精品解析：福建省厦门第六中学2025-2026学年第二学期高二年级期中考试数学试卷

厦门六中2025—2026学年第二学期高二年期中考试 数学试卷 满分150分 考试时间120分钟 命题人：纪楚煜 审核人：王楠 命题时间：2026.4 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出、的值，利用椭圆的离心率公式可求得结果. 【详解】由椭圆可知，，，则， 故该椭圆的离心率为. 2. 曲线在处的切线的斜率为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数来求斜率即可. 【详解】由题意得，所以曲线在处的切线的斜率为. 故选：B. 3. 在的展开式中各二项式系数的和为32，则的系数为（ ） A. 80 B. 40 C. 20 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，，则， 故在的展开式中的系数为. 4. 将5名教师分到3所学校任教，要求每所学校至少一名教师，则不同的分法有（ ） A. 60种 B. 90种 C. 150种 D. 180种 【答案】C 【解析】 【分析】先分组后排列，即得. 【详解】由题可知5名教师分到3所学校任教，要求每所学校至少一名教师，可先分组后排列， 先将5名教师分为三组有种方法， 再将分好的三组分到3所学校有种情况， 所以不同的分法有种. 故选：C. 5. 已知随机变量的分布列如下： 2 3 6 则的值为（ ） A. 20 B. 18 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率之和等于1求得，再根据期望公式和方差公式求出期望与方差，再根据方差的性质即可得解. 【详解】根据分布列可知，解得， ， ， 所以. 故选：B. 6. 甲､乙两地举行数学联考，统计发现：甲地学生的成绩，乙地学生的成绩.下图分别是其正态分布的密度曲线，则（ ） （若随机变量，则，，） A. 甲地数学的平均成绩比乙地的高 B. 甲地数学成绩的离散程度比乙地的小 C. D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态曲线比较两地平均值可判断A；根据曲线的特征比较成绩的离散程度判断B；根据正态曲线的对称性可判断C，根据特殊区间的概率值可判断D. 【详解】对于A，由正态曲线可知甲地数学平均分为90分，乙地数学平均分为100分， 故甲地数学的平均成绩比乙地的低，A错误； 对于B，由正态分布曲线可看出乙地数学成绩更集中， 故甲地数学成绩的离散程度比乙地的大，B错误； 对于C，由于，根据正态分布曲线的对称性可知，C错误； 对于D，，， ，D正确， 故选：D 7. 假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先分析求解设从甲中取出个球，其中白球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中白球的个数为2个的事件为，事件的概率为，再分别分析三种情况求解即可 【详解】设从甲中取出个球，其中白球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中白球的个数为2个的事件为，事件的概率为，由题意： ①，； ②，； ③，； 根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为 故选：C 8. 已知函数，，若对任意的 恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将原式转化为，以此构造函数，由题意得，参变分离后可得，由导数计算的最小值即可求解. 【详解】由题意得，即， 设，则在上单调递增， 即上恒成立， 则恒成立，即， 设，则，令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 记两个变量的样本相关系数为r，若越接近0，线性相关程度越强 B. 在经验回归方程中，相对于样本点的残差为 C. 在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 D. 若两个变量的决定系数越大，表示残差平方和越大，即拟合效果越好 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项要清楚相关系数的概念；B选项代入残差的计算公式即可；C选项主要考残差图的性质；D选项决定系数的公式. 【详解】对于A选项，相关系数的绝对值越接近1，表示两个变量之间的线性相关程度越强， 越接近0，线性相关程度越弱，故A选项错误； 对于B选项，当时，， 残差为，故B选项正确； 对于C选项，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，就说明残差的绝对值越接近0， 所以其模型的拟合效果越好，故C选项正确； 对于D选项，决定系数越大，表示残差平方和越小，拟合效果越好，故D选项错误. 10. A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可得，由可得，再结合可求出，再利用条件概率公式求解即可. 【详解】，， 又，，故C错误； ，，，故A正确； ，，故B正确； ，故D正确. 故选：C. 11. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ） A. 2024行中从左往右第1012个数与第1014个数相等 B. C. 记第10行的第个数为，则 D. 记第行的第个数为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用的展开式的二项式系数计算，对于B，利用性质计算即可；对于CD，代入，利用二项式定理计算即可. 【详解】对于A，第2024行中的数为的展开式的二项式系数， 则从左往右第1012个数为，第1014个数为，由于，故A正确； 对于B，由可得 ，故B不正确； 对于C，第行的第个数为， 因为 ， 所以 ，故C正确； 对于D，第行的第个数为， 则，故D正确； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某产品的广告投入x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如下图所示： x 2 3 5 6 y 20 35 50 55 若y关于x的线性回归方程为，则__________. 【答案】6 【解析】 【详解】将，， 代入中可得，解得. 13. 近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数．环保部门记录了某地区7天的空气质量指数，其中，有4天空气质量为优，有2天空气质量为良，有1天空气质量为轻度污染．现工作人员从这7天中随机抽取3天进行某项研究，则抽取的3天中至少有一天空气质量为良的概率为________；记表示抽取的3天中空气质量为优的天数，则随机变量的数学期望为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空，先求抽取的3天空气质量都不为良的概率，再根据对立事件的概率公式求解即可； 第二空，随机变量服从超几何分布，计算即可. 【详解】解：设事件A表示“抽取3天中至少有一天空气质量为良”， 事件B表示“抽取的3天空气质量都不为良”， 则事件A与事件B互为对立事件， 所以； 随机变量的可能取值为，概率为， 所以随机变量分布列为： 随机变量的数学期望为 故答案为：； 【点睛】本题考查利用古典概型求事件的概率，超几何分布，是中档题. 14. 项数为的数列满足，当且仅当时（其中,规定：），称为“好数列”．在项数为6且的所有中，随机选取一个数列，该数列是“好数列”的概率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据分布乘法求出所有的个数，由0出现的次数讨论数列是“好数列”的个数，利用概率公式计算即可. 【详解】由题意，因为项数为6且， 所以每一项都有两种选择，根据分布乘法计数原理， 可构成的数列个数为个， 由题意，若为“好数列”，则意味着若，其前一项与后一项相等， ①则若中没有0，则数列为，不符合题意， ②若中有1个0，不论0在那个位置，都会出现3个1相邻，不符合题意， ③若中有2个0，则，，符合“好数列”定义； ④若中有3个及以上0，若0相邻，根据定义，数列只能为， 若0不相邻，只能1和0间隔出现，会出现两个0中间出现1，不符合题意， 综上，符合题意的“好数列”只有4个， 所以数列是“好数列”的概率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解“好数列”的定义，根据题意能列出符合条件的数列. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 【答案】（1）； （2）分布列： 0 1 2 3 期望为，方差为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式求解. （2）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望的方差. 【小问1详解】 设“智能客服的回答被采纳”，“输入的问题表达不清晰”， 依题意，，， 因此， 所以智能客服的回答被采纳的概率为. 【小问2详解】 依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望；. 16. 在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点D到平面的距离. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法求解即可； （2）利用点到平面距离的向量求法求解即可. 【小问1详解】 因平面，平面， 则，又四边形为矩形，则. 如图建立以A为原点的空间直角坐标系， 则， ，，. 设平面法向量为，则， 取，则. 设直线与平面夹角为， 则； 【小问2详解】 由（1）解析可得， 所以到平面的距离为： 17. 某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 6 11 21 34 66 101 196 （1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合．请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出关于的回归方程； （2）公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比．请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？ \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100 62.14 1.54 2535 50.12 3.47 参考数据：． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 其中． 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型， （2） \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 80 合计 60 40 100 认为是否报废与保养有关 【解析】 【分析】（1）由散点图可知，应选指数函数模型，根据已知条件两边同时取对数，转化为关于与的一次函数模型，结合参考数据即可求解； （2）根据题意完成列联表，利用独立性检验公式，计算的值可判断. 【小问1详解】 由散点图判断，适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型． 由，两边同时取常用对数得． 设，则． 因为，，，， 所以. 把代入，得， 所以，所以， 则， 故关于的回归方程为. 【小问2详解】 设零假设：是否报废与是否保养无关． 由题意，报废电动车中保养过的共台，未保养的电动车共台，补充列联表如下： \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 80 合计 60 40 100 则， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否报废与保养有关． 18. 某地区为选拔运动员举行了一次运动会（采用积分制），运动员通过参加各项比赛获得积分．现有甲、乙两名运动员争夺某项比赛的积分，规定两名运动员谁先赢局，谁就能获得该项比赛的全部积分，根据以往经验，每局比赛甲赢的概率为p，乙赢的概率为，每局比赛相互独立． （1）若，，在乙先赢了第一局的条件下，求甲最终赢得全部积分的概率； （2）在甲赢了m局，乙赢了n局时，比赛意外终止．对于积分应该如何分配，评委给出的方案是：根据以往经验数据，甲、乙按照若比赛继续进行下去各自赢得全部积分的概率之比分配积分． （ⅰ）若，，，，求； （ⅱ）若，，，求比赛继续进行下去甲赢得全部积分的概率，并判断当时，若比赛继续进行下去乙赢得全部积分的概率是否小于5％． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ），是 【解析】 【分析】（1）由题意得甲要赢得全部积分，必须连赢2局比赛，计算概率即可求解； （2）（ⅰ）设比赛再继续进行X局，甲获胜，分别求得和，进而得出甲赢得全部积分的概率，即可求得； （ⅱ）设比赛再继续进行Y局，甲赢得全部积分，分别求得和，进而得出，由导数求得最大值即可得出判断． 【小问1详解】 由题意，若，，且乙先赢了第一局，则甲要赢得全部积分，必须赢得后面2局比赛， 所以甲最终赢得全部积分的概率为． 【小问2详解】 （ⅰ）设比赛再继续进行X局，甲获胜， 当时，甲以获胜，， 当时，甲以获胜，， 所以甲赢得全部积分的概率为，乙赢得全部积分的概率为， 故． （ⅱ）设比赛再继续进行Y局，甲赢得全部积分， 当时，甲以获胜，， 当时，甲以获胜，， 所以， 因此， 当时，， 所以函数在上单调递增，， 所以乙赢得全部积分的概率的最大值为， 故当时，若比赛继续进行下去乙赢得全部积分的概率小于5％． 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若对，恒成立，求的值； （3）证明：. 【答案】（1） 当时，函数在上单调递减, 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2） （3）证明：要证， 即证， ， 即证：， 由（2）知，在上恒成立，其中当且仅当时等号成立， 于是对恒成立， 分别令代入上式， 可得：， 将上述个不等式左右两边分别相加得： ， , 所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）对求导，分，和，讨论与的大小，即可得出答案； （2）由结合（1）可得，再分和结合的单调性可知不成立，可求得. （3）要证明，即证明，结合（2）中对恒成立，分别令代入上式，化简即可证明. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，令，解得：， 当时，时，，时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，时，，时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减. 综上所述：当时，函数在上单调递减, 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 因为，所以由（1）知不符合题意，故， 若，则，由（1）知当时，，不符合题意； 若，则，由（1）知当时，，不符合题意； 所以实数的值为. 【小问3详解】 证明：略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门六中2025—2026学年第二学期高二年期中考试 数学试卷 满分150分 考试时间120分钟 命题人：纪楚煜 审核人：王楠 命题时间：2026.4 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 2. 曲线在处的切线的斜率为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 3. 在的展开式中各二项式系数的和为32，则的系数为（ ） A. 80 B. 40 C. 20 D. 5 4. 将5名教师分到3所学校任教，要求每所学校至少一名教师，则不同的分法有（ ） A. 60种 B. 90种 C. 150种 D. 180种 5. 已知随机变量的分布列如下： 2 3 6 则的值为（ ） A. 20 B. 18 C. 8 D. 6 6. 甲､乙两地举行数学联考，统计发现：甲地学生的成绩，乙地学生的成绩.下图分别是其正态分布的密度曲线，则（ ） （若随机变量，则，，） A. 甲地数学的平均成绩比乙地的高 B. 甲地数学成绩的离散程度比乙地的小 C. D. 若，则 7. 假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（    ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若对任意的 恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 记两个变量的样本相关系数为r，若越接近0，线性相关程度越强 B. 在经验回归方程中，相对于样本点的残差为 C. 在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 D. 若两个变量的决定系数越大，表示残差平方和越大，即拟合效果越好 10. A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（ ） A. B. C. D. 11. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ） A. 2024行中从左往右第1012个数与第1014个数相等 B. C. 记第10行的第个数为，则 D. 记第行的第个数为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某产品的广告投入x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如下图所示： x 2 3 5 6 y 20 35 50 55 若y关于x的线性回归方程为，则__________. 13. 近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数．环保部门记录了某地区7天的空气质量指数，其中，有4天空气质量为优，有2天空气质量为良，有1天空气质量为轻度污染．现工作人员从这7天中随机抽取3天进行某项研究，则抽取的3天中至少有一天空气质量为良的概率为________；记表示抽取的3天中空气质量为优的天数，则随机变量的数学期望为________． 14. 项数为的数列满足，当且仅当时（其中,规定：），称为“好数列”．在项数为6且的所有中，随机选取一个数列，该数列是“好数列”的概率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 16. 在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点D到平面的距离. 17. 某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 6 11 21 34 66 101 196 （1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合．请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出关于的回归方程； （2）公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比．请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？ \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100 62.14 1.54 2535 50.12 3.47 参考数据：． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 其中． 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 18. 某地区为选拔运动员举行了一次运动会（采用积分制），运动员通过参加各项比赛获得积分．现有甲、乙两名运动员争夺某项比赛的积分，规定两名运动员谁先赢局，谁就能获得该项比赛的全部积分，根据以往经验，每局比赛甲赢的概率为p，乙赢的概率为，每局比赛相互独立． （1）若，，在乙先赢了第一局的条件下，求甲最终赢得全部积分的概率； （2）在甲赢了m局，乙赢了n局时，比赛意外终止．对于积分应该如何分配，评委给出的方案是：根据以往经验数据，甲、乙按照若比赛继续进行下去各自赢得全部积分的概率之比分配积分． （ⅰ）若，，，，求； （ⅱ）若，，，求比赛继续进行下去甲赢得全部积分的概率，并判断当时，若比赛继续进行下去乙赢得全部积分的概率是否小于5％． 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若对，恒成立，求的值； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $