7.4.1 二项分布（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教A版）

7.4　二项分布与超几何分布 7.4.1　二项分布 基础过关练 题组一　n重伯努利试验 1.下列说法正确的是(　　) A.n重伯努利试验的每次试验结果可以多于两种 B.n重伯努利试验的各次试验结果可以不独立 C.n重伯努利试验中,每次试验“成功”的概率可以不同 D.一次伯努利试验中,事件A发生的次数X服从两点分布 2.(多选题)下列试验不是n重伯努利试验的是(　　) A.依次投掷四枚质地不同的硬币 B.某人射击,击中目标的概率是稳定的,他连续射击了10次 C.口袋中装有5个白球,3个红球,2个黑球,依次从中抽取5个球 D.小明做10道难度不同的数学单选题 题组二　二项分布的概率及分布列 3.(2025河南南阳期末)袋中有5个白球,3个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了ξ次球,则P(ξ=12)=(　　) A. C. 4.(2025广东深圳大学附属中学月考)数轴上一个质点在随机外力的作用下,从原点0出发,每隔1秒向左或向右移动一个单位,已知向右移动的概率为,向左移动的概率为,共移动8次,则质点位于-2的位置的概率是(　　) A. C. 5.(2025湖南新高考教学教研联盟联考)甲、乙、丙、丁四人同时对一目标进行射击,四人击中目标的概率都为,目标被一人击中不会摧毁,目标被两人击中而摧毁的概率为,目标被三人击中而摧毁的概率为,若四人都击中目标肯定被摧毁,则目标被摧毁的概率为(　　) A. 6.(2025江苏丹阳马相伯高级中学质量检测)设随机变量X~B(2,p),且P(X=0)=,则p=　　　　.  7.(2025四川眉山仁寿新科高级中学期中)某人投篮命中的概率为0.3,则投篮15次,最有可能命中　　　　次.  8.(2025安徽五校联考)某公司升级了智能客服系统,在测试时,当输入的问题表达清晰时,智能客服的回答被采纳的概率为,当输入的问题表达不清晰时,智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. (1)求智能客服的回答被采纳的概率; (2)在某次测试中输入了3个问题(3个问题相互独立),设X表示智能客服的回答被采纳的次数,求X的分布列. 9.(2025河北衡水第二中学调研)某工厂购进一批加工设备,由于该设备自动模式运行不稳定,因此一个工作时段内会有的概率出现自动运行故障,此时需要1名维护人员立刻将设备切换至手动操控模式,并持续人工操作至此工作时段结束,期间该人员无法对其他设备进行维护.工厂在每个工作时段开始时将所有设备调至自动模式,若设备的自动模式出现故障而得不到人员的维护,则该设备将停止运行,且每台设备运行的状态相互独立. (1)若安排1名人员负责维护3台设备,求这3台设备能顺利运行至工作时段结束的概率; (2)设该工厂有甲、乙两个相互独立的车间.甲车间有6台设备和2名维护人员,将6台设备平均分配给2人,每名维护人员只负责维护分配给自己的3台设备;乙车间有7台设备和2名维护人员,7台设备由这2人共同负责维护.若用车间所有设备顺利运行至工作时段结束的概率来衡量生产的稳定性,试比较两个车间稳定性的高低. 题组三　二项分布的期望与方差 10.(2025安徽阜阳期末)已知离散型随机变量X~B,则下列选项正确的是(　　) A.E(X)=2　　　　B.E(2X+1)=2 C.D(X)= 11.(2025江苏无锡宜兴期中)已知随机变量X~B(n,p),且E(X)=3,D(X)=,则P(X=4)=(　　) A. 12.(2025山东济南期末)甲同学参加综合素质测试,该测试共有6个项目.已知甲同学每个项目合格的概率均为p(0<p<1),合格得3分,不合格扣2分,且各项目是否合格相互独立.设6个项目测试完后甲的总得分为Y,期望为E(Y),方差为D(Y),当E(Y)+D(Y)最大时,p=　　　　.  13.(2025河南焦作二模)甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率是,乙每次击中目标的概率是,假设两人是否击中目标相互之间没有影响. (1)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率; (2)设甲击中目标的次数为X,求X的分布列、期望及方差. 能力提升练 题组一　二项分布的概率与分布列 1.甲、乙两人玩掷骰子游戏,每局两人各随机掷一次骰子,当两人的点数之差为偶数时,视为平局,当两人的点数之差为奇数时,谁的骰子点数大该局谁胜.重复上面的步骤,游戏进行到一方比另一方多胜2局或平局4次时停止,记游戏停止时局数为X,则P(X=4)=(　　) A. 2.(2025山东东明第一中学月考)下图是一块高尔顿板示意图,在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉,小木钉之间留有适当的空隙作为通道,将小球从顶端放入,小球在下落过程中,每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下,最后落入底部的格子中,格子从左到右分别编号为1,2,3,…,6,用X表示小球落入格子的号码,假定底部6个格子足够长,投入160粒小球,则落入3号格子的小球粒数大约是(　　) A.30　　　　B.40 C.50　　　　D.60 3.(2025山东部分学校教学质量检测)小王、小张两人进行象棋比赛,共比赛2n(n∈N*)局,且每局小王获胜的概率和小张获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人,则此人赢得比赛.记小王赢得比赛的概率为P(n),则下列结论错误的是(　　) A.P(1)=　　B.P(2)=P(1) C.P(n)<　　　　D.P(n)随着n的增大而增大 4.(2025山东齐鲁名校联考)我们把鱼在水中聚集的比较密的地方叫做鱼窝.某人在一湖中用粘网(也叫挂网)捕鱼,如果找到鱼窝下网,那么捕到鱼的概率为90%;如果找不到鱼窝下网,那么捕到鱼的概率为60%.若这个人能够找到鱼窝的概率为50%. (1)求此人能捕到鱼的概率; (2)此人连续下网n(n>5)次,每次下网捕鱼之间相互独立,若能捕到鱼的次数为ξ,则n为何值时,P(ξ=6)最大? 题组二　二项分布的期望与方差 5.(2025山东潍坊第一中学质量检测)某次考试共有12个选择题,每个选择题的分值为5分,每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的,A学生对12个选择题中每个题的四个选项都没有把握,最后选择题的得分为X分,B学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的,对其他三个选项都没有把握,最后选择题的得分为Y分,则D(Y)-D(X)的值为(　　) A. 6.(2025湖北新高考联考协作体开学考试)小明有一枚质地不均匀的骰子,每次掷出后出现1点的概率为p(0<p<1),他掷了k次骰子,最终有6次出现1点,但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X表示每掷N次骰子出现1点的次数,现以使P(X=6)最大的N值估计N的取值并计算E(X)(若有多个N使P(X=6)最大,则取其中的最小N值).下列说法正确的是(　　) A.E(X)>6　　B.E(X)<6 C.E(X)=6　　　　D.E(X)与6的大小无法确定 7.(2025江苏苏州期初)某校在校庆期间举办羽毛球比赛,某班派出甲、乙两名单打主力,为了提高两位主力的能力,体育老师安排了为期一周的对抗训练,比赛规则如下:甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局,当两人获胜局数不少于3时,认为这轮训练过关;否则不过关.若甲、乙两人每局获胜的概率分别为p1,p2,且满足p1+p2=,每局之间相互独立.记甲、乙两人在n轮训练中训练过关的轮数为X,若E(X)=16,则从期望的角度来看,甲、乙两人训练的轮数至少为(　　) A.27　　　　B.24　　　　C.32　　　　D.28 8.(2025福建泉州四校联盟期末)某商场设置了两种促销方案:方案一,直接赠送消费金额5%的代金券(例如:消费200元,则赠送200×5%=10元的代金券);方案二,消费每满100元可进行一次抽奖(例如:消费370元可进行三次抽奖),每次抽奖抽到10元代金券的概率为p(0<p<1),抽到4元代金券的概率为1-p,每次抽奖结果互不影响.每人只能选择一种方案. (1)若甲的消费金额为210元,他选择方案二且抽到14元代金券的概率为,求p; (2)若乙消费了一定的金额并选择方案二,设他抽到的代金券总额为X元,当E(X)+D(X)最大时,求p; (3)若p=,请你根据顾客消费金额(消费金额大于0)的不同,以代金券的数学期望为决策依据,帮助顾客选择方案. 9.(2024山东菏泽第一中学开学考试)某学校组织A,B,C,D,E五位同学参加某大学的测试活动,现有甲、乙两种不同的测试方案,每位同学随机选择其中一种方案进行测试,选择甲方案测试合格的概率为,选择乙方案测试合格的概率为,且每位同学测试的结果互不影响. (1)若5位同学均选择甲方案测试,将测试合格的同学的人数记为X,求X的分布列及其方差; (2)若测试合格的人数的期望不小于3,求选择甲方案进行测试的同学的可能人数. 答案与分层梯度式解析 7.4　二项分布与超几何分布 7.4.1　二项分布 基础过关练 1.D 2.ACD 3.B 4.D 5.C 10.D 11.D 1.D　n重伯努利试验的每次试验只有两个相互独立的结果,因此A,B错误;n重伯努利试验中,每次试验“成功”的概率相同,因此C错误;易知D正确. 2.ACD　对于A,试验的条件不同(硬币质地不同),所以不是n重伯努利试验. 对于B,某人射击,击中目标的概率是稳定的,所以是n重伯努利试验. 对于C,每次抽取,每种颜色出现的可能性不相等,所以不是n重伯努利试验. 对于D,10道题难度不同,每道题做对的概率也不同,所以不是n重伯努利试验. 3.B　当ξ=12时,表示前11次中取到9次红球,第12次取到红球,所以P(ξ=12)=. 4.D　设此质点向左移动的次数为X,则X~B,易知质点从0移动到-2,需向右移动3次,向左移动5次,故所求概率为P(X=5)=. 5.C　设击中次数为X,则X~B,所以P(X=2)=, 所以目标被摧毁的概率P=. 6.答案　 解析　因为X~B(2,p),所以P(X=k)=pk(1-p)2-k,k=0,1,2, 则P(X=0)=,解得p=或p=(舍去). 7.答案　4 解析　设投篮命中的次数为X,则X~B(15,0.3), 所以P(X=k)=·0.3k·0.715-k,k=0,1,2,…,15. 设最有可能命中m次,则 即 解得3.8≤m≤4.8, 又m∈Z,所以m=4,所以最有可能命中4次. 8.解析　(1)设A=“智能客服的回答被采纳”,B=“输入的问题表达不清晰”, 则P(B)=, 因此P(A)=P(B)P(A|B)+P(, 所以智能客服的回答被采纳的概率为. (2)由题意得X的可能取值为0,1,2,3,且X~B, P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)=, P(X=3)=, 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 9.解析　(1)设3台设备自动模式不出故障的台数为ξ,则ξ~B. 记“1名人员维护3台设备能顺利运行至工作时段结束”为事件A, 则P(A)=P(ξ=3)+P(ξ=2)=. (2)甲车间分得的两个小组相互对立,由(1)知每个小组能保证设备顺利运行至工作时段结束的概率为,记“甲车间设备顺利运行至工作时段结束”为事件B,则P(B)=. 设乙车间7台设备自动模式不出故障的台数为η,则η~B, 记“乙车间设备顺利运行至工作时段结束”为事件C, 则P(C)=P(η=7)+P(η=6)+P(η=5)=. ∵<1,∴P(B)<P(C),故乙车间生产稳定性更高. 10.D　因为X~B,所以E(X)=np=3×,故A,C错误; E(2X+1)=2E(X)+1=2×1+1=3,D(2X+1)=22D(X)=4×,故B错误,D正确. 11.D　因为X~B(n,p),且E(X)=3,D(X)=, 所以解得则X~B, 所以P(X=4)=. 12.答案　 解析　设合格项目的个数为X,则X~B(6,p),所以E(X)=6p,D(X)=6p(1-p), 因为每个项目合格得3分,不合格扣2分,所以Y=3X-2(6-X)=5X-12, 则E(Y)=5E(X)-12=30p-12,D(Y)=25D(X)=150p(1-p), 所以E(Y)+D(Y)=-150p2+180p-12=-150+42, 因为0<p<1,所以当p=时,E(Y)+D(Y)取得最大值42. 13.解析　(1)设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A,甲击中目标2次且乙击中目标0次为事件B1,甲击中目标3次且乙击中目标1次为事件B2, 则P(A)=P(B1)+P(B2)=, 所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为. (2)由题可知X的可能取值为0,1,2,3,且X~B, P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)=, P(X=3)=, 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)=3×. 能力提升练 1.D 2.C 3.B 5.A 6.B 7.A 1.D　甲、乙每次掷骰子1次,若两人的点数都是偶数或都是奇数,则平局,所以平局的概率为. 设甲掷出的点数为x,乙掷出的点数为y,则比赛结果可用(x,y)表示, 若甲胜,则结果有(2,1),(3,2),(4,1),(4,3),(5,2),(5,4),(6,1),(6,3),(6,5),共9种,所以甲胜的概率为,同理可得乙胜的概率也为. 停止游戏时局数为4包含以下几种情况:4次全平局,其概率为; 平局2次,则另外2次甲全胜或乙全胜,且最后1次不能是平局,其概率为, 平局0次,则一方3胜1负,且负的1次只能在前2次中,其概率为, 所以P(X=4)=. 方法总结 比赛型问题是一类常见的概率问题,对于此类问题,要注意仔细研究比赛规则,然后从最后一局开始分析,看最后一局的胜负能否确定,再分析前几局比赛的胜负情况. 2.C　设事件A=“向右下落”,则事件=“向左下落”,且P(A)=P(. 设事件A发生的次数为Y,则Y=X-1.(关键点) 因为小球下落过程中共碰撞5次,所以Y~B, 所以P(Y=k)=P(X=k+1)=·(k=0,1,2,3,4,5), 所以P(X=3)=, 故投入160粒小球,落入3号格子的小球大约有160×=50粒. 3.B　要使小王赢得比赛,则小王至少赢(n+1)局, 因为小王每局获胜的概率是相同的,所以小王获胜的局数服从二项分布, 则赢(n+1)局的概率P1=, 赢(n+2)局的概率P2=, …… 赢2n局的概率Pn=, 所以小王赢得比赛的概率P(n)=(+…++…+2+…++…+ =(22n-, 则P(1)=,P(2)≠P(1),P(n)<,故A,C中结论正确,B中结论错误; P(n+1)-P(n)=, 由4>0, 可得P(n+1)>P(n),故D中结论正确. 4.解析　(1)记事件A为“此人能捕到鱼”,事件B为“此人能找到鱼窝”, 则P(A|B)=0.9,P(A|)=0.5, ∴P(A)=P(B)P(A|B)+P()=0.5×0.9+0.5×0.6=0.75. (2)由(1)知ξ~B(n,0.75),∴P(ξ=k)=×0.75k×0.25n-k,k=0,1,2,…,n, 令 解得≤k≤, 若P(ξ=6)最大,则解得7≤n≤, 又n>5且n∈N*,∴n=7或n=8, 故当n=7或n=8时,P(ξ=6)最大. 5.A　设A学生答对题的个数为ξ,则ξ~B,X=5ξ,所以D(ξ)=12×,则D(X)=25×. 设B学生答对题的个数为η,则η~B,Y=5η,所以D(η)=12×,则D(Y)=25×. 所以D(Y)-D(X)=. 6.B　由题意可得X~B(N,p),则P(X=k)=pk(1-p)N-k,k=0,1,2,…,N, 若P(X=6)最大,则 解得-1≤N≤. 当为整数时,N=-1,则E(X)=p=6-p<6; 当不为整数时,N<,则E(X)=Np<6. 综上,E(X)<6. 7.A　不妨设每轮训练过关的概率为p, 则p=p1p2, 易得0<p1p2≤,当且仅当p1=p2=时,等号成立, 易知函数y=-3x2+x的图象开口向下,对称轴方程为x=,所以当x=时,y取最大值, 所以0<-3p1p2≤-3×, 因为每局之间相互独立,所以X~B(n,p), 因此E(X)=np=n-3p1p2=16, 故n=≥=27, 则甲、乙两人训练的轮数至少为27. 8.解析　(1)甲的消费金额为210元,选择方案二可进行两次抽奖,则抽到14元代金券的概率为2p(1-p)=,解得p=或p=. (2)设抽奖次数为n(n∈N*),抽到10元代金券的次数为Y,则Y~B(n,p), 所以E(Y)=np,D(Y)=np(1-p). 由题意可得X=10Y+4(n-Y)=6Y+4n, 所以E(X)=6E(Y)+4n=6np+4n,D(X)=36D(Y)=36np(1-p), 所以E(X)+D(X)=6np+4n+36np(1-p)=n(-36p2+42p+4), 当p=-时,E(X)+D(X)取得最大值,所以p=. (3)当消费金额(单位:元)在(0,100)内时,不能参与方案二,只能选择方案一. 由(2)可得,当p=时,E(X)=6n×+4n=6n. 设消费金额(单位:元)为100n+k(n∈N*,0≤k<100), 则方案一的代金券的数学期望为5n+0.05k. 令6n>5n+0.05k,则n>0.05k, 当n=1时,0≤k<20;当n=2时,0≤k<40;当n=3时,0≤k<60;当n=4时,0≤k<80;当n≥5时,n>0.05k恒成立,故当消费金额(单位:元)在[100,120)或[200,240)或[300,360)或[400,480)或[500,+∞)内时,选择方案二. 同理可得当消费金额(单位:元)为120或240或360或480时,选择方案一、方案二都可以. 当消费金额(单位:元)在(120,200)或(240,300)或(360,400)或(480,500)内时,选择方案一. 综上,当消费金额(单位:元)在(0,100)或(120,200)或(240,300)或(360,400)或(480,500)内时,选择方案一; 当消费金额(单位:元)在[100,120)或[200,240)或[300,360)或[400,480)或[500,+∞)内时,选择方案二; 当消费金额(单位:元)为120或240或360或480时,选择方案一、方案二都可以. 9.解析　(1)由题意得X~B, P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)=, P(X=3)=, P(X=4)=, P(X=5)=. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P 方差为D(X)=5×. (2)设通过甲方案测试合格的同学人数为ξ,通过乙方案测试合格的同学人数为η,选择甲方案测试的同学人数为n,则选择乙方案测试的同学人数为5-n, 当n=0时,所有同学均选择乙方案测试,则η~B,所以E(ξ+η)=E(η)=5×<3,与题意不符; 当n=5时,所有同学均选择甲方案测试,则ξ~B,所以E(ξ+η)=E(ξ)=5×>3,符合题意; 当n=1,2,3,4时,ξ~B,所以E(ξ+η)=E(ξ)+E(η)=,令≥3,解得n≥3,所以n=3或n=4时,符合题意. 综上,当选择甲方案进行测试的同学的人数为3或4或5时,测试合格的人数的期望不小于3. 21 学科网（北京）股份有限公司 $