第六章 平行四边形（单元自测·提升卷）数学新教材北师大版八年级下册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第六章 平行四边形·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，在中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，的平分线交于点．若，，则的周长是（    ） A．17 B．16 C．15 D．14 3．已知四边形，与交于点O，那么不可以判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．如图，的周长为16，对角线、相交于点，点在上，，则的周长是（   ） A．10 B．6 C．4 D．8 5．如图，在平行四边形中，平分，交于点F，平分，交于点，若，则的长为（   ） A．12 B．15 C．16 D．21 6．如图，在中，，分别是边，上的点，且，连接交于点，连接，，若，，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．1 7．如图，点在边上，将平行四边形沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（   ） A．1 B． C．1.5 D．2 8．如图，在中，分别是边的中点，是对角线上的两点，且，连接．则以下结论错误的是(    ) A． B． C．四边形是平行四边形 D． 9．如图，在中，，点是延长线上一点，以，为邻边作平行四边形，连接，有下列结论：①的面积不变；②的最小值为；③的最小值为4，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 10．如图，在平面直角坐标系中，将置于第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示，则的面积为（    ） A．10 B． C．5 D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在四边形中，点为对角线和的交点，已知，，当___________时，四边形是平行四边形． 12．如图，在中，，分别是，的中点，若，则________． 13．如图，四边形是平行四边形，点，的坐标分别为，，则点的坐标为__________． 14．如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：①以为圆心，小于长为半径作弧，分别交线段，于点，；②分别以，为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点（在平行四边形内），连接交于，若，，则平行四边形的周长为______． 15．如图，在中，C是上一点，且，如果E，F分别是，的中点，的面积为26，那么的面积为___________． 16．同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为．改变E点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，则的长是______． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，在四边形中，，点在上，，，垂足为． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的长． 18．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点均在格点上．按要求完成下列作图． (1)在图①中找到格点、，画一个以点、、、为顶点且以为边的平行四边形． (2)在图②中找到格点、，画一个以点、、、为顶点且以为对角线的平行四边形． 19．在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点，若，求的长． 20．在中，，点在边所在的直线上，过点作交直线于点，交直线于点． (1)当点在边上时，如图，求证：； (2)当点在边的延长线上时，请直接写出图中，，之间的数量关系______； (3)若，，则______． 21．如图，在中，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒的速度运动，同时点从点出发沿射线方向以每秒的速度运动，在线段上取点，使得，连接，设点的运动时间为秒． (1)①_______，_______，（用含的式子表示） ②求为何值时，四边形是平行四边形？ (2)当_______时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形． 22．已知：如图：在中，，，垂直于D，是上的一个动点，以，为边作，连接，设， (1)探究与的数量关系，并说明理由． (2)设，求S关于t的关系式； (3)Q在内部，当时，求t的值． 23．如图1，的对角线和相交于点，过点且与边，分别相交于点和点． (1)求证：=； (2)如图2，已知，，，∠=∠． ①当为多少度时，？ ②在①的条件下，连接，直接写出的周长 ． 24．【知识回顾】本学期我们研究了三角形的中位线的性质：三角形中位线定理是：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． (1)【方法迁移】梯形是有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图①，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路： 如图②，连接并延长，交的延长线于点G． …… 请写出梯形的中位线和两底、之间的关系，并说明理由． (2)【理解内化】已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是______； (3)【拓展应用】如图③，直线l为外的任意一条直线，过A、B、C、D分别作直线l的垂线段、、、，请探究线段、、、之间的数量关系并说明理由． ∵， ∴，， ∵就是梯形的中位线， ∴ ∴ ∴，， ∴是的中位线， ∴，，即， ∵ ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，，， ∴， 25．如图①，在中，，将沿AC翻折，使点B落在点E处，连结． (1)求证：． (2)如图②，若点E在直线下方，相交于点O，，，求的长． (3)在翻折过程中，若，求的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第六章 平行四边形·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，在中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形“对角相等”的性质，得出，再根据“邻角互补”的性质，计算出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 2．如图，在中，的平分线交于点．若，，则的周长是（    ） A．17 B．16 C．15 D．14 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质得出，再由角平分线及等量代换得出，确定，即可求解 【详解】解：， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 的周长． 3．已知四边形，与交于点O，那么不可以判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、由，可以根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； C、由，不能证明四边形是平行四边形，故此选项符合题意； D、∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； 4．如图，的周长为16，对角线、相交于点，点在上，，则的周长是（   ） A．10 B．6 C．4 D．8 【答案】D 【分析】由平行四边形对角线互相平分及得到垂直平分，结合垂直平分线性质、三角形周长与平行四边形周长求解即可． 【详解】解：在中，对角线、相交于点，则， ， 垂直平分， ， 则的周长是， 的周长为16， 的周长是． 5．如图，在平行四边形中，平分，交于点F，平分，交于点，若，则的长为（   ） A．12 B．15 C．16 D．21 【答案】B 【分析】利用平行线+角平分线得出等腰三角形；由 及 平分 得 ，从而 ，同理 ，再结合 利用线段关系即可求出 ． 【详解】解： 四边形 是平行四边形， ，，， ， 平分 ， ， ， ， 同理： 平分 ，， ， ， 由图可知，， 即 ， ． 6．如图，在中，，分别是边，上的点，且，连接交于点，连接，，若，，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．1 【答案】C 【分析】由题意先判断四边形和四边形都是平行四边形，再根据，可得，再根据比例关系即可求解． 【详解】解：∵,, ∴, ∵ ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ， ∴． 7．如图，点在边上，将平行四边形沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（   ） A．1 B． C．1.5 D．2 【答案】A 【分析】由翻折得出，，求出，根据勾股定理求出，进而求出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，， 点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上， ，， ， ， ， ， ． 8．如图，在中，分别是边的中点，是对角线上的两点，且，连接．则以下结论错误的是(    ) A． B． C．四边形是平行四边形 D． 【答案】A 【分析】由是的中点，是上的动点，可知与不一定垂直，可判断A错误；由平行四边形的性质及，分别是，的中点，推导出，，而，即可根据“”证明，得，可判断B正确；由等角的补角相等推导出，则，因为，所以四边形是平行四边形，可判断C正确，证明四边形是平行四边形得出，根据即可判断D正确． 【详解】解：是的中点，是上的动点， 与不一定垂直，故A错误； 四边形是平行四边形，，分别是，的中点， ，，且，， ，， 在和中， ， ， ，故B正确； ， ， ， ， 四边形是平行四边形，故C正确； ∵ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形 ∴ 又∵ ∴，故D正确． 9．如图，在中，，点是延长线上一点，以，为邻边作平行四边形，连接，有下列结论：①的面积不变；②的最小值为；③的最小值为4，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】过点作于点，证明得到，再由三角形面积公式即可判断①；确定点在直线上运动，延长至点，使得，交直线于点，连接，则点为点关于直线上的对称点，那么，则，当点三点共线时，取得最小值为，在中，求出，即可判断②；由于点在直线上运动，则，故的最小值为4，即可判断③． 【详解】解：如图所示，过点作于点，则， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积不变，故①正确； 由上知， ∴点到直线的距离为2， ∴点在直线（直线l在直线下方，，且直线l到直线的距离为2）上运动， 如图所示，延长至点，交直线于点，使得，连接， ∵，， ∴， ∴点为点关于直线上的对称点， ∴， ∴， 当点三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的最小值为，②错误； ∵点在直线上运动， ∴， ∴的最小值为4，故③正确， ∴正确的为①③， 10．如图，在平面直角坐标系中，将置于第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示，则的面积为（    ） A．10 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】根据题意，得，过点D作于点G，根据题意，得，故的面积为：． 【详解】解：根据题意，得直线向右平移3个单位长度时，直线经过点A， 此时直线的解析式为， 设直线与x轴的交点为M，与y轴的交点为N， 则， 故， ， 当直线经过点D，点B时，设过点D的直线与的交点为E，过点B的直线与的交点为F， 根据，得，又因为, 故四边形是平行四边形， 故， 根据函数图象，得， 设直线分别与x轴交于点H，点Q， 则四边形是平行四边形， 故， ， ，， ， 过点D作于点G， 根据题意，得， 故的面积为： 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在四边形中，点为对角线和的交点，已知，，当___________时，四边形是平行四边形． 【答案】3 【分析】根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，已知 ，只需 即可． 【详解】解：根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形， 在四边形 中， ， 要使四边形 是平行四边形，只需 ， ， ． 即当时，四边形是平行四边形． 12．如图，在中，，分别是，的中点，若，则________． 【答案】 【分析】先根据中位线的判定和性质求出，再结合平行四边形的性质，即可求解． 【详解】∵，分别是，的中点， ∴为的中位线， ∴， 故， 又∵四边形为平行四边形， ∴． 13．如图，四边形是平行四边形，点，的坐标分别为，，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质可得，，先求得到的平移方式，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点，的坐标分别为，， ∴将向左平移1个单位，向上平移1个单位得到， ∴将向左平移1个单位，向上平移1个单位得到，即． 14．如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：①以为圆心，小于长为半径作弧，分别交线段，于点，；②分别以，为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点（在平行四边形内），连接交于，若，，则平行四边形的周长为______． 【答案】16 【分析】由作图步骤知 是 的角平分线；由平行四边形性质 得 ；结合角平分线得 ，从而 ；再由 求出 ，进而求周长． 【详解】解：由作图可知，是 的角平分线，， ∵四边形 是平行四边形， ，，， （两直线平行，内错角相等）， ， （等角对等边）， ， ， ， ， 平行四边形 的周长 ． 15．如图，在中，C是上一点，且，如果E，F分别是，的中点，的面积为26，那么的面积为___________． 【答案】 【分析】连接，先根据求得，然后根据三角形的中线将三角形的面积平分，求得，，再根据三角形的中位线定理，证明，即可根据等积变形求得答案． 【详解】解：连接， ，的面积为26， ， 是的中点， ， 是的中点， ， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ， ． 16．同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为．改变E点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，则的长是______． 【答案】或或 【分析】分和两种情况，分别作出相应图形，进行讨论求解即可． 【详解】解：①当时，延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴； 如图，当重合时，记，的交点为， ∵当时，， ∴，而， ∴， ∴当重合时，， 由折叠可得：； ②当时，如图，设与交于点，作， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：的长是或或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，在四边形中，，点在上，，，垂足为． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为3 【分析】（1）由，可得，又，可证结论； （2）由角平分线的性质可得，由四边形是平行四边形可得，故，在中，求出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ， ∵， ∴四边形是平行四边形 （2）解：由（1）已知，四边形是平行四边形，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 答：的长为3． 18．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点均在格点上．按要求完成下列作图． (1)在图①中找到格点、，画一个以点、、、为顶点且以为边的平行四边形． (2)在图②中找到格点、，画一个以点、、、为顶点且以为对角线的平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的判定方法画图即可； （2）根据平行四边形的判定方法画图即可． 【详解】（1）解：如图为平行四边形（答案不唯一）． （2）解：如图为平行四边形（答案不唯一）． 19．在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，可知，，据此即可证明结论； （2）容易证明，，利用勾股定理求得的长度，进而可求得的长度． 【详解】（1）证明：∵，分别为，的中点， ∴，． ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，， ∴，． ∵， ∴． 在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴，． 在中，， ∴． 20．在中，，点在边所在的直线上，过点作交直线于点，交直线于点． (1)当点在边上时，如图，求证：； (2)当点在边的延长线上时，请直接写出图中，，之间的数量关系______； (3)若，，则______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）证明四边形是平行四边形， 由平行四边形的性质得到，根据等腰三角形的性质和判定结合平行线的性质，证明， 等量代换即可得结论； （2）证明四边形是平行四边形， 由平行四边形的性质得到，根据等腰三角形的性质和判定结合平行线的性质，证明， 等量代换即可得结论； （3）分三种情况讨论，当点在边上时，当点在边的延长线上时，当点在边的反向延长线上时，结合所证结论即可求解． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即； （3）解：当点在边上时，由（1）可知：， ，， ； 当点在边的延长线上时，由（2）可知：， ； 当点在边的反向延长线上时，如图， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ，， 此情况不存在； 综上，或． 21．如图，在中，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒的速度运动，同时点从点出发沿射线方向以每秒的速度运动，在线段上取点，使得，连接，设点的运动时间为秒． (1)①_______，_______，（用含的式子表示） ②求为何值时，四边形是平行四边形？ (2)当_______时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形． 【答案】(1)①，；②时，四边形是平行四边形 (2)或 【分析】（1）①由题意得，，结合，即可求解；②由，当时，四边形是平行四边形，列方程求解即可； （2）分两种情况：当点、在线段上时，当点、在线段的延长线上时，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，， ， ； ②，当时四边形是平行四边形，     ； （2）当点、在线段上时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形， 则， ， 解得； 当点、在线段的延长线上时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形 则， ， 解得； 综上所述，当或时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形． 22．已知：如图：在中，，，垂直于D，是上的一个动点，以，为边作，连接，设， (1)探究与的数量关系，并说明理由． (2)设，求S关于t的关系式； (3)Q在内部，当时，求t的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查等腰三角形的性质、平行四边形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，设点P到的距离为，利用三角形面积公式和平行四边形面积公式求出和，进而探究二者的数量关系即可； （2）过点D作于点E，根据勾股定理求出长，利用“等面积法”求出长，进而求出，由（1）知，，据此解答即可； （3）根据平行四边形的性质得到、，进而得到，利用求出，进而求出长，利用，列方程求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ，垂直于D， ， 设点P到的距离为， 、， ； （2）解：如图，过点D作于点E， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 由（1）知，， ； （3）解：设交于点M， 四边形是平行四边形， 、， ， ， 由（2）知，， ， ， ， ， ， 在内部， ， ， 整理得：， 解得． 23．如图1，的对角线和相交于点，过点且与边，分别相交于点和点． (1)求证：=； (2)如图2，已知，，，∠=∠． ①当为多少度时，？ ②在①的条件下，连接，直接写出的周长 ． 【答案】(1)见解析 (2)①当时，；② 【分析】(1)先证明，继而证明，可推导出，即可解答； (2)①先证明，推导出，再由，即可解答； ②先证明垂直平分，则，继而求出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． （2）解：①∵四边形是平行四边形， ∴，． 又∵， ∴， ∴ ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴垂直平分． ∴． ∵在中，， ∴在中，． ∴的周长． 24．【知识回顾】本学期我们研究了三角形的中位线的性质：三角形中位线定理是：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． (1)【方法迁移】梯形是有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图①，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路： 如图②，连接并延长，交的延长线于点G． …… 请写出梯形的中位线和两底、之间的关系，并说明理由． (2)【理解内化】已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是______； (3)【拓展应用】如图③，直线l为外的任意一条直线，过A、B、C、D分别作直线l的垂线段、、、，请探究线段、、、之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)；，理由见解析 (2)30 (3)，理由见解析 【分析】（1）先证和全等，再说明是的中位线．利用三角形中位线定理得出结论； （2）根据梯形的中位线长为，得出梯形两底和的一半等于，再根据梯形面积公式计算即可； （3）连接、相交于O，过点O作于P，过作交、于、，交延长至点，过作交于，利用四边形、、都是平行四边形，以及得出，同理可证，那么是梯形的中位线，是梯形的中位线，再利用梯形的中位线性质得出结论． 【详解】（1）解：；． 证明：连接并延长，交的延长线于点G．如图， ∵， ∴，， ∵就是梯形的中位线， ∴ ∴ ∴，， ∴是的中位线， ∴，，即， ∵ ∴． （2）解：∵梯形的中位线长为， ∴梯形两底和的一半等于， ∴ （3）解：， 证明：连接、相交于O，过点O作于P，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，，， ∴， 过作交、于、，交延长至点，过作交于， 则四边形、都是平行四边形， ∴，， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形，， ∴， 又， ∴， ∴， 同理可证， ∴是梯形的中位线，是梯形的中位线， ∴，， ∴． 25．如图①，在中，，将沿AC翻折，使点B落在点E处，连结． (1)求证：． (2)如图②，若点E在直线下方，相交于点O，，，求的长． (3)在翻折过程中，若，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)或． 【分析】(1) 利用平行四边形对边相等和翻折性质，通过等量代换即可得证． (2) 由和推出，即；再由翻折性质得平分，从而；在中，过点作高，利用特殊角直角三角形性质和勾股定理即可求出． （3）情况讨论直线与直线的交点的位置：分别利用平行线性质、翻折性质得到直角三角形，再通过含、角的直角三角形边长关系，用表示与，求出比值． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 沿翻折，点落在点处， ， ． （2）解：，， ， ， 沿翻折得到， ， ， 在中，，， ， 过点作于点， 在中，， ，， 在中，， ， ， ， ， （3）解：设直线交直线于点，． 情况一如图，在延长线上， ，即， ， ，且在、之间， ， ，即， 在中，， ， ，， 由翻折知，，， 在、之间， ， 又， 在中，， ，， ， ， ， ． 情况二，点在线段上，如图 ， ， ，且在、之间， ， ， 在中，， ， ，， 由翻折知，，， 在、之间， ， 又， 在中，， ，， ， ， ， ， ． 综上所述，或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第六章平行四边形能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B 0 C A A B A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.3 12.12 13.(3,2 14.16 5号 16.210或4或410 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分； 共9小题，共72分) 17. 【详解】(1)证明：：∠ACB=∠CAD=90° .AD∥BC, :AE∥DC, .四边形AECD是平行四边形3分 (2)解：由(1)已知，四边形AECD是平行四边形，EF⊥AB, .EC=AD,∠AFE=∠ACB=90°， :AE平分∠BAC, :EF=EC, .EF=AD, 在Rt△BEF中，BF=4,BE=5, EF=VBE2-BF2=V52-42=3, :AD=EF=3. 答：AD的长为3.6分 1/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 18. 【详解】(1)解：如图为平行四边形ABCD(答案不唯一). D 3分 B C (2)解：如图为平行四边形AFBE(答案不唯一). …6分 B E 19. 【详解】(1)证明：：E,F分别为AB,AC的中点， EF∥BC,EF=)BC .CD∥EF. CD-IBC, :CD=EF .四边形CDFE是平行四边形.3分 (2)解：：CD=BC,BD=AB=6, :CD=BD=2,BC-2BD=4. 3 3 :∠ACB=90°， ∠0CD=90°. 在Rt△ABC中，AC=√AB2-BC2=2V5, :四边形CDFE是平行四边形， 0c-CFc5 D200. 2 在Rta0CD中，0D=VCD2+OC=2 2 2/12 学科网·上好课 www，zxxk.com 上好每一堂课 $$\therefore D E = 2 O D = \sqrt { 2 1 } .$$ ....6分 20. 【详解】(1)证明： ∵DF∥AC，DE∥AB， ：四边形 AFDE 是平行四边形， ∴DF=AE， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵DE∥AB， ∴∠EDC=∠B， ∴∠EDC=∠C， ∴DE=EC， ∴DE+DF=EC+AE=AC； ......2分 (2)解： ∵DF∥AC，DE∥AB， ：四边形 AFDE 是平行四边形， ∴DF=AE， ∵DE∥AB， ∴∠B=∠CDE， ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∵∠DCE=∠ACB， ∴∠CDE=∠DCE， ∴DE=CE， ∴AC+DE=AC+CE=AE=DF， ，即 AC+DE=DF； ...... 分 (3)解：当点D在边 BC 上时，由(1)可知： DE+DF=AC， ∵AC=6，DE=4， ∴DF=AC-DE=2； 当点D在边 BC 的延长线上时，由(2)可知： AC+DE=DF， ∴DF=10； 当点D在边 BC 的反向延长线上时，如图， 3/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B .DF AC,DEl AB, ·四边形AFDE是平行四边形， :DE=AF=AB+BF AC +BF, :DE>AC, AC=6,DE=4,DE<AC :此情况不存在； 综上，DF=2或10.6分 21. 【详解】(1)解：①由题意得AP=t,CQ=2t, :QE=2, :CE=CQ-QE=21-2;2分 ②：AD∥BC,当AP=EC时四边形APCE是平行四边形， .t=2t-2 ·1=2;4分 (2)当点Q、E在线段BC上时，以A,B,E,P为顶点的四边形为平行四边形， 则AP=BE, ：t=10-(2t-2), 解得1=4； 当点Q、E在线段CB的延长线上时，以A,B,E,P为顶点的四边形为平行四边形 则AP=BE, .1=21-2-10, 4/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得1=12； D OE B 综上所述，当1=4或t=12时，以A,B,E,P为顶点的四边形为平行四边形.8分 22. 【详解】(1)解：SPpc0=2SAPD,理由如下： :AB=AC,AD垂直BC于D, :.BD=CD=-BC=3, 2 设点P到BC的距离为h, Sm-DA=、5w-DCA=3 S.Ppc0=2S.PBD;2分 (2)解：如图，过点D作DE⊥AB于点E, :AD⊥BC, B C D ∠ADB=90°， 在Rt△ADB中，由勾股定理得：AD=VAB2-BD2=V5-32=4, w方m0-48DE DE=BD:AD3×412 AB 55 ∴Sm=)BP-DE= 112_6 -tx 2 551 由(1)知，SaPDCQ=2 SAPBD, 5=2Spm0=2×51=12, t= 55 ;5分 (3)解：设AD交PQ于点M, 5/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 四边形PDCQ是平行四边形， D ∴PQ=DC=3、PQ∥DC, :AD⊥BC, .AD⊥PQ, 2 由(2)知，Spmc= 5 , 1 t4 .DM=S.mce=4 PO 3 5 4 .AM=AD-DM=4--t, 5 :.= 112,6 55 t=-t, :Q在ABC内部， S.40c=SABc-S.AP-S.PBD-SPDcO 61 52 整理得181=30， 解得t二8分 23. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD,ABICD ∴∠EB0=∠FD0. 又：∠BOE=∠DOF, .△BOE≌ADOF(ASA). .0E=0F.2分 (2)解：①：四边形ABCD是平行四边形， 6/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :OD=BD=2,04=1AC=2. 1 又：AD=2, AD2+0D2=8,0A2=8,AD=D0 AD2+0D2=0A2 .∠AD0=90°， △AD0为等腰直角三角形， .∠A0D=450 :EF⊥AC, .LA0F=90°， ∴∠a=∠A0F-∠A0D=90°-45°=45°；5分 ②：OA=OC,EF⊥AC, ∴EF垂直平分AC, :AF =FC. :在Rt△ABD中，AB=√AD2+BD2=V22+42=2V5, .在ABCD中，CD=AB=2√5. △ADF的周长=AD+DF+FA=AD+DF+CF=AD+CD=2+2√5.8分 24. 【详解】D解：EP∥AD∥BC:EF=D+BC 证明：连接AF并延长，交BC的延长线于点G.如图， D E :AD∥BC, G 图② .∠DAF=LCGF,LD=LGCF, :EF就是梯形ABCD的中位线， .DF=CF .△ADF≌aGCF(AAS 7112 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .AD=CG,AF=GF, EF是△ABG的中位线， :EF=)BG=BC+CG)=BC+AD,EF∥BG,即EF∥BC, 2 2 AD∥BC .EF∥AD∥BC.4分 (2)解：：梯形的中位线长为5cm, :.梯形两底和的一半等于5cm, S梯形=5×6=30cm2)）7分 (3)解：BE+DH=AF+CG, 证明：连接AC、BD相交于O,过点O作OP⊥1于P,如图， D M :四边形ABCD是平行四边形， E F 图③ .0A=0C,0B=0D, :OP⊥1，BE⊥1，DH⊥I,AF⊥I,CG⊥1 .BE∥AF∥OP∥CG∥DH, 过G作GMI‖AC交AF、OP于M、Q,交延长QP至点N,过F作FW‖MQ交QP于N, 则四边形AMQO、OCGQ都是平行四边形， ∴.MQ=A0,GQ=OC, .MO=GO, 又FNI‖MQ, :.四边形MFNQ是平行四边形，∠NFP=∠QGP, :FN=MO=GO, 又∠FPN=∠GPQ, .△NFP≌△QGP(AAS), .PF=PG, 8/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 同理可证PE=PH, OP是梯形BEHD的中位线，OP是梯形AFGC的中位线， -D)OP-(4F-CG) 2 BE+DH=AF+CG.12分 25. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， :AD BC, :△ABC沿AC翻折，点B落在点E处， :BC =CE ·AD=CE.3分 (2)解：：ABCD,AE⊥CD, AE⊥AB, ∠BAE=90°， :△ABC沿AC翻折得到△AEC, .∠BAC=∠EAC, 六∠BAC=∠BAE=45°， 2 在ABC中，∠B=60°，∠BAC=45°， ∠BCA=75°， 过点C作CH⊥AB于点H, A B: 在Rt△BCH中，∠B=60°， ·BH=BC cu-8c-5Bc. 在Rt ACH中，∠CAH=45, ·AH=CH=3BC 2 AB=AH +BH =2, 9/12 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 :5BC+BC=2, 22 :5+I8C-2, 2 4 ∴.BC= 45-0=45-=25-2…7分 5+1(3+10(W3-1)2 (3)解：设直线AE交直线BC于点F,BF=x, 情况一如图，F在BC延长线上， D ADII BC,即AD∥CF, B E ∴∠DAF+∠AFC=180°， :∠DAE=90°，且E在A、F之间， ∠DAF=90°， ∴∠AFC=90°，即∠AFB=90°， 在Rt△ABF中，∠ABF=∠ABC=60°， ∠BAF=30°， ·AB=2BF=2x,AF=VAB2-BF2=√5x, 由翻折知AE=AB=2x,CE=BC,∠AEC=∠B=60°， ·F在A、E之间， ∠CEF=LAEC=60°， 又∠CFE=180°-∠AFB=90°， 在Rt△CEF中，∠ECF=30°， CF-BC-EF5Bc. ·EF=BC 2 BF=BC+CF, x-BC+BC-2+)BC 2 2 10/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴BC= 2+5=22-, 2x :4B 2x 1 BC 2 22-2-52+5. 情况二，点F在线段BC上，如图 E A D'.ADII BC, B F .∠DAF+∠AFB=180°， :∠DAE=90°，且F在A、E之间， .∠DAF=90°， ∠AFB=90°， 在Rt△ABF中，∠ABF=60°， ∠BAF=30°， ·AB=2BF=2x,AF=√AB2-BF2=V5x, 由翻折知AE=AB=2x,CE=BC,∠AEC=60°， F在A、E之间， :∠CEF=∠AEC=60°， 又∠CFE=180°-∠AFB=90°， 在Rt△CEF中，∠ECF=30°， 2CF-VCE-EF-BC, EF= 2 :BC=BF +CF, .BcBc 2 BC=,2 2-V 5=2x(2+V3), AB 2x 1 aC2x2+52+52-5. 11/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 综上所述， 把2+5成2-5，分 12/12学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第六章平行四边形能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1,如图，在口ABCD中，∠B+∠D=126°，则∠A的度数是() D B A.116° B.117° C.118 D.120 2.如图，在ABCD中，∠DAB的平分线交DC于点E.若AD=3,CE=2,则ABCD的周长是() D E B A.17 B.16 C.15 D.14 3.己知四边形ABCD,AC与BD交于点O,那么不可以判定四边形ABCD是平行四边形的是() A.AB∥CD,AB=CD B.AB∥CD,∠BAD=∠BCD C.AB=CD,A0=CO D.AD∥BC,AO=CO 4.如图，口ABCD的周长为16，对角线AC、BD相交于点O,点E在AD上，OE⊥AC,则△CDE的周长 是() A A.10 B.6 C.4 D.8 5.如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC,交AD于点F,CE平分∠BCD,交AD于点E,若 AB=9,EF=3,则BC的长为() 1/8 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.12 B.15 C.16 D.21 6.如图，在ABCD中，E,F分别是边BC,AD上的点，且EF∥AB,连接AC交EF于点G,连接DG, E,若DF、1 AF=2'Sc=4,则aABE的面积为（) A.4 B.6 C.8 D.1 7.如图，点E在AD边上，将平行四边形ABCD沿CE翻折，使点D的对应点F落在AB边上，若 ∠DCE=45°，BC=5,CD=4,则AF的长为() A.1 B.√2 c.1.5 D.2 8.如图，在ABCD中，E,F分别是边AD,BC的中点，G,H是对角线BD上的两点，且BG=DH,连接 EG,EH,FG,FH,BE,DF.则以下结论错误的是() D G B A.GF⊥BD B.∠DEH=∠BFG C.四边形EGFH是平行四边形 D.S图边形EBFD=S△ABD 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2V3,BC=2,点D是AC延长线上一点，以BA,BD为邻边 作平行四边形ABDE,连接CE,BE,有下列结论：①△ACE的面积不变；②EA+EB的最小值为3√5；③ BE的最小值为4，其中正确的是() 2/8 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 10.如图，在平面直角坐标系中，将口ABCD置于第一象限，且AB∥x轴.直线y=-x从原点出发沿x轴正 方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度1与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图 2所示，则。ABCD的面积为() D √⑧ B O 0 78 图1 图2 A.10 B.V50 C.5 D.V25 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.如图，在四边形ABCD中，点0为对角线AC和BD的交点，已知OB=OD=5cm,0A=3cm,当 0C= cm时，四边形ABCD是平行四边形. B 0 D 12.如图，在口ABCD中，E,F分别是AD,BD的中点，若EF=6,则CD= D 13.如图，四边形OABC是平行四边形，点A,C的坐标分别为(4,1)，(-1,1)，则点B的坐标为 3/8 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 14.如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以B为圆心，小于AB长为半径作弧，分别交线段 B,BC于点M,N:②分别以M,N为圆心，大于号MN为半径作题，两驱相交于点P(P在平行四 边形内)，连接BP交AD于E,若AB=3,ED=2,则平行四边形ABCD的周长为· E D M B N 15.如图，在△ABD中，C是BD上一点，且BC=2CD,如果E,F分别是AC,AB的中点，△ABD的面 积为26，那么△DEF的面积为 E 16. 数学思想)同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动.在平行四边形纸片ABCD中， 已知AB=10,AD=4V10,口ABCD的面积为120.点E为BC边上任意一点，将△ABE沿AE折叠，点B 的对应点为B.改变E点的位置，将△ABE沿AE折叠，连接B'C,当BCB'为直角三角形时，则B'C的 长是 D 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分； 共9小题，共72分) 17.如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，点E在BC上，AE∥DC,EF⊥AB,垂足为F. 4/8 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B (I)求证：四边形AECD是平行四边形： (2)若AE平分∠BAC,BE=5,BF=4,求AD的长. 18.图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点均在格点上.按要 求完成下列作图. B B 图① 图② (I)在图①中找到格点C、D,画一个以点A、B、C、D为顶点且以AB为边的平行四边形。 (2)在图②中找到格点E、F,画一个以点A、B、E、F为顶点且以AB为对角线的平行四边形 I9.在Rt△ABC中，∠C=90°，E,F分别是边AB,AC的中点，延长BC到点D,使CD=BC,连接 EF,CE,DF. E B (I)求证：四边形CDFE是平行四边形， (②)连结DE,交AC于点O,若AB=BD=6,求DE的长 2O.在ABC中，AB=AC,点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F, DE∥AB交直线AC于点E. 5/8 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A E B D 图① 图②E (I)当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF=AC; (②)当点D在边BC的延长线上时，请直接写出图②中DE，DF,AC之间的数量关系： (3)若AC=6,DE=4,则DF=· 21.如图，在ABC中，BC=I0cm,过点A作AD∥BC,且点D在点A的右侧.点P从点A出发沿射线 AD方向以每秒1cm的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2cm的速度运动，在线段QC上 取点E,使得QE=2cm,连接PE,设点P的运动时间为t秒， B E (1)①CQ=,CE=，(用含t的式子表示) ②求t为何值时，四边形APCE是平行四边形？ (2)当t= s时，以A,B,E,P为顶点的四边形为平行四边形. 22.己知：如图：在ABC中，AB=AC=5,BC=6,AD垂直BC于D,P是AB上的一个动点，以PD, DC为边作PDCO,连接AQ,设BP=t, (I)探究SPDCQ与SPD的数量关系，并说明理由. (2)设S,Ppco=S,求S关于t的关系式： (6)0在ABC内部，当Sc=25oce时，求t的值. 23.如图1，口ABCD的对角线AC和BD相交于点O,EF过点O且与边AB,CD分别相交于点E和点F. 6/8 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 F F O E E 图1 图2 (I)求证：OE=0F; (2)如图2，己知AD=2,BD=4,，AC=4V2,∠D0F=∠O. ①当∠a为多少度时，EF⊥AC? ②在①的条件下，连接AF,直接写出△ADF的周长_· 24. 新情境)【知识回顾】本学期我们研究了三角形的中位线的性质：三角形中位线定理是：三角形 的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. D E G E F G H 图① 图② 图③ (1)【方法迁移】梯形是有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，连接梯形两腰的中点，得到的线段 叫做梯形的中位线.如图①，EF就是梯形ABCD的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路： 如图②，连接AF并延长，交BC的延长线于点G. …… 请写出梯形的中位线EF和两底AD、BC之间的关系，并说明理由 (2)【理解内化】已知梯形的中位线长为5cm,高为6cm,则梯形面积是cm2; (3)【拓展应用】如图③，直线1为口ABCD外的任意一条直线，过A、B、C、D分别作直线1的垂线段BE、 AF、CG、DH,请探究线段BE、AF、CG、DH之间的数量关系并说明理由 D :AD∥BC, G 图② .LDAF=∠CGF,LD=∠GCF, 7/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :EF就是梯形ABCD的中位线， .DF=CF △ADF≌AGCF(AAS .AD=CG,AF=GF, :.EF是△ABG的中位线， EF-BG=sC+cG-Bc+AD,EF∥BG,即EF∥8C, :AD∥BC .EF∥AD∥BC. D B M .四边形ABCD是平行四边形， ◇ G H 图③ .0A=0C,0B=0D, :OP⊥I,BE⊥I,DH⊥I,AF⊥I,CG⊥1 .BE∥AF∥OP∥CG∥DH, 25. I新方向如图①，在口ABCD中，∠B=60°，将ABC沿AC翻折，使点B落在点E处，连结DE. ① ② ③（备用图） (I)求证：AD=CE. (2)如图②，若点E在直线AD下方，AE、CD相交于点O,AB=2,AE⊥CD,求BC的长， (3在翻折过程中，若∠DAE=90,求5 的值. BC 8/8