第6章平行四边形章末测试卷-2025-2026学年数学八年级下册北师大版

**基本信息** 聚焦平行四边形判定、性质及综合应用，融合几何直观、推理能力与应用意识，适配八年级下册单元复习评估。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|平行四边形判定（第1题）、中位线定理（第2题）|基础概念辨析，结合图形直观| |填空题|6|性质应用（第11题）、中点四边形（第12题）|知识迁移，渗透空间观念| |解答题|6|中位线与直角三角形（第17题）、动点问题（第22题）|综合探究，发展推理与创新意识|

第6章平行四边形章末测试卷-2025-2026学年数学八年级下册北师大版（2024） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在四边形中，，要使四边形是平行四边形，则需添加一个条件，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，为测量池塘边，两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点，测得，的中点分别是，，且，则，两点之间的距离是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，则（   ） A． B． C． D． 4．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（    ） A．B． C． D． 5．在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 6．如图，在中，，，，点D、E、F分别是的中点，则四边形的周长是（   ） A．18 B．19 C．20 D．21 7．如图，在中，对角线，交于点，过点作于点，为上一点，连接．若，，，则的面积为（   ） A．6 B．7.5 C．8 D．10 8．如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点E，连结，若，则的长为（    ） A．5 B． C． D． 9．如图，点是平行四边形内任意一点，过点作交于、于，作交于、于，已知平行四边形、的面积分别为和，则平行四边形与的面积和为时，的面积为（    ） A． B．5 C． D． 10．如图，在中，与交于，在上，，，，是的中点，点以秒的速度从出发，沿向运动，点同时以秒的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止运动，当点运动（　　）秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形． A．3或4 B．3或5 C．4或6 D．4或5 二、填空题 11．如图，在中，若，，则的长为________． 12．如图，点D，，分别为各边的中点，，则为______．    13．在中，平分，交于点F，平分，交于点E，，，则的长为 _____． 14．如图，将沿对折，使点落在点处，若，，，则的面积为______． 15．如图，Rt，射线交边于点D，点E为射线上一点，以，为边作平行四边形，连接，当取最小值时，平行四边形的面积为__________________． 16．如图，已知的面积为12，点在线段上，点在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为 ________．    三、解答题 17．如图，在四边形中，，点E，F，G分别是的中点，连接． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)已知，，求的长． 18．如图，的对角线与相交于点O，点E为线段的中点，，，．求和的长度． 19．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中，以线段为腰，画一个三边都为无理数的等腰三角形（且为锐角三角形） (2)在图②中，以线段为腰，画一个三边都为无理数的等腰直角三角形； (3)在图③中，以点为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积为6的平行四边形． 20．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，过点向第一象限作且． (1)求点的坐标． (2)是平面内一点，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是_________（直接写出答案）； (3)若，请描述点相对于点的位置． (4)平面内有一点，且，求点的坐标． 21．如图，在中，于点，，连接交于点． (1)如图1所示，，，求的值． (2)如图2所示，是的中点，过点作于点，延长交的延长线于点，连接． ①证明：． ②直接写出的等量关系． 22．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）． (1)设的面积为，请用含的式子表示； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当为何值时，的长度为？ 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《第6章平行四边形章末测试卷-2025-2026学年数学八年级下册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A A D B C C A B 1．B 【分析】已知，根据“一组对边平行且相等”可判定平行四边形，根据“两组对边分别平行”可判定平行四边形，根据同旁内角互补可推出另一组对边平行，而一组对边平行另一组对边相等可能是等腰梯形． 【详解】解：, 若添加，则(同旁内角互补，两直线平行)， 四边形是平行四边形，选项A正确， 若添加，则且， 四边形是平行四边形，选项C正确， 若添加，则且， 四边形是平行四边形，选项D正确， 若添加，四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，选项B错误． 2．C 【分析】根据三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且长度为第三边的一半，据此可求出的长度． 【详解】解：∵ 、分别是、的中点， ∴是的中位线． 根据三角形中位线定理，中位线的长度是的一半，即． ∵， ∴． 3．A 【分析】先根据四边形平行四边形对角相等及求，再由对边平行同旁内角互补求即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴． 4．A 【分析】根据平行四边形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：A选项：， 四边形有一组对边互相平行，且互相平行的对边相等， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知访四边形一定是平行四边形， 故A选项符合题意； B选项：， 四边形有一组对边互相平行， 只有一组对边平行， 不能说明该四边形是平行四边形， 故B选项不符合题意； C选项：一组对边相等，另一组对边不一定相等， 不能说明该四边形是平行四边形， 故C选项不符合题意； D选项：， 四边形有一组对边互相平行， 又， 另一组对边不平行， 不能说明该四边形是平行四边形， 故D选项不符合题意． 5．D 【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可得，当，时，四边形是平行四边形，故D选项符合题意； A，B，C选项均无法判定四边形是平行四边形． 6．B 【分析】由线段中点的定义和三角形中位线定理求出四边形的四条边的长即可得到答案． 【详解】解：∵点D、E、F分别是的中点， ∴都是的中位线，且， ∴， ∴四边形的周长． 7．C 【分析】根据平行四边形的性质，得，，利用勾股定理，可求，从而，，再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形，进而可得，，最后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：在中，对角线，交于点，， ，， ，， ， ， ，即， ，，， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ． 8．C 【分析】过点作于，过点E作于点G，由平分线得出，由平行四边形的性质得出，，，，证出，则，，证出，则，由勾股定理得出，证明四边形为平行四边形，得出，，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：过点作于，过点E作于点G，如图所示： 是的平分线， ， 四边形是平行四边形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴． 9．A 【分析】由题中条件可得平行四边形的面积为，再利用平行四边形的对角线平分平行四边形的面积和平行线间的垂线段相等，面积之比等于底边之比，求出四边形的面积，进一步求出答案． 【详解】解：∵的面积分别为，的面积和为， ∴， ∵分别是的对角线， ∴， ∵， ∴， 即，代入得， 解得， 又∵， ∴， 解得， 又∵， 解得， ∴． 10．B 【分析】先利用平行四边形的性质和已知推导出，再根据等角对等边得到，则，然后利用平行四边形的性质得到，进而列方程求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 又， ， ， ， 点是的中点， ， 以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形， ， ，或， 或5． 11． 3 【分析】由题意易得，再根据平行四边形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵在中，， ∴． 12． 【分析】根据三角形中位线的性质得到、，进而证明四边形是平行四边形，从而求出的度数． 【详解】解：点D，，分别为各边的中点， 、， 四边形是平行四边形， ． 13．10或14 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，掌握相关性质是解题关键． 根据平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线得到等角，证得，，分情况讨论：当点在点上方或点在点下方时，利用线段和差关系计算的长度． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， 同理可得，， 当点在点上方时，如图： ， ， ； 当点在点下方时，如图： ， ， 综上所述，的长为10或14． 14．19 【分析】过点作交的延长线于点，根据平行四边形的性质求出的度数，利用含30度角的直角三角形性质和勾股定理求出和的长，根据折叠的性质可得，设，在中利用勾股定理列出方程求出的值，再根据平行线的性质和折叠的性质证得，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】过点作交的延长线于点． 在中，，，，． ， ， ． 在中，， ． 由勾股定理可知：． 由折叠的性质可知，． 设，则，， ． 在中，由勾股定理得：， 即， 解得． ． ， ． 由折叠可知， ， ． ． 15． 【分析】如图，延长到T，使得，连接，过点A作于点M．求解，证明，点F在射线上运动，当点F与M重合时，的值最小，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，延长到T，使得，连接，过点A作于点M． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F在射线上运动，当点F与M重合时，的值最小， 在中，，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 如图， 此时，， ∴设上的高为， ∴， ∴， ∴． 16．12 【分析】连接，过作交的延长线于，求出平行四边形，根据等底等高的三角形面积相等得出的面积和的面积相等，的面积和的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，求出的值即可． 【详解】解：连接，过作交的延长线于，如图所示：   四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是平行四边形， 边上的高和的边上的高相同， 的面积和的面积相等， 同理：的面积和的面积相等， 阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半， 设上的高为， 平行四边形的面积， ∵， ∴， 的面积是12， ， ， 阴影部分的面积是． 17．(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】（1）是直角三角形，先证明是的中位线，是的中位线，由平行线的性质结合，即可得到，即可说明； （2）由（1）知是的中位线，是的中位线，可得，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵点E，F，G分别是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由（1）知是的中位线，是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∵是直角三角形，且， ∴． 18．， 【分析】利用平行四边形证明，，结合中位线的性质可得，进一步利用勾股定理求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ，， ∵点E为线段的中点， ∴， ， ， ∴． 19．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据网格的特点以及勾股定理，作，即可求解； （2）根据网格的特点以及勾股定理，作，即可求解； （3）根据网格的特点构造平行四边形即可． 【详解】（1）如图①，即为所求（答案不唯一）； ∵ ∴是一个三边都为无理数的等腰三角形（且为锐角三角形） （2）如图②，即为所求（答案不唯一）； ∵ ∴ ∴是一个三边都为无理数的等腰直角三角形 （3）如图，平行四边形即为所求（答案不唯一）． 20．(1) (2)或或 (3)点在点下偏右距离个单位处； (4)或 【分析】（1）过点作轴于点，根据，得，由此依据“”判定和全等得，，进而得，据此即可得出点的坐标； （2）设，根据平行四边形的性质及中点坐标计算即可； （3）根据勾股定理求出，连接，作轴交x轴于点E，根据三角形内角和及等边对等角求出，进而得到，即可求出点相对于点的位置； （4）根据勾股定理求出，进而求出，判断出C、D均在直线上，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：过点作轴于点，如图所示： ， 点的坐标是，点的坐标是， ，， 在中，， ，且， ， ， 在和中， ， ，， ， 点的坐标是； （2）解：设， ①如图，当为对角线时， ∴，， ∴，， ∴； ②如图，当为对角线时， ∴，， ∴，， ∴； ③如图，当为对角线时， ∴，， ∴，， ∴； 综上所述，点的坐标是或或； （3）解：∵点的坐标是，点的坐标是， ∴， 如图，连接，作轴交x轴于点E， ∵且， ∴， ∵ ∴， ∴点在点下偏右距离个单位处； （4）解：∵点的坐标是，点的坐标是， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴C、D均在直线上， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或． 21．(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）在中，用勾股定理求出；由算出，进而求出底边；过作延长线，利用平行四边形性质得、；求出，再在中用勾股定理求． （2）①由、，得两个直角；利用同角的余角相等，推出一组对应角相等；结合已知，用证三角形全等．②利用平行四边形对角线中点性质，结合直角三角形斜边中线得、；借用前一问全等结论，得、，推一组夹角相等；用证，得、；由等腰直角三角形三边关系，推出数量关系． 【详解】（1）解：∵， 在中，，， 由勾股定理得： 又， ， ． 四边形是平行四边形， ，，且， ， ，即． 过点作，交的延长线于点， ∴， 在和中 ∴ ∴， ∴， 在中： ； （2）解：①在▱中，， 又， ， ， ， ， 在和中， ， ②连接， 在中，是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， 22．(1) (2)当时，四边形是平行四边形 (3)当或时，的长度为 【分析】（1）由题可知：，，则，可得点到的距离等于的长，再由求解即可； （2）若要使四边形为平行四边形，只需，得到，即可求解； （3）过点作于点，可得四边形为平行四边形，则，，，然后对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，点运动到点需要：（秒），点运动到点需要：（秒）， ∵其中一个动点到达端点时运动停止， ∴的取值范围是， 由题可知：，，则， ∵， ∴ ∵， ∴点到的距离等于的长， ∴； （2）解：∵，点在上，点在上， ∴， 若要使四边形为平行四边形，只需， 即： 解得： 经检验，在范围内，符合题意， ∴当时，四边形是平行四边形； （3）解：过点作于点，则 ∵， ∴， ∴ 又 ∴四边形为平行四边形， ∴，， 在中，由勾股定理得： 其中，，， ∴ ∴ 由此可得两种情况： ①当时，解得 ②当时：解得 经检验，和均在范围内，均符合题意， ∴当或时，的长度为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $