精品解析：2026年河南漯河市召陵区九年级学业测评(一) 数学

九年级学业测评（一） 数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 《全民阅读促进条例》于2026年2月1日起施行，其旨在促进全民阅读，推进书香社会建设，增强全民族思想道德素质和科学文化素养，提高全社会文明程度，推动建设社会主义文化强国．一个正方体的展开图如图所示，则折叠成正方体后与写有“阅”的面相对的面上的字是（ ） A. 全 B. 条 C. 例 D. 民 【答案】C 【解析】 【详解】解：与写有“阅”字的面相对的面上的字是“例”． 3. 根据国铁集团郑州局发布的数据，2026年春节9天假期期间，累计发送旅客536.8万人次．536.8万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：万． 4. 已知代数式，则（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】先化简代数式，然后作差代入计算，判断差的正负即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 5. 把不等式组的解集在数轴上表示出来，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求两不等式的解集，进而求出不等式组的解集，最后在数轴上表示即可． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示如下： 6. 如图1为传统建筑中的一种窗格，图2为窗框的示意图，多边形为正六边形，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设正六边形的中心为，连接，由正多边形的性质，得到，，则，再根据三角形外角的性质求解即可. 【详解】解：设正六边形的中心为，连接， 则，， ∴， ∴. 7. 已知一次函数的大致图象如图所示，则一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】由一次函数图象可得，， 再结合根的判别式判断一元二次方程根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程，， 根据图象可得，， ， ， ，即， 一元二次方程有两个不相等的实数根． 8. 2026年五一假期期间，某旅游团从八里沟、宝泉、万仙山、潞王陵4个景区中随机选择2个景区游玩．若每个景区被选到的可能性都相同，则他们选到宝泉和万仙山的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率公式计算即可． 【详解】解：将四个景区分别记为：八里沟A，宝泉B，万仙山C，潞王陵D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中同时选到宝泉和万仙山的结果只有2种， ∴他们选到宝泉和万仙山的概率为． 9. 如图，在菱形中， ，为边的中点，为边上一点，将沿所在的直线折叠，点的对应点恰好落在边上，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由菱形的性质得，即得，由折叠得，，得到是等腰直角三角形，进而求出即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵为边的中点， ∴， 由折叠得，，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 10. 在一定的温度下，某容器内充满了一定量的气体，该容器内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 当时， B. 气体体积大于时，压强小于 C. 气体体积每增加，压强减小 D. 当时，压强的变化范围为 【答案】C 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质逐项分析即可． 【详解】解：容器内气体的压强是气体体积的反比例函数， 设， 将点代入反比例函数的解析式可得，解得， ， 当时，，故A正确，不符合题意； ， 随的增大而减小， 观察图象可知，当气体体积大于时，压强小于，故B正确，不符合题意； 当时，， 当气体体积增加时，即时，， ，故C错误，符合题意； 随的增大而减小，当时，；当时，， 当时，压强的变化范围为，故D正确，不符合题意． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个小于4的无理数，该无理数可以是_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据无理数的定义和无理数估算方法，找出满足小于条件的无理数即可． 【详解】解：，且是无理数， 符合要求． 12. 火星探测着陆器的着陆稳定性是火星探测任务成功的关键保障．我国自主研发的甲、乙、丙、丁四种智能着陆器在火星模拟环境中各完成了5次精准着陆测试．经统计分析，这四种着陆器5次测试的着陆偏差方差分别为，则着陆最稳定的是_____型着陆器． 【答案】丙 【解析】 【分析】方差反映数据的波动大小，当测试次数相同时，方差越小，数据波动越小，着陆稳定性越高． 只需比较四个方差的大小，找出方差最小的对应的着陆器即可． 【详解】解：比较四个方差的大小，可得 ， 即 ， 根据方差的性质，方差越小，着陆偏差的波动越小，着陆越稳定， 因此丙型着陆器着陆最稳定． 13. 观察下列一组代数式：，根据该组代数式的排列规律，可推断出第（为正整数）个代数式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分别找出分子和分母的排列规律即可解题． 【详解】解：观察这组代数式的分子部分，依次为 ， 因此第个代数式的分子为， 观察这组代数式的分母部分，依次为 ，是连续奇数， 因此第个代数式的分母为， 因此第个代数式是． 14. 如图，的半径为1，点为上一点，点为外一点，线段与交于点，过点作，点在线段上，且．若，则劣弧所对的圆周角的正切值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，反向延长交圆于D，连接，可知劣弧所对的圆周角为，证明，得到，，结合圆周角定理得到，根据勾股定理得到，根据三角函数求出，进而求出，求出的值，即可求出劣弧所对的圆周角的正切值． 【详解】解：如图，连接，反向延长交圆于D，连接， 可知劣弧所对的圆周角为， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴劣弧所对的圆周角的正切值为． 15. 定义：有两个相似的直角三角形，若其中一个直角三角形的两个锐角的顶点分别在另一个直角三角形的直角顶点和斜边上，则称这样的两个直角三角形为“嵌套相似直角三角形”．如图，和是“嵌套相似直角三角形”，点在边上，点与点重合，点在的右侧，，且，连接，将绕点旋转，当在的下方且时，的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论，画出图形，根据相似三角形的性质求出相关线段的长度，再利用勾股定理求解． 【详解】解：①如图所示，当时， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴由勾股定理得； ②如图所示，当时， 由勾股定理得， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， 同①得， ∵，且， ∴， ∴由勾股定理得； 综上，的长为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算与化简 （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 教育部印发的《教育部办公厅关于开展第二批全国学校急救教育试点工作的通知》中提出要普及急救知识，提高师生急救技能，提升校园应急救护能力．某校积极响应号召，在全校范围内开展了急救知识竞赛，从该校甲、乙两个班中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（100分制，85分及以上为优秀，得分均为整数），整理得到如下的图表． 抽取学生的竞赛成绩数据分析表 平均数 中位数 众数 甲班 83.5 82.5 乙班 83.5 90 根据以上信息，解决下列问题： （1）表中的_____，_____． （2）综合表中的统计量，你认为哪个班级的学生对急救知识掌握得更好？请说明理由． （3）该校共有1800名学生参加此次竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀的学生人数是多少． 【答案】（1）81.5，80 （2）甲班，见解析 （3）810人 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解； （2）根据中位数判断即可； （3）利用样本估计总体求解即可． 【小问1详解】 解：将乙班抽取的10名学生的竞赛成绩从小到大排列为：75，76，77，79，80，83，85，90，90，100 中间的两个数为80，83 ∴中位数； 甲班抽取的10名学生的竞赛成绩中80出现的次数最多 ∴众数； 【小问2详解】 解：甲班和乙班的平均成绩相同，但甲班的中位数大于乙班的， 甲班的成绩较好； 【小问3详解】 解：此次竞赛活动中，甲班和乙班成绩在85分及以上的学生共有9人， ∴（人）． 答：估计参加此次活动成绩优秀的学生人数是810． 18. 如图，在平面直角坐标系中，半圆分别与轴、轴相切于点是半圆的直径，，反比例函数的图象与交于点，与交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出的值，进而得到点的坐标，再利用待定系数法解答即可求解； （）连接，可得四边形是正方形，得到，再利用解答即可求解． 【小问1详解】 解：∵点是反比例函数图象上的点， ∴， 解得， ∴点的坐标为， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵半圆分别与轴、轴相切于点， 轴，轴，， ∵，， ∴四边形是正方形， ， ， ∵， ． 19. 周口弦歌台孔子雕像为花岗岩材质，是现代建造的纪念性雕像．某数学课外活动小组开展了“测量孔子雕像高度”的课题活动，具体方案和数据如下表： 课题 测量孔子雕像高度 准备工具 测角仪、卷尺等 测量示意图 测量方案 活动小组在处测得孔子雕像顶端的仰角为，然后向孔子雕像处走了米到达处，并测得此时孔子雕像顶端的仰角为． 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 仰角的度数 仰角的度数 ，两点间的距离 6.4米 6.6米 6.5米 备注 1．测角仪的高为1.4米；2．图上所有点均在同一竖直平面内；3．，，均与地面垂直．参考数据：，． 请你根据表中的信息求出孔子雕像的高度．（结果精确到1米） 【答案】米 【解析】 【分析】延长交于点，构造直角三角形，在中，解直角三角形可表示出长，进而根据和差关系表示出长，在中，解直角三角形即可得解． 【详解】如图，延长交于点． 设米． 在中，， ， 米， 米． 在中，， ， 解得， （米）． 答：孔子雕像的高度约为米． 20. 如图，在中，，以为直径的圆经过，，三点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若的中点为，直线与交于点，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分别以点A，C为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点F，M，则直线是的垂直平分线，交于点O，则点即为所求； （2）连接，，，先说明，即可得出，可得进而求出，再说明为等边三角形，即可得出，然后求出，最后解直角三角形可得答案． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求． 【小问2详解】 解：如图，连接，，， ∵是的直径， ∴． 在与中， ． ∵， ∴． ∵， ∴为等边三角形， ． 的中点为 ∴直线垂直平分 ∴， 在中， ． 21. 党的二十大报告中提到：深入推进能源革命，积极构建新型能源体系、大力推动终端用能转型升级等．某市交通管理局决定购买一批电动公交车取代燃油公交车．已知购买型电动公交车2辆、型电动公交车3辆，共需资金340万元，且每辆型电动公交车比型电动公交车的价格高20万元． （1）分别求型、型电动公交车的单价． （2）若该市交通管理局计划购买型、型电动公交车共40辆，且型电动公交车至少比型电动公交车多10辆，怎样购买才能使总费用最小？最小总费用是多少万元？ 【答案】（1）型、型电动公交车的单价分别为80万元、60万元 （2）购买型电动公交车辆，型电动公交车辆，才能使总费用最小，最小总费用为万元 【解析】 【分析】（1）设型、型电动公交车的单价，然后根据已知条件列二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设购买型电动公交车辆，然后表示出购买型电动公交车的数量，根据“型电动公交车至少比型电动公交车多10辆”得到的取值范围，然后根据总费用购买型电动公交车的费用购买型电动公交车的费用得到一次函数关系式，进而根据一次函数的性质即可得解． 【小问1详解】 解：设型、型电动公交车的单价分别为万元、万元． 依题意得，解得； 答：型、型电动公交车的单价分别为万元、万元． 【小问2详解】 解：设购买型电动公交车辆，则购买型电动公交车辆． 依题意得，解得． ， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，此时， 最小总费用为（万元）． 答：购买型电动公交车辆，型电动公交车辆，才能使总费用最小，最小总费用为万元． 22. 在二次函数中，与的几组对应值如下表所示： … 0 1 2 3 … … 3 0 0 3 … （1）在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象； （2）求出该二次函数的解析式； （3）将抛物线向下平移3个单位长度，把平移后的图象在轴上及轴右侧的部分记为，作关于轴对称的图象，记为，若组成的曲线为，且与直线有三个公共点，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）本题考查二次函数图像的描点画法； （2）本题考查二次函数解析式求法，使用待定系数法即可求出； （3）本题需先计算出平移后的解析式和自变量范围，然后计算出对称图像解析式和自变量范围，最后分情况讨论与直线有三个公共点的情况． 【小问1详解】 如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象： 【小问2详解】 把代入， ， 解得， 该二次函数的解析式：． 【小问3详解】 由题意可得，的解析式是：， 整理得：的表达式为，的表达式为． 易得的顶点的坐标为，曲线与轴的交点为，与轴的交点为，分三种情况讨论： ①如图2，当时，直线， 此时直线恰好经过点和，并与有另一个交点，即点， 满足题意； ②如图3，当时，直线与始终只有两个交点，不满足题意； ③如图4，当时，直线与有一个公共点时满足题意， 联立与，得， 化简，得， ，解得． 综上，的值为或． 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质、待定系数法求解析式、函数图像的平移、对称和直线和抛物线交点个数问题． 23. 综合与实践 在平行四边形中，是边上一点，是边上一点，且，过点作交边于点，连接交于点． 【初步探究】 （1）如图1，若，垂直平分边，则与的数量关系是_____． 【类比探究】 （2）如图2，若，，，则（1）中的结论是否成立？请说明理由． 【拓展应用】 （3）若为边的一个三等分点，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）成立，理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角得出，根据平行四边形的性质可得出，根据补角的性质得出，根据余角的性质得出，证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）当时，，证明是等边三角形，得出，，根据等式的性质可得出，根据角的和差关系可求出，，根据三角形内角和定理可求出，根据等角对等边得出，即可得出结论； （3）分两种情况讨论：当时，，，延长、相交于N，由（2），，则，证明，求出，证明，根据相似三角形的性质即可求解；当时，类似求解即可． 【小问1详解】 解： 理由：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又， ∴， ∵垂直平分边，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：结论还成立， 理由：当时，， 又 ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当时，， ∴可设，则， ∵E为的一个三等分点， ∴或， 当时，，， 延长、相交于N， 由（2），， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，，， 延长、相交于N， 由（2），， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级学业测评（一） 数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 《全民阅读促进条例》于2026年2月1日起施行，其旨在促进全民阅读，推进书香社会建设，增强全民族思想道德素质和科学文化素养，提高全社会文明程度，推动建设社会主义文化强国．一个正方体的展开图如图所示，则折叠成正方体后与写有“阅”的面相对的面上的字是（ ） A. 全 B. 条 C. 例 D. 民 3. 根据国铁集团郑州局发布的数据，2026年春节9天假期期间，累计发送旅客536.8万人次．536.8万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 已知代数式，则（ ） A. B. C. D. 无法判断 5. 把不等式组的解集在数轴上表示出来，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图1为传统建筑中的一种窗格，图2为窗框的示意图，多边形为正六边形，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一次函数的大致图象如图所示，则一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 8. 2026年五一假期期间，某旅游团从八里沟、宝泉、万仙山、潞王陵4个景区中随机选择2个景区游玩．若每个景区被选到的可能性都相同，则他们选到宝泉和万仙山的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中， ，为边的中点，为边上一点，将沿所在的直线折叠，点的对应点恰好落在边上，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 在一定的温度下，某容器内充满了一定量的气体，该容器内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 当时， B. 气体体积大于时，压强小于 C. 气体体积每增加，压强减小 D. 当时，压强的变化范围为 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个小于4的无理数，该无理数可以是_____． 12. 火星探测着陆器的着陆稳定性是火星探测任务成功的关键保障．我国自主研发的甲、乙、丙、丁四种智能着陆器在火星模拟环境中各完成了5次精准着陆测试．经统计分析，这四种着陆器5次测试的着陆偏差方差分别为，则着陆最稳定的是_____型着陆器． 13. 观察下列一组代数式：，根据该组代数式的排列规律，可推断出第（为正整数）个代数式是_____． 14. 如图，的半径为1，点为上一点，点为外一点，线段与交于点，过点作，点在线段上，且．若，则劣弧所对的圆周角的正切值为_____． 15. 定义：有两个相似的直角三角形，若其中一个直角三角形的两个锐角的顶点分别在另一个直角三角形的直角顶点和斜边上，则称这样的两个直角三角形为“嵌套相似直角三角形”．如图，和是“嵌套相似直角三角形”，点在边上，点与点重合，点在的右侧，，且，连接，将绕点旋转，当在的下方且时，的长为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算与化简 （1）计算：； （2）化简：． 17. 教育部印发的《教育部办公厅关于开展第二批全国学校急救教育试点工作的通知》中提出要普及急救知识，提高师生急救技能，提升校园应急救护能力．某校积极响应号召，在全校范围内开展了急救知识竞赛，从该校甲、乙两个班中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（100分制，85分及以上为优秀，得分均为整数），整理得到如下的图表． 抽取学生的竞赛成绩数据分析表 平均数 中位数 众数 甲班 83.5 82.5 乙班 83.5 90 根据以上信息，解决下列问题： （1）表中的_____，_____． （2）综合表中的统计量，你认为哪个班级的学生对急救知识掌握得更好？请说明理由． （3）该校共有1800名学生参加此次竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀的学生人数是多少． 18. 如图，在平面直角坐标系中，半圆分别与轴、轴相切于点是半圆的直径，，反比例函数的图象与交于点，与交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求图中阴影部分的面积． 19. 周口弦歌台孔子雕像为花岗岩材质，是现代建造的纪念性雕像．某数学课外活动小组开展了“测量孔子雕像高度”的课题活动，具体方案和数据如下表： 课题 测量孔子雕像高度 准备工具 测角仪、卷尺等 测量示意图 测量方案 活动小组在处测得孔子雕像顶端的仰角为，然后向孔子雕像处走了米到达处，并测得此时孔子雕像顶端的仰角为． 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 仰角的度数 仰角的度数 ，两点间的距离 6.4米 6.6米 6.5米 备注 1．测角仪的高为1.4米；2．图上所有点均在同一竖直平面内；3．，，均与地面垂直．参考数据：，． 请你根据表中的信息求出孔子雕像的高度．（结果精确到1米） 20. 如图，在中，，以为直径的圆经过，，三点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若的中点为，直线与交于点，，求线段的长． 21. 党的二十大报告中提到：深入推进能源革命，积极构建新型能源体系、大力推动终端用能转型升级等．某市交通管理局决定购买一批电动公交车取代燃油公交车．已知购买型电动公交车2辆、型电动公交车3辆，共需资金340万元，且每辆型电动公交车比型电动公交车的价格高20万元． （1）分别求型、型电动公交车的单价． （2）若该市交通管理局计划购买型、型电动公交车共40辆，且型电动公交车至少比型电动公交车多10辆，怎样购买才能使总费用最小？最小总费用是多少万元？ 22. 在二次函数中，与的几组对应值如下表所示： … 0 1 2 3 … … 3 0 0 3 … （1）在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象； （2）求出该二次函数的解析式； （3）将抛物线向下平移3个单位长度，把平移后的图象在轴上及轴右侧的部分记为，作关于轴对称的图象，记为，若组成的曲线为，且与直线有三个公共点，求的值． 23. 综合与实践 在平行四边形中，是边上一点，是边上一点，且，过点作交边于点，连接交于点． 【初步探究】 （1）如图1，若，垂直平分边，则与的数量关系是_____． 【类比探究】 （2）如图2，若，，，则（1）中的结论是否成立？请说明理由． 【拓展应用】 （3）若为边的一个三等分点，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $