课题学习 怎样通知最快：打电话问题（举一反三培优讲义）知识梳理+4个考点讲练+真题演练+难度分层练 共41题-2025-2026学年人教版数学五年级下册

该小学数学讲义通过导图指引与知识梳理构建“打电话问题”的完整知识体系，用对比表格呈现不同方案下时间与通知人数的变化规律，清晰梳理核心原则“同时打不空闲”、规律推导及核心公式，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于分层训练设计与跨学科情境应用，如“蚂蚁传递信息”迁移规律培养数学思维，方案设计画图题强化模型意识。基础夯实与创新拓展题组满足不同学生需求，真题演练助力精准评估，为教师分层教学和学生自主复习提供系统支持。

2025-2026学年人教版数学五年级下册重点难点培优讲练【举一反三】 课题学习 怎样通知最快：打电话问题『举一反三培优考点讲义』 【原卷版】 （导图+知识梳理+4个考点讲练+真题演练+难度分层练 共41题） 同学你好，该份讲义用于人教版五年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道期中期末真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 目录指引 知识梳理 2 知识点一 核心原则：怎样通知最快？ 2 知识点二 规律推导与数据变化 2 知识点三 核心计算公式 2 知识点四 常见题型与解题技巧 3 知识点五 易错点拨 3 考点讲练 3 高频考点一 基础正向计算（已知时间求人数） 3 高频考点二 基础逆向计算（已知人数求时间） 4 高频考点三 跨学科与生活情境应用（规律迁移） 4 高频考点四 方案设计与画图（综合实践题） 5 真题演练 7 分层训练 8 【基础夯实 能力提升】 8 【创新拓展 拔尖冲刺】 9 知识点一 核心原则：怎样通知最快？ 要想用时最短，必须遵循一个核心原则：“同时打，不空闲”。 普通方案：老师一个人挨个打，或者分组后只有组长打，这样会导致很多人（包括老师或已经接到通知的同学）在等待中“闲着”，浪费了大量时间。 最优方案：每一个接到通知的人，在下一分钟都立刻参与到通知其他人的行动中。老师和所有已经知道消息的同学都不闲着，同时去通知还不知道消息的人。 知识点二 规律推导与数据变化 我们可以通过列表来观察最优方案下人数的变化规律（假设打一个电话需要1分钟）： 第1分钟：老师通知1个同学。此时知道消息的总人数是2人（1个老师+1个同学），新通知了1人。 第2分钟：老师和第1个同学同时打电话，又通知了2个新同学。此时知道消息的总人数是4人，累计通知了3个同学。 第3分钟：这4个人同时打电话，又通知了4个新同学。此时知道消息的总人数是8人，累计通知了7个同学。 第4分钟：这8个人同时打电话，又通知了8个新同学。此时知道消息的总人数是16人，累计通知了15个同学。 为了更直观地看清规律，我们可以总结出以下表格： 第几分钟 (n) 新接到通知的人数 知道消息的总人数 (含老师) 累计接到通知的学生总数 1 1 2 (21) 1 (21–1) 2 2 4 (22) 3 (22–1) 3 4 8 (23) 7 (23–1) 4 8 16 (24) 15 (24–1) 5 16 32 (25) 31 (25–1) n 2n-1 2n 2n– 1 知识点三 核心计算公式 通过上面的表格，我们可以得出解决“打电话”问题的核心数学规律和公式： 1. 知道消息的总人数（包含老师）：第 n 分钟时，总人数为 2ⁿ（即 n 个 2 相乘）。 2. 接到通知的学生总数（不含老师）：第 n 分钟时，最多能通知到的学生人数为 2ⁿ - 1。 知识点四 常见题型与解题技巧 在实际做题时，通常会遇到以下两种情况： 情况一：已知时间，求最多能通知多少人？ 方法：直接套用公式 2ⁿ - 1。 举例：按最优方案，4分钟最多能通知多少个学生？ 解答：2⁴ - 1 = 16 - 1 = 15（人）。 情况二：已知要通知的总人数，求最少需要几分钟？ 方法：通过计算或推算，找到满足 2ⁿ - 1 ≥ 需要通知的人数 的最小整数 n。 举例：一个合唱队有55人，老师要用打电话的方式尽快通知到每个人，最少需要几分钟？ 解答： 第5分钟最多通知：2⁵ - 1 = 31（人），31 55，时间足够。 所以，最少需要 6分钟。 知识点五 易错点拨 做题时一定要看清题目问的是“知道消息的总人数”（包含老师，公式为 2ⁿ）还是“接到通知的学生总数”（不包含老师，公式为 2ⁿ - 1）。绝大多数题目问的都是需要被通知的学生或队员人数，因此 2ⁿ - 1 是最常用的公式。 高频考点一 基础正向计算（已知时间求人数） 【典例精讲】（24-25五年级下·贵州遵义·期末）一个救援队的队长接到紧急任务，需尽快将任务以一对一进行传达给63名队员，每分钟通知1人，最少（    ）分钟可以通知到所有队员。 A．5 B．6 C．7 D．8 【变式训练1】（24-25五年级下·黑龙江绥化·期末）打一个电话要1分钟，周老师要通知参加演出的15名同学进行集训，如果用打电话的最佳方案，那么至少要（    ）分钟。 A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练2】（24-25五年级下·湖南衡阳·期末）老师接到紧急通知，要尽快通知体育队的15名同学参加紧急训练，通过打电话的方式一对一进行通知，每分钟通知1人，至少需要（    ）分钟才能通知到15名同学。 A．5 B．3 C．4 【变式训练3】（24-25五年级下·贵州黔西南·期末）合唱队共有30名队员，暑假期间有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每名队员。如果用打电话的方式一对一进行传达，每1分钟通知1人，那么最少需要( )分钟才能通知到每名队员。 高频考点二 基础逆向计算（已知人数求时间） 【典例精讲】（23-24五年级下·重庆·期末）新区某小学研学活动因突发暴雨推迟，需要尽快通知家长。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，4分钟后，最多通知了( )名家长。 【变式训练1】．（24-25五年级下·湖北孝感·期末）学校组织的郊游活动时间提前了。班主任李老师需要尽快通知到每一位学生，如果每分钟通知1人，每人接到通知后，继续通知其他同学（一对一进行传达，无重复通知）。李老师已经通知了5分钟，这时最多已经通知了( )名学生。 【变式训练2】（23-24五年级下·河南驻马店·期末）学校组织的郊游活动因天气的变化推迟了。王老师要尽快通知到每一位学生，如果一对一进行打电话传达，每分钟通知1人，每人接到电话后立即通知其他不知道这一消息的同学，7分钟最多可以通知（    ）人。 A．7 B．158 C．127 【变式训练3】（23-24五年级下·海南省直辖县级单位·期末）学校临时有急事要通知学生，李老师要尽快通知到每一个学生。如果用打电话的方式每分钟通知1人，5分钟最多可以通知( )个学生。 高频考点三 跨学科与生活情境应用（规律迁移） 【典例精讲】（24-25五年级下·云南红河·期末）蚂蚁用触角传递信息。一只蚂蚁发现了食物，马上通知另一只蚂蚁，这两只蚂蚁再分别一对一通知其它蚂蚁……如果每通知1只蚂蚁需要10秒，那么30秒后一共有( )只蚂蚁知道了消息。 【变式训练1】（23-24五年级下·浙江台州·期末）蚂蚁之间通过触角传递信息，每两只蚂蚁之间传递一次信息需要2秒钟，经过12秒，最多有( )只蚂蚁知道信息。 【变式训练2】（23-24五年级下·山东临沂·期末）蚂蚁用触角传递信息，一旦发现食物，先由一只蚂蚁通知另一只蚂蚁，这两只蚂蚁再分别去通知另外的蚂蚁。如果每通知一只蚂蚁需10秒，1分钟内共有( )只蚂蚁知道信息。 【变式训练3】蚂蚁是社群性昆虫，一群蚂蚁成千上万，蚂蚁群体分工明确，各司其职。它们在频繁活动中需要通过触角来传递信息。如果蚂蚁用3秒完成一次信息传递，那么9秒后，最多会有（    ）只蚂蚁知道这个信息。 A．3 B．8 C．16 高频考点四 方案设计与画图（综合实践题） 【典例精讲】（24-25五年级下·江西九江·期末）老师有个任务要尽快通知15位学生。任务必须一对一进行传达。每分钟通知1人，请根据通知方案填一填，画一画。 照样子，画一画： 【变式训练1】（23-24五年级下·辽宁鞍山·期末）小葵花合唱团的盛老师采用打电话这种一对一方式通知同学到声乐教室练习，每通知1人需1分钟。表示老师，表示同学，线上的数表示时间。能正确解决4分钟共通知同学总数的算式是（    ）。 A．1＋2＋3＋4 B．1＋2＋3＋4＋1 C．1＋2＋4＋8 D．1＋2＋4＋8＋1 【变式训练2】（24-25六年级上·辽宁·课后作业）学校围棋队有30名队员，暑假突然有一个紧急的比赛任务，老师通知两位队长，两位队长再分别通知两名队员，依此类推，每人再通知两个人。每同时通知两个人共需1分。 （1）画图表示联络方式。 时间/分 示意图 通知到的队员数 1 ＜ 2 2 3 （2）我发现的规律： ①时间每增加1分，增加的人数是前一次通知人数的（    ）倍； ②n分通知到的同学数比前（n－1）分通知到的同学数的（    ）倍还多（    ）人。 （3）通知30名队员共需要多少分？如果有62名队员，需要多长时间才能通知完？ 【变式训练3】（23-24五年级下·全国·课后作业）春风小学教导主任接到校长的紧急通知，让学校舞蹈队参加一个演出。学校舞蹈队共有30人，如果一对一进行传达，每分钟通知1人。教导主任怎样才能尽快通知到所有人？ （1）教导主任一个一个地通知需要（    ）分钟。 （2）小南设计了上面的分组法。 ①请在括号里填出每个小组完成通知的时间。 ②所有人接到通知，一共需要（    ）分钟。 （3）小宇设计了如下方案（如图），请把下表填写完整。 第几分钟 1 2 3 4 5 … n 新通知的人数 1 2 … 一共通知的人数 1 3 … 由上表可知，通知30人只需要（    ）分钟。 （4）小南和小宇的方案相比，（    ）设计的方案更快，因为每个人都（    ），所以用的时间最少。 【真题演练1】（24-25五年级下·广东阳江·期中）孙悟空是四大名著之一《西游记》中的人物，他师从菩提老祖，学会了72变、筋斗云等本领，“72”的最小倍数是_________，72的所有因数中，质数有_________个，合数有_________个，奇数有_________个。孙悟空还有一个本领，每次拔一根毫毛就能变成一个孙悟空，变出的孙悟空每拔一根毫毛也能再变成一个孙悟空，每次变化时间需要1秒，如果要变化出15个孙悟空，最短需要________秒。 【真题演练2】（23-24五年级下·北京西城·期末）王老师接到一个紧急消息，需要尽快将消息通知到31名同学。消息必须一对一进行传达，每分钟通知1人。王老师画出了最快通知方案的一部分（如下图），按照这个方案通知，最少花( )分钟能通知到所有同学。在整个通知过程中，王老师一对一通知了( )名同学。 【真题演练3】（24-25五年级下·吉林松原·期末）原定周六小记者社会实践活动临时取消，老师要通知45名同学，以打电话的方式通知，每人每分钟只能通知一名未接到通知的同学，至少要( )分钟全部接到通知。 【真题演练4】（24-25五年级下·湖北恩施·期末）疫情防控期间，社区要紧急通知31位居民做核酸检测。假设打电话通知，每分钟通知1人，被通知到的居民也会帮助通知其他人，最少( )分钟就能通知到每个人。 【真题演练5】（22-23五年级下·湖北黄冈·期末）学校合唱队有40人，老师需要尽快通知每一位队员参加紧急演出，如果每分钟打电话通知1人，要通知到每一位队员最快至少需要( )分钟。 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25五年级下·广西玉林·期末）学校武术队有15人，因提前演出，张老师需要尽快通知到每个队员，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，那么张老师最少需要（    ）分钟能通知到每一个人。 A．3 B．4 C．5 D．6 2．暑假里，学校足球队老师用打电话的方式通知10名同学参加训练，每分钟通知1人，最少花（    ）分钟就能通知到每一个人。 A．10 B．4 C．5 D．3 3．一个舞蹈队有若干名队员，暑假期间有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员。如果采用打电话的方式（学生之间也可以打电话），每1分钟通知1人，3分钟最多可以通知（    ）名队员。 A．3 B．5 C．7 D．15 4．（24-25五年级下·山东枣庄·期末）端午节假期那天，我和3名好朋友打电话，每两人打电话1次，我们一共打了( )次电话。 5．阳光小学志愿队共有15人，现有一项紧急任务，老师要尽快通知到每一个队员。用打电话的方式，每通知一人需要1分钟，最短需要( )分钟。 6．（25-26五年级上·河南周口·期末）新年快到了，6个好朋友互相问候，一共要通( )次电话，互相寄一张节日贺卡，一共要寄( )张。 7．老师有事要电话通知全班14名同学，如果每分钟打电话通知1人，那么最快要4分钟可以通知完。( )（判断对错） 8．（24-25五年级下·黑龙江哈尔滨·期末）应急小队接到紧急任务，队长需要尽快将任务通知到18名队员。任务必须一对一进行传达，每分钟通知1人，最少需要5分钟能通知到全体队员。( )（判断对错） 9．（2026五年级下·全国·专题练习）孙悟空在去西天取经的路上又遇到了妖精，它每次拔一根毫毛就能变成一个孙悟空，变出的孙悟空每次拔一根毫毛也能变成一个孙悟空，每次变化需要的时间是2秒钟。如果要变化出15个孙悟空，最短需要多少时间？ 10．（2026五年级下·全国·专题练习）一个舞蹈队有7人，假期有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，接到电话的同学立即通知其他不知道这一信息的同学，全部通知完至少需要几分钟？ 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（24-25五年级下·湖南长沙·期末）蚂蚁之间通过触角传递信息，每两只蚂蚁之间传递一次信息需要2秒钟，经过12秒，最多有多少只蚂蚁知道信息？（    ） A．24 B．36 C．48 D．64 2．（25-26五年级上·江苏盐城·期末）小强、小华、小丽和小明是好朋友。如果他们每两人之间通一次电话，一共要通（    ）次电话。 A．3 B．5 C．6 D．12 3．（24-25五年级下·四川广元·期末）蚂蚁是社群性昆虫，它们通过触角接触来传递信息。1只蚂蚁发现食物，现要将信息传递给同伴，若2只蚂蚁之间5秒完成一次信息传递，其他15只蚂蚁全部收到信息最少需要（    ）秒。 A．15 B．20 C．25 D．75 4．（24-25五年级上·湖南怀化·期末）李老师要通知本班20人参加数学竞赛，如果通话一次按1分钟计算，至少需要( )分钟才能通知每个学生。 5．学校临时有重要决定通知学生。假设用电话联系，每通知一个同学需1分钟，第一分钟由老师通知A同学，第二分钟由A同学通知B同学，同时老师通知C同学，依此类推，若班上有52位同学，则通知到所有学生需______分钟。 6．（23-24五年级下·福建莆田·期末）因天气原因，原定白塘湖赛龙舟活动推迟，活动负责人打电话通知56名参赛选手，如果每分钟通知1人，那么至少需要( )分钟可以全部通知到。 7．（24-25五年级下·内蒙古赤峰·期末）孙悟空在去西天取经的路上又遇到了妖精，它每次拔一根毫毛就能变成一个孙悟空，变出的孙悟空每次拔一根毫毛也能变成一个孙悟空，每次变化需要的时间是2秒钟。如果要变化出15个孙悟空，最短需要多少时间？把你的想法画出来。 8． （24-25五年级下·广东中山·期末）五年级组织趣味游戏，其中一个项目是“快乐传递”。一位已经知道信息的同学要尽快将信息通知到13个组员。每人每次只能通知1人，通知1人用时1分钟。请设计一个最快的通知方案（可以用文字、画图等进行说明）。最快的方案需要多少时间？ 9．一个舞蹈队有7人，假期有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，接到电话的同学立即通知其他不知道这一信息的同学，全部通知完至少需要几分钟？请你用画图的方式设计一个打电话的方案。 10．疫情突发，医院要求所有护士全部到岗。某科宣护士长知道消息后，需要尽快通知15名护士。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，你帮护士长设计一个用时最少的打电话方案。你设计的方案需要用时多少分钟？用文字或画图把方案表示出来。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版数学五年级下册重点难点培优讲练【举一反三】 课题学习 怎样通知最快：打电话问题『举一反三培优考点讲义』 【解析版】 （导图+知识梳理+4个考点讲练+真题演练+难度分层练 共41题） 同学你好，该份讲义用于人教版五年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道期中期末真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 目录指引 知识梳理 2 知识点一 核心原则：怎样通知最快？ 2 知识点二 规律推导与数据变化 2 知识点三 核心计算公式 2 知识点四 常见题型与解题技巧 3 知识点五 易错点拨 3 考点讲练 3 高频考点一 基础正向计算（已知时间求人数） 3 高频考点二 基础逆向计算（已知人数求时间） 5 高频考点三 跨学科与生活情境应用（规律迁移） 7 高频考点四 方案设计与画图（综合实践题） 9 真题演练 15 分层训练 18 【基础夯实 能力提升】 18 【创新拓展 拔尖冲刺】 22 知识点一 核心原则：怎样通知最快？ 要想用时最短，必须遵循一个核心原则：“同时打，不空闲”。 普通方案：老师一个人挨个打，或者分组后只有组长打，这样会导致很多人（包括老师或已经接到通知的同学）在等待中“闲着”，浪费了大量时间。 最优方案：每一个接到通知的人，在下一分钟都立刻参与到通知其他人的行动中。老师和所有已经知道消息的同学都不闲着，同时去通知还不知道消息的人。 知识点二 规律推导与数据变化 我们可以通过列表来观察最优方案下人数的变化规律（假设打一个电话需要1分钟）： 第1分钟：老师通知1个同学。此时知道消息的总人数是2人（1个老师+1个同学），新通知了1人。 第2分钟：老师和第1个同学同时打电话，又通知了2个新同学。此时知道消息的总人数是4人，累计通知了3个同学。 第3分钟：这4个人同时打电话，又通知了4个新同学。此时知道消息的总人数是8人，累计通知了7个同学。 第4分钟：这8个人同时打电话，又通知了8个新同学。此时知道消息的总人数是16人，累计通知了15个同学。 为了更直观地看清规律，我们可以总结出以下表格： 第几分钟 (n) 新接到通知的人数 知道消息的总人数 (含老师) 累计接到通知的学生总数 1 1 2 (21) 1 (21–1) 2 2 4 (22) 3 (22–1) 3 4 8 (23) 7 (23–1) 4 8 16 (24) 15 (24–1) 5 16 32 (25) 31 (25–1) n 2n-1 2n 2n– 1 知识点三 核心计算公式 通过上面的表格，我们可以得出解决“打电话”问题的核心数学规律和公式： 1. 知道消息的总人数（包含老师）：第 n 分钟时，总人数为 2ⁿ（即 n 个 2 相乘）。 2. 接到通知的学生总数（不含老师）：第 n 分钟时，最多能通知到的学生人数为 2ⁿ - 1。 知识点四 常见题型与解题技巧 在实际做题时，通常会遇到以下两种情况： 情况一：已知时间，求最多能通知多少人？ 方法：直接套用公式 2ⁿ - 1。 举例：按最优方案，4分钟最多能通知多少个学生？ 解答：2⁴ - 1 = 16 - 1 = 15（人）。 情况二：已知要通知的总人数，求最少需要几分钟？ 方法：通过计算或推算，找到满足 2ⁿ - 1 ≥ 需要通知的人数 的最小整数 n。 举例：一个合唱队有55人，老师要用打电话的方式尽快通知到每个人，最少需要几分钟？ 解答： 第5分钟最多通知：2⁵ - 1 = 31（人），31 55，时间足够。 所以，最少需要 6分钟。 知识点五 易错点拨 做题时一定要看清题目问的是“知道消息的总人数”（包含老师，公式为 2ⁿ）还是“接到通知的学生总数”（不包含老师，公式为 2ⁿ - 1）。绝大多数题目问的都是需要被通知的学生或队员人数，因此 2ⁿ - 1 是最常用的公式。 高频考点一 基础正向计算（已知时间求人数） 【典例精讲】（24-25五年级下·贵州遵义·期末）一个救援队的队长接到紧急任务，需尽快将任务以一对一进行传达给63名队员，每分钟通知1人，最少（    ）分钟可以通知到所有队员。 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【思路引导】每分钟通知1人，接到通知的人又可以通知下一个人，这样最节省时间。找到规律，按规律求出通知63名队员最少需要的时间。 【规范解答】第1分钟通知1人； 第2分钟通知1＋1＝2（人），接到通知的一共有：1＋2＝3（人）； 第3分钟通知1＋3＝4（人），接到通知的一共有：3＋4＝7（人）； 第4分钟通知1＋7＝8（人），接到通知的一共有：7＋8＝15（人）； 第5分钟通知1＋15＝16（人），接到通知的一共有：15＋16＝31（人）； 第6分钟通知1＋31＝32（人），接到通知的一共有：31＋32＝63（人）； 最少6分钟可以通知到所有队员。 故答案为：B 【变式训练1】（24-25五年级下·黑龙江绥化·期末）打一个电话要1分钟，周老师要通知参加演出的15名同学进行集训，如果用打电话的最佳方案，那么至少要（    ）分钟。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【思路引导】根据打电话的最佳方案，即每次通知的人都帮助通知其他人，逐一分析每一分钟通知的人数，从而得出通知15名同学所需的最少时间。 【规范解答】周老师通知1名同学，此时通知到的同学有1名； 周老师和第1分钟通知的1名同学分别通知1名同学，此时通知到的同学有1＋2＝3名； 周老师和之前通知到的3名同学分别通知1名同学，此时通知到的同学有3＋4＝7名； 周老师和之前通知到的7名同学分别通知1名同学，此时通知到的同学有7＋8＝15名，刚好通知完15名同学。 因此，用打电话的最佳方案，至少要4分钟。 故答案为：B 【变式训练2】（24-25五年级下·湖南衡阳·期末）老师接到紧急通知，要尽快通知体育队的15名同学参加紧急训练，通过打电话的方式一对一进行通知，每分钟通知1人，至少需要（    ）分钟才能通知到15名同学。 A．5 B．3 C．4 【答案】C 【思路引导】接到电话的同学可以同时通知其他同学，第1分钟通知1人，第2分钟通知（1＋2）人，第3分钟通知（3＋4）人……以此类推，保证接到通知的人数等于或大于15人即可。 【规范解答】第1分钟：1人 第2分钟：1＋2＝3（人） 第3分钟：3＋4＝7（人） 第4分钟：7＋8＝15（人） 至少需要4分钟才能通知到15名同学。 故答案为：C 【变式训练3】（24-25五年级下·贵州黔西南·期末）合唱队共有30名队员，暑假期间有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每名队员。如果用打电话的方式一对一进行传达，每1分钟通知1人，那么最少需要( )分钟才能通知到每名队员。 【答案】5 【思路引导】第1分钟老师通知1名队员；第2分钟老师和已经通知的队员分别通知1名队员，新接到通知的队员人数为2名，接到通知的队员总人数为2＋1＝3名；第3分钟老师和已经通知的队员分别通知1名队员，新接到通知的队员人数为3＋1＝4名，接到通知的队员总人数为4＋3＝7名；第4分钟老师和已经通知的队员分别通知1名队员，新接到通知的队员人数为7＋1＝8名，接到通知的队员总人数为8＋7＝15名；第5分钟老师和已经通知的队员分别通知1名队员，新接到通知的队员人数为15＋1＝16名，接到通知的队员总人数为16＋15＝31名，据此解答。 【规范解答】第1分钟接到通知的队员总人数：1名 第2分钟接到通知的队员总人数：1＋2＝3（名） 第3分钟接到通知的队员总人数：3＋4＝7（名） 第4分钟接到通知的队员总人数：7＋8＝15（名） 第5分钟接到通知的队员总人数：15＋16＝31（名） 因为31名＞30名，所以最少需要5分钟才能通知到每名队员。 高频考点二 基础逆向计算（已知人数求时间） 【典例精讲】（23-24五年级下·重庆·期末）新区某小学研学活动因突发暴雨推迟，需要尽快通知家长。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，4分钟后，最多通知了( )名家长。 【答案】15 【思路引导】老师首先用1分钟通知第一个人，第二分钟老师和已经通知的1个人分别各通知1个人，现在得到通知的一共为1＋1×2＝3个人； 第三分钟老师和已经通知的3个人分别各通知1个人，现在得到通知的一共为1＋3×2＝7个人，依次类推即可得到答案。 【规范解答】第一分钟通知到1个人 第二分钟最多可通知到1＋1×2＝1＋2＝3（人） 第三分钟最多可通知到1＋3×2＝1＋6＝7（人） 第四分钟最多可通知到1＋7×2＝1＋14＝15（人） 新区某小学研学活动因突发暴雨推迟，需要尽快通知家长。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，4分钟后，最多通知了15名家长。 【变式训练1】．（24-25五年级下·湖北孝感·期末）学校组织的郊游活动时间提前了。班主任李老师需要尽快通知到每一位学生，如果每分钟通知1人，每人接到通知后，继续通知其他同学（一对一进行传达，无重复通知）。李老师已经通知了5分钟，这时最多已经通知了( )名学生。 【答案】31 【思路引导】每分钟通知1人，接到通知的人又可以通知下一个人，这样最节省时间。找到规律，按规律求出通知5分钟最多已经通知的学生人数。 【规范解答】第1分钟通知1人；1＝21－1； 第2分钟通知2人，接到通知的一共有：1＋2＝3（人），3＝22－1； 第3分钟通知4人，接到通知的一共有：3＋4＝7（人），7＝23－1； …… 第n分钟接到通知的一共有：（2n－1）人； 当n＝5时 2n－1 ＝25－1 ＝2×2×2×2×2－1 ＝32－1 ＝31（名） 李老师已经通知了5分钟，这时最多已经通知了（31）名学生。 【变式训练2】（23-24五年级下·河南驻马店·期末）学校组织的郊游活动因天气的变化推迟了。王老师要尽快通知到每一位学生，如果一对一进行打电话传达，每分钟通知1人，每人接到电话后立即通知其他不知道这一消息的同学，7分钟最多可以通知（    ）人。 A．7 B．158 C．127 【答案】C 【思路引导】第1分钟：王老师通知1人，累计通知1人；第2分钟：王老师通知1人和已通知的1人通知1人，累计通知1＋1×2＝3人；第3分钟：王老师通知1人和之前已通知的3人通知3人，累计通知1＋3×2＝7人；第4分钟：王老师通知1人和之前已通知的7人通知7人，累计通知1＋7×2＝15人；……以此类推7分钟最多可以通知的人数。 【规范解答】第1分钟通知到1人， 第2分钟最多可通知到1＋1×2＝3（人）， 第3分钟最多可通知到1＋3×2＝7（人）， 第4分钟最多可通知到1＋7×2＝15（人）， 第5分钟最多可通知到1＋15×2＝31（人）， 第6分钟最多可通知到1＋31×2＝63（人）， 第7分钟最多可通知到1＋63×2＝127（人）， 所以7分钟最多可以通知127人。 故答案为：C 【变式训练3】（23-24五年级下·海南省直辖县级单位·期末）学校临时有急事要通知学生，李老师要尽快通知到每一个学生。如果用打电话的方式每分钟通知1人，5分钟最多可以通知( )个学生。 【答案】31 【思路引导】先将李老师算进去，每一分钟得到通知的人数都会是前一分钟人数的2倍，据此列式，最后减去李老师即可。 【规范解答】2×2×2×2×2－1 ＝32－1 ＝31（个） 5分钟最多可以通知31个学生。 高频考点三 跨学科与生活情境应用（规律迁移） 【典例精讲】（24-25五年级下·云南红河·期末）蚂蚁用触角传递信息。一只蚂蚁发现了食物，马上通知另一只蚂蚁，这两只蚂蚁再分别一对一通知其它蚂蚁……如果每通知1只蚂蚁需要10秒，那么30秒后一共有( )只蚂蚁知道了消息。 【答案】8 【思路引导】蚂蚁通过触角传递信息，每次通知一只蚂蚁需要10秒。已知初始有1只蚂蚁知道消息，之后每一轮通知的时间间隔为10秒，且每只已知的蚂蚁可以同时通知新的蚂蚁。因此，蚂蚁数量呈翻倍增长。 【规范解答】初始状态（0秒）：1只蚂蚁。 第1轮（10秒后）：已有的1只蚂蚁通知1只，此时共有1＋1＝2只。 第2轮（20秒后）：2只蚂蚁各自通知1只，新增2只，此时共有2＋2＝4只。 第3轮（30秒后）：4只蚂蚁各自通知1只，新增4只，此时共有4＋4＝8只。 30秒后一共有8只蚂蚁知道了消息。 【变式训练1】（23-24五年级下·浙江台州·期末）蚂蚁之间通过触角传递信息，每两只蚂蚁之间传递一次信息需要2秒钟，经过12秒，最多有( )只蚂蚁知道信息。 【答案】64 【思路引导】根据题目中的通知方案可知：第一个2秒，一只蚂蚁通知另一只蚂蚁，共通知到（1×2）只蚂蚁；第二个2秒，2只蚂蚁通知另2只蚂蚁，共通知到（2×2）只蚂蚁；第三个2秒，4只蚂蚁通知另4只蚂蚁，共通知到（2×2×2）只蚂蚁；第四个2秒，8只蚂蚁通知另8只蚂蚁，共通知到（2×2×2×2）只蚂蚁……由此可知，第几个2秒，通知到的蚂蚁只数为几个2相乘。据此解答。 【规范解答】12÷2＝6（次） 2×2×2×2×2×2 ＝（2×2）×（2×2）×（2×2） ＝4×4×4 ＝16×4 ＝64（只） 经过12秒，最多有64只蚂蚁知道信息。 【变式训练2】（23-24五年级下·山东临沂·期末）蚂蚁用触角传递信息，一旦发现食物，先由一只蚂蚁通知另一只蚂蚁，这两只蚂蚁再分别去通知另外的蚂蚁。如果每通知一只蚂蚁需10秒，1分钟内共有( )只蚂蚁知道信息。 【答案】64 【思路引导】根据题目中的通知方案可知：第一个10秒，一只蚂蚁通知另一只蚂蚁，共通知到（1×2）只蚂蚁；第二个10秒，2只蚂蚁通知另2只蚂蚁，共通知到（2×2）只蚂蚁；第三个10秒，4只蚂蚁通知另4只蚂蚁，共通知到（2×2×2）只蚂蚁；第四个10秒，8只蚂蚁通知另8只蚂蚁，共通知到（2×2×2×2）只蚂蚁……由此可知，第几个10秒，通知到的蚂蚁只数为几个2相乘。据此解答。 【规范解答】1分钟＝60秒 60÷10＝6（个） 2×2×2×2×2×2 ＝4×2×2×2×2 ＝8×2×2×2 ＝16×2×2 ＝32×2 ＝64（只） 所以1分钟内共有64只蚂蚁知道信息。 【变式训练3】蚂蚁是社群性昆虫，一群蚂蚁成千上万，蚂蚁群体分工明确，各司其职。它们在频繁活动中需要通过触角来传递信息。如果蚂蚁用3秒完成一次信息传递，那么9秒后，最多会有（    ）只蚂蚁知道这个信息。 A．3 B．8 C．16 【答案】B 【思路引导】蚂蚁用3秒完成一次信息传递，那么9秒就可以完成3次信息传递，第1次传递后共有1＋1＝2（只）蚂蚁知道这个信息，第2次传递后共有1＋1＋2＝4（只）蚂蚁知道这个信息，第3次传递后共有1＋1＋2＋4＝8（只）蚂蚁知道这个信息，据此解答。 【规范解答】第1次传递后共有1＋1＝2（只） 第2次传递后共有1＋1＋2＝4（只） 第3次传递后共有1＋1＋2＋4＝8（只） 9秒后有8只蚂蚁知道这个信息。 故答案为：B 【考点剖析】考查运用归纳推理的知识解决实际问题，并探究出能传递最多蚂蚁数的规律。 高频考点四 方案设计与画图（综合实践题） 【典例精讲】（24-25五年级下·江西九江·期末）老师有个任务要尽快通知15位学生。任务必须一对一进行传达。每分钟通知1人，请根据通知方案填一填，画一画。 照样子，画一画： 【答案】7；7；作图见详解 【思路引导】观察已有的方案图，分成3组，然后每组再通知4位同学。老师在用3分钟时间通知了3位组长，此时第一组已通知了2位同学，第二组通知了1位同学，所以在这3分钟共通知了6位同学。第三组还有4位同学需要传达，在与此同时，其他组均已传达完毕，所以还需要4分钟即可。 共需要通知15位同学，要分成5组，就是每个组长需通知2位同学，以此作图即可。 计算分5组通知同学共需要的时间：老师在通知5位组长时，需要5分钟，此时第一组和第二组全部通知完毕，在这5分钟共通知了9位同学，还剩下6位同学没通知，即第三、四、五组没通知，因为每组需要通知2位同学，所以还需要2分钟才能把剩下的同学通知到位。 【规范解答】分三组：3＋4＝7（分钟） 分五组：5＋2＝7（分钟） 分三组共需要7分钟，分五组共需要7分钟。 分五组方案图： 【变式训练1】（23-24五年级下·辽宁鞍山·期末）小葵花合唱团的盛老师采用打电话这种一对一方式通知同学到声乐教室练习，每通知1人需1分钟。表示老师，表示同学，线上的数表示时间。能正确解决4分钟共通知同学总数的算式是（    ）。 A．1＋2＋3＋4 B．1＋2＋3＋4＋1 C．1＋2＋4＋8 D．1＋2＋4＋8＋1 【答案】C 【思路引导】每分钟通知1人，接到通知的人又可以通知下一个人，这样最节省时间。找到规律，按规律得出4分钟共通知同学总数的算式。 【规范解答】第1分钟通知1人； 第2分钟通知1＋1＝2（人），接到通知的一共有：1＋2＝3（人） 第3分钟通知1＋3＝4（人），接到通知的一共有：1＋2＋4＝7（人） 第4分钟通知1＋7＝8（人），接到通知的一共有：1＋2＋4＋8＝15（人） 能正确解决4分钟共通知同学总数的算式是1＋2＋4＋8。 故答案为：C 【变式训练2】（24-25六年级上·辽宁·课后作业）学校围棋队有30名队员，暑假突然有一个紧急的比赛任务，老师通知两位队长，两位队长再分别通知两名队员，依此类推，每人再通知两个人。每同时通知两个人共需1分。 （1）画图表示联络方式。 时间/分 示意图 通知到的队员数 1 ＜ 2 2 3 （2）我发现的规律： ①时间每增加1分，增加的人数是前一次通知人数的（    ）倍； ②n分通知到的同学数比前（n－1）分通知到的同学数的（    ）倍还多（    ）人。 （3）通知30名队员共需要多少分？如果有62名队员，需要多长时间才能通知完？ 【答案】（1）见详解 （2）①2；②2；2 （3）4分；5分 【思路引导】（1）根据题意，老师通知两位队长，两位队长再分别通知两名队员，依此类推，每人再通知两个人，据此画图表示联络方式。 （2）从表中可知，第1分钟通知2名队员；第2分钟增加4名队员，共通知到2＋4＝6名队员；第3分钟增加8名队员，共通知到2＋4＋8＝14名队员；据此发现：增加的队员4是2的2倍，8是4的2倍；从第2分钟开始共通知到的队员人数关系6×2＋2＝14；按此规律填表。 （3）根据上一题得出的规律，继续往下写，即可得解。 【规范解答】（1） 时间/分 示意图 通知到的队员数 1 2 2 2＋4＝6 3 2＋4＋8＝14 （2）我发现的规律： 第1分钟通知到2人； 第2分钟增加4人，通知到2＋4＝6（人） 第3分钟增加8人，通知到2＋4＋8＝14（人） …… ①时间每增加1分，增加的人数是前一次通知人数的2倍； ②n分通知到的同学数比前（n－1）分通知到的同学数的2倍还多2人。 （3）第4分钟增加16人，通知到2＋4＋8＋16＝30（人） 第5分钟增加32人，通知到2＋4＋8＋16＋32＝62（人） 答：通知30名队员共需要4分。如果有62名队员，需要5分才能通知完。 【变式训练3】（23-24五年级下·全国·课后作业）春风小学教导主任接到校长的紧急通知，让学校舞蹈队参加一个演出。学校舞蹈队共有30人，如果一对一进行传达，每分钟通知1人。教导主任怎样才能尽快通知到所有人？ （1）教导主任一个一个地通知需要（    ）分钟。 （2）小南设计了上面的分组法。 ①请在括号里填出每个小组完成通知的时间。 ②所有人接到通知，一共需要（    ）分钟。 （3）小宇设计了如下方案（如图），请把下表填写完整。 第几分钟 1 2 3 4 5 … n 新通知的人数 1 2 … 一共通知的人数 1 3 … 由上表可知，通知30人只需要（    ）分钟。 （4）小南和小宇的方案相比，（    ）设计的方案更快，因为每个人都（    ），所以用的时间最少。 【答案】（1）30 （2）①6；7；8；9；10 ②10 （3）4；8；16；2n－1 7；15；31；2n－1 5 （4）小宇；不空闲 【思路引导】（1）教导主任一个一个地通知，每分钟通知1人，30人需通知30分钟。 （2）小南设计的分组法，30人分成5组，每组一个组长和5个组员，教导主任先通知组长，组长再分别通知5个组员，可得出通知每组需要的时间，进而得出所有人接到通知，一共需要的时间。 （3）小宇设计的方案： 第1分钟新通知1人； 第2分钟新通知2人，2＝21＝22－1；接到通知的共有：1＋2＝3（人），3＝22－1； 第3分钟新通知4人，4＝22＝23－1；接到通知的共有：3＋4＝7（人），7＝23－1； …… 规律：第n分钟新通知2n－1人，接到通知的共有（2n－1）人。 按此规律解答。 （4）比较小南和小宇的方案用的时间，得出结论。 【规范解答】（1）1×30＝30（分钟） 教导主任一个一个地通知需要30分钟。 （2）①小南设计的分组法： ②所有人接到通知，一共需要10分钟。 （3）小宇设计的方案： 第几分钟 1 2 3 4 5 … n 新通知的人数 1 2 4 8 16 … 2n－1 一共通知的人数 1 3 7 15 31 … 2n－1 由上表可知，通知30人只需要5分钟。 （4）5＜10 小南和小宇的方案相比，小宇设计的方案更快，因为每个人都不空闲，所以用的时间最少。 【真题演练1】（24-25五年级下·广东阳江·期中）孙悟空是四大名著之一《西游记》中的人物，他师从菩提老祖，学会了72变、筋斗云等本领，“72”的最小倍数是_________，72的所有因数中，质数有_________个，合数有_________个，奇数有_________个。孙悟空还有一个本领，每次拔一根毫毛就能变成一个孙悟空，变出的孙悟空每拔一根毫毛也能再变成一个孙悟空，每次变化时间需要1秒，如果要变化出15个孙悟空，最短需要________秒。 【答案】 72 2 9 3 4 【思路引导】一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。 找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 求要变化出15个孙悟空，最短需要的时间，发现：每次变化后数量翻倍，据此规律解答。 【规范解答】72的最小倍数是它本身，即72； 72的因数有：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72； 其中质数有：2，3；共2个； 合数有：4，6，8，9，12，18，24，36，72；共9个； 奇数有：1，3，9；共3个； 变出15个孙悟空最短需要的时间： 第1秒：1根毫毛变1个，共2个； 第2秒：2根毫毛变2个，共4个； 第3秒：4根毫毛变4个，共8个； 第4秒：8根毫毛变8个，共16个； 16＞15，最短需要4秒。 填空如下： 孙悟空是四大名著之一《西游记》中的人物，他师从菩提老祖，学会了72变、筋斗云等本领，“72”的最小倍数是72，72的所有因数中，质数有2个，合数有9个，奇数有3个。孙悟空还有一个本领，每次拔一根毫毛就能变成一个孙悟空，变出的孙悟空每拔一根毫毛也能再变成一个孙悟空，每次变化时间需要1秒，如果要变化出15个孙悟空，最短需要4秒。 【真题演练2】（23-24五年级下·北京西城·期末）王老师接到一个紧急消息，需要尽快将消息通知到31名同学。消息必须一对一进行传达，每分钟通知1人。王老师画出了最快通知方案的一部分（如下图），按照这个方案通知，最少花( )分钟能通知到所有同学。在整个通知过程中，王老师一对一通知了( )名同学。 【答案】 5 5 【思路引导】根据题意得：每分钟通知一个人，则第一分钟通知1个人，第二分钟能通知2个人，第三分钟能通知4个人，第4分钟能通知8人，第5分钟能通知16个人，第六分钟能通知32个人，依此类推。要求累计通知的人数，将前几分钟通知的人数相加可得出答案。根据题意可知，王老师通知了5名同学，据此得出答案。 【规范解答】根据题意得：第一分钟通知1个人，第二分钟能通知2个人，第三份能通知4个人，第4分钟能通知8人，第5分钟能通知16个人，则前五分钟能通知的人数为：（人）。王老师需要通知31名同学，最少花5分钟能通知到所有同学；通知过程中，用了5分钟，则王老师一对一通知了5名同学。 【真题演练3】（24-25五年级下·吉林松原·期末）原定周六小记者社会实践活动临时取消，老师要通知45名同学，以打电话的方式通知，每人每分钟只能通知一名未接到通知的同学，至少要( )分钟全部接到通知。 【答案】6 【思路引导】根据题意，老师首先用1分钟通知1名学生；第2分钟，老师和已通知的1名学生分别通知1名学生；第3分钟，老师和已通知的3名学生分别通知1名学生；第4分钟，老师和已通知的7名学生分别通知1名学生；第5分钟，老师和已通知的15名学生分别通知1名学生；第6分钟，老师和已通知的31名学生分别通知1名学生。通过这样的方式逐步分析每分钟通知的人数情况，进而判断通知完45名同学所需的时间，据此解答。 【规范解答】第1分钟：通知1人，共1人接到通知。 第2分钟：1＋2＝3（人），共3人接到通知。 第3分钟：3＋4＝7（人），共7人接到通知。 第4分钟：7＋8＝15（人），共15人接到通知。 第5分钟：15＋16＝31（人），共31人接到通知。 第6分钟：31＋32＝63（人），共63人接到通知。 因为31＜45＜63，所以至少要6分钟全部接到通知。 【真题演练4】（24-25五年级下·湖北恩施·期末）疫情防控期间，社区要紧急通知31位居民做核酸检测。假设打电话通知，每分钟通知1人，被通知到的居民也会帮助通知其他人，最少( )分钟就能通知到每个人。 【答案】5 【思路引导】被通知到的居民会帮助通知其他人，第1分钟接到通知的人数是1人；第2分钟接到通知的人数是1＋2＝3（人），第3分钟接到通知的人数是3＋4＝7（人），以此类推，只要接到通知的人数等于或超过31人即可。 【规范解答】第1分钟：1人 第2分钟：1＋2＝3（人） 第3分钟：3＋4＝7（人） 第4分钟：7＋8＝15（人） 第5分钟：15＋16＝31（人） 最少5分钟就能通知到每个人。 【真题演练5】（22-23五年级下·湖北黄冈·期末）学校合唱队有40人，老师需要尽快通知每一位队员参加紧急演出，如果每分钟打电话通知1人，要通知到每一位队员最快至少需要( )分钟。 【答案】6 【思路引导】每分钟通知1人，接到通知的人又可以通知下一个人，这样最节省时间。找到规律，按规律求出通知40人最快需要的时间。 【规范解答】第1分钟通知1人；1＝21－1； 第2分钟通知2人，接到通知的一共有：1＋2＝3（人），3＝22－1； 第3分钟通知4人，接到通知的一共有：3＋4＝7（人），7＝23－1； …… 第n分钟接到通知的一共有：（2n－1）人； 2n－1＝40 2n＝40＋1 2n＝41 因为25＝32，26＝64，32＜41＜64，所以n＝6。 要通知到每一位队员最快至少需要6分钟。 【考点剖析】找出打电话的规律是解题的关键，明确每次已通知的人数加上老师是下一次要通知的人数。 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25五年级下·广西玉林·期末）学校武术队有15人，因提前演出，张老师需要尽快通知到每个队员，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，那么张老师最少需要（    ）分钟能通知到每一个人。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【思路引导】根据题意，第一分钟通知1名队员，第二分钟由老师和1名队员共2人各通知1名队员，现在通知的一共（1＋2＝3）名队员，第三分钟由老师和3名队员共4人各通知1名队员，现在通知的一共（3＋4＝7）名队员，第四分钟由老师和7名队员共8人各通知1名队员，现在通知的一共（7＋8＝15）名队员，据此可以知道通知15名队员需要的时间是4分钟。 【规范解答】第一分钟通知到1名队员； 第二分钟最多可通知到（1＋2＝3）名队员； 第三分钟最多可通知到（3＋4＝7）名队员； 第四分钟最多可通知到（7＋8＝15）名队员； 所以最少需要4分钟。 即，张老师最少需要4分钟让全队队员得到通知。 故答案为：B 2．暑假里，学校足球队老师用打电话的方式通知10名同学参加训练，每分钟通知1人，最少花（    ）分钟就能通知到每一个人。 A．10 B．4 C．5 D．3 【答案】B 【思路引导】老师首先用1分钟通知第一个学生；1＋1＝2，第二分钟由老师和1个学生两人分别通知1个学生，现在通知的一共2＋2－1＝3个学生；第三分钟可以推出通知的一共4＋4－1＝7个学生；以此类推，第四分钟通知的一共8＋8－1＝15人，所以最少花4分钟就能通知到每一个人，由此问题解决。 【规范解答】由分析可知：第一分钟通知到第1个学生； 第二分钟最多可通知到3个学生； 第三分钟最多可通知到7个学生； 第四分钟最多可通知到15个学生； 所以，最少花4分钟就能通知到每一个人。 【考点剖析】解决此题的关键是利用已通知的学生的人数加上老师是下一次要通知的学生人数。 3．一个舞蹈队有若干名队员，暑假期间有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员。如果采用打电话的方式（学生之间也可以打电话），每1分钟通知1人，3分钟最多可以通知（    ）名队员。 A．3 B．5 C．7 D．15 【答案】C 【思路引导】首先用1分钟通知第一名队员，第2分钟由第一次通知的人和1名队员两人分别通知1名队员，现在一共通知到1＋2＝3（名）队员，可以推出第3分钟最多通知到3＋4＝7（名）队员，以此类推，由此问题解决。 【规范解答】根据分析可得， 第1分钟通知到1名队员； 第2分钟最多可通知到3名队员； 第3分钟最多可通知到7名队员； 3分钟最多可以通知7名队员。 故答案为：C 【考点剖析】解决此题的关键是利用已通知的人数加上接到通知的队员是下一次要通知的人数。 4．（24-25五年级下·山东枣庄·期末）端午节假期那天，我和3名好朋友打电话，每两人打电话1次，我们一共打了( )次电话。 【答案】6 【思路引导】确定总人数：“我”加上3名好朋友，一共是1＋3＝4人。每个人都要和除自己之外的其他人打一次电话，但这样会出现重复计算（比如甲打给乙和乙打给甲是同一次通话），所以需要排除重复的情况。总共有4人，每个人需要和另外3人各打1次电话，那么每人打3次，4人总共的通话次数（包含重复）为4×3＝12次。由于每一次通话都被算了2次（比如A打给B和B打给A算成了2次，实际是1次），所以用12除以2即可解答。 【规范解答】1＋3＝4（人） 4×3＝12（次） 12÷2＝6（次） 我们一共打了6次电话。 5．阳光小学志愿队共有15人，现有一项紧急任务，老师要尽快通知到每一个队员。用打电话的方式，每通知一人需要1分钟，最短需要( )分钟。 【答案】4 【思路引导】老师首先用1分钟通知第一个学生，第二分钟由老师和1个学生两个人分别再通知1个学生，现在一共通知1＋2＝3（个）学生；以此类推，第三分钟一共通知3＋4＝7（个）学生，第四分钟一共通知7＋8＝15（个）学生。据此解题。 【规范解答】第一分钟最多通知到1个学生； 第二分钟最多通知到3个学生； 第三分钟最多通知到7个学生； 第四分钟最多通知到15个学生； 所以，用打电话的方式，每通知一人需要1分钟，最短需要4分钟。 【考点剖析】本题考查了打电话，解题关键是利用已经通知的学生人数加上老师是下一分钟最多可通知的人数。 6．（25-26五年级上·河南周口·期末）新年快到了，6个好朋友互相问候，一共要通( )次电话，互相寄一张节日贺卡，一共要寄( )张。 【答案】 15 30 【思路引导】6个好朋友，每两人通一次电话，即每人都要和其他5人通一次电话，则共通话6×5＝30次，由于通话是在两人之间进行的，所以共互相通话30÷2＝15次；如果他们互相寄一张节日贺卡，则每人都要送出5张贺卡，则一共寄了6×5＝30张贺卡。 【规范解答】共通话：5×6÷2＝30÷2＝15（次） 一共寄了：（6－1）×6＝5×6＝30（张） 7．老师有事要电话通知全班14名同学，如果每分钟打电话通知1人，那么最快要4分钟可以通知完。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】老师首先用1分钟通知第一名同学，第二分钟由老师和1名同学两人分别通知1名同学，现在通知了共l＋2＝3名同学，据此可以推出，第三分钟可以通知3＋4＝7名同学，第四分钟可以通知7＋8＝15名同学，所以要通知到全班14名同学，需要4分钟，据此解答即可。 【规范解答】第一分钟通知1名同学； 第二分钟最多可以通知1＋2＝3（名） 第三分钟最多可以通知3＋4＝7（名） 第四分钟最多可以通知7＋8＝15（名） 所以要电话通知全班14名同学，最快要4分钟可以通知完。原题说法正确。 故答案为：√ 【考点剖析】解答本题的关键是明确已通知同学的人数加上老师是下一次要通知的队员人数。 8．（24-25五年级下·黑龙江哈尔滨·期末）应急小队接到紧急任务，队长需要尽快将任务通知到18名队员。任务必须一对一进行传达，每分钟通知1人，最少需要5分钟能通知到全体队员。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据倍增通知模型，每一分钟已通知的队员（包括队长）可以同时通知新队员。第1分钟通知1人，之后每分钟新增人数为前一分钟总人数的2倍。计算各分钟累计通知人数：第1分钟1人，第2分钟3人，第3分钟7人，第4分钟15人，第5分钟31人。由于第4分钟结束时仅通知15人，未达18人，需第5分钟完成剩余通知，因此最少需要5分钟。 【规范解答】第1分钟：队长通知1人，累计通知1人。 第2分钟：队长和1名队员各通知1人，新增2人，累计1＋2＝3人。 第3分钟：队长和3名队员各通知1人，新增4人，累计3＋4＝7人。 第4分钟：队长和7名队员各通知1人，新增8人，累计7＋8＝15人。 第5分钟：队长和15名队员各通知1人，新增16人，累计15＋16＝31人。 因第4分钟累计15人未达18人，第5分钟可完成通知，故最少需5分钟。 故答案为：√ 9．（2026五年级下·全国·专题练习）孙悟空在去西天取经的路上又遇到了妖精，它每次拔一根毫毛就能变成一个孙悟空，变出的孙悟空每次拔一根毫毛也能变成一个孙悟空，每次变化需要的时间是2秒钟。如果要变化出15个孙悟空，最短需要多少时间？ 【答案】8秒 【思路引导】为了使时间最短，每次变化时所有的孙悟空都要拔毫毛变出新的孙悟空，这样孙悟空的总数量每次都会扩大到原来的2倍。题干要求“变化出15个孙悟空”，指的是新增的孙悟空数量，因此孙悟空的总数量应为原来的1个加上新增的15个，共16个，求出变化次数，用变化次数×每次变化需要时间＝总时间。 【规范解答】我们需要变出15个新孙悟空，因此总孙悟空数量需要达到1＋15＝16个： 1次变化：总共有1×2＝2个，变出1个新的 2次变化：总共有2×2＝4个，变出3个新的 3次变化：总共有4×2＝8个，变出7个新的 4次变化：总共有8×2＝16个，刚好变出16－1＝15个新的 2×4＝8（秒） 答：最短需要8秒。 10．（2026五年级下·全国·专题练习）一个舞蹈队有7人，假期有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，接到电话的同学立即通知其他不知道这一信息的同学，全部通知完至少需要几分钟？ 【答案】3分钟 【思路引导】按时间阶段分析每分钟通知到的总人数。依次推算每一分钟最多有多少人知道消息，当知道消息的总人数大于或等于需要通知的总人数时，所需时间即为最少时间。 【规范解答】第1分钟：老师通知1名队员，累计通知到1人，还剩6人未通知； 第2分钟：老师和1名已通知的队员，一共通知2名新队员，累计通知1＋2＝3（人），还剩4人未通知； 第3分钟：共4个知道消息的人（老师＋3名队员），可以同时通知4名新队员，累计通知3＋4＝7（人），刚好通知完所有队员。 答：3分钟可以通知完。 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（24-25五年级下·湖南长沙·期末）蚂蚁之间通过触角传递信息，每两只蚂蚁之间传递一次信息需要2秒钟，经过12秒，最多有多少只蚂蚁知道信息？（    ） A．24 B．36 C．48 D．64 【答案】D 【思路引导】根据题意中的通知方案可知： 第1个2秒，一只蚂蚁通知了另一只蚂蚁，共通知到2只蚂蚁，2＝1×2； 第2个2秒，2只蚂蚁通知了另2只蚂蚁，共通知到4只蚂蚁，4＝2×2； 第3个2秒，4只蚂蚁通知了另4只蚂蚁，共通知到8只蚂蚁，8＝2×2×2； 第4个2秒，8只蚂蚁通知了另8只蚂蚁，共通知到16只蚂蚁，16＝2×2×2×2； …… 规律：第n个2秒，通知到的蚂蚁只数为2n只； 据此规律解答。 【规范解答】规律：第n个2秒，通知到的蚂蚁只数为2n只； 12÷2＝6（个） 当n＝6时，2×2×2×2×2×2＝64（只） 经过12秒，最多有64只蚂蚁知道信息。 故答案为：D 2．（25-26五年级上·江苏盐城·期末）小强、小华、小丽和小明是好朋友。如果他们每两人之间通一次电话，一共要通（    ）次电话。 A．3 B．5 C．6 D．12 【答案】C 【思路引导】4人互相打电话，每两人之间通一次电话，即每人要和其他3人通一次电话，则4人一共通12次电话，由于通电话是在两人之间进行的，要去掉重复计算的情况，用12除以2即可。 【规范解答】4×（4－1）÷2 ＝4×3÷2 ＝12÷2 ＝6（次） 3．（24-25五年级下·四川广元·期末）蚂蚁是社群性昆虫，它们通过触角接触来传递信息。1只蚂蚁发现食物，现要将信息传递给同伴，若2只蚂蚁之间5秒完成一次信息传递，其他15只蚂蚁全部收到信息最少需要（    ）秒。 A．15 B．20 C．25 D．75 【答案】B 【思路引导】根据题目中的通知方案可知：第一个5秒，一只蚂蚁通知另一只蚂蚁，共通知到（1×2）只蚂蚁；第二个5秒，2只蚂蚁通知另2只蚂蚁，共通知到（2×2）只蚂蚁；第三个5秒，4只蚂蚁通知另4只蚂蚁，共通知到（2×2×2）只蚂蚁……由此可知，第几个5秒，通知到的蚂蚁只数为几个2相乘，据此解答。 【规范解答】15＋1＝16（只） 16＝2×2×2×2 5×4＝20（秒） 蚂蚁是社群性昆虫，它们通过触角接触来传递信息。1只蚂蚁发现食物，现要将信息传递给同伴，若2只蚂蚁之间5秒完成一次信息传递，其他15只蚂蚁全部收到信息最少需要20秒。 故答案为：B 4．（24-25五年级上·湖南怀化·期末）李老师要通知本班20人参加数学竞赛，如果通话一次按1分钟计算，至少需要( )分钟才能通知每个学生。 【答案】5 【思路引导】第1分钟，老师通知1名学生； 第2分钟，老师和已经通知的学生分别通知1名学生，新接到通知的学生人数为2人，接到通知的学生总人数为2＋1＝3（人）； 第3分钟，老师和已经通知的学生分别通知1名学生，新接到通知的学生人数为3＋1＝4（人），接到通知的学生总人数为4＋3＝7（人）； 第4分钟，老师和已经通知的学生分别通知1名学生，新接到通知的学生人数为7＋1＝8（人），接到通知的学生总人数为8＋7＝15（人）； 第5分钟，老师和已经通知的学生分别通知1名学生，新接到通知的学生人数为15＋1＝16（人），接到通知的学生总人数为15＋16＝31（人）；由此可知，5分钟可以通知到位。 【规范解答】根据分析可知，李老师要通知本班20人参加数学竞赛，如果通话一次按1分钟计算，至少需要5分钟才能通知每个学生。 5．学校临时有重要决定通知学生。假设用电话联系，每通知一个同学需1分钟，第一分钟由老师通知A同学，第二分钟由A同学通知B同学，同时老师通知C同学，依此类推，若班上有52位同学，则通知到所有学生需______分钟。 【答案】 6 【思路引导】本题属于最优通知策略问题，可通过分析每分钟新增通知人数求解。每分钟所有已收到通知的人（包括老师）均可通知一位新同学，因此每分钟新增人数呈指数增长。计算各分钟累计人数，当总人数达到或超过52时即得所需时间。 【规范解答】第1分钟：老师通知1位同学，累计1人。 第2分钟：老师和第1位同学各通知1人，新增2人，累计1＋2＝3人。 第3分钟：4人（老师＋3位同学）各通知1人，新增4人，累计3＋4＝7人。 第4分钟：8人（老师＋7位同学）各通知1人，新增8人，累计7＋8＝15人。 第5分钟：16人（老师＋15位同学）各通知1人，新增16人，累计15＋16＝31人。 第6分钟：32人（老师＋31位同学）各通知1人，新增32人，累计31＋32＝63人。 因第6分钟结束时累计63人≥52人，故需6分钟。 6．（23-24五年级下·福建莆田·期末）因天气原因，原定白塘湖赛龙舟活动推迟，活动负责人打电话通知56名参赛选手，如果每分钟通知1人，那么至少需要( )分钟可以全部通知到。 【答案】6 【思路引导】第一分钟活动负责人通知到1人；第二分钟活动负责人和已经通知到的1人各通知1人，通知到2人；第3分钟通知到（2×2）人；第4分钟通知到（2×2×2）人；第5分钟通知到（2×2×2×2）人。分别求出前4分钟以及前5分钟通知到的人数，确保通知到的人数大于等于56名即可。 【规范解答】1＋2＋＋＋ ＝1＋2＋4＋8＋16 ＝31（人） 1＋2＋＋＋＋ ＝1＋2＋4＋8＋16＋32 ＝63（人） 63＞56＞31 所以至少需要6分钟可以全部通知到。 【考点剖析】本题关键是明确之前已经通知到的人也可以继续通知别人，进而明确第几分钟可以通知到几人。 7．（24-25五年级下·内蒙古赤峰·期末）孙悟空在去西天取经的路上又遇到了妖精，它每次拔一根毫毛就能变成一个孙悟空，变出的孙悟空每次拔一根毫毛也能变成一个孙悟空，每次变化需要的时间是2秒钟。如果要变化出15个孙悟空，最短需要多少时间？把你的想法画出来。 【答案】8秒；图见详解 【思路引导】变化前：只有1个孙悟空； 第2秒：1个孙悟空拔毫毛变成1个新的孙悟空，变化出1个孙悟空； 第4秒：原有1个孙悟空和变化出的1个孙悟空，共2个孙悟空，2个孙悟空各拔毫毛变成1个新的孙悟空，共变化出1＋2＝3个孙悟空； 第6秒：原有1个孙悟空和变化出的3个孙悟空，共4个孙悟空，4个孙悟空各拔毫毛变成1个新的孙悟空，共变化出3＋4＝7个孙悟空； 第8秒：原有1个孙悟空和变化出的7个孙悟空，共8个孙悟空，8个孙悟空各拔毫毛变成1个新的孙悟空，共变化出7＋8＝15个孙悟空。 所以最短需要8秒钟。 【规范解答】如图： 2×4＝8（秒） 答：最短需要8秒。 8．（24-25五年级下·广东中山·期末）五年级组织趣味游戏，其中一个项目是“快乐传递”。一位已经知道信息的同学要尽快将信息通知到13个组员。每人每次只能通知1人，通知1人用时1分钟。请设计一个最快的通知方案（可以用文字、画图等进行说明）。最快的方案需要多少时间？ 【答案】 4分钟 【思路引导】通知方案：采用“接力通知”的方式，每一分钟让已知道信息的所有人（包括最初的通知者和之前已通知的组员）同时去通知新的组员，确保每分钟通知的人数最大化。已知初始有1人，每分钟每个已通知的人可通知1人，每过1分钟，已通知人数翻倍，计算各分钟累计被通知人数，找到覆盖13人的最短时间。 【规范解答】第1分钟：初始1人通知1人，累计被通知1人； 第2分钟：2人（初始1人＋第1分钟1人）各通知1人，新增2人，累计被通知1＋2＝3人； 第3分钟：4人（前两轮共4人）各通知1人，新增4人，累计被通知3＋4＝7人； 第4分钟：8人（前三轮共8人）各通知1人，新增8人，累计被通知7＋8＝15人。 因第4分钟结束时累计被通知人数可达15人，超过所需13人，故最快需4分钟。 答：最快的方案需要4分钟。 9．一个舞蹈队有7人，假期有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，接到电话的同学立即通知其他不知道这一信息的同学，全部通知完至少需要几分钟？请你用画图的方式设计一个打电话的方案。 【答案】3分钟；图见详解。 【思路引导】老师首先用1分钟通知第一个队员，第二分钟由老师和1个队员两人分别通知1个队员，现在通知了共l＋2＝3个队员，据此可以推出，第三分钟可以通知3＋4＝7个队员，所以要通知到7人，需要3分钟，据此解答即可。 【规范解答】第一分钟通知1人； 第二分钟最多可以通知1＋2＝3（人）； 第三分钟最多可以通知3＋4＝7（人）； 即需要3分钟能全部通知到位。 答：全部通知完至少需要3分钟。 如图： 【考点剖析】解答本题的关键是明确已通知的队员的人数加上老师是下一次要通知的队员人数。 10．疫情突发，医院要求所有护士全部到岗。某科宣护士长知道消息后，需要尽快通知15名护士。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，你帮护士长设计一个用时最少的打电话方案。你设计的方案需要用时多少分钟？用文字或画图把方案表示出来。 【答案】4分钟，表格见详解 【思路引导】本题可采用如下方案：护士长先通知1名护士，然后再与这名护士生一起给另2名护士打电话，然后这2名护士再与前面已通知的护士（包括护士长）一起给其他护士打电话，依次类推，进行计算即可求解。 【规范解答】 分钟 1 2 3 4 新接到电话人数 1 2 4 8 接到电话总人数 1 3 7 15 答：需要用时4分钟。 【考点剖析】根据乘方的知识，让先得到通知的护士与护士长一起通其他护士是最快最好的办法。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $