7.4.1二项分布巩固练习-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 练习以二项分布为核心，通过基础到综合的分层设计，覆盖概念理解、公式应用及实际建模，梯度递进巩固知识，培养数学思维与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|二项分布定义、期望方差计算|单选题1-3直接考查公式，填空题12基础计数模型，强化运算能力| |中档提升|两点分布辨析、独立重复试验|多选题9-10对比概念，单选题6-7结合二进制、射击情境，发展推理意识| |综合应用|分布列构建、条件概率、实际问题|解答题15-19以客服、比赛等情境建模，需综合分析变量关系，培养数据观念与应用意识|

7.4.1二项分布巩固练习 一、单选题 1．已知随机变量，则（   ） A． B． C．15 D．16 2．若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．设随机变量服从二项分布，若，则（    ） A．0.16 B．0.32 C．0.64 D．0.84 4．某试验每次成功的概率为，现重复进行10次该试验，则恰好有3次试验未成功的概率为（    ） A． B． C． D． 5．在某次抽奖活动中，一个口袋里装有3个白球和2个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸 出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖.则摸球三次仅中奖一次的概率为（    ） A． B． C． D． 6.某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如01001），每个位置出现的数字相互独立，其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时，下列说法正确的是（   ） A． B． C．五位二进制数10100与10001出现的概率不相同 D． 7．甲､乙､丙､丁四人同时对一目标进行射击，四人击中目标的概率都为，目标被一人击中不会摧毁，目标被两人击中而摧毁的概率为，目标被三人击中而摧毁的概率为，若四人都击中目标肯定被摧毁，则目标被摧毁的概率为（    ） A． B． C． D． 8．某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 二、多选题 9．已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 10．下列结论正确的是（ ） A．若随机变量，则 B．某次考试中有三道题，小黄同学做对每道题的概率均为，则他做对的题数的期望为2 C．若，，且，则C，D相互独立 D．，，，则的值为. 11．已知随机变量，，，则（    ） A．若，则 B．若随机变量满足，，则 C．若，则 D．若，则有最大值 三、填空题 12．在一个不透明箱子中装有个小球，其中个红球，个黑球，所有球除颜色外无任何不同，从该箱子中有放回地依次取出个小球，设变量为取出个球中红球的个数，则的数学期望______. 13．一个质点在 轴上运动，每次向左或向右移动一个单位长度，质点每次向右移动的概率为，质点从原点出发，移动五次后到达点的概率为_____. 14．某班级举行抽奖活动，准备10张形状和质地完全相同的抽奖券，其中4张为一等奖券，6张为二等奖券，每次随机抽取1张.若不放回地连续抽取两次，在第二次抽到一等奖券的条件下，第一次抽到二等奖券的概率是__________；若每次都是有放回地抽取，连续抽取5次，抽到一等奖券记2分，抽到二等奖券记0分，以表示5次抽取的总得分，则的数学期望为__________. 四、解答题 15．某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立．在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差． 16．已知计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉，如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.9，它们之间互不影响，其中能正常工作的设备数为X． (1)写出X的分布列； (2)求出计算机网络不会断掉的概率． 17．甲､乙两位同学进行纸飞机比赛，设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.比赛规则如下：三局两胜制指有一方获胜两局，比赛结束；四局三胜制指有一方获胜三局，比赛结束. (1)若，比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； (2)若，甲、乙进行了局比赛，表示甲获胜的局数，当且仅当时，取得最大值，其中，求满足条件的的值. 18．某用户只在某外卖平台的甲、乙两家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲餐厅的概率为，选择乙餐厅的概率为，甲餐厅的准时送达率为，乙餐厅的准时送达率为．已知该用户每次外卖点餐准时送达与否相互独立． (1)求该用户每次外卖点餐准时送达的概率． (2)在该用户的次外卖点餐中，记准时送达的次数为，若的方差大于，求的最小值． (3)平台推出“准时保”，每单需支付元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付3元；若外卖准时送达，则平台不赔付．该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过元，试问他是否愿意购买“准时保”？说明你的理由． 19．甲、乙两支球队参加某球类比赛，如果每局比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立．比赛有两种方案，方案一：采用“三局两胜”制，即累计先胜两局的队最终获胜；方案二：采用“五局三胜”制，即累计先胜三局的队最终获胜． (1)当时，采用方案一还是方案二对乙更有利（不用说明理由），并求该方案下乙队最终获胜的概率； (2)当时，若比赛采用方案二． （ⅰ）求在甲队最终获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率； （ⅱ）若比赛结果为或者时，胜方得3分，负方得0分，比赛结果为时，胜方得2分，负方得1分，求甲队本次比赛的得分的分布列及均值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.4.1二项分布巩固练习 一、单选题 1．已知随机变量，则（   ） A． B． C．15 D．16 【答案】D 【分析】借助二项分布方差公式与方差性质计算即可得. 【详解】由，则， 则.故选：D. 2．若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据随机变量服从两点分布推出，根据公式先计算出、，由此分别计算四个选项得出结果. 【详解】随机变量服从两点分布，其中，所以，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D不正确. 故选：D. 3．设随机变量服从二项分布，若，则（    ） A．0.16 B．0.32 C．0.64 D．0.84 【答案】C 【分析】根据二项分布的概率计算公式求解出,进而求方差. 【详解】，解得， 所以，则. 故选：C. 4．某试验每次成功的概率为，现重复进行10次该试验，则恰好有3次试验未成功的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项分布的概率公式即可求解. 【详解】由题意可知，重复进行10次该试验，恰好有3次试验未成功， 说明7次成功，3次未成功，所以所求概率为． 故选：B． 5． 在某次抽奖活动中，一个口袋里装有3个白球和2个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸 出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖.则摸球三次仅中奖一次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，摸球一次中奖的概率为， 则摸球三次仅中奖一次的概率为. 故选：D. 6．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如01001），每个位置出现的数字相互独立，其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时，下列说法正确的是（   ） A． B． C．五位二进制数10100与10001出现的概率不相同 D． 【答案】D 【分析】根据题意判断随机变量服从二项分布，根据二项分布期望方差的定义逐项判断. 【详解】由题意知，表示5个独立位置中出现1的个数，因此服从二项分布 . ，A错误； 二项分布期望，B错误； 两个五位二进制数都含2个1、3个0，概率均为 ，概率相同，C错误； 二项分布方差，D正确. 故选：D. 7．甲､乙､丙､丁四人同时对一目标进行射击，四人击中目标的概率都为，目标被一人击中不会摧毁，目标被两人击中而摧毁的概率为，目标被三人击中而摧毁的概率为，若四人都击中目标肯定被摧毁，则目标被摧毁的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可得击中次数服从二项分布，分别求得其对应概率，再由全概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设击中次数为X，则，所以: ; ; , 由全概率公式得，目标被摧毁的概率 . 故选：C . 8．某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】利用二项分布概率公式，通过为唯一最大值需满足且，列不等式组求解正整数. 【详解】依题意，， 由是唯一的最大值，得，即， 则，整理得，解得，而，因此. 故选：B. 二、多选题 9．已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】AB选项，利用二项分布期望和方差公式计算可得；C选项，利用二项分布求概率公式进行求解；D选项，利用对立事件求概率公式进行计算. 【详解】AB选项，，，A正确，B错误； C选项，，C正确； D选项，，D正确． 故选：ACD 10．下列结论正确的是（ ） A．若随机变量，则 B．某次考试中有三道题，小黄同学做对每道题的概率均为，则他做对的题数的期望为2 C．若，，且，则C，D相互独立 D．，，，则的值为 【答案】BCD 【分析】通过二项分布方差计算公式与方差的性质，条件概率，全概率公式求解. 【详解】，，选项错误； 设小黄同学做对的题目数量为，则，期望为，选项正确； 根据条件概率公式，由，得， 所以，则C，D相互独立，选项正确； 由全概率公式，即， 解得，选项正确. 故选：BCD. 11．已知随机变量，，，则（    ） A．若，则 B．若随机变量满足，，则 C．若，则 D．若，则有最大值 【答案】BCD 【详解】对A选项，由知，解得，故A错误； 对B选项，，则，，所以，故B正确； 对C选项，,又已知，解得，故C正确； 对D选项，，则，令，则. 令，解得（舍去）或，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．在一个不透明箱子中装有个小球，其中个红球，个黑球，所有球除颜色外无任何不同，从该箱子中有放回地依次取出个小球，设变量为取出个球中红球的个数，则的数学期望______. 【答案】2 【分析】先求出摸出一个球是红球的概率，根据题意可得随机变量服从二项分布，再根据二项分布的期望公式即可得解. 【详解】每次摸到红球的概率为，因为是有放回地取5次球， 所以，所以. 故答案为：2. 13．一个质点在 轴上运动，每次向左或向右移动一个单位长度，质点每次向右移动的概率为，质点从原点出发，移动五次后到达点的概率为_____. 【答案】 【分析】据题意，得到质点向右移动4次，向左移动1次，结合独立重复试验的概率计算公式，可求解. 【详解】根据题意，质点从原点出发，移动五次后到达点， 可得质点向右移动4次，向左移动1次，所以概率为 . 故答案为：. 14．某班级举行抽奖活动，准备10张形状和质地完全相同的抽奖券，其中4张为一等奖券，6张为二等奖券，每次随机抽取1张.若不放回地连续抽取两次，在第二次抽到一等奖券的条件下，第一次抽到二等奖券的概率是__________；若每次都是有放回地抽取，连续抽取5次，抽到一等奖券记2分，抽到二等奖券记0分，以表示5次抽取的总得分，则的数学期望为__________. 【答案】 4 【分析】利用条件概率公式计算可得空一；利用二项分布的期望公式与期望性质计算可得空二. 【详解】设事件A表示：“第二次抽到一等奖券”，事件B表示：“第一次抽到二等奖券”， 则 , , ； 设Y表示5次抽取中抽到一等奖券的次数， 每次抽到一等奖券的概率，则由题意可得， 故，又，则. 故答案为： 四、解答题 15．某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立．在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差． 【分析】根据二项分布可求的分布列，再利用期望和方差公式可求的期望、方差. 【详解】设智能客服的回答被采纳的概率为， 由全概率公式可得， 智能客服每次回答是否被采纳相互独立，因此随机变量服从二项分布， 则，得到， ，， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 故， ， 16．已知计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉，如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.9，它们之间互不影响，其中能正常工作的设备数为X． (1)写出X的分布列； (2)求出计算机网络不会断掉的概率． 【分析】（1）根据题意，得到三台设备正常工作的设备数，结合二项分布，即可求解； （2）根据题意，要求能正常工作的设备至少有一台，结合对立事件的概率，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，台设备各自能正常工作的概率都为0.9，它们之间互不影响， 可得三台设备正常工作的设备数服从二项分布，即， 可得，， ，， 从而X的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 （2）解：要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，即， 因此所求概率为． 17．甲､乙两位同学进行纸飞机比赛，设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.比赛规则如下：三局两胜制指有一方获胜两局，比赛结束；四局三胜制指有一方获胜三局，比赛结束. (1)若，比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； (2)若，甲、乙进行了局比赛，表示甲获胜的局数，当且仅当时，取得最大值，其中，求满足条件的的值. 【分析】（1）分析可知甲最终获胜的两种可能的比分为或，利用独立重复试验的概率公式可求得所求得甲获胜的概率； （2） 分析可知，可得，记， 解不等式，可得结果. 【详解】（1）根据题意可知，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.若采用三局两胜制，则最终获胜的两种可能的比分为或.因为每局比赛的结果是独立的， 所以甲最终获胜的概率:； （2）易得，，， 记， 则， 由，得，即当时，， 当时，， 故当时，最大，所以的估计值为. 18．某用户只在某外卖平台的甲、乙两家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲餐厅的概率为，选择乙餐厅的概率为，甲餐厅的准时送达率为，乙餐厅的准时送达率为．已知该用户每次外卖点餐准时送达与否相互独立． (1)求该用户每次外卖点餐准时送达的概率． (2)在该用户的次外卖点餐中，记准时送达的次数为，若的方差大于，求的最小值． (3)平台推出“准时保”，每单需支付元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付3元；若外卖准时送达，则平台不赔付．该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过元，试问他是否愿意购买“准时保”？说明你的理由． 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式列式求解. （2）由（1）的结论，利用二项分布的方差公式列式求解. （3）由（1）的结论，求出购买“准时保”的期望，与给定条件比对即可. 【详解】（1）令事件“外卖点餐准时送达”，“选择甲餐厅”，“选择乙餐厅”， 依题意，，， 由全概率公式得， 所以该用户每次外卖点餐准时送达的概率为0.93. （2）依题意，的所有可能取值为，， 则，由的方差大于，得， 解得，所以的最小值为11. （3）他愿意购买“准时保”. 设他购买“准时保”的净收益为元，则的所有可能取值为， ，， 显然，即亏损期望不超过元， 所以他愿意购买“准时保”. 19．甲、乙两支球队参加某球类比赛，如果每局比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立．比赛有两种方案，方案一：采用“三局两胜”制，即累计先胜两局的队最终获胜；方案二：采用“五局三胜”制，即累计先胜三局的队最终获胜． (1)当时，采用方案一还是方案二对乙更有利（不用说明理由），并求该方案下乙队最终获胜的概率； (2)当时，若比赛采用方案二． （ⅰ）求在甲队最终获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率； （ⅱ）若比赛结果为或者时，胜方得3分，负方得0分，比赛结果为时，胜方得2分，负方得1分，求甲队本次比赛的得分的分布列及均值． 【分析】（1）本小问考查二项分布.分别计算方案一、二乙队获胜概率，比较大小确定对乙更有利的方案. （2）（ⅰ）用条件概率公式，先算甲队四局胜与最终胜的概率，再求条件概率. （ⅱ）确定得分的所有可能取值，得到分布列，再求均值. 【详解】（1）采用方案一对乙更有利. 当时，乙队每局获胜的概率为：． 方案一：（乙队最终获胜）． 方案二：（乙队最终获胜）. ，方案一对乙更有利，所以乙队最终获胜的概率为． 对比可知采用方案一，乙队最终获胜概率较大． （2）（ⅰ）记“甲队最终获胜”为事件，“比赛恰好进行了四局”为事件． 三局甲队最终获胜的概率为：． 四局甲队最终获胜的概率为：． 五局甲队最终获胜的概率为：． ∴甲队最终获胜的概率 ∵甲队最终获胜且比赛恰好进行了四局的概率 ∴在甲队最终获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率：； （ⅱ）的可能取值为0，1，2，3． ， ， ， . ∴的分布列为： 0 1 2 3 ∴. 甲队本次比赛得分的均值为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $