课题学习 怎样通知最快：打电话问题（易错培优讲练）易错点拨+4个易错考点讲练+优选真题拔尖练 共35题-2025-2026学年人教版数学五年级下册

2025-2026学年人教版数学五年级下册单元培优讲义【易错笔记】 课题学习 怎样通知最快：打电话问题『易错笔记培优讲练』 【解析版】 同学你好，该份讲义用于人教版五年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 易错知识梳理：强化巩固细节知识，给出常考易错点，解题技巧以及提分方法，助你正确理解运用知识点，查漏补缺； 2. 易错考点讲练：优选高频考察易错题，汇编整理，精选近两年各地名校易错题类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 易错真题拔尖练：结合本专题内容精选20题历年常考易错题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 易错点拨一 混淆“总人数”与“学生人数” 公式 2n 和 2n - 1 代表的意义完全不同。 易错点：题目问“知道消息的一共有多少人”，很多同学习惯性地减去了1；或者题目问“最多通知了多少名学生”，同学却忘了减去老师。 避坑指南： 知道消息的总人数 = 2n（包含最开始的那个老师/发起者）。 接到通知的学生/队员总数 = 2n - 1（不包含老师，因为老师不需要被通知）。 做题技巧：读题时圈出“学生”、“队员”、“不含老师”等字眼，看到这些词立刻反应要“减1”。 易错点拨二 忽视“不足一分钟”的情况（向上取整问题） 易错点：题目给出的人数往往不是刚好凑成 2n - 1 的整齐数字。例如要通知 50 人，算出 5 分钟只能通知 31 人，6 分钟能通知 63 人。有同学会纠结 50 离 31 更近，或者觉得 6 分钟浪费了，从而选错。 避坑指南：打电话问题中，时间必须是整数分钟。只要人数超过了上一分钟的极限（31人），哪怕只多出 1 个人（即 32 人），也必须多花整整 1 分钟。 原则：只要 2n- 1 小于目标人数，就必须进入下一分钟（数学上叫“进一法”或“向上取整”）。 易错点拨三 误以为“分组越多越快” 易错点：在探究最优方案的初期，很多同学直觉认为“把大家分成小组，组长负责制”是最快的。 避坑指南：必须明确“最优方案”只有一个核心标准——“人人不空闲”。 如果分组后，老师通知完组长，组长再去通知组员，而老师在一旁闲着，这就不是最优方案。 真正的最快方案是“裂变式”的：老师通知A，下一分钟老师和A同时通知B和C，再下一分钟这四个人同时通知……所有人都必须动起来。 易错点拨四 搞错“第n分钟”与“n分钟”的界限 易错点：题目问“第5分钟新通知了多少人？”和“5分钟一共通知了多少人？”，这两个问题的答案天差地别。 避坑指南：分清“增量”和“总量”。 5分钟一共通知（累计）：25 - 1 = 31 人。 第5分钟这一分钟内新通知（增量）：2{5-1} = 16 人。 做题时一定要看清题目问的是“累计总数”还是“当分钟新增数”。 易错点拨五 单位时间变化时，直接套用旧规律 易错点：题目变成“每通知一个人需要 2 分钟”，求通知 15 人需要多久。有同学算出需要 4 个周期，就回答“需要 4 分钟”。 避坑指南：一定要看清题目中的时间单位。 先算出需要几个“通知周期”（按最优方案通知15人需要4个周期）。 乘以每个周期的实际时间：4 ×2 = 8 分钟。千万不要把“周期数”直接当成“分钟数”。 易错点拨六 初始条件改变（老师先通知多人） 易错点：题目设定“老师先同时通知了 2 位班长”，很多同学还是习惯从 2^1 开始算，导致全盘皆输。 避坑指南：这种题相当于“起步价”变了。 第 1 分钟（起步）：老师通知 2 人，此时知情总人数是 3 人（老师+2班长）。 第 2 分钟：这 3 人同时打，新增 3 人，知情总人数变成 6 人。 第 3 分钟：这 6 人同时打，新增 6 人，知情总人数变成 12 人…… 规律变成了：知情总人数是 3×2{n-1}（从第1分钟起算）。遇到这种题，建议老老实实列表推算前几分钟，不要盲目套公式。 易错点拨七 计算 2^n 时出现算术错误 易错点：五年级学生对乘方（几个2相乘）还不够熟练，容易把 25 算成 2 ×5 = 10，或者把26算错。 避坑指南：考前务必背熟 2 的次方表： 21 =2, 22 =4, 23 =8, 24 =16, 25 =32, 26 =64, 26 =128。 记住：2n 是 n 个 2 相乘，绝不是乘以 n。 高频易错考点一 基础正向计算（已知时间求人数） 【典例精讲】李老师要通知本班20人参加数学竞赛，如果通话一次按1分钟计算，至少需要( )分钟才能通知每个学生。 【答案】5 【思路引导】第1分钟，老师通知1名学生； 第2分钟，老师和已经通知的学生分别通知1名学生，新接到通知的学生人数为2人，接到通知的学生总人数为2＋1＝3（人）； 第3分钟，老师和已经通知的学生分别通知1名学生，新接到通知的学生人数为3＋1＝4（人），接到通知的学生总人数为4＋3＝7（人）； 第4分钟，老师和已经通知的学生分别通知1名学生，新接到通知的学生人数为7＋1＝8（人），接到通知的学生总人数为8＋7＝15（人）； 第5分钟，老师和已经通知的学生分别通知1名学生，新接到通知的学生人数为15＋1＝16（人），接到通知的学生总人数为15＋16＝31（人）；由此可知，5分钟可以通知到位。 【规范解答】根据分析可知，李老师要通知本班20人参加数学竞赛，如果通话一次按1分钟计算，至少需要5分钟才能通知每个学生。 【变式训练1】原定周六小记者社会实践活动临时取消，老师要通知45名同学，以打电话的方式通知，每人每分钟只能通知一名未接到通知的同学，至少要( )分钟全部接到通知。 【答案】6 【思路引导】根据题意，老师首先用1分钟通知1名学生；第2分钟，老师和已通知的1名学生分别通知1名学生；第3分钟，老师和已通知的3名学生分别通知1名学生；第4分钟，老师和已通知的7名学生分别通知1名学生；第5分钟，老师和已通知的15名学生分别通知1名学生；第6分钟，老师和已通知的31名学生分别通知1名学生。通过这样的方式逐步分析每分钟通知的人数情况，进而判断通知完45名同学所需的时间，据此解答。 【规范解答】第1分钟：通知1人，共1人接到通知。 第2分钟：1＋2＝3（人），共3人接到通知。 第3分钟：3＋4＝7（人），共7人接到通知。 第4分钟：7＋8＝15（人），共15人接到通知。 第5分钟：15＋16＝31（人），共31人接到通知。 第6分钟：31＋32＝63（人），共63人接到通知。 因为31＜45＜63，所以至少要6分钟全部接到通知。 【变式训练2】一个合唱队共有学生16人，暑假期间有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，至少需要（    ）分钟能通知到位。 A．4 B．5 C．6 D．无法确定 【答案】B 【思路引导】第1分钟，老师通知1名队员； 第2分钟，老师和已经通知的队员分别通知1名队员，新接到通知的队员人数为2名，接到通知的队员总人数为2＋1＝3（名）； 第3分钟，老师和已经通知的队员分别通知1名队员，新接到通知的队员人数为3＋1＝4（名），接到通知的队员总人数为4＋3＝7（名）； 第4分钟，老师和已经通知的队员分别通知1名队员，新接到通知的队员人数为7＋1＝8（名），接到通知的队员总人数为8＋7＝15（名）； 第5分钟，老师和已经通知的队员分别通知1名队员，新接到通知的队员人数为15＋1＝16（名），接到通知的队员总人数为15＋16＝31（名），由此可知，5分钟可以通知到位。 【规范解答】根据分析可知，一个合唱队共有学生16人，暑假期间有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，至少需要5分钟能通知到位。 故答案为：B 【变式训练3】一个足球队有15人，有一个紧急比赛任务，教练需要尽快通知到每一个队员。任务必须一对一进行传达，每分钟通知1人，每个队员接到通知后马上通知其他人，最少用( )分钟就能通知到全体队员。 【答案】4 【思路引导】第1分钟，教练通知1名队员； 第2分钟，教练和已经通知的队员分别通知1名队员，新接到通知的队员人数为2名，接到通知的队员总人数为2＋1＝3（名）； 第3分钟，教练和已经通知的队员分别通知1名队员，新接到通知的队员人数为3＋1＝4（名），接到通知的队员总人数为4＋3＝7（名）； 第4分钟，教练和已经通知的队员分别通知1名队员，新接到通知的队员人数为7＋1＝8（名），接到通知的队员总人数为8＋7＝15（名）；由此可知，4分钟可以通知到位。 【规范解答】根据分析可知，一个足球队有15人，有一个紧急比赛任务，教练需要尽快通知到每一个队员。任务必须一对一进行传达，每分钟通知1人，每个队员接到通知后马上通知其他人，最少用4分钟就能通知到全体队员。 高频易错考点二 基础逆向计算（已知人数求时间） 【典例精讲】学校组织的郊游活动因天气的变化推迟了。王老师要尽快通知到每一位学生，如果一对一进行打电话传达，每分钟通知1人，每人接到电话后立即通知其他不知道这一消息的同学，7分钟最多可以通知（    ）人。 A．7 B．158 C．127 【答案】C 【思路引导】第1分钟：王老师通知1人，累计通知1人；第2分钟：王老师通知1人和已通知的1人通知1人，累计通知1＋1×2＝3人；第3分钟：王老师通知1人和之前已通知的3人通知3人，累计通知1＋3×2＝7人；第4分钟：王老师通知1人和之前已通知的7人通知7人，累计通知1＋7×2＝15人；……以此类推7分钟最多可以通知的人数。 【规范解答】第1分钟通知到1人， 第2分钟最多可通知到1＋1×2＝3（人）， 第3分钟最多可通知到1＋3×2＝7（人）， 第4分钟最多可通知到1＋7×2＝15（人）， 第5分钟最多可通知到1＋15×2＝31（人）， 第6分钟最多可通知到1＋31×2＝63（人）， 第7分钟最多可通知到1＋63×2＝127（人）， 所以7分钟最多可以通知127人。 故答案为：C 【变式训练1】周末早晨接学校通知，老师需要在5分钟内向全班30名学生发出周末活动取消的紧急通知，要求必须一对一传达，如果打电话通知一个人需要1分钟，按照打电话的最优策略，3分钟后最多有( )名学生接到通知，最终( )（填“能”或者“不能”）在5分钟内全部通知到位。 【答案】 7 能 【思路引导】老师首先用1分钟通知第一个学生；第2分钟由老师和1个学生两人分别通知1个学生，现在通知的一共2＋2－1＝3个学生；第3分钟由老师和3名学生可以推出通知的一共4＋4－1＝7个学生，……，以此类推，求出5分钟通知的人数，进而解答。 【规范解答】1分钟：通知1个学生； 2分钟：2＋2－1 ＝4－1 ＝3（名） 3分钟：4＋4－1 ＝8－1 ＝7（名） 4分钟：8＋8－1 ＝16－1 ＝15（名） 5分钟：16＋16－1 ＝32－1 ＝31（名） 31＞30，在5分钟内全部通知到位。 周末早晨接学校通知，老师需要在5分钟内向全班30名学生发出周末活动取消的紧急通知，要求必须一对一传达，如果打电话通知一个人需要1分钟，按照打电话的最优策略，3分钟后最多有7名学生接到通知，最终能在5分钟内全部通知到位。 【变式训练2】周末，王老师要尽快通知校合唱队30名同学来学校参加活动，如果用打电话的最佳方式，每分钟通知到1人，通知到所有同学至少要( )分钟。那么7分钟最多能通知( )人。 【答案】 5 127 【思路引导】根据题意，发现每分钟通知1人，接到通知的人又可以通知下一个人，这样最节省时间。 第1分钟通知1人；1＝21－1； 第2分钟通知2人，接到通知的一共有：1＋2＝3（人），3＝22－1； 第3分钟通知4人，接到通知的一共有：3＋4＝7（人），7＝23－1； …… 第n分钟接到通知的一共有：（2n－1）人； 据此找到规律，按规律解答。 【规范解答】规律：第n分钟接到通知的一共有：（2n－1）人； 2n－1＝30 2n＝30＋1 2n＝31 因为24＝16，25＝32，16＜31＜32，所以n＝5。 当n＝7时 2n－1 ＝27－1 ＝128－1 ＝127（人） 每分钟通知到1人，通知到所有同学至少要5分钟。那么7分钟最多能通知127人。 高频易错考点三 跨学科与生活情境应用（规律迁移） 【典例精讲】悟空西天取经路上又遇到了妖精，他每次拔一根毫毛就能变成一个悟空，变出的悟空也有这样的本领，每次变化需要2秒。如果要变出31个悟空，最短需（    ）秒。 A．8 B．10 C．12 【答案】B 【思路引导】开始1个悟空，2秒后有2个悟空，4秒后有4个悟空，6秒后有8个悟空，即每过2秒悟空的数量是2秒前的2倍，据此推算出超过31个悟空需要的最短时间即可。 【规范解答】开始：1个 2秒后：1×2＝2（个） 4秒后：2×2＝4（个） 6秒后：4×2＝8（个） 8秒后：8×2＝16（个） 10秒后：16×2＝32（个） 32＞31 最短需10秒。 故答案为：B 【变式训练1】蚂蚁是社群性昆虫，它们在活动中需要通过触角来传递信息。如果一只蚂蚁用3秒完成一次信息传递，9秒后，最多会有（    ）只蚂蚁知道这个信息。 A．3 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【思路引导】蚂蚁用3秒完成一次信息传递，那么9秒就可以完成3次信息传递，第1次传递后共有1＋1＝2（只）蚂蚁知道这个信息，第2次传递后共有1＋1＋2＝4（只）蚂蚁知道这个信息，第3次传递后共有1＋1＋2＋4＝8（只）蚂蚁知道这个信息，据此解答。 【规范解答】由分析可知： 第1次传递后共有1＋1＝2（只） 第2次传递后共有1＋1＋2＝4（只） 第3次传递后共有1＋1＋2＋4＝8（只） 9秒后有8只蚂蚁知道这个信息。 故答案为：B 【变式训练2】一种细菌用简单的分裂方式繁殖，即1个分裂变成2个，2个分裂变成4个……每分裂一次需要3分钟，1个细菌15分钟后变成了( )个细菌。 【答案】32 【思路引导】每分裂一次需要3分钟，即15分钟分裂了5次。 1个分裂变成2个； 2个分裂变成4个，2×2＝4； 3个分裂变成4个，2×2×2＝8； …… 即分裂几次就有几个2相乘。 【规范解答】15÷3＝5（次） 2×2×2×2×2＝32（个） 则1个细菌15分钟后变成了32个细菌。 【变式训练3】周红和她的同学们在一次科学课上了解到，有一种寄生虫每分裂一次要用3分钟，分裂后由1只变成2只，一只这样的寄生虫18分钟后能变成_______只寄生虫。 【答案】64 【思路引导】每分裂一次要用3分钟，分裂后由1变成2只；18分钟能分裂（18÷3）次；即6次；所以18分钟后能变成1×2×2×2×2×2×2只寄生虫，据此解答。 【规范解答】18÷3＝6（次） 1×2×2×2×2×2×2 ＝2×2×2×2×2×2 ＝4×2×2×2×2 ＝8×2×2×2 ＝16×2×2 ＝32×2 ＝64（只） 周红和她的同学们在一次科学课上了解到，有一种寄生虫每分裂一次要用3分钟，分裂后由1只变成2只，一只这样的寄生虫18分钟后能变成64只寄生虫。 高频易错考点四 方案设计与画图（综合实践题） 【典例精讲】小葵花合唱团的盛老师采用打电话这种一对一方式通知同学到声乐教室练习，每通知1人需1分钟。表示老师，表示同学，线上的数表示时间。能正确解决4分钟共通知同学总数的算式是（    ）。 A．1＋2＋3＋4 B．1＋2＋3＋4＋1 C．1＋2＋4＋8 D．1＋2＋4＋8＋1 【答案】C 【思路引导】每分钟通知1人，接到通知的人又可以通知下一个人，这样最节省时间。找到规律，按规律得出4分钟共通知同学总数的算式。 【规范解答】第1分钟通知1人； 第2分钟通知1＋1＝2（人），接到通知的一共有：1＋2＝3（人） 第3分钟通知1＋3＝4（人），接到通知的一共有：1＋2＋4＝7（人） 第4分钟通知1＋7＝8（人），接到通知的一共有：1＋2＋4＋8＝15（人） 能正确解决4分钟共通知同学总数的算式是1＋2＋4＋8。 故答案为：C 【变式训练1】老师有个任务要尽快通知15位学生。任务必须一对一进行传达。每分钟通知1人，请根据通知方案填一填，画一画。 照样子，画一画： 【答案】7；7；作图见详解 【思路引导】观察已有的方案图，分成3组，然后每组再通知4位同学。老师在用3分钟时间通知了3位组长，此时第一组已通知了2位同学，第二组通知了1位同学，所以在这3分钟共通知了6位同学。第三组还有4位同学需要传达，在与此同时，其他组均已传达完毕，所以还需要4分钟即可。 共需要通知15位同学，要分成5组，就是每个组长需通知2位同学，以此作图即可。 计算分5组通知同学共需要的时间：老师在通知5位组长时，需要5分钟，此时第一组和第二组全部通知完毕，在这5分钟共通知了9位同学，还剩下6位同学没通知，即第三、四、五组没通知，因为每组需要通知2位同学，所以还需要2分钟才能把剩下的同学通知到位。 【规范解答】分三组：3＋4＝7（分钟） 分五组：5＋2＝7（分钟） 分三组共需要7分钟，分五组共需要7分钟。 分五组方案图： 【变式训练2】孙悟空拔下一根毫毛变成了一只小猴子。第1分钟，这只猴子变成了两只小猴子；第2分钟，每只小猴子又分别变成了两只小猴子。照这样计算，到第8分钟，一共有多少只猴子？ 第几分钟 1 2 3 4 5 6 … n 变出的小猴子数 2 … 猴子总数 3 … （1）把上表填写完整。 （2）照这样计算，到第8分钟，一共有（    ）只猴子。 【答案】（1）4；8；16；32；64；2n 5；9；17；33；65；2 n＋1 （2）257 【思路引导】第1分钟，1只变成2只，共有3只；变出的只数2＝21；总数3＝21＋1； 第2分钟，2只变成4只，共有5只；变出的只数4＝22；总数5＝22＋1； 第3分钟，4只变成8只，共有9只；变出的只数8＝23；总数9＝23＋1； …… 规律：第n分钟变出2n只猴子，猴子总数有（2 n＋1）只；据此规律解答。 【规范解答】规律：第n分钟变成2n只猴子，猴子总数有（2 n＋1）只。 （1）当n＝2时，变出猴子：2n＝22＝4（只）；猴子总数：2n＋1＝22＋1＝3（只） 当n＝3时，变出猴子：2n＝23＝8（只）；猴子总数：2n＋1＝23＋1＝9（只） 当n＝4时，变出猴子：2n＝24＝16（只）；猴子总数：2n＋1＝24＋1＝17（只） 当n＝5时，变出猴子：2n＝25＝32（只）；猴子总数：2n＋1＝25＋1＝33（只） 当n＝6时，变出猴子：2n＝26＝64（只）；猴子总数：2n＋1＝26＋1＝65（只） 如下表： 第几分钟 1 2 3 4 5 6 … n 变出的小猴子数 2 4 8 16 32 64 … 2n 猴子总数 3 5 9 17 33 65 … 2 n＋1 （2）当n＝8时 2 n＋1＝2 8＋1＝256＋1＝257（只） 照这样计算，到第8分钟，一共有257只猴子。 【变式训练3】疫情期间，医院要求所有护士全部到岗，护士长知道消息后，需要尽快通知每一名护士。如果护士长用打电话的方式通知，每1分钟可以打一个电话，每一个接到电话的人立即通知其他不知道这一消息的人。 （1）画图并填空。（□表示护士长，○表示护士） 3分钟后最多通知（    ）人。（包含护士长） （2）观察流程图完成下表。 第几分钟 1 2 3 4 5 … 第n分钟新接到通知的护士人数 1 2 … 到第n分钟所有接到通知的护士的总人数 2 4 … 规律 1个2相乘 2个2相乘 … 我发现：到第n分钟，所有接到通知的护士总人数是n个（    ）相乘的积。 【答案】（1）画图：见详解；8 （2）4；8；16；8；16；32；3个2相乘；4个2相乘；5个2相乘；2 【思路引导】护士长首先用1分钟通知第一个护士，第二分钟由护士长和1个护士分别通知1个护士，现在通知的一共2＋2＝4＝2×2，第3分钟可以通知的护士为4＋4＝2×2×2个护士，据此类推即可，第n分钟一共通知个护士，据此解答即可。 【规范解答】 2×2×2＝8（个）； （2） 第几分钟 1 2 3 4 5 … 第n分钟新接到通知的护士人数 1 2 4 8 16 … 到第n分钟所有接到通知的护士的总人数 2 4 8 16 32 … 规律 1个2相乘 2个2相乘 3个2相乘 4个2相乘 5个2相乘 … 我发现：到第n分钟，所有接到通知的护士总人数是n个2相乘的积。 【考点剖析】解决本题的关键是要明确已通知的队员的人数加上护士长是下一次要通知别人的队员。 1．蚂蚁之间通过触角传递信息，每两只蚂蚁之间传递一次信息需要2秒钟，经过12秒，最多有多少只蚂蚁知道信息？（    ） A．24 B．36 C．48 D．64 【答案】D 【思路引导】根据题意中的通知方案可知： 第1个2秒，一只蚂蚁通知了另一只蚂蚁，共通知到2只蚂蚁，2＝1×2； 第2个2秒，2只蚂蚁通知了另2只蚂蚁，共通知到4只蚂蚁，4＝2×2； 第3个2秒，4只蚂蚁通知了另4只蚂蚁，共通知到8只蚂蚁，8＝2×2×2； 第4个2秒，8只蚂蚁通知了另8只蚂蚁，共通知到16只蚂蚁，16＝2×2×2×2； …… 规律：第n个2秒，通知到的蚂蚁只数为2n只； 据此规律解答。 【规范解答】规律：第n个2秒，通知到的蚂蚁只数为2n只； 12÷2＝6（个） 当n＝6时，2×2×2×2×2×2＝64（只） 经过12秒，最多有64只蚂蚁知道信息。 故答案为：D 2．老师接到紧急通知，要尽快通知体育队的15名同学参加紧急训练，通过打电话的方式一对一进行通知，每分钟通知1人，至少需要（    ）分钟才能通知到15名同学。 A．5 B．3 C．4 【答案】C 【思路引导】接到电话的同学可以同时通知其他同学，第1分钟通知1人，第2分钟通知（1＋2）人，第3分钟通知（3＋4）人……以此类推，保证接到通知的人数等于或大于15人即可。 【规范解答】第1分钟：1人 第2分钟：1＋2＝3（人） 第3分钟：3＋4＝7（人） 第4分钟：7＋8＝15（人） 至少需要4分钟才能通知到15名同学。 故答案为：C 3．皮影戏，又称“影子戏”或“灯影戏”，是中国民间古老的传统艺术。某皮影戏剧团15名成员有紧急演出，团队负责人要打电话尽快通知到每名成员（一对一进行传达），每次通话需要1分钟，最少（    ）分钟才能通知到每个人。 A．15 B．5 C．4 D．14 【答案】C 【思路引导】根据最优通知，即每过一分钟，已通知到的人（包括负责人）都可以同时通知下一批人，据此逐一分析每一分钟通知的人数，从而确定通知完所有人所需的最少时间。 【规范解答】第1分钟：负责人通知1人； 第2分钟：负责人和已通知到的1人各通知1人，即2人，共通知到1＋2＝3人； 第3分钟：负责人和已通知到的3人各通知1人，即4人，共通知到3＋4＝7人； 第4分钟：负责人和已通知到的7人各通知1人，即8人，共通知到7＋8＝15人。 因此，最少4分钟才能通知到每个人。 故答案为：C 4．下面说法中，正确的一项是（    ）。 A．一个非零自然数，不是质数就是合数 B．把分数的分子和分母同时加上4，分数的大小不变 C．图形旋转60°时，它的位置、方向发生变化，大小不变 D．老师让小慧电话通知10个班干部参加活动，每通知1个人需要1分钟，她最快需要5分钟通知完。 【答案】C 【思路引导】A．除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 B．分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，据此分析； C．物体或图形旋转后，它们的形状、大小都不改变，只是位置发生了变化。 D．接到通知的人可以同时通知其他人，第1分钟，接到通知的人数是1人，第2分钟，接到通知的人数是1＋2＝3（人）……以此类推，只要接到通知的人数大于或等于10人即可。 【规范解答】A．一个非零自然数，有质数、合数和1，选项说法错误； B．把分数的分子和分母同时乘4，分数的大小不变，加上4，分数的大小可能不变也可能变，如，的分子和分母同时加上4，分数的大小就会改变，选项说法错误； C．图形旋转60°时，它的位置、方向发生变化，大小不变，说法正确； D．第1分钟：1人；第2分钟：1＋2＝3（人）；第3分钟：3＋4＝7（人）；第4分钟：7＋8＝15（人），她最快需要4分钟通知完，选项说法错误。 正确的一项是图形旋转60°时，它的位置、方向发生变化，大小不变。 故答案为：C 5．王阿姨邀请她的21个朋友来家里玩。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，每人接到电话后马上通知别人，最少需要（    ）分钟能通知到每个人。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【思路引导】第一分钟王阿姨和朋友一共有2人；第二分钟王阿姨和朋友每人都通知一人，又增加了1×2＝2人，第二分钟王阿姨和朋友一共有：2＋2＝4＝2×2人；第三分钟王阿姨和朋友每人都通知一人，又增加了1×4＝4人，第三分钟王阿姨和朋友一共有：4＋4＝8＝2×2×2人；同理，每次通知的朋友和王阿姨的总人数，总是前一次的2倍，所以，2×2×2×2＝16人，因此，4分钟通知不完，只能5分钟；所以最少用5分钟就能通知到每个人。 【规范解答】根据分析可知：2×2×2×2＜21＋1＜2×2×2×2×2，即16＜20＋1＜32，因此，4分钟通知不完，只能5分钟；所以最少用5分钟就能通知每个人。 故答案为：C 【考点剖析】每增加1分钟收到通知的朋友和王阿姨的人数是前一分钟收到通知的朋友和王阿姨的人数的2倍。 6．学校临时有重要决定通知学生。假设用电话联系，每通知一个同学需1分钟，第一分钟由老师通知A同学，第二分钟由A同学通知B同学，同时老师通知C同学，依此类推，若班上有52位同学，则通知到所有学生需______分钟。 【答案】 6 【思路引导】本题属于最优通知策略问题，可通过分析每分钟新增通知人数求解。每分钟所有已收到通知的人（包括老师）均可通知一位新同学，因此每分钟新增人数呈指数增长。计算各分钟累计人数，当总人数达到或超过52时即得所需时间。 【规范解答】第1分钟：老师通知1位同学，累计1人。 第2分钟：老师和第1位同学各通知1人，新增2人，累计1＋2＝3人。 第3分钟：4人（老师＋3位同学）各通知1人，新增4人，累计3＋4＝7人。 第4分钟：8人（老师＋7位同学）各通知1人，新增8人，累计7＋8＝15人。 第5分钟：16人（老师＋15位同学）各通知1人，新增16人，累计15＋16＝31人。 第6分钟：32人（老师＋31位同学）各通知1人，新增32人，累计31＋32＝63人。 因第6分钟结束时累计63人≥52人，故需6分钟。 7．合唱队有30人，暑假期间有一个紧急演出。老师需要打电话尽快通知到每一个队员，如果每分钟通知1人，每名学生接到通知后马上通知其他人，至少需要( )分钟可以通知到每一个人。 【答案】5 【思路引导】第1分钟：只有老师1人能通知，通知1人，累计通知1人，此时共1＋1＝2人可参与下一分钟通知。 第2分钟：老师＋已通知的1人一起通知，共通知2人，累计通知1＋2＝3人，此时共3＋1＝4人可参与下一分钟通知。 第3分钟：4人一起通知，共通知4人，累计通知3＋4＝7人，此时共7＋1＝8人可参与下一分钟通知。 第4分钟：8人一起通知，共通知8人，累计通知7＋8＝15人，此时共15＋1＝16人可参与下一分钟通知。 第5分钟：16人一起通知，共通知16人，累计通知15＋16＝31人，31人＞30人，可通知到所有队员。 【规范解答】第1分钟：1＋1＝2（人） 第2分钟：累计通知：1＋2＝3（人），参与通知：3＋1＝4（人） 第3分钟：累计通知：3＋4＝7（人），参与通知：7＋1＝8（人） 第4分钟：累计通知：7＋8＝15（人），参与通知：15＋1＝16（人） 第5分钟：累计通知：15＋16＝31（人） 31人＞30人 所以至少需要5分钟可以通知到每一个人。 8．暑假期间五（3）王老师接到紧急通知，要求全班36名同学去开展研学活动，需要尽快通知每一个人。用打电话的方式，每分钟通知一个人，最少需要用( )分钟才能通知到每一个人。 【答案】6 【思路引导】每分钟通知一个人，接到通知的人又可以通知下一个人，这样最节省时间。找到规律，按规律求出通知36人最少需要的时间。 【规范解答】第1分钟通知1人；1＝21－1； 第2分钟通知2人，接到通知的一共有：1＋2＝3（人），3＝22－1； 第3分钟通知4人，接到通知的一共有：3＋4＝7（人），7＝23－1； …… 规律：第n分钟接到通知的一共有：（2n－1）人； 2n－1≥36 2n≥36＋1 2n≥37 因为25＝32，26＝64，32＜37＜64，所以n＝6。 最少需要用6分钟才能通知到每一个人。 9．校长通知老师们去打疫苗，如果用打电话的方式，每分钟通知一个人。那么通知到65位老师，至少要( )分钟。 【答案】7 【思路引导】第1分钟，通知1位老师，接到通知的老师可以同时去通知其他老师，第2分钟，通知到（1＋2）位老师，第3分钟，通知到（1＋2＋4）位老师，依次类推，接到通知的人数大于65即可，据此解答。 【规范解答】第1分钟：1位 第2分钟：1＋2＝3（位） 第3分钟：3＋4＝7（位） 第4分钟：7＋8＝15（位） 第5分钟：15＋16＝31（位） 第6分钟：31＋32＝63（位） 第7分钟：63＋64＝127（位） 至少需要7分钟才能通知到所有人。 【考点剖析】主要考查优化问题，利用互相转告的方式，不让知道消息的所有人空闲下来是解决问题的策略。 10．老师打电话通知20名学生，如果每分钟打电话通知1人，师生合作，最快要4分钟可通知完。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】每分钟通知1人，接到通知的人又可以通知下一个人，这样最节省时间。找到规律，按规律求出通知20名学生最快需要的时间。 【规范解答】第1分钟通知1人； 第2分钟通知1＋1＝2（人），接到通知的一共有：1＋2＝3（人）； 第3分钟通知1＋3＝4（人），接到通知的一共有：3＋4＝7（人）； 第4分钟通知1＋7＝8（人），接到通知的一共有：7＋8＝15（人）； 第5分钟通知1＋15＝16（人），接到通知的一共有：15＋16＝31（人）； 31＞20 最快要5分钟可通知完。 原题说法错误。 故答案为：× 11．一个探险队临时接到一个紧急任务，队长需尽快通知到29名队员，如果用打电话的方式，每分钟通知一名队员，接到通知的人再通知其他人，那么最多5分钟可以通知所有人。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】第1分钟，队长通知1名队员； 第2分钟，队长和已经通知的队员分别通知1名队员，新接到通知的队员人数为2名，接到通知的队员总人数为2＋1＝3（名）； 第3分钟，队长和已经通知的队员分别通知1名队员，新接到通知的队员人数为3＋1＝4（名），接到通知的队员总人数为4＋3＝7（名）； 第4分钟，队长和已经通知的队员分别通知1名队员，新接到通知的队员人数为7＋1＝8（名），接到通知的队员总人数为8＋5＝15（名）； 第5分钟，队长和已经通知的队员分别通知1名队员，新接到通知的队员人数为15＋1＝16（名），接到通知的队员总人数为15＋16＝31（名），29＜31，由此可知，5分钟可以通知所有人。 【规范解答】根据分析可知，一个探险队临时接到一个紧急任务，队长需尽快通知到29名队员，如果用打电话的方式，每分钟通知一名队员，接到通知的人再通知其他人，那么最多5分钟可以通知所有人。 原题干说法正确。 故答案为：√ 12．一个舞蹈队有7人，假期有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，接到电话的同学立即通知其他不知道这一信息的同学，全部通知完至少需要几分钟？ 【答案】3分钟 【思路引导】按时间阶段分析每分钟通知到的总人数。依次推算每一分钟最多有多少人知道消息，当知道消息的总人数大于或等于需要通知的总人数时，所需时间即为最少时间。 【规范解答】第1分钟：老师通知1名队员，累计通知到1人，还剩6人未通知； 第2分钟：老师和1名已通知的队员，一共通知2名新队员，累计通知1＋2＝3（人），还剩4人未通知； 第3分钟：共4个知道消息的人（老师＋3名队员），可以同时通知4名新队员，累计通知3＋4＝7（人），刚好通知完所有队员。 答：3分钟可以通知完。 13．孙悟空在炫耀拔毫毛变分身的本领，每次拔一根毫毛就能变出一个孙悟空，变出的孙悟空也能每次拔一根毫毛变出一个孙悟空，并且每次变化的时间都是1秒钟。 （1）如果要变出7个新的孙悟空，最短需要（    ）秒。 （2）如果用“□”表示孙悟空，用“○”表示变出的孙悟空，请在下面空白处画出变化的示意图。 【答案】（1）3 （2）见详解 【思路引导】第1秒可以变出1个孙悟空，这时有2个孙悟空；2个孙悟空用1秒可以再变出2个，这时一共有4个孙悟空；4个孙悟空用1秒可以再变出4个，这时一共有8个孙悟空。故若要变出7个孙悟空需要：1＋1＋1＝3秒。据此解答及作图即可。 【规范解答】（1）1＋1＋1＝3（秒） 则如果要变出7个新的孙悟空，最短需要3秒。 （2）如图所示： 14．一个舞蹈队有7人，假期有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，接到电话的同学立即通知其他不知道这一信息的同学，全部通知完至少需要几分钟？请你用画图的方式设计一个打电话的方案。 【答案】3分钟；图见详解。 【思路引导】老师首先用1分钟通知第一个队员，第二分钟由老师和1个队员两人分别通知1个队员，现在通知了共l＋2＝3个队员，据此可以推出，第三分钟可以通知3＋4＝7个队员，所以要通知到7人，需要3分钟，据此解答即可。 【规范解答】第一分钟通知1人； 第二分钟最多可以通知1＋2＝3（人）； 第三分钟最多可以通知3＋4＝7（人）； 即需要3分钟能全部通知到位。 答：全部通知完至少需要3分钟。 如图： 【考点剖析】解答本题的关键是明确已通知的队员的人数加上老师是下一次要通知的队员人数。 15．合唱队有7人，暑假老师要通知合唱队的队员去演出，若每分钟通知一个人，至少需要多少分钟才能通知到每个队员？请画出分析图。 【答案】3分钟；见详解 【思路引导】每分钟通知1人，接到通知的人又可以通知下一个人，这样最节省时间。找到规律，按规律求出通知7人至少需要的时间。 【规范解答】如图： 第1分钟通知1人； 第2分钟通知2人，接到通知的一共有：1＋2＝3（人）； 第3分钟通知4人，接到通知的一共有：3＋4＝7（人）； 答：至少需要3分钟才能通知每个队员。 【考点剖析】明确每次已通知的人数加上老师是下一次要通知的人数。 16．疫情突发，医院要求所有护士全部到岗。某科宣护士长知道消息后，需要尽快通知15名护士。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，你帮护士长设计一个用时最少的打电话方案。你设计的方案需要用时多少分钟？用文字或画图把方案表示出来。 【答案】4分钟，表格见详解 【思路引导】本题可采用如下方案：护士长先通知1名护士，然后再与这名护士生一起给另2名护士打电话，然后这2名护士再与前面已通知的护士（包括护士长）一起给其他护士打电话，依次类推，进行计算即可求解。 【规范解答】 分钟 1 2 3 4 新接到电话人数 1 2 4 8 接到电话总人数 1 3 7 15 答：需要用时4分钟。 【考点剖析】根据乘方的知识，让先得到通知的护士与护士长一起通其他护士是最快最好的办法。 17．孙悟空在去西天取经的路上又遇到了妖精，它每次拔一根毫毛就能变成一个孙悟空，变出的孙悟空每次拔一根毫毛也能变成一个孙悟空，每次变化需要的时间是2秒钟。如果要变化出15个孙悟空，最短需要多少时间？把你的想法画出来。 【答案】8秒；图见详解 【思路引导】变化前：只有1个孙悟空； 第2秒：1个孙悟空拔毫毛变成1个新的孙悟空，变化出1个孙悟空； 第4秒：原有1个孙悟空和变化出的1个孙悟空，共2个孙悟空，2个孙悟空各拔毫毛变成1个新的孙悟空，共变化出1＋2＝3个孙悟空； 第6秒：原有1个孙悟空和变化出的3个孙悟空，共4个孙悟空，4个孙悟空各拔毫毛变成1个新的孙悟空，共变化出3＋4＝7个孙悟空； 第8秒：原有1个孙悟空和变化出的7个孙悟空，共8个孙悟空，8个孙悟空各拔毫毛变成1个新的孙悟空，共变化出7＋8＝15个孙悟空。 所以最短需要8秒钟。 【规范解答】如图： 2×4＝8（秒） 答：最短需要8秒。 18．学校围棋队有30名队员，暑假突然有一个紧急的比赛任务，老师通知两位队长，两位队长再分别通知两名队员，依此类推，每人再通知两个人。每同时通知两个人共需1分。 （1）画图表示联络方式。 时间/分 示意图 通知到的队员数 1 ＜ 2 2 3 （2）我发现的规律： ①时间每增加1分，增加的人数是前一次通知人数的（    ）倍； ②n分通知到的同学数比前（n－1）分通知到的同学数的（    ）倍还多（    ）人。 （3）通知30名队员共需要多少分？如果有62名队员，需要多长时间才能通知完？ 【答案】（1）见详解 （2）①2；②2；2 （3）4分；5分 【思路引导】（1）根据题意，老师通知两位队长，两位队长再分别通知两名队员，依此类推，每人再通知两个人，据此画图表示联络方式。 （2）从表中可知，第1分钟通知2名队员；第2分钟增加4名队员，共通知到2＋4＝6名队员；第3分钟增加8名队员，共通知到2＋4＋8＝14名队员；据此发现：增加的队员4是2的2倍，8是4的2倍；从第2分钟开始共通知到的队员人数关系6×2＋2＝14；按此规律填表。 （3）根据上一题得出的规律，继续往下写，即可得解。 【规范解答】（1） 时间/分 示意图 通知到的队员数 1 2 2 2＋4＝6 3 2＋4＋8＝14 （2）我发现的规律： 第1分钟通知到2人； 第2分钟增加4人，通知到2＋4＝6（人） 第3分钟增加8人，通知到2＋4＋8＝14（人） …… ①时间每增加1分，增加的人数是前一次通知人数的2倍； ②n分通知到的同学数比前（n－1）分通知到的同学数的2倍还多2人。 （3）第4分钟增加16人，通知到2＋4＋8＋16＝30（人） 第5分钟增加32人，通知到2＋4＋8＋16＋32＝62（人） 答：通知30名队员共需要4分。如果有62名队员，需要5分才能通知完。 19．李叔叔是做工程的，最近接到一个装修的工程，装饰一个长50米，宽40米，高5米的长方体大仓库的墙壁和地面。业主要求李叔叔在三周之内完成，于是李叔叔就立马行动起来。 （1）首先，通知工人集合。因为工期短，李叔叔计划安排23位工人来做。如果李叔叔打1个电话1分钟，要全部通知到位，至少需要（    ）分钟。 （2）现在要粉刷仓库的墙壁和天花板，需要预算涂料数量，已知每桶涂料可以刷130平方米，除去门窗的面积300平方米，应该购买多少桶涂料？ （3）铺地砖时，需要给地面铺上一层厚10厘米的沙子，需要准备沙子多少立方米？ （4）施工时需要用到水，因为施工场地没有盛水的容器，李叔叔准备利用现有的材料（甲、乙两块铁皮）自己制作。两块铁皮尺寸不同，如图，他想将每块铁皮分别沿虚线弯折后焊接成一个无盖的底面是正方形的长方体铁盒（无剩余）。请你帮忙算一算，哪个铁盒装水更多一些？ （5）此工程队第一周、第二周共完成了总工程的，第一周、第三周共完成了总工程的。工程队第一周共完成了总工程的几分之几？ 【答案】（1）5； （2）20桶； （3）200立方米； （4）甲； （5）。 【思路引导】（1）第1分钟：李叔叔通知1位工人；第2分钟：李叔叔和工人各通知1位工人，共3位工人；第3分钟：李叔叔和工人各通知1位工人，共7位工人；第四分钟：李叔叔和工人各通知1位工人，共7位工人，共15位工人；第5分钟：李叔叔和工人各通知1位工人，共31位工人…… （2）需要粉刷的面积等于长方体的侧面积加上底面积的和，再减去门窗的面积；根据长方体的侧面积＝长×高×2＋宽×高×2＋长×宽，长方体的底面积＝长×宽，代入数据计算出需要粉刷的面积，再除以1桶涂料可以刷的面积即可。 （3）先把10厘米化成0.1米，再根据长方体的体积＝长×宽×高解答即可。 （4）由图甲焊接成一个无盖的底面是正方形的长方体铁盒（无剩余），可知，正方形的边长为40÷4＝10（分米），长方体的高是18－10＝8（分米），根据长方体的体积＝底面积×高计算出长方体铁盒的体积；由图甲结合焊接成一个无盖的底面是正方形的长方体铁盒（无剩余），可知，正方形的边长为48÷4＝12（分米），长方体的高是17－12＝5（分米），根据长方体的体积＝底面积×高计算出长方体铁盒的体积，再比较甲和乙的体积即可。 （5）第一周、第二周共完成了总工程的分率加上第一周、第三周共完成了总工程的分率减去“1”即可解答。 【规范解答】（1）由分析可知：如果李叔叔打1个电话1分钟，要全部通知到位，至少需要5分钟。 所以至少需要5分钟。 （2）50×5×2＋40×5×2＋50×40 ＝500＋400＋2000 ＝2900（平方米） 2900－300＝2600（平方米） 2600÷130＝20（桶）    答：应该购买20桶涂料。 （3）h＝10厘米＝0.1米   V＝50×40×0.1 ＝2000×0.1 ＝200（立方米） 答：需要准备沙子200立方米。 （4）甲：a＝b＝40÷4＝10（分米）   h＝18－10＝8（分米）   V＝10×10×8 ＝100×8 ＝800（立方分米） 乙：a＝b＝48÷4＝12（分米）   h＝17－12＝5（分米）   V＝12×12×5 ＝144×5 ＝720（立方分米） 800立方分米＞立方720分米      答：甲装水更多一些。 （5）＋－1 ＝－1 ＝－1 ＝     答：工程队第一周共完成了总工程的。 20．怎样通知最快 一个应急小队接到紧急任务，队长需要尽快将任务通知到15名队员。任务必须一对一进行传达，每分钟通知1人，请你帮助队长设计一个最快的通知方案。 请你提取这个实际问题的关键信息，写在下面。 要通知的人数：__________________ 通知的方式及用时：__________________ 队长一个一个地通知需要15分钟，怎样设计方案能尽快通知完？                 想一想：是不是分的组越多，用的时间越少？还有更快的方法吗？ 用图示的方法试一试。 填写下表，看看你能发现什么规律。 第几分钟 1 2 3 4 5 … 新接到通知的队员数 1 2 4 接到通知的队员总数 1 3 7 （1）多长时间能通知到全体队员？ （2）按上面的方式，5分钟最多可以通知多少人？ （3）如果一个应急小队有50名队员，按上面的方式，最少花多长时间能通知到每个人？ 讨论一下：回顾整个过程，你用到了哪些方法？ 你制订的方案在实施中还需要做什么准备？ 【答案】见详解 【思路引导】根据题意提取关键信息并填空； 根据最快方法的图示和表格可知，新接到通知的队员数是上一分钟接到通知队员数的2倍，接到通知的队员总数比上一分钟接到通知的队员总数的2倍还多1人，据此计算并将表格补充完整。 （1）（2）根据补充完整的表格，直接作答； （3）5分钟接到通知的队员总数乘2，再加上1人，求出6分钟接到通知的队员总数，发现6分钟能通知到63人，从而解题； 回顾整体过程，总结推理方法，并结合生活实际，得到方案在实施中还需要做什么准备。 【规范解答】要通知的人数：15人 通知的方式及用时：电话，每分钟通知1人 4×2＝8（名） 8×2＝16（名） 7×2＋1 ＝14＋1 ＝15（名） 15×2＋1 ＝30＋1 ＝31（名） 填表如下： 第几分钟 1 2 3 4 5 … 新接到通知的队员数 1 2 4 8 16 接到通知的队员总数 1 3 7 15 31 （1）答：4分钟就可以通知到全体队员。 （2）答：5分钟最多可以通知31人。 （3）31×2＋1 ＝62＋1 ＝63（人） 63＞50 答：最少花6分钟就能通知到每个人。 讨论：回顾整个过程，用了画树状图来帮助推理的方法。 在实施这个方案的过程中，一定要明确哪些人被通知了，哪些人没有被通知，要提前确定好每个人能联系到谁。（答案不唯一） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版数学五年级下册单元培优讲义【易错笔记】 课题学习 怎样通知最快：打电话问题『易错笔记培优讲练』 【原卷版】 同学你好，该份讲义用于人教版五年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 易错知识梳理：强化巩固细节知识，给出常考易错点，解题技巧以及提分方法，助你正确理解运用知识点，查漏补缺； 2. 易错考点讲练：优选高频考察易错题，汇编整理，精选近两年各地名校易错题类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 易错真题拔尖练：结合本专题内容精选20题历年常考易错题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 易错点拨一 混淆“总人数”与“学生人数” 公式 2n 和 2n - 1 代表的意义完全不同。 易错点：题目问“知道消息的一共有多少人”，很多同学习惯性地减去了1；或者题目问“最多通知了多少名学生”，同学却忘了减去老师。 避坑指南： 知道消息的总人数 = 2n（包含最开始的那个老师/发起者）。 接到通知的学生/队员总数 = 2n - 1（不包含老师，因为老师不需要被通知）。 做题技巧：读题时圈出“学生”、“队员”、“不含老师”等字眼，看到这些词立刻反应要“减1”。 易错点拨二 忽视“不足一分钟”的情况（向上取整问题） 易错点：题目给出的人数往往不是刚好凑成 2n - 1 的整齐数字。例如要通知 50 人，算出 5 分钟只能通知 31 人，6 分钟能通知 63 人。有同学会纠结 50 离 31 更近，或者觉得 6 分钟浪费了，从而选错。 避坑指南：打电话问题中，时间必须是整数分钟。只要人数超过了上一分钟的极限（31人），哪怕只多出 1 个人（即 32 人），也必须多花整整 1 分钟。 原则：只要 2n- 1 小于目标人数，就必须进入下一分钟（数学上叫“进一法”或“向上取整”）。 易错点拨三 误以为“分组越多越快” 易错点：在探究最优方案的初期，很多同学直觉认为“把大家分成小组，组长负责制”是最快的。 避坑指南：必须明确“最优方案”只有一个核心标准——“人人不空闲”。 如果分组后，老师通知完组长，组长再去通知组员，而老师在一旁闲着，这就不是最优方案。 真正的最快方案是“裂变式”的：老师通知A，下一分钟老师和A同时通知B和C，再下一分钟这四个人同时通知……所有人都必须动起来。 易错点拨四 搞错“第n分钟”与“n分钟”的界限 易错点：题目问“第5分钟新通知了多少人？”和“5分钟一共通知了多少人？”，这两个问题的答案天差地别。 避坑指南：分清“增量”和“总量”。 5分钟一共通知（累计）：25 - 1 = 31 人。 第5分钟这一分钟内新通知（增量）：2{5-1} = 16 人。 做题时一定要看清题目问的是“累计总数”还是“当分钟新增数”。 易错点拨五 单位时间变化时，直接套用旧规律 易错点：题目变成“每通知一个人需要 2 分钟”，求通知 15 人需要多久。有同学算出需要 4 个周期，就回答“需要 4 分钟”。 避坑指南：一定要看清题目中的时间单位。 先算出需要几个“通知周期”（按最优方案通知15人需要4个周期）。 乘以每个周期的实际时间：4 ×2 = 8 分钟。千万不要把“周期数”直接当成“分钟数”。 易错点拨六 初始条件改变（老师先通知多人） 易错点：题目设定“老师先同时通知了 2 位班长”，很多同学还是习惯从 2^1 开始算，导致全盘皆输。 避坑指南：这种题相当于“起步价”变了。 第 1 分钟（起步）：老师通知 2 人，此时知情总人数是 3 人（老师+2班长）。 第 2 分钟：这 3 人同时打，新增 3 人，知情总人数变成 6 人。 第 3 分钟：这 6 人同时打，新增 6 人，知情总人数变成 12 人…… 规律变成了：知情总人数是 3×2{n-1}（从第1分钟起算）。遇到这种题，建议老老实实列表推算前几分钟，不要盲目套公式。 易错点拨七 计算 2^n 时出现算术错误 易错点：五年级学生对乘方（几个2相乘）还不够熟练，容易把 25 算成 2 ×5 = 10，或者把26算错。 避坑指南：考前务必背熟 2 的次方表： 21 =2, 22 =4, 23 =8, 24 =16, 25 =32, 26 =64, 26 =128。 记住：2n 是 n 个 2 相乘，绝不是乘以 n。 高频易错考点一 基础正向计算（已知时间求人数） 【典例精讲】李老师要通知本班20人参加数学竞赛，如果通话一次按1分钟计算，至少需要( )分钟才能通知每个学生。 【变式训练1】原定周六小记者社会实践活动临时取消，老师要通知45名同学，以打电话的方式通知，每人每分钟只能通知一名未接到通知的同学，至少要( )分钟全部接到通知。 【变式训练2】一个合唱队共有学生16人，暑假期间有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，至少需要（    ）分钟能通知到位。 A．4 B．5 C．6 D．无法确定 【变式训练3】一个足球队有15人，有一个紧急比赛任务，教练需要尽快通知到每一个队员。任务必须一对一进行传达，每分钟通知1人，每个队员接到通知后马上通知其他人，最少用( )分钟就能通知到全体队员。 高频易错考点二 基础逆向计算（已知人数求时间） 【典例精讲】学校组织的郊游活动因天气的变化推迟了。王老师要尽快通知到每一位学生，如果一对一进行打电话传达，每分钟通知1人，每人接到电话后立即通知其他不知道这一消息的同学，7分钟最多可以通知（    ）人。 A．7 B．158 C．127 【变式训练1】周末早晨接学校通知，老师需要在5分钟内向全班30名学生发出周末活动取消的紧急通知，要求必须一对一传达，如果打电话通知一个人需要1分钟，按照打电话的最优策略，3分钟后最多有( )名学生接到通知，最终( )（填“能”或者“不能”）在5分钟内全部通知到位。 【变式训练2】周末，王老师要尽快通知校合唱队30名同学来学校参加活动，如果用打电话的最佳方式，每分钟通知到1人，通知到所有同学至少要( )分钟。那么7分钟最多能通知( )人。 高频易错考点三 跨学科与生活情境应用（规律迁移） 【典例精讲】悟空西天取经路上又遇到了妖精，他每次拔一根毫毛就能变成一个悟空，变出的悟空也有这样的本领，每次变化需要2秒。如果要变出31个悟空，最短需（    ）秒。 A．8 B．10 C．12 【变式训练1】蚂蚁是社群性昆虫，它们在活动中需要通过触角来传递信息。如果一只蚂蚁用3秒完成一次信息传递，9秒后，最多会有（    ）只蚂蚁知道这个信息。 A．3 B．8 C．12 D．16 【变式训练2】一种细菌用简单的分裂方式繁殖，即1个分裂变成2个，2个分裂变成4个……每分裂一次需要3分钟，1个细菌15分钟后变成了( )个细菌。 【变式训练3】周红和她的同学们在一次科学课上了解到，有一种寄生虫每分裂一次要用3分钟，分裂后由1只变成2只，一只这样的寄生虫18分钟后能变成_______只寄生虫。 高频易错考点四 方案设计与画图（综合实践题） 【典例精讲】小葵花合唱团的盛老师采用打电话这种一对一方式通知同学到声乐教室练习，每通知1人需1分钟。表示老师，表示同学，线上的数表示时间。能正确解决4分钟共通知同学总数的算式是（    ）。 A．1＋2＋3＋4 B．1＋2＋3＋4＋1 C．1＋2＋4＋8 D．1＋2＋4＋8＋1 【变式训练1】老师有个任务要尽快通知15位学生。任务必须一对一进行传达。每分钟通知1人，请根据通知方案填一填，画一画。 照样子，画一画： 【变式训练2】孙悟空拔下一根毫毛变成了一只小猴子。第1分钟，这只猴子变成了两只小猴子；第2分钟，每只小猴子又分别变成了两只小猴子。照这样计算，到第8分钟，一共有多少只猴子？ 第几分钟 1 2 3 4 5 6 … n 变出的小猴子数 2 … 猴子总数 3 … （1）把上表填写完整。 （2）照这样计算，到第8分钟，一共有（    ）只猴子。 【变式训练3】疫情期间，医院要求所有护士全部到岗，护士长知道消息后，需要尽快通知每一名护士。如果护士长用打电话的方式通知，每1分钟可以打一个电话，每一个接到电话的人立即通知其他不知道这一消息的人。 （1）画图并填空。（□表示护士长，○表示护士） 3分钟后最多通知（    ）人。（包含护士长） （2）观察流程图完成下表。 第几分钟 1 2 3 4 5 … 第n分钟新接到通知的护士人数 1 2 … 到第n分钟所有接到通知的护士的总人数 2 4 … 规律 1个2相乘 2个2相乘 … 我发现：到第n分钟，所有接到通知的护士总人数是n个（    ）相乘的积。 1．蚂蚁之间通过触角传递信息，每两只蚂蚁之间传递一次信息需要2秒钟，经过12秒，最多有多少只蚂蚁知道信息？（    ） A．24 B．36 C．48 D．64 2．老师接到紧急通知，要尽快通知体育队的15名同学参加紧急训练，通过打电话的方式一对一进行通知，每分钟通知1人，至少需要（    ）分钟才能通知到15名同学。 A．5 B．3 C．4 3．皮影戏，又称“影子戏”或“灯影戏”，是中国民间古老的传统艺术。某皮影戏剧团15名成员有紧急演出，团队负责人要打电话尽快通知到每名成员（一对一进行传达），每次通话需要1分钟，最少（    ）分钟才能通知到每个人。 A．15 B．5 C．4 D．14 4．下面说法中，正确的一项是（    ）。 A．一个非零自然数，不是质数就是合数 B．把分数的分子和分母同时加上4，分数的大小不变 C．图形旋转60°时，它的位置、方向发生变化，大小不变 D．老师让小慧电话通知10个班干部参加活动，每通知1个人需要1分钟，她最快需要5分钟通知完。 5．王阿姨邀请她的21个朋友来家里玩。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，每人接到电话后马上通知别人，最少需要（    ）分钟能通知到每个人。 A．3 B．4 C．5 D．6 6．学校临时有重要决定通知学生。假设用电话联系，每通知一个同学需1分钟，第一分钟由老师通知A同学，第二分钟由A同学通知B同学，同时老师通知C同学，依此类推，若班上有52位同学，则通知到所有学生需______分钟。 7．合唱队有30人，暑假期间有一个紧急演出。老师需要打电话尽快通知到每一个队员，如果每分钟通知1人，每名学生接到通知后马上通知其他人，至少需要( )分钟可以通知到每一个人。 8．暑假期间五（3）王老师接到紧急通知，要求全班36名同学去开展研学活动，需要尽快通知每一个人。用打电话的方式，每分钟通知一个人，最少需要用( )分钟才能通知到每一个人。 9．校长通知老师们去打疫苗，如果用打电话的方式，每分钟通知一个人。那么通知到65位老师，至少要( )分钟。 10．老师打电话通知20名学生，如果每分钟打电话通知1人，师生合作，最快要4分钟可通知完。( )（判断对错） 11．一个探险队临时接到一个紧急任务，队长需尽快通知到29名队员，如果用打电话的方式，每分钟通知一名队员，接到通知的人再通知其他人，那么最多5分钟可以通知所有人。( )（判断对错） 12．一个舞蹈队有7人，假期有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，接到电话的同学立即通知其他不知道这一信息的同学，全部通知完至少需要几分钟？ 13．孙悟空在炫耀拔毫毛变分身的本领，每次拔一根毫毛就能变出一个孙悟空，变出的孙悟空也能每次拔一根毫毛变出一个孙悟空，并且每次变化的时间都是1秒钟。 （1）如果要变出7个新的孙悟空，最短需要（    ）秒。 （2）如果用“□”表示孙悟空，用“○”表示变出的孙悟空，请在下面空白处画出变化的示意图。 14．一个舞蹈队有7人，假期有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，接到电话的同学立即通知其他不知道这一信息的同学，全部通知完至少需要几分钟？请你用画图的方式设计一个打电话的方案。 15．合唱队有7人，暑假老师要通知合唱队的队员去演出，若每分钟通知一个人，至少需要多少分钟才能通知到每个队员？请画出分析图。 16．疫情突发，医院要求所有护士全部到岗。某科宣护士长知道消息后，需要尽快通知15名护士。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，你帮护士长设计一个用时最少的打电话方案。你设计的方案需要用时多少分钟？用文字或画图把方案表示出来。 17．孙悟空在去西天取经的路上又遇到了妖精，它每次拔一根毫毛就能变成一个孙悟空，变出的孙悟空每次拔一根毫毛也能变成一个孙悟空，每次变化需要的时间是2秒钟。如果要变化出15个孙悟空，最短需要多少时间？把你的想法画出来。 18．学校围棋队有30名队员，暑假突然有一个紧急的比赛任务，老师通知两位队长，两位队长再分别通知两名队员，依此类推，每人再通知两个人。每同时通知两个人共需1分。 （1）画图表示联络方式。 时间/分 示意图 通知到的队员数 1 ＜ 2 2 3 （2）我发现的规律： ①时间每增加1分，增加的人数是前一次通知人数的（    ）倍； ②n分通知到的同学数比前（n－1）分通知到的同学数的（    ）倍还多（    ）人。 （3）通知30名队员共需要多少分？如果有62名队员，需要多长时间才能通知完？ 19．李叔叔是做工程的，最近接到一个装修的工程，装饰一个长50米，宽40米，高5米的长方体大仓库的墙壁和地面。业主要求李叔叔在三周之内完成，于是李叔叔就立马行动起来。 （1）首先，通知工人集合。因为工期短，李叔叔计划安排23位工人来做。如果李叔叔打1个电话1分钟，要全部通知到位，至少需要（    ）分钟。 （2）现在要粉刷仓库的墙壁和天花板，需要预算涂料数量，已知每桶涂料可以刷130平方米，除去门窗的面积300平方米，应该购买多少桶涂料？ （3）铺地砖时，需要给地面铺上一层厚10厘米的沙子，需要准备沙子多少立方米？ （4）施工时需要用到水，因为施工场地没有盛水的容器，李叔叔准备利用现有的材料（甲、乙两块铁皮）自己制作。两块铁皮尺寸不同，如图，他想将每块铁皮分别沿虚线弯折后焊接成一个无盖的底面是正方形的长方体铁盒（无剩余）。请你帮忙算一算，哪个铁盒装水更多一些？ （5）此工程队第一周、第二周共完成了总工程的，第一周、第三周共完成了总工程的。工程队第一周共完成了总工程的几分之几？ 20．怎样通知最快 一个应急小队接到紧急任务，队长需要尽快将任务通知到15名队员。任务必须一对一进行传达，每分钟通知1人，请你帮助队长设计一个最快的通知方案。 请你提取这个实际问题的关键信息，写在下面。 要通知的人数：__________________ 通知的方式及用时：__________________ 队长一个一个地通知需要15分钟，怎样设计方案能尽快通知完？                 想一想：是不是分的组越多，用的时间越少？还有更快的方法吗？ 用图示的方法试一试。 填写下表，看看你能发现什么规律。 第几分钟 1 2 3 4 5 … 新接到通知的队员数 1 2 4 接到通知的队员总数 1 3 7 （1）多长时间能通知到全体队员？ （2）按上面的方式，5分钟最多可以通知多少人？ （3）如果一个应急小队有50名队员，按上面的方式，最少花多长时间能通知到每个人？ 讨论一下：回顾整个过程，你用到了哪些方法？ 你制订的方案在实施中还需要做什么准备？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $