河南周口市第三高级中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

2025-2026学年下学期高二年级期中考试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．5名大学生利用暑假到学校的实践基地进行实习，每人从甲、乙、丙三个基地中任选一个，若不考虑其他条件，则不同的选法有（ ） A．种 B．种 C．8种 D．15种 2．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．现有壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆、伍拾圆的人民币各一张，一共可以组成的币值种数为（ ） A．30 B．31 C．32 D．64 4．已知三个正态分布密度函数（其中，为自然对数的底数）的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）． A． B． C． D． 5．已知变量x，y之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为．若，，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知张同学射击中靶的概率为0.6，现给他10次射击机会，若击中靶子得5分，未击中靶子扣2分，记张同学10次射击完成后，总得分为，则的值为（ ） A．30 B．26 C．22 D．18 7．某工厂为了了解车间的生产情况，从甲、乙、丙三个车间分别抽取了30，30，40个产品进行检验，其中一等品分别为5，6，8个.现随机选定一个车间，从该车间抽取一个产品，则该产品是一等品的概率为（ ） A． B． C． D． 8．子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让．现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取4张卡片分给另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（ ） A．120种 B．210种 C．1440种 D．2880种 2、 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列关于的说法，正确的是（ ） A．展开式的各二项式系数之和是1024 B．展开式各项系数之和是1024 C．展开式的第5项的二项式系数最大 D．展开式的第3项为45x 10．下列说法正确的有（ ） A．若随机变量服从正态分布，则 B．数据的第70百分位数为8 C．回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好 D．根据分类变量与的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05 11．有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（ ） A．若五位同学排队，要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种 B．若五位同学排队，最左端只能排甲或乙，最右端不排甲，则不同的排法共有42种 C．若甲、乙、丙三位同学按从左到右的顺序排队，其他人可以任意排列，则不同的排法有20种 D．若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，每位同学只能去一个社区，则不同的分配方案有72种 三、填空题;本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数是__________. 13．已知，且，则______. 14．已知、为随机事件，且，，若，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）用0，1，2，5，6，7这六个数字组成没有重复数字的四位数. (1)四位数共有多少个？ (2)偶数共有多少个？ 16．（15分）随着季节的变化，某种生物的繁殖量也发生变化，某研究员对所在地区该生物2025年1月至5月每月的繁殖量进行统计分析（取近似值），结果如下表： 月份 1 2 3 4 5 繁殖量/千个 1.5 2 3.5 8 15 (1)据上表数据，计算与的相关系数（精确到0.01），并说明与的线性相关性的强弱；（若，则认为与线性相关性很强，否则认为与线性相关性较弱） (2)利用最小二乘法建立关于的线性回归方程，并计算5月份该生物繁殖量的残差. 参考数据：，，. 参考公式：对于一组数据，其相关系数， 其经验回归直线中，，. 17．（15分）人工智能技术（简称技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，并迅速在各行各业中得到应用和推广，教育行业也不例外．某市教体局为调查本市中学教师使用技术辅助教学的情况，随机抽取了该市120名中学教师，统计了他们一周内使用技术帮助制作课件的情况，并将一周内使用技术帮助制作课件的节次不少于4次的认定为喜欢使用技术，否则认定为不喜欢使用技术，经统计得到如下列联表． 年龄 是否喜欢使用技术 合计 是 否 不超过45岁 46 14 60 超过45岁 32 28 60 合计 78 42 120 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为该市中学教师是否喜欢使用技术与年龄有关； (2)将频率视为概率，现从所抽取的120名中学教师中随机抽取一人，在抽中喜欢使用技术的教师的条件下，求此人年龄超过45岁的概率． 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 18．（17分）袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球． (1)若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为，求的分布列； (2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为，求的分布列、期望和方差． 19．（17分）甲､乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜，比赛结束；比赛最多五局，若五局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜．在一局比赛中，若甲胜，则甲下一局胜的概率为；若甲输，则甲下一局胜的概率为．已知第一局甲胜的概率为，假设每局比赛没有平局，记比赛结束时的局数为． (1)求第2局比赛甲胜的概率； (2)在的条件下，求甲胜的概率； (3)求比赛结束时甲胜的概率． 高二数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B C B C B D AD ABC 题号 11 答案 BC 1．A 【详解】由题意知，每位大学生都有3种选择，根据分步乘法计数原理，共有种选法. 2．C 【详解】因为， 令，得到，所以. 3．B 【分析】根据题意，分别任选一张、两张、三张、四张或全选，结合组合数求组成的币值种数. 【详解】根据题意一共可以组成的币值种数为种． 4．C 【分析】根据正态分布密度函数图像直接判断得出. 【详解】，正态曲线关于对称，且越大图像越靠近右边，根据图像知， 第一个曲线的均值比第二和第三个的均值都小，且第二，第三两个的均值相等， 即，故B、D错误； ，越小图像越瘦高，根据图像知，第一个图像的等于第二个图像的，且第二个图像的比第三个的要小， .，所以A错误，C正确． 故选：C. 5．B 【分析】根据题意求得样本中心，代入回归直线方程，即可求解. 【详解】因为，，所以，， 因为，且过点，所以，解得. 6．C 【分析】10次射击中击中的次数为随机变量Y服从二项分布.先利用二项分布的期望公式先计算E(Y)，再计算E(X). 【详解】根据题意，击中的次数服从二项分布，所以， 所以. 故选：C. 7．B 【分析】利用全概率公式代入计算可得结果. 【详解】记“随机选定的车间为甲、乙、丙车间分别为事件”，“该产品为一等品”为事件， 依题意可知，且； 所以该产品是一等品的概率为． 故选：B 8．D 【详解】先把字相同的卡片看成一组， 第一步：从这5组中选出一组有种选法. 第二步：再从余下的4组中选2组，这2组中，每组各选一张卡片有. 第三步：把选出的4张卡片，分给4位同学有. 所以不同的分配方案有种. 9．AD 【分析】利用二项式定理，结合二项式系数的性质逐项判断作答. 【详解】对于A，的展开式的各二项式系数之和是，A正确； 对于B，令，得的展开式的各项系数之和为0，B错误； 对于C，的展开式的第6项的二项式系数最大，C错误； 对于D，的展开式的第3项为，D正确. 故选：AD 10．ABC 【分析】利用正态分布对称性计算即可得A正确；将数据按照从小到大顺序重新排列可计算出第70百分位数为8；由回归分析相关指数公式可得残差平方和越小，拟合效果越好；根据独立性检验可知时，犯错误的概率超过0.05. 【详解】由正态分布的对称性可知， 若，则， 所以，故正确； 数据重排后如下：共8个数，由可得第70百分位数为第6个数，即为8，故B正确； 回归分析中残差平方和越小，相关指数越接近于1，拟合效果越好，故C正确； 由独立性检验可知，犯错误的概率会超过0.05，即D错误. 故选：ABC. 11．BC 【分析】根据排列组合的典型方法：捆绑法、插空法、优先法、定序法、分组分配法逐项判断即可. 【详解】对于A，若五位同学排队甲、乙必须相邻的安排有种，然后与戊全排列的安排种， 丙、丁不能相邻的安排有种（插入甲乙捆绑体与戊形成的3个空位中）， 共有种，故A不正确； 对于B，若五位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲， 则当甲在左端时，则有种安排方法； 当乙在左端时，甲有种安排方法，其他人有种安排方法， 故符合的总的安排方法种数为种，故B正确； 对于C，若甲乙丙三位同学按从左到右的顺序排队， 则不同的排法有种，故C正确； 对于D，若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学， 先将4人分三组的分组方法数为，再把三个组分配到三个社区的种方法数为， 所以不同的分配方案有种，故D不正确. 12．5 【详解】的展开式通项为， 令解得， 所以展开式中的系数是. 13．/ 【详解】由题设，则. 14．/ 【分析】根据题意结合条件概率公式可得，结合概率性质可得，即可得结果. 【详解】因为，，则， 又因为，则， 且，所以. 15．(1)300 (2)156 【分析】（1）分含和不含两种情况分析，如果含，需先排这个特殊元素，再排列其他数字； （2）分末位是和末位不是两种情况进行排列. 【详解】（1）若这个四位数中含，则先从除千位外的三个位置中选一个排，再从其他5个元素中选3个在剩余位置排列， 共有种排法； 若这个四位数中不含，则从其他5个数字中选4个进行全排，共有种排法. 所以四位数共有个. ...............................6分 （2）若个位是，则从其它5个数字中任选3个排列在剩余的三个位置，共有种排法； 若个位是或，则从其它4个不为的数字中选1个排在千位，再从除千位和个位所排数字之外的4个数中任选2个排在百位和十位， 共有种排法； 所以偶数共有个. ...............................13分 16．(1)，线性相关性很强 (2)， 【分析】（1）根据相关系数的公式，和题干所给参数，代入公式，求出相关系数，判断相关性强弱. （2）根据回归直线方程参数公式，代入数值，求出回归方程，计算五月的估计值，与实际值作差计算残差即可. 【详解】（1）由已知得，，， ，， ， 故， 所以与的线性相关性很强. ................................6分 （2）因为，，，， ， 所以， 所以关于的线性回归方程为， ................................12分 当时，， 所以5月份该生物繁殖量的残差为. ...............................15分 17．(1)有关 (2) 【详解】（1）零假设该市中学教师是否喜欢使用技术与年龄无关， 而， 依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为该市中学教师是否喜欢使用技术与年龄有关. .............................7分 （2）设事件为从所抽取的120名中学教师中随机抽取一人，抽中喜欢使用技术的教师， 事件为从所抽取的120名中学教师中随机抽取一人，此人年龄超过45岁， 由题意，， 则. ...............................15分 18．(1)分布列见解析 (2)分布列见解析，， 【分析】（1）有放回抽样时，取到黑球的次数，可能的取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得的分布列． （2）由题意可得的所有取值为0，1，2，分别求出对应的概率，即可得的分布列，期望，方差． 【详解】（1）若每次抽取后都放回，则每次抽到黑球的概率均为， 而3次取球可以看成3次独立重复试验，因此， 所以，， ，，     因此X的分布列为： X 0 1 2 3 P ..............................7分 （2）由题意，的所有取值为， 则，，， 因此，Y的分布列为： Y 0 1 2 P ..............................14分 所以， . ...............................17分 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）先把第１局作为互斥事件，再利用全概率公式计算求解； （2）先分别计算比赛进行3局时甲胜和乙胜的概率，求和得到，再利用条件概率公式计算求解； （3）按结束的局数分类，可能是，分别计算每种局数下甲胜的概率，再求和． 【详解】（1）设表示第1局甲胜，表示第2局甲胜， 由全概率公式得． ................................4分 （2）表示比赛在第3局结束，即前2局无连续两胜，第3局形成连续连胜： 乙胜：序列为“甲、乙、乙”，概率为， 甲胜：序列为“乙、甲、甲”，概率为， ， 甲胜的概率为． ...............................9分 （3）时，甲胜的概率为； 时，甲胜的概率为； 时，甲胜序列为“甲、乙、甲、甲”的概率为； 时，甲胜序列为“乙、甲、乙、甲、甲”或“甲、乙、甲、乙、甲”， 概率为， 甲胜的概率为． ...............................17分 高二数学试题 第 1 页 共 4 页 高二数学试题 第 2 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $