第5章分式与分式方程章末测试卷-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

**基本信息** 北师大版八年级下册分式与分式方程单元卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，考查分式性质、方程求解及实际应用，培养抽象能力与模型意识，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|分式基本性质、方程去分母、增根|基础概念辨析，如分式值随字母变化规律| |填空题|8|自变量取值范围、新定义运算|融入“优界数”创新情境，考查推理意识| |解答题|6|方程求解、实际应用（米脂小米购进）、规律探究|设计“和谐分式”概念及规律归纳题，提升创新意识|

第5章分式与分式方程章末测试卷-2025-2026学年数学八年级下册北师大版（2024） 一、单选题 1．下列分式与一定相等的是（   ） A． B． C． D． 2．解分式方程，去分母后的结果是（    ） A． B． C． D． 3．若方程有增根，则a的值为（   ） A． B．4 C．3 D．2 4．化简二次根式的结果是（   ） A． B． C． D． 5．甲、乙两人分别加工300个零件，甲每天比乙多加工10个，结果甲提前5天完成．设乙每天加工x个零件，所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 6．在等式中，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是（    ） A． B． C． D． 7．关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组有解，则满足上述条件的所有整数的绝对值之和为（    ） A．14 B．16 C．18 D．21 8．如果把分式中的x、y同时扩大到原来的2倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的倍 C．不变 D．缩小到原来的倍 二、填空题 9．在函数中，自变量的取值范围_________． 10．若分式的值为0，则______． 11．计算______． 12．已知，则的值为________． 13．若关于x的分式方程无解，则k的值为______． 14．关于的不等式组有解且至多有个整数解，关于的方程有整数解，则满足条件的所有整数的和是______． 15．对于实数m，n，定义两种新运算：，，则的值为______． 16．对于两个实数a、b，若分式有意义且，则称是的一个“优界数”，并规定的所有优界数的取值范围叫做的“优界域”，例如：当时，由且，解得，所以6的“优界域”为，当时，的“优界域”为______________；已知实数，关于的分式方程的解为，若是的优界数，则的取值范围为______________． 三、解答题 17．解分式方程 (1)； (2)． 18．先化简，再求代数式的值，其中． 19．按下列程序计算，并回答下列问题： 输入 1 2 … 输出答案 1 1 m n … (1)填空：______，______； (2)根据上述计算你发现了什么规律？请说明规律的正确性． 20．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么就称这个分式为“和谐分式”．例如：，所以可称是“和谐分式”． (1)请判断是否是“和谐分式”：______；（填“是”或“否”） (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并求出当取什么整数时，该式的值为整数． 21．米脂小米历史悠久，品质优良，有防止消化不良等功效．某粮油超市计划购进A，B两种包装的米脂小米进行销售，已知每袋A种包装的米脂小米进价比每袋B种包装的米脂小米进价多10元，用150元购进A种包装的米脂小米袋数与用100元购进B种包装的米脂小米袋数相同． (1)求A，B两种包装的米脂小米每袋进价分别是多少元？ (2)若该粮油超市计划购进A，B两种包装的米脂小米共20袋，且总花费不超过500元，请你计算该粮油超市最多能购进A种包装的米脂小米多少袋？ 22．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)根据上述等式的规律，写出第4个等式：______； (2)用含n的等式表示上述规律，并证明； (3)利用这一规律计算：． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《第5章分式与分式方程章末测试卷-2025-2026学年数学八年级下册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B B B A B B A 1．A 【分析】根据分式的基本性质可判断A；根据当时，式子无意义可判断B；根据当时，，可判断C、D． 【详解】解：A、，故此选项符合题意； B、当时，式子无意义，故此选项不符合题意； C、当时，，，此时，故此选项不符合题意； D、当时，，，此时，故此选项不符合题意； 2．B 【分析】先将互为相反数的分母变形，再将方程两边同乘最简公分母，即可得到去分母后的结果． 【详解】解：原方程为可变形为， ∵方程的最简公分母为， ∴方程两边同时乘以，去分母得． 3．B 【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据增根定义确定增根的值，代入增根计算得到a的值． 【详解】解：， 方程两边同乘去分母，得， 去括号得， 则， ∵原分式方程分母为，方程有增根， ∴增根满足，即， 将代入整式方程，得， 解得：． 4．B 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定a的取值范围，再利用二次根式的性质化简即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式中被开方数为非负数，且分母不为0， ∴且， ∵， ∴， 解得， ∴． 5．A 【分析】根据已知条件表示出甲的工作效率，再结合“工作时间工作总量工作效率”得到甲、乙两人的工作时间，最后根据甲提前5天完成的等量关系列方程即可． 【详解】∵设乙每天加工个零件，甲每天比乙多加工10个， ∴甲每天加工个零件， 乙加工300个零件的总时间为天， 甲加工300个零件的总时间为天， ∵甲提前5天完成，即乙的总时间比甲多5天， ∴， 故选：A． 6．B 【分析】本题考查分式的基本性质．根据分式的基本性质，给等式右边的分子分母同乘，即可求出被遮挡部分的式子. 【详解】解：设*部分的式子为，，且， 根据分式的基本性质， 给等式的分子分母同乘得：， ， 即*部分的式子为， 故选B. 7．B 【分析】先解分式方程，根据解为正数且不为增根得到a的取值范围，再解不等式组，根据不等式组有解得到a的另一范围，找出范围内所有整数a，计算它们的绝对值之和即可. 【详解】解分式方程： 方程两边同乘得： 整理得： 解得： ∵分式方程的解为正数，且（时分母为0，是增根） ∴且 ∴且 解不等式组： 解第二个不等式得：，即 ∵不等式组有解，即两个不等式存在公共解 ∴，解得 综上，的取值范围是且，范围内的整数为： 计算绝对值之和： 故选B. 8．A 【分析】把原分式中的x、y分别用替换，求出新分式的结果即可得到答案． 【详解】解：把分式中的x、y同时扩大到原来的2倍后得到的分式为， ∴新分式的值是原分式的值的2倍，即分式的值扩大到原来的2倍． 9． 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分母不为零，列出不等式求解即可． 【详解】解：， 解得：． 10． 【分析】根据分式值为时分子为且分母不为，列出等式与不等式求解，舍去使分母为的解即可. 【详解】解：∵分式的值为， ∴且， 解得或， 对因式分解得， 由得且， 综上，符合条件的． 11． 【详解】解：． 12．2 【分析】先对所求分式进行通分变形，再将已知等式整体代入化简求值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴． 13． 1 【分析】先将原分式方程去分母化为整式方程，分式方程无解说明原方程存在增根，增根使原方程分母为零，求出增根后代入整式方程即可求解． 【详解】解：， 两边同乘最简公分母得：， 关于的分式方程无解， 原分式方程有增根，增根使分母，即， 将代入得：． 14．0 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和解分式方程，先解一元一次不等式组，可得到该不等式组的解集为，结合不等式组有解且至多有个整数解，可得，将分式方程变形得到，结合，可得，结合分式方程有整数解，可得或． 【详解】解： 解不等式，得 ． 所以该不等式组的解集为． 因为该不等式组有解且至多有个整数解， 所以． 解不等式组，得 ． 将变形，得 ． 当时， ． 根据题意可知 ，即，可得 ，即． 因为分式方程有整数解， 所以或． 所以或或或． 因为且， 所以或或． 所以满足条件的所有整数的和是． 15． 【分析】根据新运算的定义写出待求式的代数形式，再利用平方差公式因式分解，结合分式的除法法则化简即可． 【详解】解：根据新运算定义可得：， 16． ； ，且． 【分析】（1）仿照例题求解即可； （2）解分式方程得到，根据分式方程有解为，得到，再结合优界数的定义，得到，且，根据的符号分两种情况求解即可． 【详解】解：当时， ， ， ， 又， ， 的“优界域”为； 解分式方程，得， 分式方程的解为， ，且， ， ， 是的优界数， ，且， ，且， 当时，，解得：，不符合题意； 当时，，解得：，此时； 的取值范围为，且． 17．(1) (2)分式方程无解 【分析】（1）根据解分式方程的步骤计算即可得出结果； （2）根据解分式方程的步骤计算即可得出结果． 【详解】（1）解：去分母可得：， 去括号可得：， 移项并合并同类项可得：， 系数化为1可得：， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为； （2）解：去分母可得：， 去括号可得：， 移项并合并同类项可得：， 系数化为1可得：， 检验，当时，， ∴原分式方程无解． 18．， 【分析】先对括号内进行通分后，对分子分母进行因式分解，将除法转化为乘法后，约分化简，最后代入求值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式 ． 19．(1)1；1 (2)当时，答案都等于1，证明见解析 【分析】（1）根据程序图计算即可； （2）根据表格找出规律，根据程序图证明即可． 【详解】（1）解：当时， 当时， （2）解：当时，答案都等于1． 证明：当时， ∴该规律正确． 20．(1)是 (2)， 【分析】（）根据“和谐分式”的定义判断即可求解； （）根据“和谐分式”的定义解答即可求解； 本题考查了分式的新定义，分式的加法运算，理解定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴是“和谐分式”， 故答案为：是； （2）解：， 要使的值为整数，则的值必须为整数， ∴应为的整数因数， ∴或，解得． 21．(1)A种包装的米脂小米进价是30元/袋，B种包装的米脂小米进价是20元/袋 (2)10袋 【分析】（1）设A种包装的米脂小米进价是x元/袋，根据“用150元购进A种包装的米脂小米袋数与用100元购进B种包装的米脂小米袋数相同”列分式方程求解即可； （2）设该粮油超市购进A种包装的米脂小米m袋，根据“购进A，B两种包装的米脂小米共20袋，且总花费不超过500元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设A种包装的米脂小米进价是x元/袋， 根据题意可得， 解得， 经检验：时，，故是原方程的解． ∴， 答：A种包装的米脂小米进价是30元/袋，B种包装的米脂小米进价是20元/袋； （2）解：设该粮油超市购进A种包装的米脂小米m袋， 根据题意可得， 解得， 答：该粮油超市最多能购进A种包装的米脂小米10袋． 22．(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）通过分析已知等式中被开方数的分子、分母与等式序号的关系，推导第4个等式的形式； （2）归纳每个等式中被开方数的分子、分母及结果与正整数的关联，得出第个等式的通用表达式； （3）利用总结的规律将每个根号内的式子转化为分数形式，通过约分简化根号内的乘积，最终计算出结果． 【详解】（1）解：由上述等式的规律得，第4个等式：； （2）解：由上述等式的规律得，第个等式为； 证明： ； （3）解： ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $