第4章三角形章末测试卷-2025-2026学年北师大版数学七年级下册

**基本信息** 北师大版七年级下册三角形单元卷，以风筝制作、池塘测量等真实情境为载体，覆盖三角形性质、全等判定、等腰三角形等核心知识，通过基础巩固与创新应用梯度设计，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|三角形三边关系、全等判定（如SAS）|结合风筝“龙骨”图案考查全等性质，体现文化传承| |填空题|6|等腰三角形周长、整边三角形分类|引入“优美比”概念，培养创新意识| |解答题|6|作图、全等证明、测量方案设计|设计池塘距离测量方案，发展应用意识与推理能力|

第4章三角形章末测试卷-2025-2026学年数学七年级下册北师大版（2024） 一、单选题 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．2，3，5 B．3，3，7 C．5，6，7 D．2，2，5 2．周长是13，各边长都是整数的等腰三角形有（   ）种 A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，要测量池塘两端点，间的距离，在平地上取一点，连接，，并延长到，两点，使，；连接，测量的长即可得知，间的距离．这种方法的依据是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，于点是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 5．如图，若，且，，，，则的面积为（　） A．8 B．6 C．5 D．10 6．若的三边长a，b，c满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 7．山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的相关知识．在如图所示的风筝“龙骨”图案中，、、．则不一定能得到以下哪个结论（   ） A． B． C． D． 8．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰的周长为10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是（   ） A． B． C．或 D．或 9．如图，在中，点是边上一点，点是线段上一点，且；其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①② C．①③④ D．③④ 10．如图，，，垂足分别为B，E，，相交于点F，且．若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．已知三角形的三边长分别为3，6，a，则的值可以为__________．（填一个即可） 12．如果实数满足，且恰好是等腰的两边长，则的周长是___________． 13．如图，在四边形中，连接，平分，添加一个条件后，能证明的是________． 14．小明回顾了用尺规作的过程是： 由尺规作图可知，，，， 所以________， 所以________．（填写理由依据） 15．我们称各边长为整数的三角形为整边三角形．若整边三角形三边长为，，且满足，当时，这样的整边有______个；若（为正整数）时，这样的整边有______个（用含的代数式表示）． 16．如图，直角三角形中，，点为边上一点，且，连接交延长线于，且为线段的中点，若，，则面积为______． 三、解答题 17．如图，已知，和线段，求作，使，，．（保留作图痕迹，无需说明作图步骤） 18．已知的三边长为，，， (1)若，，写出的范围，并化简：． (2)若是等腰三角形，且，求这个等腰三角形的周长． 19．如图，，，，点在边上． (1)求证：； (2)判断与的数量关系，并说明理由． 20．在中，，，点为直线上方一点，且．    (1)如图1，过点作， ①求证：； ②若，，求的长． (2)如图2，延长交于点，若恰好平分，且，请求出的面积． 21．按要求解答下列各题 背景 某校八年级学生到野外活动，为测量一不规则池塘两端的距离，甲、乙两位同学分别设计出如图所示的两种方案． 测量示意图 测量 甲：过点作射线． ②过点B作于点． 在的延长线上截取，使得________．（只添加一个条件） 测量的长即可． 乙：在水池外过点作的垂线，在上取点，使得． 过作的垂线，使点在同一条直线上． 测量的长即可． 问题解决： (1)乙的方案是否可行，请说明理由； (2)补全甲方案，并说明可行的理由． 22．阅读理解： 例：已知：，求：m和n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 解决问题： (1)若，求x、y的值； (2)已知a，b，c是的三边长且满足，若c是中最短边的边长，且c为整数，请直接写出________，________，________． (3)根据平方的非负性，请你尝试确定：当m取何值时，代数式取到最值，最值为多少？ 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《第4章三角形章末测试卷-2025-2026学年数学七年级下册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A B C C D C C A 1．C 【分析】根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，只需判断较小两边的和是否大于最大边，逐项判断即可求解． 【详解】解：选项A中，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； 选项B中，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； 选项C中，满足两边之和大于第三边，其余任意两边之和也大于第三边，能组成三角形； 选项D中，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形． 2．C 【分析】利用等腰三角形边长性质，结合三角形三边关系和边长为整数的限定条件，推导得到所有符合要求的三角形，即可得出答案． 【详解】解：设等腰三角形腰长为，底边长为， 由题意得，且，均为正整数， ∴， 根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，可得且， 将代入不等式：，解得， ∵， ∴，得， ∵为整数， ∴可取，，， 对应得到三边长分别为，，，共种符合条件的等腰三角形． 3．A 【分析】根据证明，得出，即可得出答案． 【详解】解：在与中， ， ∴， ∴， 即测量的长即可得知，间的距离． 4．B 【分析】由全等三角形的性质可得，，即可得的周长． 【详解】解：， ，， 的周长． 5．C 【分析】根据全等三角形的性质得到，进而得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 6．C 【分析】首先根据平方和绝对值的非负性得到，，求出，即可得结论． 【详解】解：∵， ，， ， ∴是等边三角形． 7．D 【分析】根据已知条件利用证明，可得，进而利用角的和差关系证得，再利用证明，利用全等三角形的性质逐一判断选项即可． 【详解】 解：A．在和中， ， ， 故选项A不符合题意； B．， ， 即， 在和中， ， ， 故选项B不符合题意； C．， ， ， 即， 故选项C不符合题意； D．与是不同位置的角度，无直接关系，故不一定相等， ∴选项D符合题意． 8．C 【分析】本题分3为腰长和3为底边长两种情况讨论，计算对应边长后求出“优美比”，同时根据三角形三边关系验证能否构成三角形，即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为腰长时， ∵等腰的周长为， ∴底边长 ， ∵，满足三角形三边关系， ∴“优美比”为； ②当为底边长时， ∵等腰的周长为， ∴腰长， ∵，满足三角形三边关系， ∴“优美比”为； 综上，该等腰三角形的“优美比”是或． 9．C 【分析】根据，得到两组三角形中的边角的关系，得到、为等腰直角三角形，逐个判断各结论的正确性即可． 【详解】解：， ，，，， ， ， ，， ，， ， ，即①正确； 根据现有条件，无法判断②，故②不正确； ，， ， 设延长线交于点H，延长线交交于点M，则， ，即③正确； ，， ， ，即④正确； 综上所述，结论中正确的是①③④． 10．A 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质和判定； 由垂直得，求出，证明，得到，，然后利用线段的和差求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 11．4（答案不唯一） 【分析】根据三角形三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出的取值范围，再任取一个范围内的值即可． 【详解】解：根据三角形三边关系可得 即 ∴的值可以为4（答案不唯一）． 12．或． 【分析】根据非负性可得，，求解得，，再分成是腰长和3是底边长，分别讨论，进而可得出周长． 【详解】解：∵实数满足，，， ∴，， 解得：，， 若是腰长， ∵， ∴以、、为边可以构成三角形， ∴的周长是； 若3是底边长， ∵， ∴以、、为边能构成三角形， ∴的周长是． 故答案为：或． 13．（答案不唯一，填或亦可） 【分析】根据角平分线的定义可得，结合图形中的公共边，根据全等三角形的判定定理、或添加相应的条件即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵在和中，， 若添加， ∴； 若添加， ∴； 若添加， ∴． 14． 全等三角形的对应角相等 【分析】根据全等三角形的判定定理及性质解答即可． 【详解】解：由尺规作图可知，，，， 所以， 所以（全等三角形的对应角相等）． 15． 【详解】解：当时，则， 根据三角形三边关系，可得， 当时，代入得， 又∵， ∴， ∴此时无整数解； 当时，代入，即， ∴， ∴， 此时三边为，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∴或， 此时三边为或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∴或或， 此时三边为：或或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴或或， 此时三边为：或或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴或， 此时三边为或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴， 此时三边为，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴此时无整数解； 综上可得当时，满足条件的整边的个数为：（个）； 若（为正整数）时， 同上理可得：满足条件的整边的个数为：（个）． 16． 【分析】过点作的延长线于点，可证，得，，再证，得，，即得，设，则，进而利用列出方程求出的值即可求解． 【详解】解：如图，过点作的延长线于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵为线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴． 17．见解析． 【分析】先画射线，在上截取，依次作角， ， ，交于点，则，所以即为所求． 【详解】解：如图，即为所求． 18．(1)；3 (2)等腰三角形的周长为17 【分析】本题考查了三角形三边关系、绝对值化简及非负数的性质在等腰三角形中的应用，解题的关键是熟练运用三角形三边关系、配方法及分类讨论思想． （1）利用三角形三边关系求出的取值范围，再根据绝对值的性质化简式子； （2）用配方法求出、的值，再结合等腰三角形的性质和三边关系求周长． 【详解】（1）解：根据三角形三边关系，得： ， ． ， ，， ． （2）解：， ， ． ，， ，， ，， 是等腰三角形， 分两种情况①当腰长为时，三边长为，，， ，能构成三角形， 周长为； ②当腰长为时，三边长为，，， ，不能构成三角形，舍去． 综上，这个等腰三角形的周长为17． 19．(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）利用证明两个三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质，即可得证. 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）知：， ∴. 20．(1)①见解析；②11 (2)32 【分析】（1）①利用即可证明； ②由全等三角形的性质求得，，再利用线段的和与差计算即可求解； （2）作交的延长线于点，证明，求得，同理证明，求得，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）①证明：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②解：∵， ∴，， ∴； （2）解：作交的延长线于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积． 21．(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（）由，，得，然后通过“”证明即可； （）根据全等三角形的判定方法即可求解． 【详解】（1）解：乙的方案可行，理由如下， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴测量的长即可； （2）解：添加，理由， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴测量的长即可； 或添加，理由， 在和中， ， ∴， ∴， ∴测量的长即可； 或添加，理由， 在和中， ， ∴， ∴， ∴测量的长即可． 22．(1)， (2)，，或 (3)当时，代数式取得最大值，最值为 【分析】本题考查了完全平方式的非负性，解方程，三角形三边之间的关系； （1）根据阅读材料的方法进行运算，即可求得结果； （2）根据阅读材料的方法进行运算，求出a、b的值，再根据三角形三边关系确定c的值即可； （3）将式子化为，然后根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】（1）解：， ∴，， 解得：，； （2）解： ， ∴，， 解得，， ∴，即， 又∵c是中最短边的边长，且c为整数， ∴或， 故答案为：，，或； （3）解：， ∵， ∴， ∴， 即时，代数式取得最大值，最值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $