第二单元 因数和倍数（易错知识梳理+十二大易错考点讲练+优选真题拔尖练 共44题）-2025-2026学年人教版数学五年级下册培优讲练

第二单元 因数和倍数 【原卷版】 同学你好，该份讲义用于人教版五年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 易错知识梳理：强化巩固细节知识，给出常考易错点，解题技巧以及提分方法，助你正确理解运用知识点，查漏补缺； 2. 易错考点讲练：优选高频考察易错题，汇编整理，精选近两年各地名校易错题类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 易错真题拔尖练：结合本专题内容精选20题历年常考易错题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 1. 如果被除数、除数和商有一个数不是整数，那么它们之间就不存在因数与倍数的关系。 2. 因数和倍数是两个相互依存的概念，只能说谁是谁的因数，谁是谁的倍数，因数和倍数不能单独存在。 3. 不要认为一个较大数的因数的个数就比一个较小数的倍数的个数多。一个数的因数的个数是有限的，而一个数的倍数的个数却是无限的。 4. 无限多的两种数量不能比较多少。 5. 1既不是质数，也不是合数。 6. 最小的质数是2，最小的合数是4。 7. 3的倍数也可以是偶数。 8. 自然数（0除外）按照因数的个数可以分为质数、合数和1三类。 9. 2是偶数中唯一的质数。 高频易错考点一：找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】（24-25五年级下·广东汕尾·期末）一个数最大因数和最小倍数都是48，这个数是( )，它的因数包括( )。 【变式训练】（24-25五年级下·江西萍乡·期末）6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是：。像6这样，等于除了它自身以外的全部因数之和的数，叫作完全数。下面的数中，是完全数的是（    ） A．16 B．20 C．28 D．32 高频易错考点二：根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（23-24五年级下·北京通州·期末）“活力”舞蹈队在排练时都要排成每行人数相等的队形（至少两行），舞蹈队的人数不可能是（    ）。 A．87人 B．78人 C．71人 D．45人 【变式训练】（23-24五年级下·江西上饶·期中）妈妈买了30根小布丁，往电冰箱放时，不是一次全部放进的，也不是一根一根往里放，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，一共有几种放法？每次分别放几个？ 高频易错考点三：找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】（24-25五年级下·海南省直辖县级单位·期中）在探究4的倍数特征时，小明同学在百格表中圈一圈，找出了4、8、12、16、20、24…他得出结论：个位是0、2、4、6、8的数都是4的倍数。小丽同学不同意小明同学的结论，她说14个位是4，但不是4的倍数。张老师让两位同学在千格表中多圈一圈4的倍数，他们发现104、108、112、116、120、124…204、208、212、216、220…都是4的倍数，所以他们猜想：只需看末尾两位数，如果它是4的倍数，那么这个数就是4的倍数。张老师总结到，一个大的整数A，可以写成A＝100m＋n，m是某个整数，n是A的最后两位数字组成的数，由于100m是4的倍数，所以只需确认n，即最后两位数字组成的数是否是4的倍数。 根据以上信息，判断674259138是不是4的倍数？请写出怎么判断的？ 【变式训练】（24-25五年级下·河南周口·期中）5的倍数中，最小的是( )；100以内3的最大倍数是( )，27的因数中最大的一位数是( ) 高频易错考点四：根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】（22-23五年级下·广东汕尾·期中）水果店运来250千克水果，如果每20千克装一箱，能正好装完吗？如果每50千克装一箱，能正好装完吗？为什么？ 【变式训练】14、21都是7的倍数，14和21的和35也是7的倍数；是因为，，。推想：（a、b、c都为非0自然数）的和一定是( )的倍数。 高频易错考点五：倍数和因数的综合应用 【典例精讲】7的因数有( )，7的倍数有( )（写3个），7既是7的( )，又是7的( )。 【变式训练】用12个边长是1cm的小正方形摆一个长方形，你会几种摆法？ ①摆成长是( )厘米，宽是( )厘米的长方形，即( )×( )＝12。 ②摆成长是( )厘米，宽是( )厘米的长方形，即( )×( )＝12。 …… 以上所填的数都是12的( )数，12是这些数的( )数。 所以就得到：如果a×b＝c （a、b、c是不为0的整数），那么，c是( )和( )的倍数，a和b是c的( ) 数。 高频易错考点六：2、5的倍数特征 【典例精讲】（24-25五年级上·广东梅州·期末）一个三位数是24□，既能被2整除，又是3的倍数，□里最小填( )。 【变式训练】（24-25五年级下·辽宁鞍山·期中）张叔叔在“学习强国”平台的分数达到了38747分，至少要加上( )分就是3的倍数，至少增加( )分就同时是2和5的倍数。 高频易错考点七：奇数与偶数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·福建福州·期中）从四张卡片中选出三张，按要求组成一个三位数，使它符合题目要求。（每题写两个） (1)奇数：( )，( )。 (2)偶数：( )，( )。 (3)3的倍数：( )，( )。 (4)5的倍数：( )，( )。 (5)既是2的倍数，又是5的倍数：( )，( )。 (6)同时是2，3，5的倍数：( )，( )。 【变式训练】（24-25五年级下·湖南衡阳·期中）三个连续的奇数中，如果中间数为，那么最小的一个数是( )，最大的一个数是( )。 高频易错考点八：3的倍数特征 【典例精讲】（24-25五年级下·四川乐山·期中）一个两位数，至少加上2是5的倍数，这个两位数最大是( )；3的倍数中，最小的三位数是( )。 【变式训练】（24-25五年级下·河北保定·期中）在56、78、213、452、990、525中，是3的倍数的数有( )；既是3的倍数又是5的倍数的数有( )；同时是2、3、5的倍数的数是( )。 高频易错考点九：2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（24-25五年级下·河南南阳·期中）在2□0中的□里填一个数，使它同时是2、3、5的倍数，有（    ）种填法。 A．3 B．2 C．4 【变式训练】（24-25五年级下·云南昭通·期中）112至少加上( )就是3的倍数，至少加上( )，就是2、3、5的倍数。 高频易错考点十：质数与合数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·甘肃庆阳·期中）芳芳的日记本密码是一个三位数，它同时是2、3和5的倍数，百位上的数是最小的合数，芳芳的日记本密码最大是( )。 【变式训练】（25-26五年级上·广东韶关·期中）（1）韶关某社区有一个长方形花坛，面积是24平方米，长和宽都是整数米，且长是合数，宽是质数。这个花坛的长和宽可能分别是多少米？ （2）花坛里有两种花，一种花的数量是质数，另一种花的数量是合数，两种花的总数是20株，且合数数量是质数数量的倍数。这两种花可能各有多少株？ 高频易错考点十一：质数与合数的综合应用 【典例精讲】猜一猜：小红家的电话号码是多少？从左边数，第一位是最小的质数，第二位的因数只有1和3，第三位既不是合数也不是质数，第四位是最小的合数，第五位的最大的因数是8，第六位是最小的自然数，第七位是既是奇数又是合数。 【变式训练】（22-23五年级上·湖北宜昌·期末）淘气和笑笑玩掷骰子游戏，骰子各面上分别是1、2、3、4、5、6，下面（    ）的游戏规则是公平的。 A．上面是奇数淘气胜，上面是偶数笑笑胜 B．上面是质数淘气胜，上面是合数笑笑胜 C．上面的数小于3淘气胜，上面的数大于3笑笑胜 D．上面的数小于4淘气胜，上面的数大于4笑笑胜 高频易错考点十二：运算性质（奇数和偶数) 【典例精讲】（24-25五年级下·湖南常德·期中）“孪（luán）生质数”是指相差2的一对质数。如3和5都是质数，且5－3＝2，所以3和5就是孪生质数。再如29和31也是孪生质数。 （1）在下面的括号里写出30以内（除了3和5）的所有孪生质数。 （          ） （2）如果用a和b表示任意一对孪生质数，那么的结果一定是（    ）（填“奇数“或”偶数“）。在下面写写你是怎么想的。 【变式训练】在每小题中分别填上不同的质数，使等式成立。 ①( )＋( )＋( )       ②( )＋( ) 1．（24-25五年级下·河南许昌·期中）下面的说法中正确的有（    ）个。 ①偶数的因数一定比奇数的因数多； ②3，4，5这三个数字，无论怎样排列成三位数，一定是3的倍数； ③甲数除以乙数，商是15，那么甲数一定是乙数的倍数； ④除2外，其他任意两个质数的和都是偶数。 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25五年级下·山西忻州·期中）A＝2×3×5，A的因数有（    ）个。 A．7 B．8 C．9 3．（24-25五年级下·山西忻州·期中）下面说法错误的有（    ）个。 ①所有7的倍数，都是合数 ②3个连续的非零自然数的乘积一定是6的倍数 ③质数与质数相加，和不一定是质数 A．1 B．2 C．3 4．（24-25五年级下·河北邢台·期中）若79□－46的差是偶数，则□里一定是（    ）。 A．偶数 B．奇数 C．质数 D．合数 5．已知都是大于0的自然数），那么下面各种说法，正确的是（    ）。 A．a是倍数 B．b是因数 C．c是因数 D．b，c都是a的因数 6．（24-25五年级下·河南信阳·期末）在自然数1～10中，既是奇数又是合数的数是( )，既是偶数又是质数的数是( )，既不是质数也不是合数的数是( )。 7．（24-25五年级下·河南驻马店·期中）一个数，它最大的因数是24，最小的倍数是( )，这个数是( )，把它写成质数相乘的形式是( )。 8．（24-25五年级下·山东济宁·期中）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，中国代表团以201枚金牌、111枚银牌、71枚铜牌的成绩位于金牌榜和奖牌榜第一位。横线上的数是质数的有( )，是合数的有( )，是奇数的有( )，是偶数的有( )。 9．（24-25五年级下·全国·课后作业）三个连续奇数的和是27，这三个奇数分别是( )，( )，( )；三个连续偶数的积是960，这三个偶数分别是( )，( )，( )。 10．（24-25五年级下·河南·期末）用1、3、5这三个数字任意摆出一个三位数，这个三位数一定是3的倍数。( )（判断对错） 11．（24-25五年级下·甘肃临夏·期末）4个奇数的和是偶数，4个奇数的积也是偶数。( )（判断对错） 12．（2020五年级下·全国·专题练习）求出下面每组数的最大公因数。 （1）3和7      9和16        11和22 （2）6和24     88和11        63和9 13．（24-25五年级下·福建龙岩·期中）静静在玩投飞镖的游戏。如图，靶上的数表示投中该区域的得分。 你认为静静说对了吗？说说你的理由。 14．（24-25五年级下·广东阳江·期中）新年到了，妈妈准备用微信给姐姐和弟弟共发80元的红包。如果姐姐抢得的红包钱数为奇数，弟弟抢得的红包钱数为奇数还是偶数？为什么？ 15．（24-25五年级下·河南焦作·期中）黄河博物馆是万里黄河的一个缩影，是一座黄河知识宝库。一天，来了83名参观的游客，为了保证讲解效果，讲解员需要将他们分组。 （1）如果讲解员将他们分成两组，第一组的人数为奇数，那么第二组的人数是奇数还是偶数？为什么？ （2）如果讲解员将他们分成三组，第一组和第二组的人数都为奇数，那么第三组的人数是奇数还是偶数？为什么？ 16．（24-25五年级下·江西赣州·期中）一个三角形的周长是72厘米，且三条边的长是3个连续的偶数，这三条边分别是多少厘米？ 17．（24-25五年级下·山东菏泽·期中）五年级（1）班48名同学进行队列表演，表演时要排成长方形队列。可以怎样排？请聪明的你写出两种方案。（要求每行每列不少于3人，不包括3人） 18．（23-24五年级下·浙江嘉兴·期末）读一读、写一写。（有几个写几个） 如果一个奇质数（既是奇数又是质数）除以4，余1，那么这个奇质数可以写成“”的形式。这是由法国著名数学家费马提出的平方和定理。例如：29是一个奇质数，29÷4＝7……1，那么29可以写成“”的形式。请你找一找，20以内符合费马平方和定理的奇质数，并用“（    ）＝（    ）2＋（    ）2”的形式写下来。 19．（24-25五年级下·全国·课后作业）三个不同质数的和是50，这三个质数的积最大是多少？ 20．将两筐苹果分给甲、乙两个班，每班一筐。如果甲班每人分13个苹果，就有1人分得6个苹果；如果乙班每人分得10个，就有1人分得5个苹果。已知两筐苹果数相等，且每筐苹果数都在100个以上，200个以下。问甲、乙两班各有多少人？每筐苹果各有多少个？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 因数和倍数 【解析版】 同学你好，该份讲义用于人教版五年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 易错知识梳理：强化巩固细节知识，给出常考易错点，解题技巧以及提分方法，助你正确理解运用知识点，查漏补缺； 2. 易错考点讲练：优选高频考察易错题，汇编整理，精选近两年各地名校易错题类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 易错真题拔尖练：结合本专题内容精选20题历年常考易错题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 1. 如果被除数、除数和商有一个数不是整数，那么它们之间就不存在因数与倍数的关系。 2. 因数和倍数是两个相互依存的概念，只能说谁是谁的因数，谁是谁的倍数，因数和倍数不能单独存在。 3. 不要认为一个较大数的因数的个数就比一个较小数的倍数的个数多。一个数的因数的个数是有限的，而一个数的倍数的个数却是无限的。 4. 无限多的两种数量不能比较多少。 5. 1既不是质数，也不是合数。 6. 最小的质数是2，最小的合数是4。 7. 3的倍数也可以是偶数。 8. 自然数（0除外）按照因数的个数可以分为质数、合数和1三类。 9. 2是偶数中唯一的质数。 高频易错考点一：找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】（24-25五年级下·广东汕尾·期末）一个数最大因数和最小倍数都是48，这个数是( )，它的因数包括( )。 【答案】 48 1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 【思路引导】根据因数和倍数的定义，一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。当题目指出最大因数和最小倍数都是48时，这个数就是48。接着通过列举乘法算式，找出48的所有因数。 【完整解答】48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8 即一个数最大因数和最小倍数都是48，这个数是48，它的因数包括1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。 【变式训练】（24-25五年级下·江西萍乡·期末）6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是：。像6这样，等于除了它自身以外的全部因数之和的数，叫作完全数。下面的数中，是完全数的是（    ） A．16 B．20 C．28 D．32 【答案】C 【思路引导】由题可知，一个数等于除了它本身以外的全部因数之和的数叫作完全数，所以先分别找出每个选项中数字的除了自身以外的因数，再计算这些因数的和，看是否等于该数字的本身，从而判断哪个数是完全数，据此解答。 【完整解答】A．16的因数有：1、2、4、8、16，1＋2＋4＋8＝15，，所以16不是完全数。 B．20的因数有：1、2、4、5、10、20，1＋2＋4＋5＋10＝22，，所以20不是完全数。 C．28的因数有：1、2、4、7、14、28，1＋2＋4＋7＋14＝28，所以28是完全数。 D．32的因数有：1、2、4、8、16、32，1＋2＋4＋8＋16＝31，，所以32不是完全数。 故答案为：C 高频易错考点二：根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（23-24五年级下·北京通州·期末）“活力”舞蹈队在排练时都要排成每行人数相等的队形（至少两行），舞蹈队的人数不可能是（    ）。 A．87人 B．78人 C．71人 D．45人 【答案】C 【思路引导】因数是指整数a除以整数b（b不为0）的商正好是整数，并且没有余数，我们就说b是a的因数。要排成至少2行的队形，说明舞蹈队的人数的因数至少有3个。据此解题。 【完整解答】A．87的因数有1、3、29和87，所以87人可以排成每行3人或每行29人； B．78的因数有1、2、3、6、13、26、39和78，所以78人可以排成每行2人或每行3人或每行6人或每行13人或每行26人或每行39人； C．71的因数只有1和71，所以71只能排成每行1人或每行71人，每行1人换个角度看也就是每行71人，所以只有1行，不符合题意； D．45的因数有1、3、5、9、15和45，所以45人可以排成每行3人或每行5人或每行9人或每行15人。 所以，舞蹈队的人数不可能是71人。 故答案为：C 【变式训练】（23-24五年级下·江西上饶·期中）妈妈买了30根小布丁，往电冰箱放时，不是一次全部放进的，也不是一根一根往里放，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，一共有几种放法？每次分别放几个？ 【答案】6种；2个、3个、5个、6个、10个、15个 【思路引导】每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，说明每次放的根数是总根数的因数，据此求出总根数的所有因数，因为不是一次全部放进的，也不是一根一根往里放，排除1和本身两个因数即可。 列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【完整解答】30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6 30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30 排除1和30，还有2、3、5、6、10、15。 答：一共有6种放法，每次分别放2个、3个、5个、6个、10个、15个。 高频易错考点三：找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】（24-25五年级下·海南省直辖县级单位·期中）在探究4的倍数特征时，小明同学在百格表中圈一圈，找出了4、8、12、16、20、24…他得出结论：个位是0、2、4、6、8的数都是4的倍数。小丽同学不同意小明同学的结论，她说14个位是4，但不是4的倍数。张老师让两位同学在千格表中多圈一圈4的倍数，他们发现104、108、112、116、120、124…204、208、212、216、220…都是4的倍数，所以他们猜想：只需看末尾两位数，如果它是4的倍数，那么这个数就是4的倍数。张老师总结到，一个大的整数A，可以写成A＝100m＋n，m是某个整数，n是A的最后两位数字组成的数，由于100m是4的倍数，所以只需确认n，即最后两位数字组成的数是否是4的倍数。 根据以上信息，判断674259138是不是4的倍数？请写出怎么判断的？ 【答案】不是；判断方法见详解 【思路引导】依据4的倍数特征来解答，一个数是否为4的倍数，只需看其最后两位数字组成的数是否为4的倍数，通过对给定数取最后两位并判断来求解。 674259138最后两位数字组成的数是38。计算38÷4＝9……2，结果不是整数，说明38不是4的倍数。 【完整解答】674259138最后两位数字组成的数是38。 38÷4＝9……2 答：674259138不是4的倍数。看该数最后两位组成的38是否为4的倍数，因38不是4的倍数，所以674259138不是4的倍数。 【变式训练】（24-25五年级下·河南周口·期中）5的倍数中，最小的是( )；100以内3的最大倍数是( )，27的因数中最大的一位数是( ) 【答案】 5 99 9 【思路引导】倍数的定义：一个数的倍数是它本身与整数（0 除外）的乘积（如 5×1＝5，5×2＝10，5×3＝15……）。一个数的最小倍数是它本身，据此得出5的最小倍数是5。 根据3的倍数特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。需找到 “小于100的最大整数，且是3的倍数”： 先计算 100÷3 的商和余数：100＝3×33＋1，即 100 比3的33倍多1。 因此，3的33倍（3×33＝99）是小于 100 的最大3的倍数（验证：9＋9＝18，18 是3的倍数，符合特征）。 所以，100以内3的最大倍数是 99。 因数是能整除27的整数（即 27÷因数＝整数，无余数）。 27的因数有：1（27÷1＝27）、3（27÷3＝9）、9（27÷9＝3）、27（27÷27＝1）。 从这些因数中筛选 “一位数”：1、3、9（27 是两位数，排除）。 其中最大的一位数是 9。 【完整解答】5的倍数中，最小的是5，100以内3的最大倍数是99，27的因数中最大的一位数是9。 高频易错考点四：根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】（22-23五年级下·广东汕尾·期中）水果店运来250千克水果，如果每20千克装一箱，能正好装完吗？如果每50千克装一箱，能正好装完吗？为什么？ 【答案】每20千克装一箱，不能正好装完；每50千克装一箱，能正好装完 【思路引导】根据因数和倍数的意义，如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；如果20是250的因数，则每20千克装一箱，能正好装完，反之则不能；如果50是250的因数，则每50千克装一箱，能正好装完，反之则不能。据此解答。 【完整解答】250÷20＝12（箱）……10（千克） 250÷50＝5（箱） 250不是20的倍数，而是50的倍数。 答：每20千克装一箱，不能正好装完；每50千克装一箱能正好装完。 【考点再现】此题考查了因数、倍数的意义和应用。 【变式训练】14、21都是7的倍数，14和21的和35也是7的倍数；是因为，，。推想：（a、b、c都为非0自然数）的和一定是( )的倍数。 【答案】c 【思路引导】结合倍数的定义，以及从题目的例子中可以看出，如果两个数分别是同一个数的倍数，那么它们的和也是这个数的倍数，据此解答即可。 【完整解答】因为ac＋bc＝（a＋b）×c，ac是c的倍数，bc也是c的倍数，ac＋bc的和一定是c的倍数。 【考点再现】本题的关键理解倍数的定义以及根据例子总结出规律。 高频易错考点五：倍数和因数的综合应用 【典例精讲】7的因数有( )，7的倍数有( )（写3个），7既是7的( )，又是7的( )。 【答案】 1、7 7、14、21（答案不唯一） 因数 倍数 【思路引导】根据因数和倍数的概念，直接填出7的因数，以及3个7的倍数即可。一个数的本身，既是它的因数也是它的倍数。 【完整解答】7的因数有1、7，7的倍数有7、14、21，7既是7的因数，又是7的倍数。 【考点再现】本题考查了因数和倍数，掌握因数和倍数的概念是解题的关键。 【变式训练】用12个边长是1cm的小正方形摆一个长方形，你会几种摆法？ ①摆成长是( )厘米，宽是( )厘米的长方形，即( )×( )＝12。 ②摆成长是( )厘米，宽是( )厘米的长方形，即( )×( )＝12。 …… 以上所填的数都是12的( )数，12是这些数的( )数。 所以就得到：如果a×b＝c （a、b、c是不为0的整数），那么，c是( )和( )的倍数，a和b是c的( ) 数。 【答案】 12 1 12 1 6 2 6 2 因 倍 a b 因 【思路引导】（1）长方形的长为12厘米，宽为1厘米； 长方形的长为6厘米，宽为2厘米； 长方形的长为4厘米，宽为3厘米； （2）在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数；据此解答。 【完整解答】①摆成长是12厘米，宽是1厘米的长方形，即12×1＝12。 ②摆成长是6厘米，宽是2厘米的长方形，即6×2＝12。 …… 以上所填的数都是12的因数，12是这些数的倍数。 所以就得到：如果a×b＝c （a、b、c是不为0的整数），那么，c是a和b的倍数，a和b是c的因数。 【考点再现】掌握因数和倍数的意义是解答题目的关键。 高频易错考点六：2、5的倍数特征 【典例精讲】（24-25五年级上·广东梅州·期末）一个三位数是24□，既能被2整除，又是3的倍数，□里最小填( )。 【答案】0 【思路引导】既能被2整除，又是3的倍数，就是既是2的倍数又是3的倍数，这样的数个位上是偶数，且各个数位上数字之和是3的倍数。由此判断这个三位数的可能数字。 【完整解答】一个三位数是24□，被2整除，那么□可取0，2，4，6，8。 又是3的倍数，2＋4＋0＝6，6是3的倍数。 2＋4＋6＝12，12是3的倍数。□可取0，6。 0＜6 一个三位数是24□，既能被2整除，又是3的倍数，□最小填0。 【变式训练】（24-25五年级下·辽宁鞍山·期中）张叔叔在“学习强国”平台的分数达到了38747分，至少要加上( )分就是3的倍数，至少增加( )分就同时是2和5的倍数。 【答案】 1 3 【思路引导】一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；先计算38747各位数字之和：3＋8＋7＋4＋7＝29，最接近29且是3的倍数的数是30，30－29＝1，即29再加上1就是3的倍数，所以38747至少要加上1分就是3的倍数。 个位上是0的数同时是2和5的倍数，38747个位是7，距离最近的个位是0的数是38750，那么至少要增加的分数为38750－38747＝3分，此时这个数就同时是2和5的倍数。 【完整解答】3＋8＋7＋4＋7 ＝11＋7＋4＋7 ＝18＋4＋7 ＝22＋7 ＝29 30－29＝1 38750－38747＝3（分） 至少要加上1分就是3的倍数，至少增加3分就同时是2和5的倍数。 高频易错考点七：奇数与偶数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·福建福州·期中）从四张卡片中选出三张，按要求组成一个三位数，使它符合题目要求。（每题写两个） (1)奇数：( )，( )。 (2)偶数：( )，( )。 (3)3的倍数：( )，( )。 (4)5的倍数：( )，( )。 (5)既是2的倍数，又是5的倍数：( )，( )。 (6)同时是2，3，5的倍数：( )，( )。 【答案】(1) 603 605 (2) 630 306 (3) 603 306 (4) 630 635 (5) 630 350 (6) 630 360 【思路引导】（1）奇数是不能被2整除的整数，个位需是1、3、5、7、9 。从6、0、3、5选三张组成三位数，个位选3或5可构成奇数。 （2）偶数是能被2整除的整数，个位需是0、2、4、6、8 。从6、0、3、5选三张组成三位数，个位选0或6可构成偶数。 （3）一个数各位数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。计算所选三张卡片数字和，判断是否为3的倍数。 （4）5的倍数个位是0或5 。从6、0、3、5选三张组成三位数，个位选0或5可构成5的倍数。 （5）既是2的倍数又是5的倍数，个位一定是0 。从6、0、3、5选三张且个位为0组成三位数。 （6）同时是2、3、5的倍数，个位是0且各位数字和是3的倍数。从6、0、3、5选三张，个位为0且数字和是3的倍数来组成三位数。 【完整解答】（1）当个位是3时，组成603；个位是5时，组成605 。 奇数为603，605（答案不唯一） （2）当个位是0时，组成630；个位是6时，组成306。 偶数为630，306（答案不唯一） （3）6＋0＋3＝9（9是3的倍数），组成603；3＋0＋6＝9，组成306 。 3的倍数为603，306（答案不唯一） （4）个位是0时，组成630；个位是5时，组成635 。 5的倍数为630，635（答案不唯一） （5）个位是0时，组成630、350 。 既是2的倍数，又是5的倍数为630，350（答案不唯一） （6）6＋3＋0＝9（9是3的倍数），组成630；3＋6＋0＝9，组成360 。 同时是2，3，5的倍数为630，360。 【变式训练】（24-25五年级下·湖南衡阳·期中）三个连续的奇数中，如果中间数为，那么最小的一个数是( )，最大的一个数是( )。 【答案】 【思路引导】奇数是指不能被2整除的数，连续两个奇数之间相差2，三个连续的奇数之间，最小的奇数等于中间的奇数减去2，最大的奇数等于中间的奇数加上2；运用字母表示数的方法可得出答案。 【完整解答】三个连续的奇数中，如果中间数为，那么最小的一个数是：，最大的一个数是。 高频易错考点八：3的倍数特征 【典例精讲】（24-25五年级下·四川乐山·期中）一个两位数，至少加上2是5的倍数，这个两位数最大是( )；3的倍数中，最小的三位数是( )。 【答案】 98 102 【思路引导】5的倍数特征：个位上的数是0或5；两位数加上2得到能被5整除的数，可得到这个数；3的倍数特征：各个数位上的数相加之和是3的倍数，则这个数是3的倍数，据此可得出答案。 【完整解答】一个两位数加上2是5的倍数，即100是5的倍数，则这个两位数是；3的倍数中，最小的三位数是102。 【变式训练】（24-25五年级下·河北保定·期中）在56、78、213、452、990、525中，是3的倍数的数有( )；既是3的倍数又是5的倍数的数有( )；同时是2、3、5的倍数的数是( )。 【答案】 78、213、990、525 990、525 990 【思路引导】3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字之和是3的倍数的数。同时是2、3、5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字之和是3的倍数的数。据此分析判断即可。 【完整解答】在这些数中，各个数位上的数字的和是3的倍数的有78、213、990、525，所以是3的倍数的数有78、213、990、525； 个位上的数字是0或5，各个数位上的数字之和是3的倍数的数有990、525，所以既是3的倍数又是5的倍数的数有990、525； 个位上的数字是0，各个数位上的数字之和是3的倍数的数是990，所以同时是2、3、5的倍数的数是990。 在56、78、213、452、990、525中，是3的倍数的数有78、213、990、525；既是3的倍数又是5的倍数的数有990、525；同时是2、3、5的倍数的数是990。 高频易错考点九：2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（24-25五年级下·河南南阳·期中）在2□0中的□里填一个数，使它同时是2、3、5的倍数，有（    ）种填法。 A．3 B．2 C．4 【答案】A 【思路引导】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数；3的倍数特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；5的倍数特征：个位上是0或5的数。要使一个数同时是2、3、5的倍数，个位上必须是0且各位上的数字之和是3的倍数。 【完整解答】因为这个数同时是2和5的倍数，所以个位数字一定是0，题目中给出的数2□0个位已经是0，满足这一条件。各位数字之和为2＋□＋0＝2＋□，3的倍数有3、6、9、12…，3－2＝1，6－2＝4，9－2＝7，要使2＋□是3的倍数，□里可以填1、4、7。因此在2□0中的□里填一个数，使它同时是2、3、5的倍数，有3种填法。 故答案为：A 【变式训练】（24-25五年级下·云南昭通·期中）112至少加上( )就是3的倍数，至少加上( )，就是2、3、5的倍数。 【答案】 2 8 【思路引导】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 2、5的倍数特征：个位上是0的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【完整解答】1＋1＋2＝4，4不是3的倍数； 4＋1＝5，不是3的倍数； 4＋2＝6，是3的倍数； 所以112至少要加上2才是3的倍数。 当个位是0时，这个数是2、5的倍数；且这个数要大于112，则这个数至少是120； 1＋2＋0＝3，120同时也是3的倍数； 120－112＝8 112至少加上（2）就是3的倍数，至少加上（8），就是2、3、5的倍数。 高频易错考点十：质数与合数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·甘肃庆阳·期中）芳芳的日记本密码是一个三位数，它同时是2、3和5的倍数，百位上的数是最小的合数，芳芳的日记本密码最大是( )。 【答案】480 【思路引导】2的倍数特征是个位是偶数；5的倍数特征是个位是0或5；3的倍数特征是各个数位上数字之和是3的倍数。合数是指除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的自然数，最小的合数是4。我们要根据这些知识点来确定这个三位数。 【完整解答】确定百位数字：已知百位上的数是最小的合数，因为最小的合数是4，所以百位数字是4。确定个位数字：因为这个数同时是2和5的倍数，所以个位数字只能是0。 确定十位数字：设十位数字为，这个三位数各个数位数字之和为4＋＋0＝4＋，又因为这个数是3的倍数，所以4＋要是3的倍数。要使这个三位数最大，要尽可能大，当＝8时，4＋8＝12，12是3的倍数。 所以这个三位数最大是480，即芳芳的日记本密码最大是480。 芳芳的日记本密码是一个三位数，它同时是2、3和5的倍数，百位上的数是最小的合数，芳芳的日记本密码最大是480。 【变式训练】（25-26五年级上·广东韶关·期中）（1）韶关某社区有一个长方形花坛，面积是24平方米，长和宽都是整数米，且长是合数，宽是质数。这个花坛的长和宽可能分别是多少米？ （2）花坛里有两种花，一种花的数量是质数，另一种花的数量是合数，两种花的总数是20株，且合数数量是质数数量的倍数。这两种花可能各有多少株？ 【答案】（1）长12米，宽2米或长8米；宽3米。 （2）这两种花一种可以有2株，另一种可能有18株。或一种可能有5株，另一种可能有15株。 【思路引导】（1）除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数，据此确定长和宽； （2）20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19，再用20减去质数求出对应的数看是否是合数且满足合数数量是质数数量的倍数。 【完整解答】（1）24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 符合条件的是2×12和3×8 答：这个花坛的长和宽可能长12米，宽2米或长8米；宽3米。 （2）20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19 对应的数为18、17、15、13、9、7、3、1 2＋18＝20，18÷2＝9 5＋15＝20，15÷5＝3 答：这两种花一种可以有2株，另一种可能有18株。或一种可能有5株，另一种可能有15株。 【考点再现】本题主要考查质数合数的概念与长方形面积的结合。 高频易错考点十一：质数与合数的综合应用 【典例精讲】猜一猜：小红家的电话号码是多少？从左边数，第一位是最小的质数，第二位的因数只有1和3，第三位既不是合数也不是质数，第四位是最小的合数，第五位的最大的因数是8，第六位是最小的自然数，第七位是既是奇数又是合数。 【答案】2304809或2314809 【思路引导】一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；当a×b＝c（a、b、c为非0自然数）我们说c是a和b的倍数，a和b是c的因数。一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身；0和1既不是质数，也不是合数，据此解答。 【完整解答】最小的质数的质数是2，因数只有1和3的数是3，既不是合数也不是质数是0或1，最小的合数是4，最大的因数是8的数是8，最小的自然数0，既是奇数又是合数的数是9。 所以小红家的电话号码是2304809或2314809。 【考点再现】本题考查了质数、合数、因数、奇数的认识。 【变式训练】（22-23五年级上·湖北宜昌·期末）淘气和笑笑玩掷骰子游戏，骰子各面上分别是1、2、3、4、5、6，下面（    ）的游戏规则是公平的。 A．上面是奇数淘气胜，上面是偶数笑笑胜 B．上面是质数淘气胜，上面是合数笑笑胜 C．上面的数小于3淘气胜，上面的数大于3笑笑胜 D．上面的数小于4淘气胜，上面的数大于4笑笑胜 【答案】A 【思路引导】根据可能性大小的判断方法，结合奇数和偶数、质数和合数的概念，一一分析各个游戏规则的公平性即可。 【完整解答】A．骰子上奇数有1、3、5，偶数有2、4、6，奇数和偶数的数量相同，那么淘气和笑笑赢的可能性是一样大的，游戏是公平的； B．骰子上质数有2、3、5，合数有4、6，质数数量多于合数，那么此时淘气赢的可能性大于笑笑，游戏是不公平的； C．骰子上小于3的数有1、2，大于3的数有4、5、6，此时笑笑赢的可能性更大，游戏不公平； D．骰子上小于4的数有1、2、3，大于4的数有5、6，此时淘气赢的可能性更大，游戏不公平。 故答案为：A 【考点再现】本题考查了可能性的大小，掌握可能性大小的判断方法是解题的关键。 高频易错考点十二：运算性质（奇数和偶数) 【典例精讲】（24-25五年级下·湖南常德·期中）“孪（luán）生质数”是指相差2的一对质数。如3和5都是质数，且5－3＝2，所以3和5就是孪生质数。再如29和31也是孪生质数。 （1）在下面的括号里写出30以内（除了3和5）的所有孪生质数。 （          ） （2）如果用a和b表示任意一对孪生质数，那么的结果一定是（    ）（填“奇数“或”偶数“）。在下面写写你是怎么想的。 【答案】（1） 5和7、11和13、17和19 （2）奇数；想法见详解 【思路引导】（1）质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。先找出30以内的所有质数，再根据孪生质数相差2的特点找出除3和5外的孪生质数。 （2）是2的倍数的数叫偶数；不是2的倍数的数叫奇数。除了2以外的质数都是奇数，而孪生质数是相差2的一对质数，所以a和b一定是奇数。因为2是偶数，根据“奇数×偶数＝偶数”，所以2a是偶数。又因为b是奇数，根据“偶数＋奇数＝奇数”，所以2a＋b的结果一定是奇数。 【完整解答】（1）30以内的所有质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29。 7－5＝2，所以5和7是孪生质数； 13－11＝2，所以11和13是孪生质数； 19－17＝2，所以17和19是孪生质数。 即30以内（除了3和5）的所有孪生质数有：5和7、11和13、17和19。 （2）由分析知，a和b一定是奇数。因为2是偶数，根据“奇数×偶数＝偶数”，所以2a是偶数。又因为b是奇数，根据“偶数＋奇数＝奇数”，所以2a＋b的结果一定是奇数。 【变式训练】在每小题中分别填上不同的质数，使等式成立。 ①( )＋( )＋( )       ②( )＋( ) 【答案】 2 7 31 2 197 【思路引导】①3个质数相加的和是40，而三个奇数的和是奇数，所以这里三个质数中一定有一个是偶质数2，即40＝2＋（ ）＋（ ），即38＝（ ）＋（ ），发现只有填7和31时符合要求； ②由于199是一个奇数，因此两个加数一定有一个是奇数，有一个是偶数，而偶质数只有2，由此可算出另一个加数是197。 【完整解答】根据分析可得： ①40＝2＋（ 7 ）＋（ 31  ） ②（ 2  ）＋（ 197 ）＝199 【考点再现】本题考查质数、奇数与偶数的运算性质，解答本题的关键是掌握质数、奇数与偶数的运算性质的概念。 1．（24-25五年级下·河南许昌·期中）下面的说法中正确的有（    ）个。 ①偶数的因数一定比奇数的因数多； ②3，4，5这三个数字，无论怎样排列成三位数，一定是3的倍数； ③甲数除以乙数，商是15，那么甲数一定是乙数的倍数； ④除2外，其他任意两个质数的和都是偶数。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】①整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。据此举例说明即可； ②一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数； ③只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。如果甲数和乙数是小数，则不在研究范围，举例说明即可； ④除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。奇数＋奇数＝偶数，据此分析。 【完整解答】①2是偶数，3是奇数，2的因数有1、2；3的因数有1、3；2和3的因数都有2个，偶数的因数一定比奇数的因数多这种说法错误； ②3＋4＋5＝12，12是3的倍数，3，4，5这三个数字，无论怎样排列成三位数，一定是3的倍数，说法正确； ③如果甲数是4.5，乙数是0.3，4.5÷0.3＝15，如果甲数和乙数都是小数，不在因数和倍数的研究范围，原说法错误； ④2是质数中唯一的偶数，除2外，其他的质数都是奇数，奇数＋奇数＝偶数，其他任意两个质数的和都是偶数，说法正确。 说法中正确的有2个。 故答案为：B 2．（24-25五年级下·山西忻州·期中）A＝2×3×5，A的因数有（    ）个。 A．7 B．8 C．9 【答案】B 【思路引导】已知A＝2×3×5，计算出A的值，再列举出A的所有因数，并数出A的因数的个数即可。 找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【完整解答】A＝2×3×5＝30 30的因数：1，2，3，5，6，10，15，30； A的因数有8个。 故答案为：B 3．（24-25五年级下·山西忻州·期中）下面说法错误的有（    ）个。 ①所有7的倍数，都是合数 ②3个连续的非零自然数的乘积一定是6的倍数 ③质数与质数相加，和不一定是质数 A．1 B．2 C．3 【答案】A 【思路引导】①一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫作质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫作合数；7本身是质数，而一个数的最小倍数是它本身，所以7的倍数可能是质数，也可能是合数； ②3个连续的非零自然数中，一定有一个数是偶数，即2的倍数，同时也一定有一个数是3的倍数，所以它们的乘积一定能同时被2和3整除，2×3＝6，那么它们的乘积一定是6的倍数； ③由质数和合数的意义可知，质数与质数的乘积一定是合数，而质数与质数的和可能是质数，也可能是合数，举例说明即可。 【完整解答】①分析可知，所有7的倍数中，除了它本身是质数其它的都是合数，所以题目说法不正确； ②分析可知，3个连续的非零自然数，其中有一个是2的倍数，还有一个是3的倍数，6＝2×3，所以这3个连续的非零自然数的乘积一定是6的倍数，如：1×2×3＝6，2×3×4＝24，6和24都是6的倍数，题目说法正确。 ③质数与质数相加，如：2（质数）＋3（质数）＝5（质数），3（质数）＋7（质数）＝10（合数），所以质数与质数相加，和不一定是质数，题目说法正确。 综上所述，说法错误的有①，只有1个。 故答案为：A 4．（24-25五年级下·河北邢台·期中）若79□－46的差是偶数，则□里一定是（    ）。 A．偶数 B．奇数 C．质数 D．合数 【答案】A 【思路引导】在自然数中，不是2的倍数的数叫做奇数，是2的倍数的数叫做偶数；一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数，一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数；奇数和偶数的运算性质：奇数＋奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数，据此判断即可。 【完整解答】由分析可得：因为偶数减偶数的差是偶数，所以79□是偶数，偶数的个位上是偶数，所以□里一定是偶数。 故答案为：A 5．已知都是大于0的自然数），那么下面各种说法，正确的是（    ）。 A．a是倍数 B．b是因数 C．c是因数 D．b，c都是a的因数 【答案】D 【思路引导】在整数除法中，商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数，因数和倍数是相互依存的，我们只能说谁是谁的因数，谁是谁的倍数，据此解答即可。 【完整解答】由分析可知： b，c都是a的因数，a是b，c的倍数。 故答案为：D 【考点再现】本题考查因数和倍数，明确因数和倍数的定义是解题的关键。 6．（24-25五年级下·河南信阳·期末）在自然数1～10中，既是奇数又是合数的数是( )，既是偶数又是质数的数是( )，既不是质数也不是合数的数是( )。 【答案】 9 2 1 【思路引导】不能被2整除的数叫做奇数；能被2整除的数叫做偶数；一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身外，还有其它因数，这样的数叫做合数，1既不是质数，也不是合数，据此解答。 【完整解答】由分析可得：在自然数1～10中，既是奇数又是合数的数是9，既是偶数又是质数的数是2，既不是质数也不是合数的数是1。 7．（24-25五年级下·河南驻马店·期中）一个数，它最大的因数是24，最小的倍数是( )，这个数是( )，把它写成质数相乘的形式是( )。 【答案】 24 24 24＝2×2×2×3 【思路引导】一个数，最大的因数是它本身，最小的倍数是它本身；把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。分解质因数只针对合数；据此解答。 【完整解答】最大的因数是24，最小的倍数是24，这个数是24。 24＝2×2×2×3 一个数，它最大的因数是24，最小的倍数是24，这个数是24，把它写成质数相乘的形式是24＝2×2×2×3。 8．（24-25五年级下·山东济宁·期中）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，中国代表团以201枚金牌、111枚银牌、71枚铜牌的成绩位于金牌榜和奖牌榜第一位。横线上的数是质数的有( )，是合数的有( )，是奇数的有( )，是偶数的有( )。 【答案】 19、23、71 9、10、8、201、111 19、9、23、201、111、71 10、8 【思路引导】偶数：像0，2，4，6，8…都是2的倍数的数叫做偶数。奇数：像1，3，5，7…不是2的倍数的数叫做奇数。质数：只有1和它本身两个因数的数叫做质数；合数：除了1和它本身外，还有其他因数的数叫合数。据此即可解答。 【完整解答】在19、9、23、10、8、201、111、71中，是质数的有：19、23、71，是合数的有：9、10、8、201、111，是奇数的有：19、9、23、201、111、71，是偶数的有10、8。 9．（24-25五年级下·全国·课后作业）三个连续奇数的和是27，这三个奇数分别是( )，( )，( )；三个连续偶数的积是960，这三个偶数分别是( )，( )，( )。 【答案】 7 9 11 8 10 12 【思路引导】可用连续三个奇数的和除以3，得到的是这三个连续奇数的平均数即连续三个奇数的中间一个数，然后再用中间的数分别减去2、加上2即可得到答案；三个连续偶数的积是960，把960分解质因数，然后化成三个连续偶数的积，由此求解。 【完整解答】，， 这三个奇数分别是7，9，11。 这三个偶数分别是8，10，12。 【考点再现】此题主要利用计算平均数的方法求得三个连续奇数的中间一个数，然后再分别计算出另外两个数，熟练掌握分解质因数的方法是解题的关键。 10．（24-25五年级下·河南·期末）用1、3、5这三个数字任意摆出一个三位数，这个三位数一定是3的倍数。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，据此分析。 【完整解答】1＋3＋5＝9，用1、3、5这三个数字任意摆出一个三位数，各个数位上的数字的和都是9，这个三位数一定是3的倍数，原题说法正确。 故答案为：√ 11．（24-25五年级下·甘肃临夏·期末）4个奇数的和是偶数，4个奇数的积也是偶数。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】由奇数和偶数的运算性质可知，奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，4个奇数相加时，两两分组求和均为偶数，再相加结果仍为偶数，而奇数相乘时，无论多少个奇数相乘，积始终为奇数，据此解答。 【完整解答】奇数＋奇数＋奇数＋奇数 ＝（奇数＋奇数）＋（奇数＋奇数） ＝偶数＋偶数 ＝偶数 奇数×奇数×奇数×奇数 ＝（奇数×奇数）×（奇数×奇数） ＝奇数×奇数 ＝奇数 综上所述，4个奇数的和是偶数，4个奇数的积是奇数，题目说法不正确。 故答案为：× 12．（2020五年级下·全国·专题练习）求出下面每组数的最大公因数。 （1）3和7      9和16        11和22 （2）6和24     88和11        63和9 【答案】（1）3和7的最大公因数是1； 9和16的最大公因数是1； 11和22的最大公因数是11； （2）6和24的最大公因数是6； 88和11的最大公因数是11； 63和9的最大公因数是9。 【思路引导】找两个数的最大公因数时，先判断两个数的关系：如果两个数互质，则这两个数的最大公因数是1；如果两个数是倍数关系，则较小的数是这两个数的最大公因数；如果两个数既不是互质关系，又不是倍数关系，可以先分别找出它们的因数再找最大公因数，据此解答即可。 【完整解答】（1）3和7互质，所以它们的最大公因数是1； 9和16是互质，所以它们的最大公因数是1； 11和22是倍数关系，较小的11是它们的最大公因数； （2）6和24是倍数关系，较小的6是它们的最大公因数； 88和11是倍数关系，较小的11是它们的最大公因数； 63和9是倍数关系，较小的9是它们的最大公因数。 【考点再现】本题考查最大公因数，明确两个数不同关系下最大公因数的求法是解答本题的关键。 13．（24-25五年级下·福建龙岩·期中）静静在玩投飞镖的游戏。如图，靶上的数表示投中该区域的得分。 你认为静静说对了吗？说说你的理由。 【答案】不对；理由见详解 【思路引导】由题可知，静静的得分为23分，为奇数；观察飞镖靶上的得分，发现它们均为偶数，即2、4、6、8、10；根据奇偶数的特点，偶数＝偶数＋偶数，由于静静的得分为奇数，但是飞镖靶上的得分都是偶数，因此她的得分不可能是奇数；据此解答。 【完整解答】由分析可得： 静静说得不对。23是奇数，靶上所有得分均为偶数，所以她的得分不可能是奇数，应该是偶数。 14．（24-25五年级下·广东阳江·期中）新年到了，妈妈准备用微信给姐姐和弟弟共发80元的红包。如果姐姐抢得的红包钱数为奇数，弟弟抢得的红包钱数为奇数还是偶数？为什么？ 【答案】 奇数，理论见详解 【思路引导】根据和的奇偶性，奇数＋奇数＝偶数；偶数＋偶数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数。已知总钱数80元是偶数，若姐姐抢得的钱数为奇数，则弟弟的钱数必须为奇数，才能使奇数加奇数等于偶数。 【完整解答】已知妈妈发给姐姐和弟弟的红包总钱数为80元，这是一个偶数。 设姐姐的钱数为奇数，弟弟的钱数为，则。 根据“奇数＋奇数＝偶数”的规则，必须为奇数，才能使等式成立。 答：弟弟抢得的红包钱数为奇数。 15．（24-25五年级下·河南焦作·期中）黄河博物馆是万里黄河的一个缩影，是一座黄河知识宝库。一天，来了83名参观的游客，为了保证讲解效果，讲解员需要将他们分组。 （1）如果讲解员将他们分成两组，第一组的人数为奇数，那么第二组的人数是奇数还是偶数？为什么？ （2）如果讲解员将他们分成三组，第一组和第二组的人数都为奇数，那么第三组的人数是奇数还是偶数？为什么？ 【答案】（1）偶数；原因见详解 （2）奇数；原因见详解 【思路引导】（1）总人数83是奇数，根据奇数的性质：奇数－奇数＝偶数，据此判断第二组是偶数还是奇数。 （2）前两组人数均为奇数，奇数＋奇数＝偶数，总人数83是奇数，奇数－偶数＝奇数，据此判断第三组的人数是偶数还是奇数。 【完整解答】（1）总人数83是奇数。若第一组人数为奇数， 奇数－奇数＝偶数，即83－奇数＝偶数，因此第二组的人数是偶数。 答：第二组的人数是偶数。 （2）前两组人数均为奇数，奇数＋奇数＝偶数，总人数83是奇数， 奇数－偶数＝奇数，即83－偶数＝奇数，因此第三组的人数是奇数。 答：第三组的人数是奇数。 16．（24-25五年级下·江西赣州·期中）一个三角形的周长是72厘米，且三条边的长是3个连续的偶数，这三条边分别是多少厘米？ 【答案】22厘米；24厘米；26厘米 【思路引导】周长是72厘米即三边之和，也是3个连续的偶数之和。相邻的偶数相差2，用三个连续偶数的和÷3，求出中间数，中间数减去2，中间数加上2，求出另外两个偶数，这样即分别可求出这三条边长度。 【完整解答】72÷3＝24（厘米） 24－2＝22（厘米） 24＋2＝26（厘米） 答：这三条边分别是22厘米、24厘米、26厘米。 17．（24-25五年级下·山东菏泽·期中）五年级（1）班48名同学进行队列表演，表演时要排成长方形队列。可以怎样排？请聪明的你写出两种方案。（要求每行每列不少于3人，不包括3人） 【答案】第一种方案：每行4人，每列12人；第二种方案：每行6人，每列8人 【思路引导】总人数等于每行人数乘每列人数，即“每行人数×每列人数＝48”。同时，题目要求每行每列不少于3人且不包括3人，也就是每行和每列的人数都必须大于3人（即大于等于4人）。因此，需要找出48的所有因数，再从因数中筛选出大于3的因数，然后将这些因数两两组合，使得它们的乘积为48，每一组组合就对应一种长方形队列的排列方案。 【完整解答】48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。根据要求，排除1、2、3，剩下的有效因数为：4、6、8、12、16、24、48。 从有效因数中挑选两两相乘等于48的组合： 第一种方案：每行4人，每列12人（因为4×12＝48，且4和12都大于3）。 第二种方案：每行6人，每列8人（因为6×8＝48，且6和8都大于3）。 答：第一种方案：每行4人，每列12人；第二种方案：每行6人，每列8人。 18．（23-24五年级下·浙江嘉兴·期末）读一读、写一写。（有几个写几个） 如果一个奇质数（既是奇数又是质数）除以4，余1，那么这个奇质数可以写成“”的形式。这是由法国著名数学家费马提出的平方和定理。例如：29是一个奇质数，29÷4＝7……1，那么29可以写成“”的形式。请你找一找，20以内符合费马平方和定理的奇质数，并用“（    ）＝（    ）2＋（    ）2”的形式写下来。 【答案】；； 【思路引导】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。据此先找到20以内的奇质数，再确定符合除以4，余1的，然后写成平方和的形式即可。 【完整解答】20以内的奇质数有：3、5、7、11、13、17、19。 其中：5÷4＝1……1、13÷4＝3……1、17÷4＝4……1 ；； 19．（24-25五年级下·全国·课后作业）三个不同质数的和是50，这三个质数的积最大是多少？ 【答案】1102 【思路引导】因为三个质数和为50（偶数），除2外的质数均为奇数，奇数＋奇数＋偶数＝偶数，所以三个质数中必有一个是2； 剩余两质数的和为48，需满足两质数不同且均为奇数，列举可能的组合：5和43，积为430；7和41，积为574；11和37，积为814；17和31，积为1054；19和29，积为 1102，比较可知1102最大。 【完整解答】； ，； ，； ，； ，； ， 答：最大积为1102。 20．将两筐苹果分给甲、乙两个班，每班一筐。如果甲班每人分13个苹果，就有1人分得6个苹果；如果乙班每人分得10个，就有1人分得5个苹果。已知两筐苹果数相等，且每筐苹果数都在100个以上，200个以下。问甲、乙两班各有多少人？每筐苹果各有多少个？ 【答案】14人；18人；175个 【思路引导】两筐的苹果数量相等，每班一筐，苹果的数量在100到200之间，甲班每人分13个苹果，就有1人分得6个，就是说这筐苹果个数减去6个，就是13的倍数；乙班每人分得10个就有1人分得5个苹果，就是说这筐苹果个数减去5个，就是10的倍数，这筐苹果苹果的数量被13除余6，被10除余5的数，余数是5，这个数的末尾数是5，算出苹果的数量再求甲、乙两班的人数，即可解答。 【完整解答】100到200之间，被13除余6的数有： 13×8＋6＝110 13×9＋6＝123 13×10＋6＝136 13×11＋6＝149 13×12＋6＝162 13×13＋6＝175 13×14＋6＝188 末尾数是5的数是175 175÷10＝17……5 符合题意的只有175，即两筐苹果分别有175个； 甲班人数13＋1＝14（人） 乙班人数有：175÷10＝17……5 17＋1＝18（人） 答：甲班有14人；乙班有18人；每筐苹果各有175个。 【考点再现】本题是找出一个既是13的倍数余6，又是10的倍数余5，根据余数是5的特点，它的末尾数是5 ，找出对应的数，解答问题。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $