课本知识集锦-【追梦之旅·期末真题篇】2025-2026学年七年级下册数学（沪科版·新教材 安徽专版）

第6章实数 ○)考点1)平方根、立方根 平方根、算术平方根、立方根 平方根 算术平方根 立方根 一般地，如果一个数的立方 一般地，如果一个数的平方等 定义 于a,那么这个数叫作a的平方 正数a的正的平方根√a叫 等于a,那么这个数叫作a的 根，也叫作a的二次方根 作a的算术平方根 立方根，也叫作a的三次 方根 (1)正数的立方根是一个 (1)一个正数a的平方根有两 (1)0的算术平方根是0； 性质 个，它们互为相反数； 正数； (2)√a具有双重非负性，即 (2)0的平方根是0； (2)负数的立方根是一个 (3)负数没有平方根 被开方数a≥0，√a≥0 负数； (3)0的立方根是0 )考点2无理数和实数 1.实数的分类 (1)按定义分类 (2)按正负分类 正有理数 有限小数或 有理数零 正实数 无限循环小数 实数 负有理数 实数零 正无理数) 负实数 无理数 无限不循环小数 负无理数) 2.无理数的常见形式：①开方开不尽的数，如2：②具有特殊意义的数，如π；③具有特定结构的 数，如：0.1010010001…（相邻的两个1之间依次多一个0） 3.实数与数轴上点的关系：实数和数轴上的点一一对应： 4.相反数、倒数、绝对值：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内完全一样. 5.实数的运算：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算 要按照从左到右的顺序进行.另外，有理数的运算法则及运算律在实数范围内仍然适用 6.实数的大小比较：①比较被开方数：②数轴比较法：③法则比较法：④作差比较法， ”图针对练习 1.下列说法中正确的有( ①0.1是0.01的算术平方根；②√81的算术平方根是9；③一个数的立方根等于它本身， 这个数是0或1；④有理数与数轴上的点一一对应. A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2.√64的立方根是 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBK·七年级数学第1页 第7章一元一次不等式与不等式组 ⊙)考点1)不等式的性质 语言叙述 符号表示 不等式的两边都加上（或减去）同一个数 性质1 如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c (或式子)，不等号的方向不变 不等式的两边都乘以（或除以）同一个正 性质2 a、b 如果a>b,c>0,那么ac>bc,-> 数，不等号的方向不变 不等式的两边都乘以（或除以）同一个负 性质3 数，不等号的方向改变 知果a>b,c<0,那么c<bc,“<b 性质4 交换不等式两边，不等号的方向改变 如果a>b,那么b<a 性质5 不等关系可以传递 如果a>b,b>c,那么a>c ⊙考点2一元一次不等式及其解法 1.一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1且不等号两边都是整式 的不等式叫作一元一次不等式. 2.不等式的解集在数轴上的表示方法 不等式的解集 x>a x<a x≥a x≤a 用简易数轴表示 → 2a 【注意】在数轴上表示不等式的解集时，要注意区分“>”“<”和“≥”“≤” ”“<”在数轴 上表示为空心圆圈，“≥”“≤”在数轴上表示为实心圆点. 3.解一元一次不等式的步骤 (1)去分母（根据不等式的性质2或性质3）；(2)去括号（根据乘法分配律、去括号法则）； (3)移项（根据不等式的性质1）；(4)合并同类项（根据合并同类项法则）；(5)x系数化成1 (根据不等式的性质2或性质3). 【注意】解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，不同的是解一元一次不等式x系 数化成1时，要注意观察未知数的系数是正数还是负数，以确定不等号的方向是否发生改变， ⊙)考点3一元一次不等式组 1.一元一次不等式组：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫作一元 一次不等式组 2.解集：一元一次不等式组中各个一元一次不等式解集的公共部分，叫作这个一元一次不等式 组的解集， 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBK·七年级数学第2页 3.一元一次不等式组的解集在数轴上的表示方法 x>a x<a [x>a x<a 不等式组(a>b>0) x>b (x<b lx<b \xzb 不等式组的解集 x>a x<b 无解 b<x<a 不等式组的解集 在数轴上的表示 06 a a a 巧记口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小小大中间找 4.解含参数、有特殊解的一元一次不等式组 (1)利用一元一次不等式组的解集确定未知字母的值或取值范围：先求不等式组的解集，再结 合数轴把解集看成数轴上的动点来确定未知字母的值或取值范围，要注意临界值的确定 (2)求不等式组的特殊解：先求出不等式组的解集，再根据题干要求求出不等式组的特殊解. (3)由不等式组的特殊解求未知字母的取值范围：先解不等式组，用未知字母表示不等式组 的解集，再根据特殊解求未知字母的取值范围。 (4)不等式组和方程的综合应用：先用未知字母表示出方程的解，再将解代入不等式组，进而 求未知字母的取值范围. (5)不等式组和方程组的综合应用：先解二元一次方程组，用未知字母表示解，将方程组的解 代入不等式组，解不等式组，求未知字母的取值范围。 ⊙)考点4一元一次不等式（组）的应用 列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤 审：分析题目中的已知条件和未知条件之间的关系； 设：设未知数； 列：找出能够表示未知数的所有不等关系，列不等式（组）； 解：解不等式（组），求出解集； 答：在解集中找出符合题意的解，再写出答案 针对练习 1.下列说法中错误的是( A.若a<b,则a+1<b+1 B.若-2a>-2b,则a<b C.若a<b,则ac<bc D.若a(c2+1)<b(c2+1),则a<b [5x+1>3(x-1) 2.关于x的不等式组{1 好有两个整数解，则实数a的取值范围是( 2t+2a A.-9<a≤-8 B.-9≤a<-8 C.-4<a≤-3 D.-4≤a<-3 3.某校航空兴趣小组开展了航空航天知识竞赛，共有20道题目，答对一题得5分，答错 题扣3分，小颖的得分在76分以上（含76分），则她至少答对了 道题 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBK·七年级数学第3页 第8章 整式乘法与因式分解 心)考点1)幂的运算 1.幂的运算 同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方 同底数幂的除法 a"÷aP=am-n 法则 am·a”=am+n (am）"=amm (ab)"=a"b" (m,n都是正整数) (m,n都是正整数) (n是正整数) (a≠0，m,n都是正整 数，且m>n) am-n=am÷a” 逆用 am+n=am·a” amn=(am)”=(a")m a"b"=(ab)" (a≠0，m,n都是正整 数，且m>n) 2.零次幂：任何一个不等于零的数的零次幂都等于1，即a°=1(a≠0) 3.负整数次幂：aP=二(a≠0，p是正整数) 【易错点拨】(1)运用积的乘方运算法则时，注意系数也要乘方； (2)运用同底数幂乘法法则时，要注意底数相同；单独一个字母的指数为“1”，而不是“0”； (3)在进行幂的除法运算时，底数不同时，应先化成底数相同的形式，再运用同底数幂的除 法法则进行计算 4.科学记数法：绝对值小于1的数可记成±a×10-"的形式，其中1≤a<10,n是正整数，n等于原 数中第一个不等于零的数字前面的零的个数（包括小数点前面的一个零），这种记数方法也 是科学记数法 心)考点2整式乘法 1.单项式乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式：对于只在一个单项 式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式： 2.单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再 把所得的积相加. 3.多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项 式的每一项相乘，再把所得的积相加 ⊙考点3完全平方公式与平方差公式 1.完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的2 倍.(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2 2.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.(a+b)(a-b)=a2-b2. 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBK·七年级数学第4页 【归纳总结】 完全平方公式的常见变形： (1)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; (2)(a+b)2=(a-b)2+4ab; (3)(a-b)2=(a+b)2-4ab; (4)(a+b)2-(a-b)2=4ab; (5)(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2); (6)a6-4a+b2-(a-6)-2-2 心考点4)因式分解 1.因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫作因式分解，也叫作把这个多项式分解 因式 2.因式分解的方法 (1)提公因式法：一个多项式的每一项都含有一个相同的因式，这个相同的因 式叫作各项的公因式，把这个公因式提到括号外面，这样多项式就分解成两个 因式的积，例：ma+mb+mc=m(a+b+c). (2)公式法：①平方差公式法：a2-b2=(a+b)(a-b): ②完全平方公式法：a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2. 恩针对练习 1.11月14日，中国团队在国际顶级期刊《科学》发表论文，通过电化学沉积结合非晶晶化 的创新方法，让镍钼原子以面心立方和密排六方两种结构交替堆垛，形成仅0.7纳米的 超精细界面，一款具备“负能界面”的新型N(Mo)合金正式亮相.0.7纳米= 0.0000000007米，这个数据用科学记数法表示为() A.0.7×109 B.0.7×1010 C.7×109 D.7×10-10 2.下列运算正确的是() A.(ab)2=ab2 B.a3·a4=a2 C.a10÷a2=a5 D.(a3)2=a6 3.若多项式a+1+△能直接用完全平方公式进行因式分解，则“△”所代表的单项式不可以 是() A.2a B.-2a ，a C.A D._ 4 4.在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式.从图①到图②的变化过 程中，解释的因式分解的公式是( A.a2+ab=a(a+b) B.a2-b2=(a+b)(a-b) C.a2+2ab+b2=(a+b)2 ② D.a2-2ab+b2=(a-b)2 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBK·七年级数学第5页 第9章分式 ⊙)考点1认识分式 分式有无意义和分式的值为0的条件： (1)分式有意义：B≠0；(2)分式无意义：B=0;(3)分式的值为0：A=0且B≠0. 心)考点2)分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式 的值不变即A=A·MA:M BB·MB÷M A,B,M都是整式，且M≠0) ⊙考点3)分式的运算 1.分式的乘除法法则 (1)乘法：A‘CAC B D BD (2)除法： B.D_B C_BC C A D AD A 3)乘方：C°=4=(AB)”(n为正整数 Bn 2.分式的加减法法则 b,cb±c (1)同分母：± (2)异分母：2±日c±4_c±ad c acac ac 3.分式的混合运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，如果有括号，先进行括号里的运算」 ⊙)考点4)分式方程 1.解分式方程的一般步骤：(1)去分母，转化为整式方程；(2)解整式方程；(3)检验， 【解题技巧】根据分式方程无解或有增根求字母的值：分式方程无解有两种情况：一是化 成的整式方程无解，二是分式方程有增根.分式方程的增根不是原分式方程的根，而是分 式方程化成的整式方程的根，所以解这类方程时，通常先将分式方程化为整式方程，再将 求出的增根代入整式方程，即可求出字母的值。 2.列分式方程解应用题的步骤：审题→找等量关系→设未知数→列分式方程→解分式方程→检 验（检验所得的根是否为增根和符合题意）→写出答案 墨针对练习 怎如果把分式中的m和n补扩大2倍，那么分式的值（了 A.是原来的2倍 B.不变 C是原来的时 D.是原来的4倍 2.请你写一个分式，使它满足：当x=3时，分式无意义.该分式为 3.随着人民生活质量的提高，全民健身运动深入人心，马拉松运动成为众多运动爱好者的 选择.在一次马拉松比赛中，某时刻，甲落后乙40米，已知乙的平均配速为2.6米/秒.如 果甲想再跑300米刚好追上乙，则甲接下来的平均配速为多少米/秒？设甲接下来的平 均配速为x米/秒，则列出的方程是 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBK·七年级数学第6页 第10章 相交线、平行线与平移 )考点1相交线 1.邻补角与对顶角 基本特征 性质 对顶角 ①两个角有一个公共顶点；②这两个角的两边互为反向延长线 对顶角相等 【拓展延伸】(1)邻补角、对顶角是成对出现的，单独的一个角或两个以上的角不能称为邻 补角，一个角的对顶角只有一个.(2)互为邻补角是互为补角的特殊情况.互为邻补角的两 个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角.(3)两个角互为对顶角，它们一定相等， 但相等的两个角不一定互为对顶角， 2.经过一点画已知直线的垂线 过点P作直线的垂线 一落，把三角尺的一直角边落在已知直线上； 二过，另一直角边要过已知点； 三画，沿过已知点的直角边画直线 3,垂线的基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与点P在直线外 点P在直线1上 已知直线垂直. 4.垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短 5.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离 ○)考点2)同位角、内错角、同旁内角 概念 实例 图示 两个角分别在直线AB,CD相同的一 ∠1与∠5，∠2与∠6， 同位角 侧，并且位于直线EF的同旁 ∠3与∠7，∠4与∠8 E 两个角都在直线AB,CD之间，并且 B 内错角 ∠3与∠5，∠4与∠6 位于直线EF的两旁 两个角都在直线AB,CD之间，并且 同旁内角 ∠3与∠6，∠4与∠5 位于直线EF的同旁 ⊙考点3平行线的判定与性质 1.平行线基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 2.平行公理的推论：如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行. 3.过直线外一点作已知直线的平行线 已知：直线AB和点C,点C在直线AB外 求作：直线CD,使直线CD∥AB. 作法：(1)如图，过点C作直线EF交AB于点F (2)以点C为顶点，CE为边，在EF的右侧作∠ECD=∠EFB. (3)作直线CD.直线CD就是所求作的直线： 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBK·七年级数学第7页 4.平行线的判定方法 （1)同位角相等，两直线平行 (2)内错角相等，两直线平行 (3)同旁内角互补，两直线平行， 【点拨】平行线的判定方法除上述判定方法外还有2种：(1)平行线的定义；(2)平行公理的推论. 5.平行线的性质 (1)两直线平行，同位角相等. (2)两直线平行，内错角相等 (3)两直线平行，同旁内角互补 6.常考的平行线相关模型 图示 2 3公 63 若a∥b,则∠1+ 若a∥b,则∠2= 若a∥b,则∠3= 若a∥b,则∠3= 相关 ∠2+∠3=360°. ∠1+∠3. ∠1+∠2. ∠1+∠2. 结论 若∠1+∠2+∠3 若∠2= ∠1+ 若∠3= ∠1+ 若∠3= ∠1 =360°，则a% ∠3，则a% ∠2，则a/% ∠2，则a% ○)考点4平移 1.平移的要素：(1)平移的方向；(2)平移的距离 2.平移的性质：一个图形和它经过平移后所得的图形中，连接各组对应点的线段 互相平行（或在同一直线上）且相等.平移只改变图形的位置，不改变图形的形 状和大小 针对练习 1.如图，将长为5cm,宽为3cm的长方形ABCD先向右平移2cm,再向下平移1cm,得到长 方形A'B'CD',则阴影部分的面积为( )cm2. A.6 B.9 C.18 D.24 A-BC M D 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是( A.∠A=∠3 B.∠A+∠2=180° C.∠1=∠4 D.∠1=∠A 3.如图是一款长臂折叠LED护眼灯示意图，EF与桌面MW垂直，当发光的灯管AB恰好与 桌面MW平行时，∠DEF=120°，∠BCD=110°，则∠CDE的度数为 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBK·七年级数学第8页答案详解详 十十十 十 《课本知识集锦》答案 十十十十十十十十十十十十十十 第6章实数 1.D【解析】②√81=9,9的算术平方根是3，错误； ③一个数的立方根等于它本身，这个数是0或1 或-1，错误；④实数与数轴上的点一一对应，错误。 故选D. 2.2 第7章 一元一次不等式与不等式组 1.C [5x+1>3(x-1)① 2*s83 2.D【解析】{1 +2②解不等式①，得 -2,解不等式②，得x≤4+a,因为该不等式组恰好 有两个整数解，所以0≤4+a<1,解得-4≤a<-3.故 选D. 3.17【解析】设小颖答对了x道题，则答错了(20- x)道题，根据题意得：5x-3(20-x)≥76，解得x≥ 17,所以x的最小值为17，所以她至少答对了17 道题」 第8章整式乘法与因式分解 1.D 2.D【解析】A.（ab)2=a2b2;B.a3·a4=a';C.a÷ a2=a8.故选D. 3.D【解析】A.a2+1+2a=(a+1)2,不符合题意；B. a2+1-2a=(a-1),不符合题意；C.a2+1+4=(& +1)2,不符合题意.故选D. 4.B 第9章分式 G22(答案不唯一) 3.300+40300 x2.6 第10章相交线、平行线与平移 1.C2.D 3.100【解析】因为EF⊥MN,所以∠MFE=90°，过 点D向左作DG∥AB,过点E向右作EH∥AB,因为 AB∥MN,所以AB∥DG∥EH∥MN,所以∠ACD+ ∠CDG=180°，∠GDE=∠DEH,∠HEF=∠MFE= 90°，因为∠DEF=120°，∠BCD=110°，所以∠GDE =∠DEH=30°，∠CDG=180°-110°=70°，所以 追梦之旅·初中期末真题篇·安徽 斤·易错剖析 ∠CDE=∠CDG+∠GDE=100° 《课本回头练》答案 十十十十十十十十十十十十十 基础知识抓分练1 1.C 2.B【解析】A.负数没有平方根，也没有算术平方 根，错误；C.当-a≥0时，则-a一定有平方根，错 误；D.一个数的立方根等于它本身，这个数是0或 1或-1，错误.故选B. 3.B 4.C【解析】因为表示1，√2的对应，点分别为A,B, 所以AB=√2-1，因为AB=AC,所以AC=√2-1，所 以，点C所表示的数为1-(2-1)=2-√2.故选C. 【易错提醒】在数轴上，两点间的距离为右边点代 表的数减去左边点代表的数。 5.A【解析】由题意得x-5=0,y+25=0,解得x=5, y=-25,所以9=5×(-25)=9-125=-5.故选 A. 6.C【解析】一27=-3，是有理数，继续运算，3 =-3,是无理数，输出的y的值是-3.故选C. 7.±38.< 9.6【解析】因为x@y=√xy+4,所以(2@6)@8= /2×6+4@8=4@8=/4×8+4=6. 10解：(1)原式=2-12+16=2-18 (2)原式=3+2-3=2； (3)原式=√3-1-1+3=√3+1. 11.解：(1)根据题意知3x+1=42=16,x+2y=-1,解 得x=5,y=-3; (2)因为2x-5y=10+15=25,则2x-5y的平方根 为±5. 12.解：(1)20 (2)设长方形纸片的长为4xcm,宽为3xcm,则4x ·3x=360,解得：x=√30,4x=4√30>20，所以沿 此大正方形边的方向裁出一个长方形，不能使裁 出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为 360cm2. 11 11 1B.解：(D,1+年5=1+ 45 专版ZBK·七年级数学下第1页