精品解析：四川成都棠湖外国语学校2025-2026学年下学期七年级半期数学试卷

成都棠湖外国语学校2025-2026学年度下学期初2025级半期 数学试卷 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．考生使用答题卡作答． 3．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上． 4．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 6．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列各图中，与是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 2. 2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，在近月轨道时飞行大约需要．数据0.0000893用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 以下长度的三条线段，不能组成三角形的是(    ) A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 明天会下雨 B. 367人中至少有两人的生日在同一天 C. 车辆随机到达一个路口遇到红灯 D. 投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 7. ，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，和分别是的中线和角平分线，和相交于点，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 已知， 则的补角度数是________． 10. 已知，，则的值为________． 11. 已知一个多项式与单项式的商是，则这个多项式是_______ 12. 如图，在中，若点D，E分别是，的中点，且的面积为12，则阴影部分的面积是__________． 13. 如图，的一边是平面镜，，点C是上一点，一束光线从点C射出，经过平面镜上的点D反射后沿射线射出，已知，要使反射光线，则的度数是______度． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算： （1） （2） 15. 先化简，再求值：， 其中， 16. 某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数 指针落在“谢谢参与”区域的次数 指针落在“谢谢参与”区域的频率 （1）完成上述表格：_____，_____； （2）若继续不停转动转盘，当很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近_____，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是_____；（结果都精确到0.1） （3）顾客转动转盘一次，得到“谢谢参与”的概率记为，若当天有2000人参加活动，大概有多少人转到“谢谢参与” 17. 已知如图，，射线与交于点，点在直线上，点在射线上，连接，，． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 18. 如图①，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，． （1）将图①中的三角尺沿的方向平移至图②的位置，使得顶点O与点N重合，与相交于点E，求的度数； （2）将图①中三角尺绕点O按顺时针方向旋转，使一边在的内部，如图③，且恰好平分，与相交于点E，求的度数； （3）将图①中三角尺绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第______秒时，边恰好与边平行；在第______秒时，直线恰好与直线垂直． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若，，则_________． 20. 若可以配成一个完全平方公式，则的值为_________． 21. 在一个不透明的袋中装有2个黄球，3个黑球和5个红球，它们除颜色外其他都相同．现在再将若干个黄球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中随机摸一个球是黄球的概率是，后来放入袋中的黄球有________个 22. 如图所示，中，，，，，分别是，，，的平分线，则的度数为_________（结果用表示） 23. 若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”则10个“智慧数”是_______，2021是第_________个“智慧数”． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为 【探究】 （1）观察图2，用等式表示图中阴影部分图形的面积的运算：_________； （2）根据图2所得的公式，若，，求的值； （3）若满足，求的值． 25. 读下列材料： “我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常作如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的数学方法，能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 例如：求代数式的最小值． 解： ， 当，即时，的最小值是5． 【问题解决】 （1）代数式的最小值_________． （2）已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的边的最大值． （3）若，，求的值 26. 如图1，E点在上，，． （1）求证：； （2）如图2，，平分，与的平分线交于H点，若比大，请直接写出的度数． （3）保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都棠湖外国语学校2025-2026学年度下学期初2025级半期 数学试卷 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．考生使用答题卡作答． 3．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上． 4．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 6．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列各图中，与是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角叫做互为对顶角，由此即可求解． 【详解】解：根据对顶角的定义，只有C选项的图形中，一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点， ∴C选项中与是对顶角 ． 2. 2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，在近月轨道时飞行大约需要．数据0.0000893用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂的科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 【详解】解：数据0.0000893用科学记数法表示为， 故选：A． 3. 以下长度的三条线段，不能组成三角形的是(    ) A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形两边之和大于第三边逐项判断即可． 【详解】解：A.，故A不能组成三角形，符合题意； B.，故B能组成三角形，不符合题意； C.，故C能组成三角形，不符合题意； D.，故D能组成三角形，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法以及乘法公式；根据合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式与平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 5. 如图，下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，解题关键是掌握同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，两直线平行是解题关键．根据平行线的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、由能判定，不能判定，符合题意； B、由能判定，不符合题意； C、由能判定，不符合题意； D、由能判定，不符合题意； 故选：A． 6. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 明天会下雨 B. 367人中至少有两人的生日在同一天 C. 车辆随机到达一个路口遇到红灯 D. 投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了必然事件的概念。必然事件指在一定条件下一定发生的事件，据此逐项分析即可求解． 【详解】解：A. 明天会下雨，是随机事件，不合题意； B. ∵一年最多有366天（包括闰年），∴367人中至少有两人的生日在同一天，是必然事件，符合题意； C. 车辆随机到达一个路口遇到红灯，是随机事件，不合题意； D. 投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，不合题意． 故选：B 7. ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将等式右侧展开，通过对比对应项系数得到，的值，再计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴，， ∴ ． 8. 如图，在中，，和分别是的中线和角平分线，和相交于点，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理，先根据等腰三角形性质及三角形内角和定理求出，再根据和分别是的中线和角平分线得，然后再根据三角形外角性质得，由此即可得出答案． 【详解】解：在中，， ， 和分别是的中线和角平分线， ， 是的外角， ． 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 已知， 则的补角度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了补角，熟练掌握补角的定义是解题关键．根据补角的定义，互为补角的两个角之和为，因此的补角等于减去的度数． 【详解】解：的补角度数是． 故答案为：． 10. 已知，，则的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握是关键．根据题意得到，，即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴ 即 故答案为： 11. 已知一个多项式与单项式的商是，则这个多项式是_______ 【答案】 【解析】 【分析】商与除式的积等于被除式计算即可. 【详解】解：∵一个多项式与单项式的商是， ∴. 12. 如图，在中，若点D，E分别是，的中点，且的面积为12，则阴影部分的面积是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． 先由点是的中点得出，再由点是的中点计算即可得解． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， 故答案为：． 13. 如图，的一边是平面镜，，点C是上一点，一束光线从点C射出，经过平面镜上的点D反射后沿射线射出，已知，要使反射光线，则的度数是______度． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行线的性质，求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的有关性质． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算乘方，零次幂，负整数指数幂，绝对值，再合并即可. （2）把原式化为，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解： . 【小问2详解】 解： . 15. 先化简，再求值：， 其中， 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的四则混合运算，涉及完全平方公式及运用；平方差公式及应用，多项式除以单项式等知识，求代数式的值．利用完全平方公式和平方差公式计算乘方，乘法，然后将括号内的式子去括号，合并同类项进行化简，再算括号外面的除法，最后代入求值． 【详解】解：原式= = =， 当，时， 原式=． 16. 某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数 指针落在“谢谢参与”区域的次数 指针落在“谢谢参与”区域的频率 （1）完成上述表格：_____，_____； （2）若继续不停转动转盘，当很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近_____，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是_____；（结果都精确到0.1） （3）顾客转动转盘一次，得到“谢谢参与”的概率记为，若当天有2000人参加活动，大概有多少人转到“谢谢参与” 【答案】（1）， （2）， （3）大概有人转到“谢谢参与”． 【解析】 【分析】（1）根据频率和频数的关系求得和的值即可； （2）利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可； （3）用参加活动的总人数乘指针落在“谢谢参与”区域的频率，即可求解． 【小问1详解】 解： ， ． 【小问2详解】 解：若继续不停转动转盘，当很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是． 【小问3详解】 解：（人） 答：大概有人转到“谢谢参与”． 17. 已知如图，，射线与交于点，点在直线上，点在射线上，连接，，． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定和角平分线的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）通过等量代换得到，根据平行线的性质可得，然后根据平行线的判定即可求解，然后根据角平分线的性质和邻补角互补即可求解； （2）先求得， 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 18. 如图①，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，． （1）将图①中的三角尺沿的方向平移至图②的位置，使得顶点O与点N重合，与相交于点E，求的度数； （2）将图①中三角尺绕点O按顺时针方向旋转，使一边在的内部，如图③，且恰好平分，与相交于点E，求的度数； （3）将图①中三角尺绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第______秒时，边恰好与边平行；在第______秒时，直线恰好与直线垂直． 【答案】（1） （2） （3）5或17；11或23 【解析】 【分析】（1）根据平移性质和三角形的内角和定理可得，代入数据计算即可得解； （2）根据角平分线的定义求出，利用内错角相等两直线平行求出，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可； （3）①分在上方时，，设与相交于F，根据两直线平行，同位角相等可得，然后根据三角形的内角和定理列式求出，即可得解；在的下方时，，设直线与相交于F，根据两直线平行，内错角相等可得°，然后利用三角形的内角和定理求出，再求出旋转角即可；②分在的右边时，设与相交于G，根据直角三角形两锐角互余求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，再求出旋转角即可，在的左边时，设与相交于G，根据直角三角形两锐角互余求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出，然后求出旋转角，计算即可得解． 【小问1详解】 解：在中，， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 平分， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图1，在上方时，设与相交于， ， ， 在中，， ， ， 旋转角为， 秒； 在的下方时，设直线与相交于， ， ， 在中，， 旋转角为， 秒； 综上所述，第5或17秒时，边恰好与边平行； 如图2，在的右边时，设与相交于， ， ， ， 旋转角为， 秒， 在的左边时，设与相交于， ， ， ， 旋转角为， 秒， 综上所述，第11或23秒时，直线恰好与直线垂直． 故答案为：5或17；11或23． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平移性质，平行线的判定与性质，三角形的内角和定理及外角性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记各性质并熟悉三角板的度数特点是解题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若，，则_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵，， ∴ ． 20. 若可以配成一个完全平方公式，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式，对应得到原式中间项的系数关系，即可求解的值. 【详解】解：， 可以配成一个完全平方公式， ， 解得. 21. 在一个不透明的袋中装有2个黄球，3个黑球和5个红球，它们除颜色外其他都相同．现在再将若干个黄球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中随机摸一个球是黄球的概率是，后来放入袋中的黄球有________个 【答案】 【解析】 【分析】设后来放入袋中x个黄球，根据概率公式列出方程求解即可． 【详解】解：设后来放入袋中x个黄球，根据题意得 ， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， 答：后来放入袋中的黄球有6个. 22. 如图所示，中，，，，，分别是，，，的平分线，则的度数为_________（结果用表示） 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角形外角的性质和角平分线的性质求出，再根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出． 【详解】解：∵、分别是、的一个外角 ∴，， 又 ∵、 分别是、的平分线， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵中，、分别是和的平分线， ∴，， ∴ ． 23. 若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”则10个“智慧数”是_______，2021是第_________个“智慧数”． 【答案】 ①. 16 ②. 1514 【解析】 【分析】根据定义推导智慧数的性质，可得大于1的奇数和大于等于8的4的倍数均为智慧数，将智慧数按每3个数分为一组，第组的三个数依次为（为大于的正整数），分别根据位置求第10个智慧数，再根据2021的形式判断它是第几个智慧数即可． 【详解】解：设正整数，其中为正整数，， 可得与同奇偶，因此为奇数或4的倍数，排除无法表示的， 可得智慧数从小到大排列后，每3个分为一组， 第组的三个数依次为，（为大于的正整数，不是智慧数） ①第10个智慧数， ， 第10个智慧数是第组的第个数，即为， ②2021是第几个智慧数， 把正整数个分成组，第一组有个智慧数，从第二组开始每组有个智慧数， ， 是第组的第个数， 位置为 . 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为 【探究】 （1）观察图2，用等式表示图中阴影部分图形的面积的运算：_________； （2）根据图2所得的公式，若，，求的值； （3）若满足，求的值． 【答案】（1） （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据阴影部分的面积即可求解； （2）将已知条件代入（1）的公式计算即可； （3）对（1）所得公式进行变形，代入已知条件计算即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ． 【小问3详解】 解：∵， ∴ ． 25. 读下列材料： “我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常作如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的数学方法，能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 例如：求代数式的最小值． 解： ， 当，即时，的最小值是5． 【问题解决】 （1）代数式的最小值_________． （2）已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的边的最大值． （3）若，，求的值 【答案】（1）2 （2）6 （3）81 【解析】 【分析】（1）将原式变形为，根据非负数的意义就可以得出代数式的最小值． （2）将原式变形为，再进一步求解即可． （3）求解，代入，可得，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴代数式的最小值是． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，， 解得：，． ∵的三边长、、都是正整数， ∴， ∴的最大整数值为． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得：，， ∴， ∴． 26. 如图1，E点在上，，． （1）求证：； （2）如图2，，平分，与的平分线交于H点，若比大，请直接写出的度数． （3）保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）的度数不变，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先根据同角的补角相等得再根据“内错角相等，两直线平行”得，然后根据平行线的性质说明，最后根据“同旁内角互补，两直线平行”得出答案； （2）作，根据平行线的性质得,再结合角平分线的定义和平行线的性质说明，然后推导出，接下来设，再结合题意可得最后联立求出答案即可； （3）作设直线和直线相交于点G，先根据角平分线的定义得，再根据平行线的性质得，然后由（2）可知，即可得出，接下来根据平行线的性质得，最后根据得出答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴ ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：作， ∵， ∴， ∴, ∴平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． 设． ∵比大， ∴ ∴， 解得， 所以的度数是； 【小问3详解】 解：的度数不变，理由如下： 如图，过点E作设直线和直线相交于点G， ∵平分，平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 由（2）可知， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $