第三单元 长方体和正方体（易错笔记）知识梳理+16个易错考点讲练+优选真题拔尖练 共52题-2025-2026学年人教版数学五年级下册培优讲练

2025-2026学年人教版数学五年级下册单元培优讲义【易错笔记】 第三单元 长方体和正方体 【易错知识点拨+十六大易错考点+真题拔尖练 共52题】 （解析版） 同学你好，该份讲义用于人教版五年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 易错知识梳理：强化巩固细节知识，给出常考易错点，解题技巧以及提分方法，助你正确理解运用知识点，查漏补缺； 2. 易错考点讲练：优选高频考察易错题，汇编整理，精选近两年各地名校易错题类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 易错真题拔尖练：结合本专题内容精选20题历年常考易错题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 1、对长方体的特征理解不准确。要正确理解长方体的特征。 2、审题不仔细,对长方体的表面积概念理解不透彻。 在求长方体或正方体的表面积时,并不是所有的物体都有6个面,有的物体可能少一个或两个面,要根据实际情况计算。 3、混淆体积和表面积。表面积是指各个面的面积之和,体积是物体所占空间的大小。 4、误认为体积只与底面积有关。底面积和高的积相等的长方体,体积才相等。 5、对体积公式理解错误。在计算a3时,不要把a3当作3×a,a³正确的计算应是a×a×a。 6、没有掌握任意两个体积单位之间的进率。熟练掌握任意两个体积单位之间的进率是解决问题的关键。 易错考点一：长方体的展开图 【典例精讲】（24-25五年级下·河南郑州·期末）妙妙准备制作一个无盖的长方体盒子，她在方格纸上画出了长方体的表面展开图（如图）。这个长方体相交于同一顶点的三条棱的长度之和是( )分米，底面面积是( )平方分米。 【答案】 8 12 【易错思路引导】根据题意，先从长方体表面展开图中确定长方体的长、宽、高，再计算相交于同一顶点的三条棱的长度之和（即长＋宽＋高）以及底面面积（长×宽）。据此解答。 【规范解答】通过观察展开图，可知长方体的长是4分米，宽是3分米，高是1分米。相交于同一顶点的三条棱的长度之和： 4＋3＋1 ＝7＋1 ＝8（分米） 底面面积：4×3＝12（平方分米） 这个长方体相交于同一顶点的三条棱的长度之和是8分米，底面面积是12平方分米。 【变式训练】（24-25五年级下·山东济宁·期中）下面是一个长方体的展开图。 原来这个长方体的长是( )cm，宽是( )cm，高是( )cm。 【答案】 15 6 5 【易错思路引导】 长方体上下面相对，左右面相对，前后面相对，相对的面完全一样，如图 ，上下面的长和宽是长方体的长和宽，看图可知，长×2＋高×2＝40cm，因此高＝（40－长×2）÷2，据此解答。 【规范解答】（40－15×2）÷2 ＝（40－30）÷2 ＝10÷2 ＝5（cm） 原来这个长方体的长是15cm，宽是6cm，高是5cm。 易错考点二：正方体的展开图 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）有4个正方体，其展开图分别如下图所示。只有当动物和它喜欢的食物在正方体的相对面上时，它才能吃到喜欢的食物。想一想，正方体( )中的动物可以吃到它喜欢的食物。（填序号） 【答案】①②④ 【易错思路引导】根据正方体的平面展开图的特点，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共的顶点，结合展开图很容易找到动物是否可以吃到它喜欢的食物。 【规范解答】①属于正方体展开图的“”型，折成正方体后，小猫和它喜欢的食物鱼在正方体的相对面上，所以①中的动物可以吃到它喜欢的食物。 ②属于正方体展开图的“”型，折成正方体后，小猴子和它喜欢的食物桃子在正方体的相对面上，所以②中的动物可以吃到它喜欢的食物。 ③属于正方体展开图的“”型，折成正方体后，小兔子和它喜欢的食物胡萝卜不在正方体的相对面上，小兔子相对的面是3，胡萝卜相对的面是1，所以③中的动物不可以吃到它喜欢的食物。 ④属于正方体展开图的“”型，折成正方体后，小狗和它喜欢的食物骨头在正方体的相对面上，所以④中的动物可以吃到它喜欢的食物。 由此可知，正方体①②④中的动物可以吃到它喜欢的食物。 【变式训练】（24-25五年级下·广西柳州·期末）小亮画正方体的展开图（如图）。请把漏画的一个面补充完整，使得这个展开图折叠后能围成一个正方体。 【答案】见详解 【易错思路引导】方体展开图一共有11种。 （1）“1－4－1”型，中间4个一连串，两边各一随便放； （2）“2－3－1”型，二三紧连错一个，三一相连一随便； （3）“2－2－2”型，两两相连各错一； （4）“3－3”型，三个两排一对齐 正方体一共有6个面，题中已经有5个面，只需要再补充1个面即可。 【规范解答】如图： 易错考点三：长方体表面积的计算 【典例精讲】（24-25五年级下·河南焦作·期中）看图计算（单位：厘米）。 已知一个长方体上有一个正方体，求这个图形的表面积。 【答案】800平方厘米 【易错思路引导】由图形可知，这个组合图形的表面积等于长方体的表面积加上正方体侧面积的和。根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体的侧面积（4个面的面积）＝棱长×棱长×4，把数据分别代入计算。 【规范解答】（15×10＋8×10＋15×8）×2＋5×5×4 ＝（150＋80＋120）×2＋25×4 ＝350×2＋25×4 ＝700＋100 ＝800（平方厘米） 这个图形的表面积是800平方厘米。 【变式训练】（24-25五年级下·全国·课后作业）如下图所示的是一个长方体的前面和右面，求这个长方体的表面积。 【答案】288cm 【易错思路引导】根据长方体的特征可知，这个长方体的长是12cm，宽是6cm，高是4cm；用长方体表面积公式，据此解答。 【规范解答】 （cm） 答：这个长方体的表面积是288cm2。 易错考点四：长方体表面积的应用 【典例精讲】（24-25五年级下·河北唐山·期中）一个长方体长8厘米，宽3厘米，高5厘米，把它放在桌子上，占桌面的最大面积是( )平方厘米，最小是( )平方厘米。 【答案】 40 15 【易错思路引导】长方体放在桌子上时，占桌面的面积是长方体与桌子接触的面的面积。长方体有三个不同的面：长×宽的面、长×高的面、宽×高的面。分别计算这些面的面积，比较大小，最大面积是长×高的面，最小面积是宽×高的面。 【规范解答】8×3＝24（平方厘米） 8×5＝40（平方厘米） 3×5＝15（平方厘米） 40＞24＞15 所以，占桌面的最大面积是40平方厘米，最小是15平方厘米。 【变式训练】（24-25五年级下·重庆江北·期中）一间教室长9米，宽8米，高3米，门窗面积合计18平方米，如果每平方米用0.5千克涂料粉刷，地面和门窗除外，共用涂料多少千克？如果每千克卖15元，粉刷这间教室需要多少钱？ 【答案】 78千克；1170元 【易错思路引导】先根据“粉刷面积＝长×宽＋宽×高×2＋长×高×2－门窗面积”计算出需要粉刷的面积；用粉刷面积乘每平方米用的涂料质量即可求总共需要的涂料质量；根据“单价×数量＝总价”用总共需要的涂料质量乘每千克的价格即可求粉刷教室需要的费用。 【规范解答】9×8＋8×3×2＋9×3×2－18 ＝9×8＋24×2＋27×2－18 ＝72＋48＋54－18 ＝120＋54－18 ＝174－18 ＝156（平方米） 156×0.5＝78（千克） 78×15＝1170（元） 答：共用涂料78千克；粉刷这间教室需要1170元。 易错考点五：正方体表面积的计算 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）用三个一样大的小正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是56dm2。一个小正方体的表面积是多少平方分米？ 【答案】 24平方分米 【易错思路引导】一个正方体有6个相同的正方形面，三个小正方体的总面数为每个正方体的面数乘以正方体的个数即（个），三个同样大小的小正方体拼成一个长方体，只能排成一排，会有2个拼接处，每个拼接处 会使2个面重合，即减少2个面，所以减少的面数为拼接处数量乘以2即 （个），长方体的表面积对应的面数等于三个小正方体的总面数减去拼接后减少的面数即（个）；已知长方体的表面积是56dm，且该表面积对应14个正方形面，用长方体的表面积除以对应的面数，即可得到一个面的面积；一个小正方体有6个相同的面，用一个面的面积乘以6，即可得到一个小正方体的表面积；据此解答。 【规范解答】      （平方分米） 答：一个小正方体的表面积是24平方分米。 【变式训练】（24-25五年级下·全国·课后作业）一个正方体木箱，棱长2.5dm。如果实际用料是表面积的1.2倍，做这个木箱至少要用多少平方分米的木板？ 【答案】45平方分米 【易错思路引导】已知正方体的棱长，根据正方体的表面积公式，求出正方体的表面积；实际用料是表面积的1.2倍，再用表面积乘1.2，据此解答。 【规范解答】表面积：（平方分米） 木板：（平方分米） 答：做这个木箱至少要用45平方分米的木板。 易错考点六：正方体表面积的应用 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）下列实际情况分别要求几个面的面积和？（从下列选项中选出正确的选项） A．6个面    B．4个面    C．5个面 (1)给两层楼之间长方体形状的柱子刷漆，求刷漆的面积。( ) (2)在游泳池的四壁和底面贴瓷砖，求贴瓷砖的面积。( ) (3)做一个正方体包装盒，求需要的纸板的面积。( ) (4)做一节长方体铁皮通风管，求需要用的铁皮的面积。( ) (5)做一个塑料正方体笔筒，求需要的塑料板的面积。( ) 【答案】(1)B (2)C (3)A (4)B (5)C 【易错思路引导】根据表面积的意义：长方体或正方体六个面的总面积，叫做它的表面积；由此进行依次分析、进而得出结论。 【规范解答】（1）给两层楼之间长方体形状的柱子刷漆，求刷漆的面积。（B） （2）在游泳池的四壁和底面贴瓷砖，求贴瓷砖的面积。（C） （3）做一个正方体包装盒，求需要的纸板的面积。（A） （4）做一节长方体铁皮通风管，求需要用的铁皮的面积。（B） （5）做一个塑料正方体笔筒，求需要的塑料板的面积。（C） 【变式训练】（24-25五年级下·四川广元·期末）如图，图①、图②都是由棱长1cm的正方体搭成的。 根据这样的算法，图②的表面积是( )cm2（填算式）。 【答案】（6＋5＋4）×2＝30 【易错思路引导】图②从上面看：能看到6个小正方形。从前面看：能看到5个小正方形。从左面看：能看到4个小正方形。根据图①的算法，表面积为：（从上面看的个数＋从前面看的个数＋从左面看的个数）×2。所以图②的表面积算式为（6＋5＋4）×2＝30cm2。 【规范解答】图②从上面有6个小正方形；从前面看有5个小正方形；从左面看有4个小正方形。 （6＋5＋4）×2 ＝（11＋4）×2 ＝15×2 ＝30（cm2） 所以图②的表面积是30cm2，算式为（6＋5＋4）×2＝30cm2。 易错考点七：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【典例精讲】（24-25五年级下·浙江温州·期中）把下图的这块长方体木料平均锯成3段，每段都正好是一个正方体。 (1)原来的长方体木料的宽是( )分米，高是( )分米。 (2)3段小木料的表面积总和比原来长方体木料的表面积多( )平方分米。 【答案】(1) 4 4 (2)64 【易错思路引导】（1）原来的长方体木料的宽＝高＝原来的长方体木料的长÷平均锯的段数，注意先要进行单位换算； （2）3段小木料的表面积总和比原来长方体木料多的表面积＝（截的段数－1）×2×（横截面的棱长×棱长）。 【规范解答】（1）1.2米＝12分米 12÷3＝4（分米） 原来的长方体木料的宽是4分米，高是4分米。 （2）（3－1）×2×（4×4） ＝2×2×16 ＝4×16 ＝64（平方分米） 【变式训练】．（24-25五年级下·全国·课后作业）如下图，一个长方体的高增加3cm，就变成一个棱长8cm的正方体。变成正方体后表面积增加了多少？ 【答案】96平方厘米 【易错思路引导】已知一个长方体的高增加3cm，就变成一个棱长8cm的正方体，所以增加的表面积是4个相同长方形的面积之和，长方形的长为8厘米，宽为3厘米，根据长方形的面积＝长×宽，求出一个长方形的面积，再乘4，即可算出变成正方体后表面积增加的部分，据此解答。 【规范解答】 （平方厘米） 答：变成正方体后表面积增加了96平方厘米。 易错考点八：组合体的表面积（长方体、正方体） 【典例精讲】（24-25五年级下·云南昭通·期中）计算下面图形的表面积。 【答案】552cm2 【易错思路引导】 如图可知，立体图形的表面积＝长是12cm、宽是8cm、高是10cm的长方体的表面积－2个长是5cm、宽是（12－8）cm长方形的面积和，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方形的面积＝长×宽，代入数据，即可解答。 【规范解答】（12×8＋12×10＋8×10）×2－5×（12－8）×2 ＝（96＋120＋80）×2－5×4×2 ＝（216＋80）×2－5×4×2 ＝296×2－5×4×2 ＝592－20×2 ＝592－40 ＝552（cm2） 表面积是552cm2。 【变式训练】（24-25五年级下·黑龙江绥化·期末）下图为棱长1dm的小正方体搭成的立体图形堆放在墙角，这个立体图形露在外面的面积是( )，至少还需要( )个这样的小正方体才能搭成一个大正方体。 【答案】 19 16 【易错思路引导】已知正方体的棱长是1dm，根据“正方形面积＝边长×边长”计算出小正方体一个面的面积为1×1＝1dm2；分别从正面、上面、右面去数露在外面的面的数量：正面有6个，上面有7个，右面有6个，总共有6＋7＋6＝19个；所以露在外面的面积是1×19＝19dm2。 要搭成一个大正方体，大正方体的棱长至少是3dm（因为现有立体图形最长的边有3个小正方体的棱长），那么大正方体需要的小正方体总数为3×3×3＝27个；数出现有小正方体的数量：第一层有7个，第二层有3个，第三层有1个，总共7＋3＋1＝11个，所以至少还需要27－11＝16个小正方体。 【规范解答】1×1＝1（dm2） 1×（6＋7＋6） ＝1×（13＋6） ＝1×19 ＝19（dm2） 3×3×3 ＝9×3 ＝27（个） 7＋3＋1 ＝10＋1 ＝11（个） 27－11＝16（个） 所以这个立体图形露在外面的面积是19，至少还需要16个这样的小正方体才能搭成一个大正方体。 易错考点九：表面涂色的正方体 【典例精讲】（24-25五年级下·浙江杭州·期末）用棱长是1厘米的小正方体拼成下面的立体图形，把这个立体图形的表面涂上红色，三面涂有红色的有（    ）个。 A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【易错思路引导】在这个立体图形中，顶点处的小正方体有三个面露在外面，所以会被涂上三面红色。通过观察可以发现，该立体图形的顶点处的小正方体个数为10个，即三面涂有红色的小正方体有10个。 【规范解答】由分析得：把这个立体图形的表面涂上红色，三面涂有红色的有10个。 故答案为：A 【变式训练】（24-25五年级下·云南丽江·期末）拿走左图中涂色部分的小正方体后，它的表面积不变。( )（判断对错） 【答案】× 【易错思路引导】观察可知，原来小正方体露在外面的只有1个面，拿走后，露出了5个面，所以表面积增加了。 【规范解答】拿走左图中涂色部分的小正方体后，它的表面积增加了，原题说法错误。 故答案为：× 易错考点十：长方体的体积 【典例精讲】（24-25五年级下·浙江温州·期中）按要求计算。 （1）求棱长总和。 （2）求表面积。 （3）求体积。 【答案】（1）48米 （2）94平方米 （3）60立方米 【易错思路引导】（1）长方体有12条棱，4条长，4条宽，4条高，所以棱长总和＝（长＋宽＋高）×4。 （2）长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 （3）长方体的体积＝长×宽×高。 【规范解答】（1）（5＋3＋4）×4 ＝12×4 ＝48（米） （2）（5×3＋5×4＋3×4）×2 ＝（15＋20＋12）×2 ＝47×2 ＝94（平方米） （3）5×3×4 ＝15×4 ＝60（立方米） 【变式训练】（24-25五年级下·重庆江北·期中）一个长方体无盖玻璃鱼缸，长5.2分米、宽3分米、高4分米。 (1)为了加固鱼缸，在它的面与面之间的棱上涂玻璃胶，涂玻璃胶的长度是多少分米？ (2)做这个鱼缸要用多少平方米的玻璃？ (3)鱼缸里有高度为3.5分米的水，此时放入一块长3.4分米、宽2分米、高是1.5分米的铁块，水会不会溢出来？如果没有溢出，鱼缸空的部分的体积是多少立方分米？如果溢出，溢出部分水的体积是多少立方分米？（玻璃厚度忽略不计） 【答案】(1)32.4分米 (2)0.812平方米 (3)水会溢出，溢出部分水的体积是2.4立方分米 【易错思路引导】（1）这个无盖长方体鱼缸缺少由长和宽组成的顶面，涂玻璃胶的棱是底面的两条长、两条宽和四条高，长度和＝长×2＋宽×2＋高×4。 （2）做这个无盖鱼缸需要的玻璃面积，等于底面的面积加上四个侧面的面积，所以玻璃的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，再将单位从平方分米换算为平方米； （3）先根据长方体体积＝长×宽×高，分别求出鱼缸内现有水的体积和铁块的体积，再将两者相加得到总体积；再用长×宽×鱼缸高度求出鱼缸的总容积；最后比较水和铁块的总体积与鱼缸容积的大小，若总体积大于容积则水会溢出，溢出体积等于总体积减去鱼缸容积，若总体积小于或等于容积则水不会溢出，剩余体积等于鱼缸容积减去总体积。 【规范解答】（1）5.2×2＋3×2＋4×4 ＝10.4＋6＋16 ＝32.4（分米） 答：涂玻璃胶的长度是32.4分米。 （2）5.2×3＋（5.2×4＋3×4）×2 ＝15.6＋（20.8＋12）×2 ＝15.6＋32.8×2 ＝15.6＋65.6 ＝81.2（平方分米） 81.2平方分米＝0.812平方米 答：做这个鱼缸要用0.812平方米的玻璃。 （3）水的体积：5.2×3×3.5＝54.6（立方分米） 铁块体积：3.4×2×1.5＝10.2（立方分米） 水和铁块总体积：54.6＋10.2＝64.8（立方分米） 鱼缸总容积：5.2×3×4＝62.4（立方分米） 64.8＞62.4，所以水会溢出。 溢出体积：64.8－62.4＝2.4（立方分米） 答：水会溢出，溢出部分水的体积是2.4立方分米。 易错考点十一：正方体的体积 【典例精讲】（24-25五年级下·河南焦作·期中）看图计算（单位：厘米）。 从一个长方体的一个角挖去一个小正方体，求挖去后图形的体积。 【答案】292立方厘米 【易错思路引导】长方体的体积＝长×宽×高、正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；分别计算出长方体和正方体的体积；再用长方体的体积减去正方体的体积。 【规范解答】10×5×6－2×2×2 ＝50×6－4×2 ＝300－8 ＝292（立方厘米） 【变式训练】（24-25五年级下·全国·课后作业）把一个棱长为20cm的正方体钢坯熔铸成一根长为320cm的长方体钢条，这根长方体钢条的横截面的面积是( )。 【答案】25 【易错思路引导】把一个正方体钢胚熔铸成一根长方体钢条，熔铸前后体积不变，根据正方体的体积公式，求出正方体的体积；长方体的体积＝正方体的体积；最后用长方体的体积÷长方体的长，求出长方体的横截面积，据此解答。 【规范解答】正方体的体积：（立方厘米） 长方体的体积＝正方体的体积＝8000立方厘米 长方体的横截面积：（平方厘米） 因此，这根长方体钢条的横截面的面积是25平方厘米。 易错考点十二：体积的等积变形（长方体、正方体) 【典例精讲】（24-25五年级下·天津河西·期末）一团橡皮泥，淘气第一次把它捏成长方体，第二次捏成正方体，第三次捏成球，捏成的三个物体的体积（    ）。 A．长方体大 B．正方体大 C．球大 D．一样大 【答案】D 【易错思路引导】根据体积的意义，物体所占空间的大小叫做物体的体积。题目中同一团橡皮泥被捏成不同形状，但橡皮泥的总量未变，据此解答。 【规范解答】据分析可知，一团橡皮泥，淘气第一次把它捏成长方体，第二次捏成正方体，第三次捏成球，捏成的三个物体的体积一样大。 故答案为：D 【变式训练】（24-25五年级下·重庆渝中·期末）劳动课上，聪聪需要把棱长8厘米的正方体黏土捏成一个高8厘米、宽4厘米的长方体黏土太空舱，这个长方体太空舱的长是多少厘米？ 【答案】16厘米 【易错思路引导】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据即可求出正方体黏土的体积；再根据长方体的长＝长方体的体积÷高÷宽，代入数据即可求出长方体的长。 【规范解答】8×8×8＝512（立方厘米） 512÷8÷4＝16（厘米） 答：这个长方体太空舱的长是16厘米。 易错考点十三：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 【典例精讲】（24-25五年级下·北京海淀·期末）用12个相同的小正方体拼摆成一个立体图形，如下图。如果要将这个立体图形变成一个体积不变的长方体，那么至少需要移动其中（    ）个小正方体。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【易错思路引导】因为小正方体有12个，要拼成体积不变的长方体，12＝3×2×2，所以长方体的长、宽、高可以是3、2、2。观察原立体图形，要拼成长方体，可以把最顶层的1个单独的小正方体移动到第2排3个小正方体中左边正方体的上面，把最后排最右边单独的小正方体移动到第2排3个小正方体中间正方体的上面，把第1排的单独的小正方体移动到第2排3个小正方体右面正方体的上面，此时刚好是一个长方体，且体积未有变化。 【规范解答】12＝3×2×2 长方体的长、宽、高可以是3、2、2。 把最顶层的小正方体移动到第2排3个小正方体中左边正方体的上面，把最后排最右边的小正方体移动到第2排3个小正方体中间正方体的上面，把第1排的小正方体移动到第2排3个小正方体右面正方体的上面。至少需要移动3个小正方体。 故答案为：B 【变式训练】（24-25五年级下·河南郑州·期中）把一个长是6分米，宽是4分米，高是5分米的长方体截成一个最大的正方体，截成的正方体的体积是( )立方分米。 【答案】64 【易错思路引导】将一个长方体截成最大的正方体时，正方体的棱长等于长方体长、宽、高中的最小值。题目中长方体的长、宽、高分别为6分米、4分米、5分米，因此正方体的棱长为4分米。根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长计算即可。 【规范解答】4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方分米） 所以截成的正方体的体积是64立方分米。 易错考点十四：组合体的体积（长方体、正方体） 【典例精讲】（24-25五年级下·海南省直辖县级单位·期中）计算下面组合图形的体积。（单位：分米） 【答案】205立方分米 【易错思路引导】组合图形的体积等于棱长为5分米的正方体的体积加上长为10分米、宽为8分米、高为1分米的长方体的体积，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。 【规范解答】5×5×5＋8×10×1 ＝25×5＋80 ＝125＋80 ＝205（立方分米） 组合图形的体积是205立方分米。 【变式训练】（24-25五年级下·河南焦作·期中）计算组合图形的体积。 【答案】1872cm3 【易错思路引导】组合图形的体积＝上面正方体的体积＋下面长方体的体积，根据和，代入数据计算即可。 【规范解答】8×8×8＋17×8×10 ＝512＋1360 ＝1872（cm3） 则组合图形的体积是1872cm3。 易错考点十五：长方体、正方体的容积 【典例精讲】（24-25五年级下·新疆·期中）一块长方形纸板，长为30厘米，宽为20厘米，先在纸板的四个角分别剪掉一个边长为5厘米的小正方形，再折成一个无盖纸盒。这个纸盒所用的纸板是多少平方厘米？纸盒的容积是多少？（纸板的厚度忽略不计） 【答案】500平方厘米；1000立方厘米 【易错思路引导】无盖纸板的面积＝长方形纸板的面积－4个小正方形的面积； 纸盒的容积＝纸盒的长×纸盒的宽×纸盒的高，纸盒的长＝长方形纸板的长－5×2，纸盒的宽＝长方形纸板的宽－5×2，纸盒的高为5cm。 【规范解答】30×20－5×5×4 ＝600－25×4 ＝600－100 ＝500（平方厘米） （30－5×2）×（20－5×2）×5 ＝（30－10）×（20－10）×5 ＝20×10×5 ＝200×5 ＝1000（立方厘米） 答：这个纸盒所用的纸板是500平方厘米，纸盒的容积是1000立方厘米。 【变式训练】（24-25五年级下·新疆·期中）一个长8分米，宽6分米，高4分米的长方体玻璃缸装有水，水深2.8分米，如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？ 【答案】6.4升 【易错思路引导】先根据长方体体积＝长×宽×高，求出玻璃缸的总容积，再用长×宽×水深，求出缸里原有水的体积；接着根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出铁块的体积，最后把原有水的体积和铁块的体积加起来，减去玻璃缸的总容积，求出溢出水的体积，再根据1立方分米＝1升，转换单位即可。 【规范解答】玻璃缸总容积：8×6×4 ＝48×4 ＝192（立方分米） 缸内原有水的体积：8×6×2.8 ＝48×2.8 ＝134.4（立方分米） 正方体铁块体积：4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方分米） 溢出水的体积：134.4＋64－192 ＝198.4－192 ＝6.4（立方分米） 6.4立方分米＝6.4升 答：缸里的水溢出6.4升。 易错考点十六：不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）如下图，若将土豆放入甲容器中（全部淹没在水中且水没有溢出），则水位上升2.5cm；若将土豆放入乙容器中（全部淹没在水中且水没有溢出），则水位会上升多少厘米？ 【答案】 7.5cm 【易错思路引导】由图可知，甲容器底面积为72cm2，若将土豆放入甲容器中，水位上升2.5cm，用容器底面积×水上升高度，可求出水上升的体积，即土豆的体积；由图可知，乙容器长6cm、宽4cm，若将土豆放入乙容器中，水上升的体积＝土豆的体积，用水上升的体积÷容器的底面积，即可求出水上升的高度，据此解答。 【规范解答】土豆的体积＝水上升的体积：（cm3） 乙容器底面积：（cm2） 水上升的高度：（cm） 答：水位会上升7.5cm。 【变式训练】（24-25五年级下·全国·课后作业）海海、乐乐和园园尝试测量一个不规则形状的红薯的体积，进行了如下试验。 ①海海准备了一个从里面量长12厘米、宽10厘米、高15厘米的长方体玻璃缸并装满水。 ②乐乐把红薯用细线系好后，完全浸没水中，有部分水溢出。 ③园园把红薯取出，这时水面高是13厘米。 根据以上信息，计算这个红薯的体积。 【答案】240立方厘米 【易错思路引导】已知长方体玻璃缸长12厘米、宽10厘米、高15厘米，装满水放入红薯，完全浸没后再将红薯取出，此时玻璃缸内空余部分的体积等于红薯的体积；空余部分的长12厘米、宽10厘米，此时水面高13厘米，故空余部分的高为厘米，根据长方体的体积公式，可求出空余部分的体积，即红薯的体积，据此解答。 【规范解答】12×10×（15－13） ＝12×10×2 ＝240（立方厘米） 答：这个红薯的体积是240立方厘米。 1．（24-25五年级下·浙江温州·期中）正方体的展开图有6个面，下面左图给出了其中的5个面。从右图A、B、C、D中选择一个面，使这个展开图成为完整的正方体展开图，这个面是（    ）。 A．A B．B C．C D．D 【答案】D 【易错思路引导】正方体展开图共有11种，分为4类：“一四一”型：有6种；“二三一”型：有3种；“二二二”型：有1种。“三三”型：有1种。 【规范解答】 根据正方体的展开图这个面是D面。 2．（24-25五年级下·重庆江北·期中）下面的说法中，正确的有（    ）个。 ①两个表面积相等的正方体，它们的棱长和、体积也一定分别相等。 ②若长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，则表面积扩大到原来的4倍。 ③容器的容积计算方法与体积计算方法相同，容器的容积等于它的体积。 ④用5个同样的小正方体木块搭成一个几何体，这个几何体从前面和上面看都是，那么搭成的几何体可能出现2种不同的情况。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【易错思路引导】①正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的棱长和＝棱长×12，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长。 ②长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 ③容积是容器内部所能容纳物体的体积，体积是容器自身所占空间的大小。 ④从上面看的形状是：第一行有3个小正方体，第二行第二列有1个小正方体，说明第一层一定有4个小正方体。总共有5个小正方体，因此只有1个小正方体在第二层。要求从前面看也是相同形状，说明小正方体可能在第二列第一行，也可能在第二列第二行。因此只有2种不同搭法。 【规范解答】①正方体表面积 ＝ ，若两个正方体表面积相等，则棱长一定相等，因此棱长和相等，体积也相等。正确。 ②设原长方体长、宽、高为，原表面积。扩大后长宽高为，新表面积，表面积扩大到原来的4倍。正确。 ③容积是容器内部所能容纳物体的体积，体积是容器自身所占空间的大小，容器有厚度，因此容积小于体积，并不相等。错误。 ④这个几何体第一层有4个小正方体，剩下的一个小正方体在第二层，可能在第二列第一行，也可能在第二列第二行，有2种不同的情况。正确。 综上，正确的有①②④。 3．（2025五年级下·浙江杭州·专题练习）把下图的长方体木块切割成两个完全一样的长方体，表面积最多可以增加（      ）平方厘米。 A．200 B．300 C．400 D．600 【答案】D 【易错思路引导】把图中的长方体木块切割成两个完全一样的长方体，共有三种切法：①平行于上（下）面进行切割，表面积增加了两个底面的面积；②平行于左（右）面进行切割，表面积增加了两个左（右）面的面积；③平行于前（后）面进行切割，表面积增加了两个前（后）面的面积；，分别算出面积进行比较即可。 【规范解答】由图知：长方体的长为20厘米，宽为10厘米，高为15厘米； 前（后）面的面积：（平方厘米） 两个前（后）面的面积：（平方厘米） 左（右）面的面积：（平方厘米） 两个左（右）面的面积：（平方厘米） 上（下）面的面积：（平方厘米） 两个上（下）面的面积：（平方厘米） 所以，表面积最多可以增加600平方厘米。 故答案为：D 4．（24-25五年级下·重庆江北·期中）下面的几何体是用27块棱长为1cm的小正方体拼成的，从中取走1个小正方体，取走以后剩下部分几何体的表面积与原来比较，说法正确的是（    ）。 A．取走A后，表面积变小 B．取走B后，表面积变小 C．取走A后，表面积变大 D．取走C后，表面积变大 【答案】D 【易错思路引导】表面积是物体所露出面的面积；分析取走小正方体后，增加的面和减少的面的关系判断。 【规范解答】假设取走A，增加3个面，减少3个面。表面积不变。 假设取走B，增加4个面，减少2个面，表面积增加。 假设取走C，增加5个面，减少1个面，表面积增加。 综上，取走C后，表面积变大正确。 5．（24-25五年级下·河北唐山·期中）用2个棱长是6厘米的正方体拼成一个长方体，表面积减少了( )平方厘米。长方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】 72 360 【易错思路引导】减少的表面积等于两个接触面的面积。每个接触面的面积是棱长×棱长。根据正方体的表面积公式：S＝6a2，代入数据求出一个正方体的表面积，进而得出2个正方体的表面积，再减去减少的面积就是长方体的表面积。 【规范解答】2×（6×6） ＝2×36 ＝72（平方厘米） 6×（6×6）×2－72 ＝6×36×2－72 ＝432－72 ＝360（平方厘米） 6．（24-25五年级下·浙江温州·期中）在一个长10cm、宽10cm、高15cm的长方体容器中加入一些水后，测量一块石头的体积，石头的体积是( )cm3。 【答案】500 【易错思路引导】石头的体积＝长方体容器的长×宽×（原来水的高度－拿出石块后水面的高度＋原来没有水的高度）。 【规范解答】15－3＝12（厘米） 10×10×（12－10＋3） ＝10×10×（2＋3） ＝10×10×5 ＝100×5 ＝500（立方厘米） 7．（24-25五年级下·新疆·期中）用120厘米的铁丝做一个正方体框架，这个正方体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 600 1000 【易错思路引导】正方体有12条长度相等的棱，铁丝总长度120厘米是正方体的棱长总和。根据正方体棱长＝棱长总和÷12，先求出棱长，再根据正方体表面积＝棱长×棱长×6、正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求正方体的表面积和体积。 【规范解答】120÷12＝10（厘米） 表面积：10×10×6 ＝100×6 ＝600（平方厘米） 体积：10×10×10 ＝100×10 ＝1000（立方厘米） 8．（24-25五年级下·重庆江北·期中）有一个高16厘米的长方体（长、宽、高均为整厘米），侧面展开正好是一个正方形。这个长方体的体积最小是( )立方厘米，体积最小时，它的表面积是( )平方厘米。 【答案】 112 270 【易错思路引导】长方体侧面展开为正方形，说明底面周长等于高。用高的长度除以2，算出长方体底面长与宽的和是8厘米。因为长、宽、高均为整厘米，所以①长是7厘米时，宽是1厘米；②长是6厘米时，宽是2厘米；③长是5厘米时，宽是3厘米；④长是4厘米时，宽是4厘米，往下，长和宽相反。要使长方体体积最小，根据长方体的体积＝长×宽×高，高一定时，长和宽的积越小，体积越小。当长方体的长是7厘米，宽是1厘米时，长方体体积最小。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 【规范解答】16÷2＝8（厘米） ①长是7厘米时，宽是1厘米，体积＝7×1×16＝112（立方厘米） ②长是6厘米时，宽是2厘米， 体积＝6×2×16＝192（立方厘米） ③长是5厘米时，宽是3厘米；体积＝5×3×16＝240（立方厘米） ④长是4厘米时，宽是4厘米。体积＝4×4×16＝256（立方厘米） 表面积：（7×1＋7×16＋1×16）×2 ＝（7＋112＋16）×2 ＝135×2 ＝270（平方厘米） 9．（24-25五年级下·重庆江北·期中）一个长方体的长增加2厘米后，就变成了一个正方体，这时表面积比原来增加了48平方厘米。原来这个长方体木块的体积是( )立方厘米。 【答案】144 【易错思路引导】根据题意，长方体的长增加2厘米后，就变成了一个正方体，说明原来长方体的宽和高相等。用增加的面积是4个一样的长方形面积，增加的面积除以4，算出增加一个面的面积，再除以2，算出原来长方体的宽。用宽的长度减去2厘米，算出长的长度。最后根据长方体的体积＝长×宽×高解决。 【规范解答】48÷4÷2＝6（厘米） 6－2＝4（厘米） 4×6×6＝144（立方厘米） 10．（24-25五年级下·重庆忠县·期中）计算图形的表面积和体积。 【答案】表面积是1700平方厘米；体积是4000立方厘米 【易错思路引导】由于长方体与正方体粘合在一起，所以求这个组合图形的表面积时，长方体求出表面积，正方体只求4个面的面积，然后合并起来就是该图形的表面积，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体4个面的面积＝棱长×棱长×4。 这个组合图形的体积等于长方体与正方体的体积之和。长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长。 【规范解答】表面积：（20×10＋20×15＋10×15）×2＋10×10×4 ＝（200＋300＋150）×2＋10×10×4 ＝650×2＋10×10×4 ＝1300＋400 ＝1700（平方厘米） 体积：20×10×15＋10×10×10 ＝3000＋1000 ＝4000（立方厘米） 11．（24-25五年级下·江西南昌·期末）如图是一个无盖的长方体铁桶焊接前展开图。 （1）这个铁桶的底面积有多大？ （2）这个铁桶的容积是多少立方厘米？（铁皮厚度忽略不计） 【答案】（1）900平方厘米 （2）63000立方厘米 【易错思路引导】（1）从展开图可知，这个无盖长方体的底面是正方形，底面周长是120厘米，根据正方形的边长＝周长÷4，求出底面边长；再根据正方形的面积＝边长×边长，求出这个铁桶的底面积。 （2）从图中可知，用100厘米减去底面边长，即是长方体的高；再根据长方体的容积＝底面积×高，求出这个铁桶的容积。 【规范解答】（1）底面边长：120÷4＝30（厘米） 底面积：30×30＝900（平方厘米） 答：这个铁桶的底面积有900平方厘米。 （2）高：100－30＝70（厘米） 容积：900×70＝63000（立方厘米） 答：这个铁桶的容积是63000立方厘米。 12．（24-25五年级下·湖南长沙·期末）数学实验课上，老师让同学们以探究“不规则物体的体积”为主题开展数学实验活动，下面是同学们的操作过程： 步骤一：准备一个透明长方体的玻璃缸，从里面量长15厘米，宽10厘米，高20厘米。 步骤二：先向长方体的玻璃缸中加一些水。 步骤三：把不规则的物体完全浸没水中（物体完全进入水中），观察水位上升情况并记录数据。 请思考并解决问题： （1）第1组同学先向缸中加入一些水，测得水深10厘米，水的体积是（        ），然后把1个土豆完全浸没水中，此时记录水升高到12厘米，水和土豆的体积是（        ），水升高了（    ），这个土豆的体积是（    ）。 （2）第3组同学先向缸中加入一些水，测得水深15厘米，然后把1瓶未开封容积为310毫升的铝罐饮料完全浸没水中（饮料罐壁厚度忽略不计），这时水大约升高了多少厘米？（保留一位小数） 【答案】（1）1500立方厘米；1800立方厘米；2厘米；300立方厘米 （2）2.1厘米 【易错思路引导】（1）根据题意，向一个长15厘米、宽10厘米的长方体玻璃缸中加一些水，水深10厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水的体积； 然后把1个土豆完全浸没水中，此时记录水升高到12厘米，那么高12厘米的长方体的体积就是水和土豆的体积，根据长方体的体积公式求解； 此时水升高了（12－10）厘米，水升高部分的体积就是土豆的体积，根据长方体的体积公式求解。 （2）根据题意，先向缸中加入一些水，然后把1瓶未开封容积为310毫升的铝罐饮料完全浸没水中，水上升部分的体积等于铝罐饮料的体积，根据长方体的高＝体积÷（长×宽），即可求出这时水升高的高度，根据“四舍五入”法保留一位小数。注意单位的换算：1毫升＝1立方厘米。 【规范解答】（1）15×10×10＝1500（立方厘米） 15×10×12＝1800（立方厘米） 12－10＝2（厘米） 15×10×2＝300（立方厘米） 第1组同学先向缸中加入一些水，测得水深10厘米，水的体积是（1500立方厘米），然后把1个土豆完全浸没水中，此时记录水升高到12厘米，水和土豆的体积是（1800立方厘米），水升高了（2厘米），这个土豆的体积是（300立方厘米）。 （2）310毫升＝310立方厘米 310÷（15×10） ＝310÷150 ≈2.1（厘米） 答：这时水大约升高了2.1厘米。 13．（24-25五年级下·北京通州·期末）王老师家的冲水马桶有一个长方体形状的水箱，水箱从里面量长3分米、宽2分米、高3分米。每次冲水，水箱中的水会全部用完，再自动上水。当水面上升到2.5分米高时，自动停止上水。冲水马桶每次冲水大约用水多少升？ 【答案】15升 【易错思路引导】冲水马桶每次的冲水量，等于水箱上水停止时水的体积。由于水在长方体水箱中呈长方体形状，可通过长方体体积公式计算水量。水箱内部的长和宽，就是水形成的长方体的长和宽：长为3分米，宽为2分米。水面上升到2.5分米时停止上水，因此水形成的长方体的高为2.5分米。根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，把数据代入计算，再把单位转化为升即可。 【规范解答】3×2×2.5 ＝6×2.5 ＝15（立方分米） 15立方分米＝15升 答：冲水马桶每次冲水大约用水15升。 14．（24-25五年级下·湖北恩施·期末）一个长方体玻璃缸，长30厘米、宽10厘米、高10厘米，水深8厘米。放入一块观赏石后（完全沉入水中），这时玻璃缸里的水溢出了30立方厘米。 （1）这个长方体玻璃缸的底面积是多少平方厘米？ （2）这块观赏石的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）300平方厘米 （2）630立方厘米 【易错思路引导】（1）这个长方体玻璃缸的底面积是长30厘米、宽10厘米的长方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽计算即可解答。 （2）这块观赏石的体积＝上升部分水的体积＋溢出的水的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高求出上升部分水的体积，再加上30立方厘米即可解答。 【规范解答】（1）30×10＝300（平方厘米） 答：这个长方体玻璃缸的底面积是300平方厘米。 （2）30×10×（10－8）＋30 ＝300×2＋30 ＝600＋30 ＝630（立方厘米） 答：这块观赏石的体积是630立方厘米。 15．（24-25五年级下·全国·课后作业）如下图，A，B是两块不同的铁皮，将每块铁皮沿虚线弯折后，焊接成一个底面是正方形的无盖的长方体铁桶。哪块铁皮焊接成的铁桶装水更多？多多少升？（铁皮的厚度忽略不计） 【答案】B铁皮焊接成的铁桶装水更多；多4升 【易错思路引导】根据长方体的体积公式：，图①焊接成长方体的底面边长是厘米，高是厘米；图②焊接成长方体的底面边长是厘米，高是厘米，把数据分别代入公式求出它们的体积，然后单位换算，最后进行比较即可。 【规范解答】A：（厘米） （立方厘米） 立方厘米立方分米升 B：（厘米） （立方厘米） 立方厘米立方分米升 （升） 答：B铁皮焊接成的铁桶装水更多，多4升。 【考点剖析】此题考查的是理解长方体展开图的特征及应用，长方体的体积公式及应用，解题的关键是根据题意得出长方体的长、宽、高。 16．（24-25五年级下·全国·课后作业）如下图，一个长方体木块，若从它的下部和上部分别截去一个高为3cm的长方体和一个高为2cm的长方体后，就变成了一个正方体，此时，它的表面积减少了120cm2。原来长方体的体积为多少立方厘米？ 【答案】396立方厘米 【易错思路引导】根据题意，截去上下两部分后，表面积减少的部分是4个以原来长方体底面边长和（）厘米为边的相同长方形的面积之和。所以用减少的表面积除以截去的高，得到底面周长，因为底面是正方形，再根据正方形的周长＝边长×4，求出底面边长，即是正方体的棱长，长方体原来的高等于上下部截去的高度的和与正方体的棱长之和，最后利用长方体的体积公式求出原来长方体的体积，据此解答。 【规范解答】底面周长：（厘米） 底面边长：（厘米） 原来的高：（厘米） 原来的体积：（立方厘米） 答：原来长方体的体积为396立方厘米。 【考点剖析】理解表面积减少的部分是4个以原来长方体底面边长和（）厘米为边的相同长方形的面积之和，由此求出正方体的棱长，是解题的关键。 17．（24-25五年级下·湖南衡阳·期末）有一个长6分米、宽5分米、高4分米的长方体水缸，缸中水深2.5分米，水缸前面高3分米处有一个小孔。现将一个棱长为4分米的正方体铁块放入水中，有水溢出。溢出的水有多少升？ 【答案】33升 【易错思路引导】因为水缸前面高3分米处有一个小孔，因此正方体铁块不能完全浸入水中，浸入水中的铁块高等于小孔的高，正方体铁块的棱长×棱长×小孔高度＝正方体铁块浸入水中的体积；水面到达小孔处再升高就会溢出，因此水面还能上升的体积＝长方体水缸的长×宽×（小孔的高－原来的水深），正方体铁块浸入水中的体积－水面还能上升的体积＝溢出的水的体积，据此列式解答。 【规范解答】4×4×3＝48（立方分米） 6×5×（3－2.5） ＝30×0.5 ＝15（立方分米） 48－15＝33（立方分米） 33立方分米＝33升 答：溢出的水有33升。 【考点剖析】关键是想清楚正方体铁块浸入水中的部分与小孔的高度有关。 18．下图是李师傅为小明做的一个底面为正方形，内高是20厘米的无盖玻璃容器。    （1）把1升水倒入玻璃容器，水深10厘米，再把一个苹果沉入容器（苹果被水全部淹没），结果水面上升了3厘米，这个苹果的体积是多少立方厘米？ （2）制作这个玻璃容器至少需要玻璃多少平方厘米？ 【答案】（1）300立方厘米 （2）900平方厘米 【易错思路引导】（1）已知把1升水倒入玻璃容器，水深10厘米，先根据进率“1升＝1000立方厘米”换算单位，然后根据长方体的底面积S＝V÷h，求出这个容器的底面积； 再把一个苹果完全沉入容器，水面上升了3厘米，则水上升部分的体积等于这个苹果的体积；根据长方体的体积公式V＝Sh，代入数据计算，即可求出这个苹果的体积。 （2）已知这个容器的底面为正方形，由上一题可知容积的底面积为100平方厘米，根据正方形的面积＝边长×边长，确定容器的底面边长为10厘米； 因为这个容器是一个无盖的长方体，求制作这个玻璃容器至少需要玻璃的面积，就是求长方体的底面和4个侧面的面积之和，4个侧面都是长为20厘米、宽为10厘米的长方形，求出一个面的面积，再乘4即是4个侧面的面积之和，最后加上底面积即可。 【规范解答】（1）1升＝1000立方厘米 1000÷10＝100（平方厘米） 100×3＝300（立方厘米） 答：这个苹果的体积是300立方厘米。 （2）100＝10×10 所以，这个长方体容器的底面是边长为10厘米的正方形。 100＋10×20×4 ＝100＋800 ＝900（平方厘米） 答：制作这个玻璃容器至少需要玻璃900平方厘米。 【考点剖析】（1）本题考查长方体体积公式的灵活运用以及体积、容积单位的换算，把求苹果的体积转移到求水上升部分的体积是解题的关键。 （2）弄清无盖长方体容器缺少哪个面，需要求哪几个面的面积，然后灵活运用长方体的表面积公式解答。 19．计算图中大球和小球的体积。（单位：厘米） 【答案】50立方厘米；25立方厘米 【易错思路引导】观察图2，2个大球和1个小球完全浸没在水里后，2个大球和1个小球的体积之和＝水面上升的体积，水面上升的体积可看作长为5厘米，宽为5厘米，高为5厘米的长方体的体积，根据长方体的体积公式，可求出2个大球和1个小球的体积之和；观察图3，接着放入5个小球，5个小球完全浸没在水里后，5个小球的体积＝水面上升的体积，水面上升的体积可看作长为5厘米，宽为5厘米，高为（10－5）厘米的长方体的体积，根据长方体的体积公式，可求出5个小球的体积，除以5求出1个小球的体积，再代入前面的关系式中，求出1个大球的体积。据此解答。 【规范解答】5×5×5＝125（立方厘米） 5×5×（10－5） ＝25×5 ＝125（立方厘米） 125÷5＝25（立方厘米） （125－25）÷2 ＝100÷2 ＝50（立方厘米） 答：大球的体积是50立方厘米，小球的体积是25立方厘米。 【考点剖析】此题的解题关键是掌握不规则物体的体积的计算方法，通过转化的数学思想，灵活运用长方体的体积公式，解决问题。 20．一个长方体，如果高增加4厘米，那么就变成一个正方体，这时表面积比原来增加128平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】256平方厘米 【易错思路引导】由长方体的高增加4厘米后变成了正方体可知，原长方体的长和宽相等。（如下图）表面积比原来增加128平方厘米，增加部分的面积实际上就是4个面积相等的长方形的面积和。用128÷4先求出增加的1个面的面积；再用增加的1个面的面积÷4求出长方体的长（或宽）；再用长方体的长（或宽）减去4厘米求出原来长方体的高；最后根据长方体的表面积求出原长方体的表面积。 【规范解答】长（或宽）：128÷4÷4 ＝32÷4 ＝8（厘米） 高：8－4＝4（厘米） 表面积：（8×8＋8×4＋8×4）×2 ＝（64＋32＋32）×2 ＝128×2 ＝256（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是256平方厘米。 【考点剖析】一个长方体高增加一段，增加的表面积是增加的那部分前、后、左、右4个侧面的面积和。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版数学五年级下册单元培优讲义【易错笔记】 第三单元 长方体和正方体 【易错知识点拨+十六大易错考点+真题拔尖练 共52题】 （原卷版） 同学你好，该份讲义用于人教版五年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 易错知识梳理：强化巩固细节知识，给出常考易错点，解题技巧以及提分方法，助你正确理解运用知识点，查漏补缺； 2. 易错考点讲练：优选高频考察易错题，汇编整理，精选近两年各地名校易错题类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 易错真题拔尖练：结合本专题内容精选20题历年常考易错题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 1、对长方体的特征理解不准确。要正确理解长方体的特征。 2、审题不仔细,对长方体的表面积概念理解不透彻。 在求长方体或正方体的表面积时,并不是所有的物体都有6个面,有的物体可能少一个或两个面,要根据实际情况计算。 3、混淆体积和表面积。表面积是指各个面的面积之和,体积是物体所占空间的大小。 4、误认为体积只与底面积有关。底面积和高的积相等的长方体,体积才相等。 5、对体积公式理解错误。在计算a3时,不要把a3当作3×a,a³正确的计算应是a×a×a。 6、没有掌握任意两个体积单位之间的进率。熟练掌握任意两个体积单位之间的进率是解决问题的关键。 易错考点一：长方体的展开图 【典例精讲】（24-25五年级下·河南郑州·期末）妙妙准备制作一个无盖的长方体盒子，她在方格纸上画出了长方体的表面展开图（如图）。这个长方体相交于同一顶点的三条棱的长度之和是( )分米，底面面积是( )平方分米。 【变式训练】（24-25五年级下·山东济宁·期中）下面是一个长方体的展开图。 原来这个长方体的长是( )cm，宽是( )cm，高是( )cm。 易错考点二：正方体的展开图 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）有4个正方体，其展开图分别如下图所示。只有当动物和它喜欢的食物在正方体的相对面上时，它才能吃到喜欢的食物。想一想，正方体( )中的动物可以吃到它喜欢的食物。（填序号） 【变式训练】（24-25五年级下·广西柳州·期末）小亮画正方体的展开图（如图）。请把漏画的一个面补充完整，使得这个展开图折叠后能围成一个正方体。 易错考点三：长方体表面积的计算 【典例精讲】（24-25五年级下·河南焦作·期中）看图计算（单位：厘米）。 已知一个长方体上有一个正方体，求这个图形的表面积。 【变式训练】（24-25五年级下·全国·课后作业）如下图所示的是一个长方体的前面和右面，求这个长方体的表面积。 易错考点四：长方体表面积的应用 【典例精讲】（24-25五年级下·河北唐山·期中）一个长方体长8厘米，宽3厘米，高5厘米，把它放在桌子上，占桌面的最大面积是( )平方厘米，最小是( )平方厘米。 【变式训练】（24-25五年级下·重庆江北·期中）一间教室长9米，宽8米，高3米，门窗面积合计18平方米，如果每平方米用0.5千克涂料粉刷，地面和门窗除外，共用涂料多少千克？如果每千克卖15元，粉刷这间教室需要多少钱？ 易错考点五：正方体表面积的计算 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）用三个一样大的小正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是56dm2。一个小正方体的表面积是多少平方分米？ 【变式训练】（24-25五年级下·全国·课后作业）一个正方体木箱，棱长2.5dm。如果实际用料是表面积的1.2倍，做这个木箱至少要用多少平方分米的木板？ 易错考点六：正方体表面积的应用 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）下列实际情况分别要求几个面的面积和？（从下列选项中选出正确的选项） A．6个面    B．4个面    C．5个面 (1)给两层楼之间长方体形状的柱子刷漆，求刷漆的面积。( ) (2)在游泳池的四壁和底面贴瓷砖，求贴瓷砖的面积。( ) (3)做一个正方体包装盒，求需要的纸板的面积。( ) (4)做一节长方体铁皮通风管，求需要用的铁皮的面积。( ) (5)做一个塑料正方体笔筒，求需要的塑料板的面积。( ) 【变式训练】（24-25五年级下·四川广元·期末）如图，图①、图②都是由棱长1cm的正方体搭成的。 根据这样的算法，图②的表面积是( )cm2（填算式）。 易错考点七：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【典例精讲】（24-25五年级下·浙江温州·期中）把下图的这块长方体木料平均锯成3段，每段都正好是一个正方体。 (1)原来的长方体木料的宽是( )分米，高是( )分米。 (2)3段小木料的表面积总和比原来长方体木料的表面积多( )平方分米。 【变式训练】．（24-25五年级下·全国·课后作业）如下图，一个长方体的高增加3cm，就变成一个棱长8cm的正方体。变成正方体后表面积增加了多少？ 易错考点八：组合体的表面积（长方体、正方体） 【典例精讲】（24-25五年级下·云南昭通·期中）计算下面图形的表面积。 【变式训练】（24-25五年级下·黑龙江绥化·期末）下图为棱长1dm的小正方体搭成的立体图形堆放在墙角，这个立体图形露在外面的面积是( )，至少还需要( )个这样的小正方体才能搭成一个大正方体。 易错考点九：表面涂色的正方体 【典例精讲】（24-25五年级下·浙江杭州·期末）用棱长是1厘米的小正方体拼成下面的立体图形，把这个立体图形的表面涂上红色，三面涂有红色的有（    ）个。 A．10 B．9 C．8 D．7 【变式训练】（24-25五年级下·云南丽江·期末）拿走左图中涂色部分的小正方体后，它的表面积不变。( )（判断对错） 易错考点十：长方体的体积 【典例精讲】（24-25五年级下·浙江温州·期中）按要求计算。 （1）求棱长总和。 （2）求表面积。 （3）求体积。 【变式训练】（24-25五年级下·重庆江北·期中）一个长方体无盖玻璃鱼缸，长5.2分米、宽3分米、高4分米。 (1)为了加固鱼缸，在它的面与面之间的棱上涂玻璃胶，涂玻璃胶的长度是多少分米？ (2)做这个鱼缸要用多少平方米的玻璃？ (3)鱼缸里有高度为3.5分米的水，此时放入一块长3.4分米、宽2分米、高是1.5分米的铁块，水会不会溢出来？如果没有溢出，鱼缸空的部分的体积是多少立方分米？如果溢出，溢出部分水的体积是多少立方分米？（玻璃厚度忽略不计） 易错考点十一：正方体的体积 【典例精讲】（24-25五年级下·河南焦作·期中）看图计算（单位：厘米）。 从一个长方体的一个角挖去一个小正方体，求挖去后图形的体积。 【变式训练】（24-25五年级下·全国·课后作业）把一个棱长为20cm的正方体钢坯熔铸成一根长为320cm的长方体钢条，这根长方体钢条的横截面的面积是( )。 易错考点十二：体积的等积变形（长方体、正方体) 【典例精讲】（24-25五年级下·天津河西·期末）一团橡皮泥，淘气第一次把它捏成长方体，第二次捏成正方体，第三次捏成球，捏成的三个物体的体积（    ）。 A．长方体大 B．正方体大 C．球大 D．一样大 【变式训练】（24-25五年级下·重庆渝中·期末）劳动课上，聪聪需要把棱长8厘米的正方体黏土捏成一个高8厘米、宽4厘米的长方体黏土太空舱，这个长方体太空舱的长是多少厘米？ 易错考点十三：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 【典例精讲】（24-25五年级下·北京海淀·期末）用12个相同的小正方体拼摆成一个立体图形，如下图。如果要将这个立体图形变成一个体积不变的长方体，那么至少需要移动其中（    ）个小正方体。 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练】（24-25五年级下·河南郑州·期中）把一个长是6分米，宽是4分米，高是5分米的长方体截成一个最大的正方体，截成的正方体的体积是( )立方分米。 易错考点十四：组合体的体积（长方体、正方体） 【典例精讲】（24-25五年级下·海南省直辖县级单位·期中）计算下面组合图形的体积。（单位：分米） 【变式训练】（24-25五年级下·河南焦作·期中）计算组合图形的体积。 易错考点十五：长方体、正方体的容积 【典例精讲】（24-25五年级下·新疆·期中）一块长方形纸板，长为30厘米，宽为20厘米，先在纸板的四个角分别剪掉一个边长为5厘米的小正方形，再折成一个无盖纸盒。这个纸盒所用的纸板是多少平方厘米？纸盒的容积是多少？（纸板的厚度忽略不计） 【变式训练】（24-25五年级下·新疆·期中）一个长8分米，宽6分米，高4分米的长方体玻璃缸装有水，水深2.8分米，如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？ 易错考点十六：不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）如下图，若将土豆放入甲容器中（全部淹没在水中且水没有溢出），则水位上升2.5cm；若将土豆放入乙容器中（全部淹没在水中且水没有溢出），则水位会上升多少厘米？ 【变式训练】（24-25五年级下·全国·课后作业）海海、乐乐和园园尝试测量一个不规则形状的红薯的体积，进行了如下试验。 ①海海准备了一个从里面量长12厘米、宽10厘米、高15厘米的长方体玻璃缸并装满水。 ②乐乐把红薯用细线系好后，完全浸没水中，有部分水溢出。 ③园园把红薯取出，这时水面高是13厘米。 根据以上信息，计算这个红薯的体积。 1．（24-25五年级下·浙江温州·期中）正方体的展开图有6个面，下面左图给出了其中的5个面。从右图A、B、C、D中选择一个面，使这个展开图成为完整的正方体展开图，这个面是（    ）。 A．A B．B C．C D．D 2．（24-25五年级下·重庆江北·期中）下面的说法中，正确的有（    ）个。 ①两个表面积相等的正方体，它们的棱长和、体积也一定分别相等。 ②若长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，则表面积扩大到原来的4倍。 ③容器的容积计算方法与体积计算方法相同，容器的容积等于它的体积。 ④用5个同样的小正方体木块搭成一个几何体，这个几何体从前面和上面看都是，那么搭成的几何体可能出现2种不同的情况。 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025五年级下·浙江杭州·专题练习）把下图的长方体木块切割成两个完全一样的长方体，表面积最多可以增加（      ）平方厘米。 A．200 B．300 C．400 D．600 4．（24-25五年级下·重庆江北·期中）下面的几何体是用27块棱长为1cm的小正方体拼成的，从中取走1个小正方体，取走以后剩下部分几何体的表面积与原来比较，说法正确的是（    ）。 A．取走A后，表面积变小 B．取走B后，表面积变小 C．取走A后，表面积变大 D．取走C后，表面积变大 5．（24-25五年级下·河北唐山·期中）用2个棱长是6厘米的正方体拼成一个长方体，表面积减少了( )平方厘米。长方体的表面积是( )平方厘米。 6．（24-25五年级下·浙江温州·期中）在一个长10cm、宽10cm、高15cm的长方体容器中加入一些水后，测量一块石头的体积，石头的体积是( )cm3。 7．（24-25五年级下·新疆·期中）用120厘米的铁丝做一个正方体框架，这个正方体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 8．（24-25五年级下·重庆江北·期中）有一个高16厘米的长方体（长、宽、高均为整厘米），侧面展开正好是一个正方形。这个长方体的体积最小是( )立方厘米，体积最小时，它的表面积是( )平方厘米。 9．（24-25五年级下·重庆江北·期中）一个长方体的长增加2厘米后，就变成了一个正方体，这时表面积比原来增加了48平方厘米。原来这个长方体木块的体积是( )立方厘米。 10．（24-25五年级下·重庆忠县·期中）计算图形的表面积和体积。 11．（24-25五年级下·江西南昌·期末）如图是一个无盖的长方体铁桶焊接前展开图。 （1）这个铁桶的底面积有多大？ （2）这个铁桶的容积是多少立方厘米？（铁皮厚度忽略不计） 12．（24-25五年级下·湖南长沙·期末）数学实验课上，老师让同学们以探究“不规则物体的体积”为主题开展数学实验活动，下面是同学们的操作过程： 步骤一：准备一个透明长方体的玻璃缸，从里面量长15厘米，宽10厘米，高20厘米。 步骤二：先向长方体的玻璃缸中加一些水。 步骤三：把不规则的物体完全浸没水中（物体完全进入水中），观察水位上升情况并记录数据。 请思考并解决问题： （1）第1组同学先向缸中加入一些水，测得水深10厘米，水的体积是（        ），然后把1个土豆完全浸没水中，此时记录水升高到12厘米，水和土豆的体积是（        ），水升高了（    ），这个土豆的体积是（    ）。 （2）第3组同学先向缸中加入一些水，测得水深15厘米，然后把1瓶未开封容积为310毫升的铝罐饮料完全浸没水中（饮料罐壁厚度忽略不计），这时水大约升高了多少厘米？（保留一位小数） 13．（24-25五年级下·北京通州·期末）王老师家的冲水马桶有一个长方体形状的水箱，水箱从里面量长3分米、宽2分米、高3分米。每次冲水，水箱中的水会全部用完，再自动上水。当水面上升到2.5分米高时，自动停止上水。冲水马桶每次冲水大约用水多少升？ 14．（24-25五年级下·湖北恩施·期末）一个长方体玻璃缸，长30厘米、宽10厘米、高10厘米，水深8厘米。放入一块观赏石后（完全沉入水中），这时玻璃缸里的水溢出了30立方厘米。 （1）这个长方体玻璃缸的底面积是多少平方厘米？ （2）这块观赏石的体积是多少立方厘米？ 15．（24-25五年级下·全国·课后作业）如下图，A，B是两块不同的铁皮，将每块铁皮沿虚线弯折后，焊接成一个底面是正方形的无盖的长方体铁桶。哪块铁皮焊接成的铁桶装水更多？多多少升？（铁皮的厚度忽略不计） 16．（24-25五年级下·全国·课后作业）如下图，一个长方体木块，若从它的下部和上部分别截去一个高为3cm的长方体和一个高为2cm的长方体后，就变成了一个正方体，此时，它的表面积减少了120cm2。原来长方体的体积为多少立方厘米？ 17．（24-25五年级下·湖南衡阳·期末）有一个长6分米、宽5分米、高4分米的长方体水缸，缸中水深2.5分米，水缸前面高3分米处有一个小孔。现将一个棱长为4分米的正方体铁块放入水中，有水溢出。溢出的水有多少升？ 18．下图是李师傅为小明做的一个底面为正方形，内高是20厘米的无盖玻璃容器。    （1）把1升水倒入玻璃容器，水深10厘米，再把一个苹果沉入容器（苹果被水全部淹没），结果水面上升了3厘米，这个苹果的体积是多少立方厘米？ （2）制作这个玻璃容器至少需要玻璃多少平方厘米？ 19．计算图中大球和小球的体积。（单位：厘米） 20．一个长方体，如果高增加4厘米，那么就变成一个正方体，这时表面积比原来增加128平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $