精品解析：福建厦门市同安实验中学2025-2026学年高二年级第二学期期中质量检测数学试题

厦门市同安实验中学2025—2026学年第二学期高二年级期中质量检测 数学试题 （满分：150分考试时间：120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 是等比数列，且，，则（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 32 2. 甲、乙两人各抛掷质地均匀的骰子一次.已知甲掷出的点数是3，则甲掷出的点数大于乙掷出的点数的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的图象与轴相交于点，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 由0，1，2，3，5组成的无重复数字的4位数共有（ ） A. 24个 B. 72个 C. 96个 D. 120个 5. 已知直线与圆 相切，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知的展开式中第2项与第6项二项式系数相等，则的系数为（ ） A. 12 B. -20 C. -16 D. -12 7. 某游客计划3天内游览完A，B，C，D，E这5个景点，每天至多游览2个景点，且A，B两个景点不安排在同一天游览，则不同的安排方案种数为（ ） A. 36 B. 72 C. 90 D. 144 8. 如图，将椭圆的长轴分成5等份，过每个分点作轴的垂线，交椭圆的上半部分于四点，是椭圆的一个焦点．若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2025年入冬以来流感高发，某医院统计了一周中连续5天的流感就诊人数y与第天的数据如表所示. 1 2 3 4 5 21 95 109 根据表中数据可知x，y具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为，则以下说法正确的是（ ） A. 该样本相关系数在内 B. C. 当时，残差为-5 D. 第6天到该医院的流感就诊人数预测值为130 10. 已知，为随机事件，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，互斥，则 B. 若，相互独立，则 C. 若，相互独立，则 D. 若，则 11. 已知函数，则（ ） A. 是函数的极小值点 B. C. 对，方程恒有两个不同的实数解 D. 存在，使得直线与曲线相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则________. 13. 已知为抛物线的焦点，为上一点，若的面积为（为坐标原点），则___________． 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记次传球后球在甲手中的概率为，则_______，_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某年举办的福建省城市足球联赛（简称“闽超”）深受广大市民的喜爱，66个场次累计123万人次现场观看了比赛.为了解喜欢观看“闽超”联赛与性别是否有关系，随机抽取了部分市民，调查他们是否喜欢观看“闽超”联赛的情况，得到如下表格： 性别 不喜欢观看“闽超”联赛 喜欢观看“闽超”联赛 男性 40 140 女性 50 70 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢观看“闽超”联赛与性别有关； （2）用频率估计概率，从喜欢观看“闽超”联赛的市民中随机抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为X，求X的分布列和数学期望. 附：，（结果精确到0.001）. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知等差数列中的前项和为，且，，成等比数列，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列为递增数列，记，求数列的前100项的和. 17. 如图，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为上一点，边长为的正方形内接于，设平面与平面的交线为直线，点Q为直线上一点. （1）证明：； （2）若平面，当直线与平面所成角的正弦值为时，求的长. 18. 高中生坚持跑操有利于增强体质．某高中实践活动小组经过调查所在学校学生坚持跑操的次数与综合体测成绩等信息，得到如下数据：该学校有的学生每月平均坚持跑操的次数超过40次，这些学生中，综合体测成绩达到“及格”等级的概率为，而每月平均坚持跑操的次数不超过40次的学生的综合体测成绩达到“及格”等级的概率为． （1）若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率； （2）已知该实践活动小组的6名学生中有4名学生综合体测成绩达到“及格”等级，从这6名学生中抽取2名学生，记为抽取的这2名学生中综合体测成绩达到“及格”等级的人数，求随机变量的分布列和数学期望． （3）经统计：该校学生综合体测得分近似服从正态分布，若得分，则综合体测成绩达到“优秀”等级，假设学生之间综合体测成绩相互独立．现从该校所有学生中抽取40名学生，记为这40名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求的数学期望及方差．（结果四舍五入保留整数） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，， 19. 记，为的导函数.若对，，则称函数为上的“凹函数”. （1）请判断在定义域上是否为凹函数，并说明理由； （2）设函数. （i）若为上的凹函数，求实数的取值范围； （ii）若在上有极值，求的最小整数值. （参考数据：，，，，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市同安实验中学2025—2026学年第二学期高二年级期中质量检测 数学试题 （满分：150分考试时间：120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 是等比数列，且，，则（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 32 【答案】D 【解析】 【详解】设等比数列的公比为，由，， 得，所以. 2. 甲、乙两人各抛掷质地均匀的骰子一次.已知甲掷出的点数是3，则甲掷出的点数大于乙掷出的点数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列举出满足题意的情况，根据古典概型的概率公式求解即可. 【详解】乙抛掷质地均匀的骰子一次，有6种基本情况：， 由题意，甲掷出的点数是3，甲掷出的点数大于乙掷出的点数， 则满足要求的乙的基本情况有， 所以甲掷出的点数大于乙掷出的点数的概率为. 故选：C. 3. 已知函数的图象与轴相交于点，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据切点处切线斜率与导数之间的关系求解. 【详解】因为函数的图象与轴相交于点， 所以令，得，即点的坐标为， 又因为，所以， 所以切线方程为：，即． 故选：B. 4. 由0，1，2，3，5组成的无重复数字的4位数共有（ ） A. 24个 B. 72个 C. 96个 D. 120个 【答案】C 【解析】 【分析】分这个4位数含0和不含0两种情况讨论即可. 【详解】若组成的4位数不含0，则有个； 若组成的4位数含0，因为0不能在首位，所以首位有种排法，后面的三位有种排法，所以含0的4位数有个. 所以由0，1，2，3，5组成的无重复数字的4位数共有：个. 故选：C 5. 已知直线与圆 相切，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线和圆相切，由圆心到直线距离等于半径列方程可得结果. 【详解】将圆化为标准方程， 可得圆心，半径， 依题意可知圆心到直线的距离为， 又，解得. 故选：D 6. 已知的展开式中第2项与第6项二项式系数相等，则的系数为（ ） A. 12 B. -20 C. -16 D. -12 【答案】D 【解析】 【分析】先应用二项式系数相等得出，再应用通项公式计算求值. 【详解】∵第2项和第6项的二项式系数相等，∴，则， 则展开式通项公式是， 令，得，∴的系数为， 7. 某游客计划3天内游览完A，B，C，D，E这5个景点，每天至多游览2个景点，且A，B两个景点不安排在同一天游览，则不同的安排方案种数为（ ） A. 36 B. 72 C. 90 D. 144 【答案】B 【解析】 【分析】先算5个景点3天游览的总方案数，再算、同天的方案数，用总方案数减、同天的方案数，最终得出结果. 【详解】5个景点分到3天，每天至多2个景点，因此分组只能是2，2，1， 所以，又因为， 所以总方案数， 若A、B安排在同一天：共分组方式， 又因为三个组分配到3天，共种排列， 因此A、B同天的方案数， 所以，即不同的安排方案种数为72. 8. 如图，将椭圆的长轴分成5等份，过每个分点作轴的垂线，交椭圆的上半部分于四点，是椭圆的一个焦点．若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义及图形的对称性可得. 【详解】如图，取椭圆的另一个焦点为.由椭圆的对称性可知，与关于轴对称， 所以，则； 同理可得. 则，即，. 所以椭圆的离心率为. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2025年入冬以来流感高发，某医院统计了一周中连续5天的流感就诊人数y与第天的数据如表所示. 1 2 3 4 5 21 95 109 根据表中数据可知x，y具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为，则以下说法正确的是（ ） A. 该样本相关系数在内 B. C. 当时，残差为-5 D. 第6天到该医院的流感就诊人数预测值为130 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A：经验回归方程，则正相关，即.又有相关系数，所以.故A正确； 对于B:由题意可得， 经验回归方程过样本中心点， ，解得.故B正确； 对于C：结合B选项，当时，预测值，表中可知真实值 ，残差=真实值-预测值 ，故C错误； 对于D：第6天即，代入回归方程：，所以预测值为130,故D正确. 10. 已知，为随机事件，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，互斥，则 B. 若，相互独立，则 C. 若，相互独立，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概率公式以及条件概率公式逐个计算，分别对每个选项进行分析判断. 【详解】对于选项，若，互斥，根据互斥事件的概率加法公式. 已知，，则，所以选项正确. 对于选项，若，相互独立，则与也相互独立. 因为，所以，所以选项错误. 对于选项，若，相互独立，则. 根据概率的加法公式，将，，代入可得： ，所以选项正确. 对于选项，已知，，则. ，. 根据条件概率公式，所以选项正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，则（ ） A. 是函数的极小值点 B. C. 对，方程恒有两个不同的实数解 D. 存在，使得直线与曲线相切 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A选项，利用导数即可求出极小值；对于B，根据在上单调递增，可得，代入化简即可判断；对于C选项，将问题转化为与有两个交点即可；对于D，设切点为，则切线方程为：，将点，代入化简得：，令，利用导数研究函数的取值范围即可判断D选项． 【详解】函数​的定义域为，且， 令，解得 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增； 则是函数的极小值点，故A 正确； 对于B，由于当时，单调递增，所以，则， 即，所以，故B不正确； 对于C，的极小值为， 当时，，，当时，， 结合图像可知对，方程恒有两个不同解成立，故C正确； 对于D，设切点为，切线斜率为， 切线方程为：， 因为切线过，代入得： 化简得：， 整理得：，即， 令，， 则，所以在和上单调递增， 所以当时，，当时，， 则当时，无解， 即不存在，使得直线与曲线相切，故D不正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则________. 【答案】0.3## 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性求出概率. 【详解】由随机变量服从正态分布，且， 得. 故答案为：0.3 13. 已知为抛物线的焦点，为上一点，若的面积为（为坐标原点），则___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先得到焦点坐标与准线方程，根据的面积求出，从而求出，再由焦半径公式计算可得. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，则， 所以，则，所以， 所以. 故答案为： 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记次传球后球在甲手中的概率为，则_______，_______. 【答案】 ①. ##0.5 ②. ##0.3125 【解析】 【分析】得到的关系式，结合数列知识进行求解 【详解】由题意得，时，，即， 设，故， 所以，其中， 即是首项为，公比为的等比数列， 故，， ，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某年举办的福建省城市足球联赛（简称“闽超”）深受广大市民的喜爱，66个场次累计123万人次现场观看了比赛.为了解喜欢观看“闽超”联赛与性别是否有关系，随机抽取了部分市民，调查他们是否喜欢观看“闽超”联赛的情况，得到如下表格： 性别 不喜欢观看“闽超”联赛 喜欢观看“闽超”联赛 男性 40 140 女性 50 70 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢观看“闽超”联赛与性别有关； （2）用频率估计概率，从喜欢观看“闽超”联赛的市民中随机抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为X，求X的分布列和数学期望. 附：，（结果精确到0.001）. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）能 （2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）先根据题意完善列联表，然后计算，然后进行判断即可. （2）根据题意可知女性数服从二项分布，然后列出分布列，求出期望. 【小问1详解】 由题意得列联表如下： 性别 不喜欢 喜欢 合计 男性 40 140 180 女性 50 70 120 合计 90 210 300 零假设：喜欢观看“闽超”联赛与性别无关. . 在小概率值的独立性检验下，零假设不成立， 即能认为喜欢观看“闽超”联赛与性别有关. 【小问2详解】 由题意可知，从喜欢观看“闽超”联赛的市民中随机抽取1人，抽到女性的概率， 可取，则. ，， ，， 分布列如下 根据二项分布期望公式得. 16. 已知等差数列中的前项和为，且，，成等比数列，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列为递增数列，记，求数列的前100项的和. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出关于和的方程组求解出和，然后写出的通项公式. （2）先根据题目条件求出，然后写出数列的通项公式，再利用并项求和法求出. 【小问1详解】 记等差数列的公差为， 成等比数列， ，即， 整理得. 又，即，联立解得或. 当，此时；当，此时. 【小问2详解】 由（1）以及数列为递增数列可得. ，. . 17. 如图，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为上一点，边长为的正方形内接于，设平面与平面的交线为直线，点Q为直线上一点. （1）证明：； （2）若平面，当直线与平面所成角的正弦值为时，求的长. 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）先证明面，再根据线面平行的性质即可得证. （2）建立空间直角坐标系，设出的长度，写出点的坐标，然后计算和平面的法向量，然后利用直线与平面所成角的正弦值为，列出方程求解. 【小问1详解】 是正方形，， 又平面，平面，平面. 又平面平面，平面，. 【小问2详解】 如图所示，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. 是直线上的一点，设，则，，，. ，，. 记平面的法向量为. ，令，则. ，. 记直线与平面所成的角为，由题意可得： . 整理得，解得或. 即或. 18. 高中生坚持跑操有利于增强体质．某高中实践活动小组经过调查所在学校学生坚持跑操的次数与综合体测成绩等信息，得到如下数据：该学校有的学生每月平均坚持跑操的次数超过40次，这些学生中，综合体测成绩达到“及格”等级的概率为，而每月平均坚持跑操的次数不超过40次的学生的综合体测成绩达到“及格”等级的概率为． （1）若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率； （2）已知该实践活动小组的6名学生中有4名学生综合体测成绩达到“及格”等级，从这6名学生中抽取2名学生，记为抽取的这2名学生中综合体测成绩达到“及格”等级的人数，求随机变量的分布列和数学期望． （3）经统计：该校学生综合体测得分近似服从正态分布，若得分，则综合体测成绩达到“优秀”等级，假设学生之间综合体测成绩相互独立．现从该校所有学生中抽取40名学生，记为这40名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求的数学期望及方差．（结果四舍五入保留整数） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，， 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）数学期望为6，方差为5 【解析】 【分析】（1）设出事件，利用全概率公式计算；（2）利用超几何分布求分布列，利用期望定义计算期望；（3）利用正态分布求得 ，得到，然后利用二项分布的期望公式和方差公式计算. 【18题详解】 事件“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数超过40次”， 则“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数不超过40次”， 事件“抽取1名学生综合体测成绩达到“及格”等级”  ， 由全概率公式：  ， ∴从该学校任意抽取一名学生，该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率为； 【19题详解】 的可能取值为0，1，2  ， ， ，， ∴的分布列为： 0 1 2 ； 【20题详解】 由题意得，， ， ，， ∴的数学期望为6，方差为5. 19. 记，为的导函数.若对，，则称函数为上的“凹函数”. （1）请判断在定义域上是否为凹函数，并说明理由； （2）设函数. （i）若为上的凹函数，求实数的取值范围； （ii）若在上有极值，求的最小整数值. （参考数据：，，，，） 【答案】（1）是凹函数，理由见解析 （2）（i）；（ii）2 【解析】 【分析】（1）利用凹函数的定义即可求解； （2）（i）利用凹函数的定义可得在上恒成立，可得在上恒成立，应用最小值解可得的取值范围. （ii）根据题意，转化为在上有解，令，利用导数求得，由零点存在定理知，，求得，即可求解. 【小问1详解】 在定义域上是凹函数. 理由如下： ，定义域， ，， ，， 在定义域上是凹函数. 【小问2详解】 （i）由，得，， 由于函数为上的凹函数，故， 即， 令，则， 当时，；故在上单调递增， 故， 故，所以， 故的取值范围为； （ii）由，得， 函数在上有极值，即在上有变号零点， 即在上有解， 令，，， 令，则，， ，在上单调递增， ，， 故存在，使得， 即在上单调递减，在上单调递增， 又，，，故存在，使得，且时，，时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 由于，， 故，， 又， ， 由零点存在定理知，. 设，因为在上单调递减，且 ，，故. 因为，则 又，的最小值为2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $