精品解析：河南郑州市第二高级中学2025-2026学年度高二第二学期期中数学试题

高二数学 考试时间：120分钟 分值：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 4.测试范围：人教A版选必二第五章，选必修三第六章+第七章7.1-7.3+二项分布. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 设随机变量的分布列如下表格，且随机变量的数学期望，则（ ） 0 1 2 A. 1 B. C. D. 3. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中的系数为（ ） A. 30 B. 60 C. 120 D. 240 5. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1，假设发送信号0和1是等可能的.已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 在五一假期期间，要从5人中选3人在5天假期值班（每天只需1人值班，选出的3人每人至少值1天班），不出现同一人连续值班2天，可能的安排方法有（ ） A. 420种 B. 450种 C. 480种 D. 540种 8. 已知函数在区间上存在唯一的极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于随机事件，，，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 设，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，先由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记为第次传球后球在甲手中的概率，为第次传球后球在乙手中的概率，为第次传球后球在丙手中的概率，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若随机变量的方差，则的值为__________． 13. ______. 14. 已知且，函数．若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围是______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在的展开式中，二项式系数之和为256. （1）求的值； （2）求展开式中系数最大的项 16. 已知函数. （1）若，求函数的极值； （2）讨论的单调性. 17. 某种产品的加工需要经过A，B，C，D，E共5道工序. （1）如果工序B，C必须相邻，且不能放在最前，有多少种加工顺序？ （2）如果工序D必须在工序E的前面，且不能相邻，有多少种加工顺序？ 18. 阿郑操场跑圈，一周3次，一次跑4圈或5圈，第一次跑4圈或5圈的概率均为，若第次跑4圈，则第次跑4圈的概率为，跑5圈的概率为．若第次跑5圈，则第次跑4圈的概率为，跑5圈的概率为． （1）求阿郑一周跑圈的概率； （2）若一周至少跑圈为运动量达标， ①求阿郑一周运动量达标的概率； ②若阿郑连续跑4周，每周间的跑圈互不影响，记达标周数为，求随机变量的分布列及． 19. 已知函数. （1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （2）当时，求证：； （3）若对任意的，都有，求最大的整数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 考试时间：120分钟 分值：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 4.测试范围：人教A版选必二第五章，选必修三第六章+第七章7.1-7.3+二项分布. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】由题设，则，所以. 2. 设随机变量的分布列如下表格，且随机变量的数学期望，则（ ） 0 1 2 A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分布列可得，进而可计算数学期望，再根据数学期望的性质计算求解. 【详解】因为，即， 所以， 则. 3. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，则， 又，则点处的切线方程为， 所以切线为. 4. 的展开式中的系数为（ ） A. 30 B. 60 C. 120 D. 240 【答案】C 【解析】 【详解】的展开式通项为，， 的展开式通项为，， 当，时，展开式中含的项为，即对应系数为. 5. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1，假设发送信号0和1是等可能的.已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由全概率公式求出接收到的信号为0的概率，再利用条件概率公式计算即可求解. 【详解】设“发送的信号为0”， “接收到的信号为0”，则“发送的信号为1”， “接收到的信号为1”， 由题意得，，，，， ， ． 6. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将不等式化为 ，令 ，利用导数法得到恒成立，从而的解集为求解. 【详解】因为函数，则不等式可化为： ，通分得 ， 令 ，则 ，令 ， 则，令 ，得， 当时，，递减；当时，，递增； 又，即 ， 则当时，，递减；当时，，递增， 所以当时，，则恒成立， 所以的解集为， 所以 等价于且，即且， 所以不等式的解集为， 故选：D 7. 在五一假期期间，要从5人中选3人在5天假期值班（每天只需1人值班，选出的3人每人至少值1天班），不出现同一人连续值班2天，可能的安排方法有（ ） A. 420种 B. 450种 C. 480种 D. 540种 【答案】A 【解析】 【分析】应用分步计数原理，先从5人选3人，再应用间接法求把3人安排到5天值班，同一人值班不连续，每人至少值1天班的安排方法数. 【详解】从5人中任选3人有种， 若所选3人为，每人至少值1天班，把安排到5天值班，且同一人不连续排班（不一定3人都值班），则有种， 其中只有2人值5天班，从3人任选2人安排到5天值班，同一人不连续排班有种，不可能出现1人值班的情况， 所以满足题设的安排方法数有 种. 8. 已知函数在区间上存在唯一的极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导得，导数研究的区间值域，结合的区间极值点个数列不等式求参数范围. 【详解】由题设且， 令且，则， 所以在上单调递减，时， 所以，而， 要使在上存在唯一的极值点，则，即. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于随机事件，，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件概率公式进行计算即可. 【详解】因为对于随机事件，，，且，， 所以 ，所以A错误； ，所以B正确； ，所以C正确； ，所以D正确. 10. 设，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】令可判断A；令、可判断B； 令可判断C错误；令，两边都除以可判断D. 【详解】对于A， 令，得 ，故A正确； 对于B，令，得 ， 令，得， 两式相减得， 所以 ，故B正确； 对于C， 令，得 ， 因为，所以 ，故C错误； 对于D，令，可得， 两边都除以，得，故D正确. 11. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，先由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记为第次传球后球在甲手中的概率，为第次传球后球在乙手中的概率，为第次传球后球在丙手中的概率，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可得，可得D；利用全概率公式可得，结合可得C；利用C中所得计算可得A、B. 【详解】对D：每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人， 故第次传球后球在乙或丙手中的概率相同， 即有，故，故D正确； 对C：由题意可得， 则由全概率公式可得，故C正确； 对A：由题意可得，则，，故A正确； 对B：，故B错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若随机变量的方差，则的值为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】由随机变量的线性关系的方差性质，即可求解. 【详解】随机变量的方差， 则. 故答案为：8. 【点睛】本题考查方差性质的应用，熟记公式即可，属于基础题. 13. ______. 【答案】192 【解析】 【分析】由，通过求导，赋值求解即可. 【详解】因为 两边同时求导得 令，得 所以. 14. 已知且，函数．若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】法一：分离参数，由，令函数，用导数法求解； 法二：构造差函数 由，取对数得方程在区间内有两个解，构造函数，用导数法求解； 法三：分离法：一曲一直取对数得，即，转化为与有且仅有两个交点求解； 法四：直接法 由曲线与直线有且仅有两个交点，利用导数法，由得，分和求解. 【详解】法一：分离参数 ，设函数， 则，令，得， 在内，单调递增； 在上，单调递减； ， 又，当趋近于时，趋近于0， 所以曲线与直线有且仅有两个交点， 即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是， 这即是， 所以的取值范围是． 法二：构造差函数 由与直线有且仅有两个交点知， 即在区间内有两个解， 取对数得方程在区间内有两个解． 构造函数， 求导数得． 当时，在区间内单调递增， 所以，在内最多只有一个零点，不符合题意； 当时，，令得，当时，； 当时，； 所以函数的递增区间为，递减区间为． 由于， 当时，有，即， 由函数在内有两个零点知， 所以，即． 构造函数，则， 所以的递减区间为，递增区间为，所以， 当且仅当时取等号，故的解为且． 所以，实数a的取值范围为． 法三：分离法：一曲一直 曲线与有且仅有两个交点等价于在区间内有两个不相同的解． 因为，所以两边取对数得，即，问题等价于与有且仅有两个交点． ①当时，与只有一个交点，不符合题意． ②当时，取上一点在点的切线方程为，即． 当与为同一直线时有得 直线的斜率满足： 时，与有且仅有两个交点． 记， 令，有．在区间内单调递增；在区间内单调递减； 时，最大值为， 所以当且时有． 综上所述，实数a的取值范围为． 法四：直接法 ． 因为，由得． 当时，在区间内单调递增，不满足题意； 当时，，由得在区间内单调递增，由得在区间内单调递减． 因为，且，所以，即， 即，两边取对数，得， 即． 令，则，令，则， 所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以， 所以，则的解为，所以，即． 故实数a的范围为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在的展开式中，二项式系数之和为256. （1）求的值； （2）求展开式中系数最大的项 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数之和为256，由求解； （2）利用二项展开式的通项公式求解. 【小问1详解】 因为二项式系数之和为256，所以， 解得； 【小问2详解】 由题意得的展开式中第项为， 所以其系数为， 令，解得， 因为为整数，所以， 所以展开式中系数最大的项为第6项， 该项为 16. 已知函数. （1）若，求函数的极值； （2）讨论的单调性. 【答案】（1）极小值为，无极大值； （2） 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时， 在区间和上单调递减，在区间上单调递增；当时， 在区间上单调递减；当时， 在区间和上单调递减，在区间上单调递增. 【解析】 【分析】（1）求导，确定函数单调区间，即可求解； （2）求导，通过，，，讨论导数符号即可求解. 【小问1详解】 当时，，所以， 由 ，得， 0 - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数的极小值为，无极大值； 【小问2详解】 因为函数 ， 所以， （ⅰ）当时，若 ，则， 若，则 ， 若，则 ， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， （ⅱ）当时，由 ，得或， 若或，则 ， 若，则 ， 所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增， （ⅲ）当时， ，所以函数在区间上单调递减， （ⅳ）当时，由 ，得或， 若或，则 ， 若 ，则 ， 所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述：当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； 当时，函数在区间和上单调递减， 在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递减； 当时，函数在区间和上单调递减， 在区间上单调递增. 17. 某种产品的加工需要经过A，B，C，D，E共5道工序. （1）如果工序B，C必须相邻，且不能放在最前，有多少种加工顺序？ （2）如果工序D必须在工序E的前面，且不能相邻，有多少种加工顺序？ 【答案】（1）36 （2）36 【解析】 【分析】（1）利用插空法和捆绑法，先将做全排，从后3个空任选1个，把绑定插入； （2）利用插空法，先将做全排，此时有4个空，再从中任选2个空把插入. 【小问1详解】 若工序B，C必须相邻，且不能放在最前， 先将做全排，从后3个空任选1个，把绑定插入， 所以，有种加工顺序； 【小问2详解】 若工序D必须在工序E的前面，且不能相邻， 先将做全排，此时有4个空，再从中任选2个空把插入， 所以，有种加工顺序. 18. 阿郑操场跑圈，一周3次，一次跑4圈或5圈，第一次跑4圈或5圈的概率均为，若第次跑4圈，则第次跑4圈的概率为，跑5圈的概率为．若第次跑5圈，则第次跑4圈的概率为，跑5圈的概率为． （1）求阿郑一周跑圈的概率； （2）若一周至少跑圈为运动量达标， ①求阿郑一周运动量达标的概率； ②若阿郑连续跑4周，每周间的跑圈互不影响，记达标周数为，求随机变量的分布列及． 【答案】（1） （2）①；② 0 1 2 3 4 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列出所有的可能情况，再计算所有可能情况的概率的和即为所求概率； （2）①先列出符合条件的所有情况，再计算所有可能情况的概率的和，从而求出达标概率；②利用二项分布概率公式求概率得出分布列，利用二项分布期望公式求期望． 【小问1详解】 记阿郑一周跑圈为事件，则可能结果为，，， ， 阿郑一周跑圈的概率为． 【小问2详解】 ①记阿郑一周运动量达标为事件，则可能结果为，，，， ， 阿郑一周运动量达标的概率为； ②由于每周间的跑圈互不影响， 达标周数符合二项分布：， ；； ；； ； 随机变量的分布列为： 0 1 2 3 4 ． 19. 已知函数. （1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （2）当时，求证：； （3）若对任意的，都有，求最大的整数. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）2 【解析】 【分析】（1）对函数求导，根据其区间单调性，将问题化为在上恒成立，即可求； （2）应用导数研究的单调性，再根据其极值证明不等式即可； （3）问题化为恒成立，讨论、研究恒成立，即可得. 【小问1详解】 因为，所以， 因为函数在上单调递增， 所以，在上 恒成立，即， 因为在上单调递减，所以， 此时函数在上也有意义，所以； 【小问2详解】 当时，，所以， 因为在上单调递增，且， 由零点存在性定理可得在上有唯一零点， 且，，则， 当时，当时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以 ， 因为，所以， 所以 ，故，得证； 【小问3详解】 当时，对任意，有 ， 因为对数函数单调递增，所以， 可得， 因此， 由（2）可得恒成立， 当时， 恒成立， 当时，存在 ，与对任意的，都有矛盾， 综上，最大的整数为2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $