福建省厦门市同安实验中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

2023-2024福建省厦门市同实高二下学期期中考数学试卷 一．选择题 1.   的展开式中, 常数项为 ( ) A．4 B．-4 C．6 D．-6 【答案】B 【解析】   　　令 　　则系数为 2.  已知，，且，则x的值为（       ） A． B． C．6 D．－6 【答案】D 【解析】  空间中两向量平行，其对应坐标成比例，故可求之. 　　因为，所以，解得. 　　故选：D. 3.  某学校要从名男生和名女生中选出人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望 （       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】  分析可知的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可求得的值. 　　由题意可知，随机变量的可能取值有、、， 　　且，，， 　　因此，. 　　故选：B. 4.  学校计划于4月份其中一周的周一至周五这五天内组织高一、高二、高三年级的同学进行春季研学活动，每天只能有一个年级参加，其中高一年级需要连续两天，高二、高三年级各需要一天，则不同的安排方案有（       ） A．18种 B．24种 C．30种 D．32种 【答案】B 【解析】  本题属于排列中的特殊元素/位置题型，做题时优先满足高一年级“连续两天”的要求，有4种选择；再从剩下的三天中选择两天安排其他两个年级有序排入，采用分步乘法进行计算. 　　高一年级可以从周一和周二、周二和周三、周三和周四、周四和周五中选择两天去参观，共4种选择； 　　再从剩下的三天里安排高二、高三年级，有种安排方法； 　　根据分步乘法计数原理，不同的方案有种. 　　故选:B 5.  针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若我们推断不成立，此推断犯错误率不超过，则的最小值为（    ） 　　附：，附表： 0.05 0.01 3.841 6.635 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解析】  由已知数据计算，根据独立性检验的结论，列不等式求的取值范围，得最小值. 　　根据题意，不妨设， 　　于是， 　　由于依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立， 　　根据表格可知，解得，于是最小值为. 　　故选：C 6.  已知是椭圆的左､右焦点，经过的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】  根据椭圆定义求出，根据边长确定，进而求出，即可求解椭圆离心率. 　　 　　由题意结合椭圆定义可知：的周长为，， 　　又因为， 　　所以，又由，知， 　　故，因此椭圆的离心率为. 　　故选：A 7.  英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】  设出事件，利用条件概率和全概率公式得到，使用贝叶斯公式得到答案. 　　设检验结果呈现阳性为事件，此人患病为事件， 　　， 　　　　， 　　则. 　　故选：C 8.  已知定义在 上的可导函数 的导函数为 , 满足 , 且 为偶函数, , 则不等式 的解集为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】  解: 设 则 , 　　∵. 所以函数 是 上的减函数, 　　∵ 函数 是偶函数, 　　∴函数 函数关于 对称, 　　 　　原不等式等价为 , 不等式 等价 , 在 上单调递减, ∴. 　　故选: . 二．多选题 9.  下列关于概率统计的说法中正确的是（       ） A．某人在10次答题中，答对题数为，则答对7题的概率最大 B．设随机变量服从正态分布，若，则 C．已知回归直线方程为，若样本中心为，则 D．两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱 【答案】AC 【解析】  对于A，可利用不等式法求解；对于B，根据正态分布曲线的对称性即可验算；对于C，将样本中心坐标代入回归方程即可验算；对于D，由相关系数的意义即可判断. 　　对于，故， 　　令，解得，故，故A正确； 　　对于，故错误； 　　对于，回归直线必过样本中心，可得，解得，故C正确； 　　对于，两个变量的相关系数为越小，与之间的相关性越弱，故D错误. 　　故选：AC. 10.  已知，则下列结论正确的是（       ） A． B． C．． D． 【答案】ABD 【解析】  根据给定条件，利用二项式定理求出展开式的各项系数，再逐项分析计算得解. 　　在中，，， 　　，，，， 　　对于A，，A正确； 　　对于B，当时，，B正确； 　　对于C，，C错误； 　　对于D，，D正确. 　　故选：ABD 11.  设函数，则（       ） A．函数的单调递减区间为． B．曲线在点处的切线方程为． C．函数既有极大值又有极小值，且极大值小于极小值． D．若方程有两个不等实根，则实数k的取值范围为 【答案】BCD 【解析】  根据导数的运算法则及初等函数的导数公式，利用导数值的定义及求过点处的切线方程的步骤，结合导数法求函数的极值的步骤及将方程有两个不等实根转化为与有两个交点，再利用数形结合即可求解. 　　对A：由题意可知的定义域为， 　　， 　　令，即，解得或， 　　当时，， 　　当时，， 　　所以在和上单调递增，在和上单调递减， 　　故A错误； 　　对B：切线斜率， 　　曲线在点处的切线方程为， 　　即，故B正确； 　　对C：当时，取得极大值为， 　　当时，取得极小值为， 　　因为，所以极大值小于极小值，故C正确； 　　对D：由上分析可作出的图象如图所示 　　 　　要使方程有两个不等实根，只需要与有两个交点， 　　由图可知，， 　　所以实数的取值范围为，故D正确. 　　故选：BCD. 　　关键点睛：解决此题的关键是利用求过点处的切线方程的方法及零点的存在性定理判断方程的根，再利用导数法求函数的极值及作出函数的大致图象，将方程有两个不等实根转化为与有两个交点即可. 三．填空题 12.  甲乙丙三位同学去电影院看电影，每人可在《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》、《周处除三害》四部电影中任选一部，则不同的选法有  种． 【答案】64 【解析】  利用分步乘法计数原理求解即可. 　　易知每个人都有四种选法，故不同的选法有种. 　　故答案为：64 13.  若双曲线 的渐近线与圆 相切, 则 【答案】 【解析】  解: 双曲线 的渐近线方程为 , 　　即 , 　　圆 化为标准形式为 , 　　其中圆心为 , 半径为 1 , 　　因为双曲线 的渐近线与圆 相切, 　　所以 , 　　解得 . 　　故答案为: . 14.  已知函数，函数，则函数的极小值点为  ；若，恒成立，则实数的取值范围为  ． 【答案】； 【解析】  利用导数分析函数的单调性，可求得该函数的极小值点；分析得出，构造函数，可知函数在上为增函数，则在上恒成立，结合参变量分离法可求得实数的取值范围. 　　因为定义域为，， 　　当时，，单调递减； 　　当时，，单调递增； 　　则当时，函数的取得极小值，即函数的极小值点为， 　　且，即， 　　因为，即，其中， 　　， 　　构造函数，当时，，则， 　　故函数在上为增函数， 　　所以，对任意的恒成立，所以，. 　　故答案为：；. 　　关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，解题的关键在于构造新函数，将问题转化为函数在上的单调性，结合导数以及参变量分离法求解. 四．解答题 15.  设数列 的前 项和为 , 若 . (1) 求 , 并证明: 数列 是等差数列; 【答案】  【解析】  解: 当 时, 由条件得 , 　　所以 , 　　当 时, 由条件得 , 所以 , 　　因为 所以 , 　　两式相减得: , 　　即 , 　　所以 , 　　故数列 为公差为 4 , 首项为 6 的等差数列; (2) 求 . 【答案】420. 【解析】  由（1）知, 时, , 　　所以 　　　　 16.  已知函数，，. (1) 求函数的单调区间； 【答案】 当 时, 在 上递增;当 时, 在 上递增, 在 递减; 【解析】  （）， 　　当时，由于，所以恒成立，从而在上递增； 　　当时，，；，， 　　从而在上递增，在递减； 　　综上，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间； 　　当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. (2) 若且恒成立，求的最小值. 【答案】. 【解析】  令，要使恒成立， 　　只要使恒成立，也只要使. 　　， 　　由于，，所以恒成立， 　　当时，，当时，， 　　所以，解得：， 　　所以的最小值为. 17.  汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素. 我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码 1 2 3 4 5 销量/万辆 10 12 17 20 26 　　  (1) 统计表明销量与年份代码有较强的线性相关关系，求关于的经验回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆； 【答案】，2028年； 【解析】  由题意得： 　　， 　　． 　　所以　　所以关于的经验回归方程为， 　　令，得， 　　所以最小的整数为， 　　所以该地区新能源汽车的销量最早在2028年能突破50万辆． (2) 某新能源汽车品牌销售商为了促销，采取“摸球定价格”的优惠方式，其规则为：盒子内装有编号为1，2，3的三个相同的小球，有放回地摸三次，三次摸到相同编号的享受七折优惠，三次中仅有两次摸到相同编号的享受八折优惠，其余情况均享受九折优惠. 已知此款新能源汽车一台标价为100000元，设小李购买此款新能源汽车的价格为，求的分布列与均值. 　　附：为经验回归方程，，. 【答案】 . 【解析】  有放回地摸球，每次摸到某个编号的概率为， 　　则三次摸到相同编号的概率为； 　　三次中仅有两次摸到相同编号的概率为； 　　三次编号都不相同的概率为. 　　得分布列： 70000 80000 90000 　　故． 18.  在直角坐标系中，已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与C交于M，N两点，且当l的斜率为1时，. (1) 求C的方程； 【答案】 【解析】  因为过F的直线l与C交于M，N两点，故直线的斜率不为0， 　　不妨设l的方程为，，， 　　联立l与C的方程，得， 　　∴，， 　　则， 　　∴由题可知当时，， 　　∴， 　　∴C的方程为. (2) 设l与C的准线交于点P，直线PO与C交于点Q（异于原点），线段MN的中点为R，若，求面积的取值范围. 【答案】 【解析】  由（1）知， 　　将R的纵坐标2m代入，得， 　　易知C的准线方程为，又l与C的准线交于点P， 　　∴， 　　 　　则直线OP的方程为，联立OP与C的方程，得， 　　∴， 　　∴Q，R的纵坐标相等， 　　∴直线轴， 　　∴， 　　∴， 　　∵点Q异于原点， 　　∴， 　　∵， 　　∴， 　　∴，即. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024福建省厦门市同实高二下学期期中考数学试卷 一．选择题 1.   的展开式中, 常数项为 ( ) A．4 B．-4 C．6 D．-6 2.  已知，，且，则x的值为（       ） A． B． C．6 D．－6 3.  某学校要从名男生和名女生中选出人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望 （       ） A． B． C． D． 4.  学校计划于4月份其中一周的周一至周五这五天内组织高一、高二、高三年级的同学进行春季研学活动，每天只能有一个年级参加，其中高一年级需要连续两天，高二、高三年级各需要一天，则不同的安排方案有（       ） A．18种 B．24种 C．30种 D．32种 5.  针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若我们推断不成立，此推断犯错误率不超过，则的最小值为（    ） 　　附：，附表： 0.05 0.01 3.841 6.635 A．7 B．8 C．9 D．10 6.  已知是椭圆的左､右焦点，经过的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（       ） A． B． C． D． 7.  英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（       ） A． B． C． D． 8.  已知定义在 上的可导函数 的导函数为 , 满足 , 且 为偶函数, , 则不等式 的解集为 A． B． C． D． 二．多选题 9.  下列关于概率统计的说法中正确的是（       ） A．某人在10次答题中，答对题数为，则答对7题的概率最大 B．设随机变量服从正态分布，若，则 C．已知回归直线方程为，若样本中心为，则 D．两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱 10.  已知，则下列结论正确的是（       ） A． B． C．． D． 11.  设函数，则（       ） A．函数的单调递减区间为． B．曲线在点处的切线方程为． C．函数既有极大值又有极小值，且极大值小于极小值． D．若方程有两个不等实根，则实数k的取值范围为 三．填空题 12.  甲乙丙三位同学去电影院看电影，每人可在《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》、《周处除三害》四部电影中任选一部，则不同的选法有  种． 13.  若双曲线 的渐近线与圆 相切, 则 14.  已知函数，函数，则函数的极小值点为  ；若，恒成立，则实数的取值范围为  ． 四．解答题 15.  设数列 的前 项和为 , 若 . (1) 求 , 并证明: 数列 是等差数列; (2) 求 . 16.  已知函数，，. (1) 求函数的单调区间； (2) 若且恒成立，求的最小值. 17.  汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素. 我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码 1 2 3 4 5 销量/万辆 10 12 17 20 26 　　  (1) 统计表明销量与年份代码有较强的线性相关关系，求关于的经验回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆； (2) 某新能源汽车品牌销售商为了促销，采取“摸球定价格”的优惠方式，其规则为：盒子内装有编号为1，2，3的三个相同的小球，有放回地摸三次，三次摸到相同编号的享受七折优惠，三次中仅有两次摸到相同编号的享受八折优惠，其余情况均享受九折优惠. 已知此款新能源汽车一台标价为100000元，设小李购买此款新能源汽车的价格为，求的分布列与均值. 　　附：为经验回归方程，，. 18.  在直角坐标系中，已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与C交于M，N两点，且当l的斜率为1时，. (1) 求C的方程； (2) 设l与C的准线交于点P，直线PO与C交于点Q（异于原点），线段MN的中点为R，若，求面积的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $