，故C正确； 对于D：通项，令，即第项为常数项，故D错误. 10. 现在安排甲、乙、丙、丁、戊五位学生去实习，有3间工厂a、b、c可供选择，每个学生去哪间工厂可自由选择，每位学生只能去其中1间工厂实习，则下列说法正确的有（ ） A. 五位学生去实习的不同安排方案有125种 B. 若每间工厂必须要有学生去，则不同的实习安排方案有150种 C. 若a工厂必须要有学生去，则不同的实习安排方案有211种 D. 若每间工厂必须要有学生去，且甲、乙不去同一间工厂，则不同的实习安排方案有114种 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项：用分步乘法计数原理计算总安排数；B选项：对学生进行分组，再将分好的组进行排列；C选项：用间接法计算即可；D选项：用间接法计算，计算每间工厂都有人的总方案数，再减去每间工厂都有人且甲乙同厂的方案数. 【详解】A：，错误； 选项B，每间工厂都有学生，需要先把5人分成3个非空组，有两种分组情况： 人数按分：种， 人数按分：种， 总方案：种，正确； 选项C，工厂必须有学生，用总方案减去工厂没有学生的方案： 种，正确； 选项D，由B知，每间工厂都有学生，总方案150种，减去甲乙同厂的情况即可： 将甲乙绑定为1个整体，相当于4个元素分到3个工厂，每个工厂非空， 方案数为种， 因此甲乙不同厂的方案数：种，正确. 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减，在上单调递增 B. 既没有最大值也没有最小值 C. 若方程有4个不等的实数根，则 D. 设有3个不同的零点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对函数求导，利用导数探讨函数的单调性、图象及性质即可判断选项A，B；画出函数图象，利用数形结合求解函数的零点问题即可判断C、D. 【详解】函数的定义域为，则， 当或时，， 当时，， 所以在，上都单调递减，在上单调递增，故A不正确； 画出函数图象，如图所示，在上既没有最大值也没有最小值，故B正确； 当时，的图象在x轴上方，且在时，有极大值， 在上的图象在x轴下方， 显然是偶函数，， 在方程中，当或时，方程有两个不等实根， 当时，方程无实根， 当时，方程有4个不等的实根，故C正确； 令，即， 有3个不同的零点，等价于方程有3个不同的根， 设，则与的图象需有3个不同的交点， 如图，当，即时，与的图象有3个不同的交点，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：求出函数的单调性，并画出函数图象，通过数形结合求解函数的零点问题是解题关键，考查数形结合思想，属于较难题, 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】令，得，则． 13. 人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化. 现假设人们经分析估计利率下调的概率为，利率不变的概率为. 根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为，则该支股票将上涨的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率公式直接计算可得结果. 【详解】记“利率下调”为事件，则“利率不变”为事件，“价格上涨”为事件， 由题意知：，，，， . 故答案为：. 14. 已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先构造函数，根据题意得到在R上为增函数，再将转化为求解即可. 【详解】设，， 因为，所以，即在R上为增函数. . 因为在R上为增函数，所以，解得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知在的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是. （1）求n的值； （2）求展开式中的常数项； （3）求展开式中的有理项. 【答案】（1）6 （2）60 （3）；；60； 【解析】 【分析】（1）利用已知条件列出关于的组合数方程求解即可； （2）写出展开式的通项公式，令的指数为0求出参数，再代回通项计算出常数； （3）问根据通项公式令的指数为整数，结合取值范围算出所有符合条件的值，再分别计算出对应的每一项. 【小问1详解】 由题意得，则有，解得. 【小问2详解】 ， 令，故常数项： ； 【小问3详解】 有理项指数为整数且且，得，2，4，6 当时：， 当时： ， 当时： ， 当时： 16. 已知函数，且. （1）求a的值； （2）求的单调区间和极值. 【答案】（1） （2）单调递增区间：和，单调递减区间：；极大值为， 极小值为. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，将代入，建立关于的方程，求解； （2）导函数进行因式分解，确定导函数的零点，进而判断导函数的正负，再根据单调性确定极值点并计算对应极值. 【小问1详解】 对求导可得： 代入，得：， 由题，即，解得. 【小问2详解】 将代入，得，恒成立， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 单调递增区间：和，单调递减区间：， 极大值在处： 极小值在处：. 17. 已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）令，求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的前n项和公式以及等比中项的性质，利用基本量法即可求出，从而得出通项公式； （2）利用第（1）小问求出，再由错位相减法进行数列求和即可得出结论. 【小问1详解】 依题意，设等差数列的公差为，， 因为，所以， 因为，，成等比数列，所以，即， 联立，解得或（舍去）， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 所以， 所以， 两式相减得，， 所以， 所以. 18. 现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ （1）老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人； （2）名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； （3）名老师之间必要有男女学生各人． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据特殊元素优先安排求解即可. （2）利用插空法，先排老师和女学生，再排男学生甲，最后排剩余的名男学生即可. （3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，再排老师，最后利用捆绑法排列即可. 【小问1详解】 由题意可得共种不同的站法． 【小问2详解】 先排老师和女学生共有种站法，再排男学生甲有种站法， 最后排剩余的名男学生有种站法， 所以共有种不同的站法． 【小问3详解】 先任选一男学生一女学生站两位老师中间，有种站法， 两老师的站法有种， 再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的4个人进行全排列有种， 所以共有种不同的站法． 19. 设函数. （1）若曲线在点处的切线方程为，求的值； （2）当时恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由切线方程可得切线斜率，再由导数的几何意义可得所求值； （2）构造函数，再分，，三种情况讨论，当及，都可得与条件矛盾，只有满足条件，从而可得所求值范围. 【小问1详解】 由，函数的定义域为，， 因为曲线在点处的切线方程为，所以， 因此的值为. 【小问2详解】 因为，令，则， ①当时，因为，所以，，所以在上单调递增， 所以，即，所以在上单调递增， 所以，与“时恒成立”矛盾，故不成立，所以. ②当时，则，所以时，， 所以在上单调递增，则，即， 因此在上单调递增，则，与“时恒成立”矛盾，故不成立. ③当时，，而，所以，因此， 所以在上单调递减，故，即， 因此在上单调递减，则，满足“时恒成立”的条件 综上所述，当时恒成立，实数的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试题 2026.05. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是（ ） A. 5.25 B. 10.5 C. 5.5 D. 11 2. 已知，则（ ） A. 7 B. 21 C. 35 D. 42 3. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 某电视台连续播放4个广告，现将2个不同的公益广告插入其中，保持原来的4个广告播放顺序不变，不同的播放方式有（ ） A. 10种 B. 20种 C. 30种 D. 60种 5. 的展开式中的系数是（ ） A. B. C. 120 D. 210 6. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 中秋节吃月饼是我国的传统习俗，若一盘中共有两种月饼，其中4块五仁月饼、6块枣泥月饼，现从盘中任取3块，在取到的都是同种月饼的条件下，都是五仁月饼的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 在如图所示的的方格纸上（每个小方格均为正方形），则下列正确的个数是（ ） ①图中共有675个不同的矩形 ②有4种不同的颜色，给正方形ABCD中内4个小正方形涂色，要求有公共边的小正方形不同色，则不同的涂色方法共有84种 ③如图一只蚂蚁沿小正方形的边从点A出发，经过点C，最后到点E，则蚂蚁可以选择的最短路径共168条 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对给6分，部分选对的给部分分，有错选的给0分. 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 各项系数之和为 B. 二项式系数之和为 C. 展开式中二项式系数最大的项是第项 D. 展开式中第项为常数项 10. 现在安排甲、乙、丙、丁、戊五位学生去实习，有3间工厂a、b、c可供选择，每个学生去哪间工厂可自由选择，每位学生只能去其中1间工厂实习，则下列说法正确的有（ ） A. 五位学生去实习的不同安排方案有125种 B. 若每间工厂必须要有学生去，则不同的实习安排方案有150种 C. 若a工厂必须要有学生去，则不同的实习安排方案有211种 D. 若每间工厂必须要有学生去，且甲、乙不去同一间工厂，则不同的实习安排方案有114种 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减，在上单调递增 B. 既没有最大值也没有最小值 C. 若方程有4个不等的实数根，则 D. 设有3个不同的零点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，则_____． 13. 人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化. 现假设人们经分析估计利率下调的概率为，利率不变的概率为. 根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为，则该支股票将上涨的概率为_____． 14. 已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知在的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是. （1）求n的值； （2）求展开式中的常数项； （3）求展开式中的有理项. 16. 已知函数，且. （1）求a的值； （2）求的单调区间和极值. 17. 已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）令，求的前项和. 18. 现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ （1）老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人； （2）名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； （3）名老师之间必要有男女学生各人． 19. 设函数. （1）若曲线在点处的切线方程为，求的值； （2）当时恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $