专项总结突破卷（五、六）分式与分式方程＋平行四边形-【追梦之旅·初中数学铺路卷】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

铺路卷 ZBB·八年级数学 ”为期中、期末铺路，为中考、未来铺路 追梦专项总结突破卷（五） 分式与分式方程 旧梦之旅 题型一 分式的化简求值 1先化简，再求值：1心的其中。6装(a1) a2-ab 1b+11=0。 腳 n 2.先化简，再求值(1+1 -,其中x=-7。 2)-4 如 题型二解分式方程 3.解下列方程： （1)2-+3 1 x-3 3-x （2)224-11。 x+2x2-4 瑞 …终孙 题型三与分式方程有关的会参问题 类型1根据分式方程无解或有增根求字母的值 方法点拨：解分式方程去分母后化成的整式方程有解，当这个解 使最简公分母的值为0时，这个解就是分式方程的增根；分式方 程无解有两种情况，一是只有增根，二是化成的整式方程无解，即 ax=b中，a=0且b≠0；不要漏掉任何一种情况。 4.若分式方程"=2+0有增根，则a的值为( ) x-4 x-4 A.4 B.2 C.1 D.0 22x-无解，则n 5.关于x的分式方程m+8=2 类型2根据分式方程的解的情况确定所含字母的值或取值范围 方法点拨：解决此类问题要先解出分式方程，用含有字母的式子 表示该方程的解，再根据条件列出方程或不等式（组）求字母的 值或取值范围。注意：字母的值或取值范围应排除原分式方程的 分母为0的情况。 6已知于的分式方程24，的解为正数，则的取值范 2-x 围是() A.-8<k<0 B.k>-8且k≠-2 C.k>-8且k≠2 D.k<4且k≠-2 x+4<3x-2 7.若整数k使关于x的一元一次不等式组 的解集是x> (x>h 3,且使关于y的分式方程3y-5+,=1有非负整数解，则符合 y-22-y 条件的所有整数k的值之和为() A.-4 B.-1 C.0 D.2 试题精讲 8.(1)已知关于x的分式方程0，+3 =1。 x-11-x ①当a=5时，求方程的解； ②若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求α的值； (2)关于x的方程x,=2有整数解，求此时整数m的值。 x-22-x 题型四分式方程的实际应用 9.【数学与生活】某校八年级的学生去距学校10千米的博物馆开 展研学活动，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学 生乘汽车出发，结果他们同时到达。已知汽车的速度是骑车学 生速度的2倍，求骑车学生的速度。 【学以致用】设骑车学生的速度为x千米/小时，用含有x的式子 表示： (1)汽车的速度 千米/小时； (2)骑车学生总共用的时间为 小时，乘汽车的学生总 共用的时间为 小时。 (3)请列分式方程并求出骑车学生的速度。 l0.DeepSeek掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本， 高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”。已知某公司拥有 甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用DeepSeek,使其数 据迁移速度提升至乙数据中心的5倍，且甲数据中心迁移100 TB数据比乙数据中心迁移30TB数据所需时间少5小时。 (1)分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：TB/小 时)； (2)现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务， 共用8小时至少完成56TB的数据迁移，且同一时间只能一个 数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工 作多少小时？ 。25· 铺路卷 ZBB·八年级数学下 +为期中、期末铺路，为中考、未来铺路 追梦专项总结突破卷（六） 平行四边形 题型一平行四边形的判定与性质 1.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,点E在边AB上， 请从“①∠B=∠AED:②AE=BE,AE=CD”这两组条件中任选一 组作为已知条件，解决下列问题： (1)求证：四边形BCDE为平行四边形； (2)若AD⊥AB,AD=6,AE=3√2，求线段BC的长。 THE ROAD TO 2.数学思想·分类思想在△ABC中，AB=AC,点D在BC边所在的 直线上，过点D作DE∥AC交直线AB于点E,DF∥AB交直线AC 于点F。 (1)当点D在BC边上时，如图，求证：DE+DF=AC; (2)若AC=6,DE=2,则DF= 。26 题型二平行四边形中的翻折问题 3.如图，将平行四边形ABCD沿BF折叠，使点C恰好落在边AD 上的点E处，若此时将边AB沿BE进行折叠，点A又恰好落在 点F处，则平行四边形ABCD的较小内角为( ) A.36° B.30° C.72 D.60° 第3题图 第4题图 第5题图 4.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6,AD=8,将△ACD沿对角线 AC折叠得到△ACE,AE与BC交于点F,当F恰好为BC的中点 时，则平行四边形ABCD的面积为( A.30 B.60 C.67 D.127 ▣ 试题精讲 5.数学思想·分类思想如图，在口ABCD中，AB=4√2，BC=10,∠A =45°，点E是边AD上一动点，将△AEB沿直线BE折叠，得到 △FEB,设BF与AD交于点M,当BF与口ABCD的一边垂直时， DM的长为 6.如图，在平行四边形ABCD中，AB=AC,点E,F分别在AD、BC 上，沿EF折叠平行四边形，使点A,C互相重合，点B落在点G 的位置。 (1)连接GF,CE,求证：△CED≌△CFG; (2)若∠BCD=130°，求∠AEF的度数。 题型三探究动点问题 7.如图，在平行四边形ABCD中，AD=6,E为AD上 一动点，M,N分别为BE,CE的中点，则MN的长 为 8.如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,BD⊥CD,AB= 易错 6cm,BC=10cm。点E从点D出发沿DA方向以2cm/s的速 分析 度匀速运动，到点A时停止运动，连接EO并延长交BC于点F。 设运动时间为ts。 (1)当t为何值时，四边形EDCF是平行四边形？并说明理由； (2)当t=3s时，求四边形OFCD的面积。 9.如图，在口ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度 从点A向点D运动，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速 度从点C出发，在BC间往返运动，P,Q两点同时出发，当点P空 到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD=6cm,开始运 动后，求当运动时间为多少秒时，以P,D,Q,B四点组成的四边 做题 心得 形是平行四边形。 题精故整数p的值可能为5或-5或1或-1。 6.解：(1)A (2)原式=x2-x-5x+5=(x2-x)-(5x-5)=x(x-1) 5(x-1)=(x-1)(x-5)。 7.解：(1)不彻底，完整的解答过程：设x2-2x=m,则原式= m(m+2)+1=m2+2m+1=(m+1)2=(x2-2x+1)2=[(x 1)2]2=(x-1)4; (2)设x2+6x=m,则原式=m(m+18)+81=m2+18m+81= (m+9)2=(x2+6x+9)2=[(x+3)2]2=(x+3)4。 追梦专项总结突破卷（五） 1解：原式=11心由题意，得e a(a-b)a+b 1=0,b+1=0,∴.a=-1,b=-1,当a=-1,b=-1时，原式= -1 卷 1。 案 2解：原式=.+22》4，当x=-7时，原式= x-2 x(x-1) 5 7 3.解：(1)因为分式中分母不能为零，所以x≠3。方程两边 都乘以(x-3),得2-x+3(x-3)=-1。解这个方程，得x= 3。检验：把x=3代人(x-3),得3-3=0，.x=3是原分 式方程的增根，∴.原分式方程无解； (2)因为分式中分母不能为零，所以x≠±2。方程两边 都乘以(x+2)(x-2),得(x-2)2-(2x-1)=(x+2)(x-2)。 3 解这个方程得x)。检验：将x=)代入原方程，得方 之是原分式方程的根。 边=1，右边=1，左边=右边，.x= 4.A 或4【解折】会式方只径有位问时象以 x(x-2),得mx-8=2(x-2),∴.(m-2)x=4。①当m-2= 0时，方程无解，此时m=2;②当m-2≠0时，x=4 2,由 x(x-2)=0,可知当x=0或x=2时，原方程有增根，从而 20或4 无解，即4 -22。:4 -2*0,m=4,综上所 述，m=2或4时，原分式方程无解。 6B【解标】解分式方程，得x=牛由分式方程的解为正 数，得到件0且生82，解得8且≠-2。故选B 7.B【解析】不等式x+4<3x-2的解集为x>3,不等式x>k 的解集为x>k,若整数k使关于x的一元一次不等式组 {x+4K3x-2的解集是3，k≤3。：关于y的分式方 x>k 程3y-5k=1的解是y=2,且分式方程有非负整数 y-22-y 解，k=3或k=1或k=-1或k=-3,当k=1时，y=2是 方程的增根，舍去，k=3或k=-1或k=-3,符合条 件的所有整数k的值之和为3-1-3=-1。故选B。 8解：(1)①当a=5时，分式方程为5+3 9x-t- =1，因为分式 中分母不能为零，所以x≠1。方程两边都乘以(x-1): 得5-3=x-1,解这个方程得x=3,检验：把x=3代入原 方程，得左边=1=右边，∴.x=3是原方程的根； ②方程两边同乘以(x-1),得a-3=x-1,解这个整式方 程得x=a-2,由题意得：x-1=0,解得x=1,∴.a-2=1,解 得a=3,∴a的值为3； (2)解"x-11 2t22,得x 2-m。“方程有整数解且m 2 追梦之旅铺路卷·八年级 2 为整数，2-m=±1或2-m=士2且2一m≠2，解得m=1 或3或0或4且m≠1，.m=3或0或4，.此时整数m 的值为3或0或4。 912x(2)100 2x ③)鼻：根粥题意得0”解得：=15，经赖验， 15是所列方程的根，且符合题意。答：骑车学生的速度 为15千米/小时。 10.解：(1)设乙数据中心的数据迁移速度为xTB/小时，则 甲数据中心的数据迁移速度为5xTB/小时。由题意得 30100 =5解得x=2,经检验，x=2是原方程的根，且符 x 5x 合题意，∴.5x=10,答：甲数据中心的数据迁移速度为 10TB/小时，乙数据中心的数据迁移速度为2TB/小时： (2)设甲数据中心工作y小时，则乙数据中心工作(8 y)小时，由题意得10y+2(8-y)≥56，解得y≥5，答：甲 数据中心至少需要工作5小时。 追梦专项总结突破卷（六） 1.解：(1)选择①∠B=∠AED;证明：∠B=∠AED,∴.DE ∥CB,又：AB∥CD,.四边形BCDE为平行四边形； (2)AD⊥AB,AD=6,AE=32,.∠A=90°，在Rt△ADE 中，由勾股定理得：DE=√AE2+AD2=36。四边形 BCDE为平行四边形，.BC=DE=36,.线段BC的长 为36。 2.(1)证明：.·DE∥AC,DF∥AB,∴.四边形AEDF是平行四 边形，∴.DE=AF,∠FDC=∠B。又：AB=AC,.∠B= LC,.∠FDC=∠C,.DF=FC,∴.DE+DF=AF+FC= AC: (2)4或8 3.C4.D 5.2或6【解析】如图1，当BF⊥AD时，平行四边形AB CD中，AD∥BC,.BF⊥BC,∴.∠AMB=90°，将△AEB 沿BE翻折，得到△FEB,∴.∠A=∠F=45°，∴.∠ABM= 45°，∴.AM=BM,∴.'AB=4√2，.AM2+BM2=AB2,即2AM2 =(4√2)2，解得AM=BM=4,·BC=AD=10,.DM=AD- AM=10-4=6;如图2，当BF⊥AB时，∠ABF=90°，此时 F与点M重合，AB=BF=42,.AF=8,DM=10-8 =2.综上所述DM的长为2或6. E F(M)D B 图1 图2 6.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD, ∠BAD=∠BCD,∠B=∠D,由折叠的性质可得，AB=CG, ∠B=∠G,∠BAD=∠GCE,∴.∠BCD=∠GCE,CD=CG, ∠D=∠G,.∠ECD+∠BCE=∠BCD,∠BCE+∠FCG= ∠GCE,.∠ECD=∠FCG,..△CED≌△CFG(ASA): (2)解：∠BCD=130°，四边形ABCD是平行四边形， ∠B=50°，AD∥BC,.·AB=AC,∴.∠ACB=∠B=50°，.·AD ∥BC,∴.∠DAC=∠ACB=50°，AC⊥EF,∴.∠AOE= 90°，∴.∠AEF=180°-∠DAC-∠A0E=40°. 7.3 8.解：(1)当t=2.5s时，四边形EDCF是平行四边形，理由 如下：.：AD∥BC,AD=BC=10cm,B0=D0,.∴.∠ED0= (∠EDO=∠FBO ∠FBO,在△DEO和△BFO中，{DO=BO (∠EOD=∠FOB △DEO≌△BFO(ASA),'.DE=BF=2t..BC=10cm,. 下·ZBB·数学第13页 CF=(10-2t)cm。要使四边形EDCF为平行四边形， 则CF=ED,即10-2t=2t时，解得t=2.5s; (2)过点D作DM⊥BC于点M,过点O作ON⊥BC于点 N,.BD⊥CD,CD=AB=6cm,BC=10cm,由勾股定理，得 BD=VBC-CD=8am,Sax=2BD·CD=BC· DM,.6×8=10DM,.DM=4.8cm,由题意可得：DM∥ 1 ONDOBO,ON-DM-2.4cmx6x8 =24(cm),当t=3s时，DE=BF=6cm,Saor=2×2.4 ×6=7.2(cm2),.Sg边形0rcn=SAB0c-SAB0p=24-7.2= 16.8(cm2)。 9.解：：四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC。.PD∥ BQ。若以P,D,Q,B四点组成的四边形是平行四边形 则PD=BQ,设运动时间为t秒。6÷0.5=12（秒），①当0 <t≤3时，PD=6-0.5t,BQ=6-2t,.∴.6-0.5t=6-2t,解得t =0(不合题意舍去)；②当3<t≤6时，PD=6-0.5t,BQ= 2t-6,∴.6-0.5t=2t-6,解得t=4.8;③当6<t≤9时，PD 6-0.5t,BQ=18-2t,.6-0.5t=18-2t,解得t=8;④当9< t≤12时，PD=6-0.5t,BQ=2t-18,∴.6-0.5t=2t-18,獬 得t=9.6;综上所述，当运动时间为4.8秒或8秒或9.6 秒时，以P,D,Q,B四点组成的四边形是平行四边形。 追梦专项总结突破卷（七） 1.B2.D3.720°4.3 <m<2 5.解：(1)设甲种滑动变阻器的单价是x元，则乙种滑动变 阻器的单价是(x+6)元。根据题意得2700_2400 解得x x+6 x =48,经检验，x=48是所列方程的根，且符合题意，.x+ 6=54(元)，答：甲种滑动变阻器的单价是48元，乙种滑 动变阻器的单价是54元： (2)设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻 器(100-m)个，根据题意得48m+54(100-m)≤5000，解 得m≥62 m为整数，.m的最小值为67，答：该校 最少购买67个甲种滑动变阻器。 6.证明：由题意得：OB=OC,BD⊥OA,CE⊥OA,∠OEC =∠BD0=90°，∴.∠B+∠BOD=90°，.BD=7cm,0E= 7cm,∴.BD=OE,.Rt△OBD≌Rt△COE(HL),∴.∠B= ∠C0E,∴.∠C0E+∠BOD=90°，即∠B0C=90°，∴.OB⊥ 0C. 7.解：(1)设每份该种早餐中谷物食品有xg,牛奶有yg。依 了9%x+3%y+60x15%=300x8%,解得 题意，列方程组得，x+)+60=300 v=10,答：每份该种早餐中谷物食品有130g,牛奶 110g。 (2)设每个学生一周里共有a天选择A套餐，则有(5-a) 天选择B套餐。依题意，得！50a+180(5-a)≤830 (85a+60(5-a)≤410。解 得 22 ≤a≤5。a=3或a=4,当a=3时，5-a=2,当a =4时，5-a=1,∴.每个学生一周内午餐可以选择A套餐 3天，选择B套餐2天；或每个学生一周内午餐可以选择 A套餐4天，选择B套餐1天。 8.解：(1)4532 (2)如图所示，根据题意得， 北 GM=3,GW=33,∠NGM= H 、N4实际速度 90°，根据勾股定理得，MN= 船在静心 中的速度、 、M √(35)2+32=6，在 G水流速度 追梦之旅铺路卷·八年级 Rt△GMN中，：GM=)MN,.∠MNG=30°。根据平行 四边形法则，GH∥NM,GH=NM=6,∴.∠NGH=∠GNM= 30°，∴.小船应朝北偏西30°方向航行，速度大小为6km/h。 追梦专项总结突破卷（八） 1.解：(1)2+2=0每株A种花苗为0元 32 2x (2y由题意，得35x日=10 m 1,解得m=7,经检验，m= 7是原分式方程的根，∴.m=7。 2.解：(1)C (2)由题可知，BE=CD=1m,EC=BD=8m,∠AEC= ∠ABD=90°。∠HGF=90°，.∠HGF=∠AEC。FG =DB,.FG=CE。在△HFG和△ACE中， 大 I∠HGF=∠AEC FG=CE ,.△HFG≌△ACE(ASA),·.HG=AE= 案 ∠HFG=∠ACE 14m,∴.AB=AE+BE=14+1=15(m),答：旗杆AB的高度 为15m: (3)为了测量结果的准确性，应多次测量∠ACE,HG,取 平均值。（答案不唯一） 3.解：任务1：是 任务2：证明：在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，∴.∠ACB =180°-40°-60°=80°，CD为角平分线，.∠ACD= BCD=ACB=40 LACD=ZA,CD=DA, △ADC是等腰三角形：.·∠BCD=∠DCA=∠A=40°，∠B =60°，.∠BDC=40°+40°=80°，.∠BDC=∠ACB,. △BCD和△BAC是“等角三角形”，·.CD为△ABC的等 角分割线； 任务3：分三种情况：①当DA=DC时，∠ACD=∠A=42°， :CD是△ABC的等角分割线，∴.∠ACB=∠BDC=42°+ 42°=84°；②当DA=AC时，LACD=LADC=2×(180°- 42)=69°。CD是△ABC的等角分割线，∴.∠BCD= ∠A=42°，则∠ACB=69°+42°=111°；③当AC=DC时， ∠ADC=∠A=42°，则∠BDC=180°-42°=138°=∠ACB, 那么∠B=180°-42°-138°=0°（舍去），故∠ACB的度数 为84°或111°。 追梦期末达标测试卷（一） 答案12345678910 速查ABBDBBCA DB 1.A2.B3.B 4D【解析1(1-4)x-3-x3」 x-3 =-3 x+1x2-1x+1(x+1)(x-1)x+1 (x+1)(x-1) =x-1。故选D。 x-3 5.B 6.B【解析】.把△OAB沿x轴向右平移到△ECD,.四 边形ABDC是平行四边形，AC=BD,∴.A和C的纵坐标 相同，点A的坐标为(2,5)，四边形ABDC的面积为 20,∴.S=5BD=20,.BD=4,.,点B的坐标为(8,0)，.D (12,0),故选B。 7.C【解析】·DE是AB的垂直平分线，.AE=BE, △BCE的周长等于18，∴.BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+ BC=18。BC=8,.AC=18-8=10。故选C。 8.A【解析】把A(m,4)代入y=-2x+2得-2m+2=4,解得 m=-1,由图象可知，当x>-1时，-2x+2<hx+b。故选A。 9.D 10.B【解析】如图1，过点B作BC⊥x轴，过B,作B,D⊥x 下·ZBB·数学第14页