课本知识集锦-【追梦之旅·期末真题篇】2025-2026学年八年级下册数学（沪科版·新教材 安徽专版）

第16章二次根式 ⊙)考点1)二次根式及其性质 1.定义：我们把形如√a(a≥0)的式子叫作二次根式 2.二次根式应满足的条件：（1)含有二次根号“一”；(2)被开方数是非负数 3.二次根式有意义的条件：被开方数（式）为非负数，即√ā有意义一a≥0. 4.二次根式无意义的条件：被开方数（式）是负数，即√a无意义台a<0. 【拓展延伸】求使含有字母的式子有意义的字母取值范围的三种类型：(1)二次根式：被 开方数大于等于0.（2)分式：分母不等于0.（3)“复合型”式子：取使得各部分都有意义 的字母取值范围的公共部分. 5.二次根式的性质 a(a>0) 性质1：（√a)2=a(a≥0）》 性质2：√=lal= 0(a=0) -a(a<0) ⊙)考点2二次根式的运算 1.二次根式的乘法（性质3）：如果a≥0，b≥0，那么有√a·√b=√ab.也可以写成ab=√a·√b (a≥0，b≥0). a a√a 2车次根式的除法性质4：果a≥0，b>0,那么有 也可以写成6 (a≥0，b>0). 3.分母有理化：二次根式的除法运算，还可以采用分子、分母同乘以一个式子去掉分母中的根号 的方法来进行.把分母中的根号化去，就是分母有理化， 4.最简二次根式 ①被开方数不含分母； (1)满足条件：②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. (2)化简二次根式的一般方法 ①将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方：②化去根号下的分母：a.若被开方数中 含有带分数，应先将带分数化成假分数；b.若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数；c. 若被开方数是分式，应先将分式的分母化成平方的形式，再进行开方运算：③被开方数是多项 式，能进行因式分解的要先进行因式分解。 5.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这样的二次根 式称为同类二次根式. 6.二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简，再把同类二次根式合并 7.二次根式的混合运算：在二次根式的运算中，实数的运算性质和运算法则同样适用.先算乘 方、开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的.且运算结果要化成最简二次 根式 叁针对训练 1.下列二次根式中，是最简二次根式的是( 1 A.√5 B.√12 C.2 D.√m 2.下列运算结果正确的是() A.3+√3=√6 B.3√5-√5=3 C.23×√3=6 D.√24÷6=4 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBK·八年级数学第1页 第17章一元二次方程及其应用 ⊙)考点1) 一元二次方程 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程 一般形式 ax2+bx+c=0(a、bc为常数，a≠0)，其中a,b,c分别叫作二次项系数、一次 项系数、常数项 元二次方程的根 使一元二次方程等号左右两边相等的未知数的值 【注意】确定一元二次方程的项或系数时，必须先将一元二次方程化为一般形式，写出的项 和系数包括它前面的符号， 【拓展】关于一元二次方程根的三个重要结论；(1)a+b+c=0曰方程ax2+bx+c=0(a≠0)有 一个根为x=1;(2)a-b+c=0台方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为x=-1;(3)c=0台方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为x=0; ⊙考点2 一元二次方程的解法 方法 适用方程 关键步骤 主要特点 (ax+b)2=n(n≥0) 求解迅速，但只适用于 直接开平方法 开平方 型方程 一些特殊结构的方程 解法繁琐，当二次项系数 配方法 所有一元二次方程 配方 为1时用此法较简单 代入求根公式 公式法 所有一元二次方程 -b±√02-4ac 解法简易，但运算量较大 x= 2a 能化为两个因式的积 求解迅速，但适用 因式分解法 分解因式 等于0的形式 范围较小 ⊙考点3) 一元二次方程根的判别式 1.根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况由b2-4ac来确定.我们把b2-4ac叫 做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用符号“△”表示它，即△=b2-4ac. 【注意】根的判别式只适用于一元二次方程，当无法判定方程是不是一元二次方程时，应分 类讨论 2.判断一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根的情况： ①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根； ③当△<0时，方程没有实数根. 【提示】一元二次方程根的判别式的主要应用：①不解方程，判断根的情况；②根据方程根 的情况，确定方程中字母系数的取值范围 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBK·八年级数学第2页 ⊙考点4④ 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的根与系数的关系： 6 如果am+c加=0a≠0)的两个根为，西，那么名，=-合=分 .这个关系通常称为韦达 定理 【点拨】(1)设一元二次方程x2+px+q=0的两根为x1,x2,那么x1+x2=-P,x12=g. (2)使用条件：①方程必须是一元二次方程，即二次项系数α≠0：②方程有实数根，即b- 4ac≥0. ⊙)考点5) 一元二次方程的应用 图形面 积问题 席见图形的面公式S长a,S=Q,5n三m,SA,S鲜+b亚 变化率 若起始值是a,终止值是b,平均增长（下降）率为x,增长（下降）次数为n, 问题 (1)平均增长率：a(1+x)"=b;(2)平均降低率：a(1-x)”=b 传染问 若a表示传染之前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传播的轮数，b表示最 题 终的总人数，则有a(1+x)”=b 销售利 利润=售价-进价；售价=进价×(1+利润率)；利润率= 利润 ×100%= 售价-进价 X 润问题 进价 进价 100%;总利润=单个利润×销售总量=总售价-总进价 数字 若一个两位数的十位上的数字是a,个位上的数字是b,则这个数可以表示为10a+ 问题 b;若一个三位数的百位上的数字是a,十位上的数字是b,个位上的数字是c,则这个 数可以表示为100a+10b+c 叁针对训练 1.一元二次方程2x2-x-3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是() A.2,1,3 B.2,1,-3 C.2,-1,3 D.2,-1,-3 2.将一元二次方程x2-8x=1配方，得到方程x2-8x+▲=1+▲，其中“△”表示的数是( A.4 B.8 C.16 D.64 3.若关于x的一元二次方程a(x-m)2+n=0(a≠0)的两根分别为-3,1，则方程a(x-m-2)2 +n=0的两根分别为( A.1,5 B.-1,-5 C.-3,1 D.-1,3 4.方程-x2+2x-2=0的根的情况为( A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有一个实数根 D.没有实数根 5.随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具 某品牌新能源汽车的月销售量由六月份的9000辆增加到八月份的12960辆，则该汽车 六月至八月销售量平均每月增长率为( A.44% B.259% C.22% D.20% 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBK·八年级数学第3页 第18章 勾股定理及其逆定理 ⊙考点1勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 2.勾股定理的验证：验证勾股定理的方法比较多，如测量法、数格子法、拼图法（拼接法和割补 法)等，最常用的是拼图法。 ⊙考点2利用勾股定理求面积或进行尺规作图 1.图形面积之间的关系：常见到以直角三角形的三边为基础，向外作半圆、正方形、等边三角形， 如图所示，它们具有相同的结论，即S,+S2=S,.与直角三角形的三边相连的图形换成正五边 形、正六边形等时，结论同样成立 2.用勾股定理画长为√n的线段：一般地，作长为√n（n为大于1的整数)的线段的关键是找到 两个数a,b,使a2+b2=n,因此只要作出直角边长为a,b的直角三角形，斜边的长即为√n. ○)考点3)勾股定理的逆定理及勾股数 1.勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角 形是直角三角形 2.勾股数：能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数 3.常见的勾股数：①3,4,5：②6,8,10；③5,12,13；④7,24,25；⑤8,15,17；⑥9,12,15. ○)考点4)勾股定理的简单应用 1.求长度、宽度：利用图中直角三角形，或作辅助线（作垂线）构造直角三角形；确定 待求线段与相关直角三角形已知边的关系， 2.最短路径问题 常涉及的定理有：两点之间线段最短和垂线段最短， 利用勾股定理解决最短路径问题主要体现在：(1)台阶中的最短路径问题：(2)立体图形（圆 柱、长方体或正方体等)中的最短路径问题. ”S针对训练 1.下面各组数据为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是( ) A.2,4,5 B.5,12,13 C.8,10,12 D.7,15,17 2.如图，数轴上点A所表示的数为a,则a的值是 A感应器 D -3-2-101A23 B 第2题图 第3题图 3.如图，线段AB是感应门的示意图，在其正上方点A处（离地2.1米）装着一个感应器，当 人体进入到感应范围内时，门会自动打开.身高1.6米的小宝（线段CD)走向感应门，当 离门1.2米的地方时(BC=1.2米)，感应门自动打开，则此时小宝的头顶D到感应器A 的距离等于 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBK·八年级数学第4页 第19章 四边形 ⊙)考点1多边形内角和 1.内角和定理：n边形(n为不小于3的整数)的内角和等于(n-2)·180° 2.外角和定理：n边形(n为不小于3的整数)的外角和等于360°. 【补充延伸1(1)正n边形的每个内角的废数为公-2》：180，年个外角的度数为G0 n (2)从n边形每一个顶点，都能引出(n-3)条对角线，共有n个顶点，一个n边形的对 角线共有”(m3》条.(3)从n边形的某一顶点出发的对角线，可以将该n边形分割成 2 (n-2)个三角形 心)考点2)平行四边形的性质及判定 1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形 2.平行四边形的性质 0连行抗ADBc,BcD (2)角对角相等 ∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC 对角线互相平分 (3)对角线 01=0c=4c,0B=0n=Bm 3.夹在两条平行线之间的平行线段相等， 4.平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫作这两条平 行线之间的距离. 5.平行四边形的判定 [①两组对边分别平行的四边形是平行四边形 :AD∥BC,AB∥CD,∴.四边形ABCD是平行四边形 ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形 (1)边{ .AD=BC,AB=CD,∴.四边形ABCD是平行四边形 ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 :AD LBC(或AB LCD),∴.四边形ABCD是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 (2)角 .∠DAB=∠DCB,∠ABC=∠ADC,∴，四边形ABCD是平行四边形 (3)对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ,OA=OC,OB=OD,∴.四边形ABCD是平行四边形 6.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截 得的线段也相等 7.平行线等分线段定理的推论：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边： 心)考点3)三角形中位线定理 1.三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线， 2.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 3.三角形重心的性质：三角形的三条中线相交于一点，这点就是三角形的重心.重心和各边中点 的距离等于相应各边上中线的号 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBK·八年级数学第5页 ○)考点4矩形的性质和判定 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，也就是长方形 2.矩形的性质 矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质： (矩形的四个角都是直角 (1)角 ,四边形ABCD是矩形，∴.∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90° 矩形的对角线相等 (2)对角线 .四边形ABCD是矩形，∴.AC=BD (①有两条对称轴 (3)对称性 ②对称轴是过每组对边中，点的直线 【拓展延伸】（1)矩形的任意一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形；(2)矩形的 两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，分成四个面积相等的等腰三角形 3.直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 4.矩形的判定 [①三个角是直角的四边形是矩形 (1)角 ,∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，∴.四边形ABCD是矩形 ②定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形 .四边形ABCD是平行四边形，∠CDA=90°，.四边形ABCD是矩形 (对角线相等的平行四边形是矩形 (2)对角线 .四边形ABCD是平行四边形，AC=BD,∴.四边形ABCD是矩形 心)考点5菱形的性质和判定 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形 2.菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质。 (1)边菱形的四条边都相等 :四边形ABCD是菱形，∴.AB=BC=CD=DA 「菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 (2)对角线.四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD,∠ADB=∠CDB=∠ABD =∠CBD,∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA ①有两条对称轴 (3)对称性 ②对称轴是两条对角线所在的直线 【拓展延伸】①对角线互相垂直平分的四边形是菱形：②菱形的对角线将菱形分成4个全 等的直角三角形；③菱形的面积_对角线长的乘积 2 3菱形的判定 [①定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 在口ABCD中，AB=BC,.□ABCD是菱形 (1)边 ②四边相等的四边形是菱形 在四边形ABCD中，，AB=BC=CD=DA,.四边形ABCD是菱形 (对角线互相垂直的平行四边形是菱形 (2)对角线 在口ABCD中，.AC⊥BD,.口ABCD是菱形 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBK·八年级数学第6页 心)考点6)正方形的性质和判定 1.定义：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫作正方形 2.性质：具有矩形、菱形、平行四边形的一切性质。 3.正方形的判定 (1)从四边形出发 ①四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形 ②对角线相等、互相垂直平分的四边形是正方形 (2)从平行四随形曲安侣海角贺突站相置资品率的个角德变鲍上何边移是玉方 (3)从矩形出发 (①有一组邻边相等的矩形是正方形 ②对角线互相垂直的矩形是正方形 (4)从菱形出发 ①有一个角是直角的菱形是正方形 1②对角线相等的菱形是正方形 4.平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质对比 边 角 对角线 平行四边形 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 菱形 对边平行，四条边相等 对角相等 对角线互相垂直平分，每一条对 角线平分一组对角 正方形 对边平行，四条边相等 四个角都是直角 对角线互相垂直平分且相等，每 一条对角线平分一组对角 【拓展延伸】顺次连接任意四边形各边中，点所组成的四边形叫做中点四边形.平行四边 形的中点四边形是平行四边形；矩形的中点四边形是菱形；菱形的中点四边形是矩形；正 方形的中，点四边形是正方形；任意四边形的中点四边形是平行四边形. 恩针对训练 如图，在△ABC中，点DE分别在4B.AC边上.且DE/BC.者4B=6.4AD=3,则的 值为( 3 1 A. B. C. D.1 2 3 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,过点D作DE⊥AC于点E,若∠AOD= 130°，则∠CDE的度数是( A.45° B.35° C.25° D.20° 3.如图，公路AC,BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为 1.8km,则M、C两点间的距离为( A.0.5 km B.0.9 km C.0.6 km D.1.2 km 4.如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O,DE⊥BC于点E,连接OE,若AC=8,菱形ABCD周 长为20，则0E的长为() A.2 B.2.5 C.3 D.4 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBK·八年级数学第7页 第20章数据的初步分析 心)考点1数据的频数分布 1.频数：一批数据中落在某个小组内数据的个数称为这个组的频数， 2.频率：如果一批数据共有n个，其中某一组数据是m个，那么”m就是该组数据在这批数据中出 现的频率 3.绘制频数分布直方图的一般步骤 (1)计算数据中最大数与最小数的差；(2)决定组距与组数；(3)决定分点；(4)列频数分布 表：(5)画频数直方图. ⊙考点2数据的集中趋势 1 1.平均数：一般地，如果有n个数据x1,x2,…,x,那么(x+x2++x)就是这组数据的平均数， 7 用“”表示，即x=（x+,++,)。 2.加权平均数花=+5+…+ ,其中f,…f分别表示数据x1,x2,…,x出现的次数， f+f+...tf 或者表示数据x1,x2,…,x在总结果中的比重，我们称其为各数据的权，x叫作x1,x2,…,x 这k个数据的加权平均数 3.中位数：一般地，当将一组数据按大小顺序排列后，位于正中间的一个数据（当数据的个数是 奇数时)或正中间两个数据的平均数（当数据的个数是偶数时）叫作这组数据的中位数 4.众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.（一组数据中，众数可能不止一 个，也可能没有) 5.样本平均数：在现实生活中，总体平均数一般难以计算出来，通常我们用样本平均数估计总体 平均数.在用样本平均数估计总体平均数时，如果样本容量太小，往往差异较大 心)考点3)数据的离散程度 1方差：设-组数据是出，…，它们的平均数是x,则方差。子=【（名-）2+()2++ (x-x)2].一组数据方差越大，说明这组数据的离散程度越大；方差越小，说明这组数据的离 散程度越小 2.离差平方和与方差都具有的性质：(1)最小值为0；(2)数据的离散程度大，它们的值也大 心)考点4)四分位数和箱线图 1.四分位数：一组数据从小到大排列，第25百分位数（记作m2s)、中位数（记作m50)、第75百分 位数（记作ms)把所有的数据等分成四部分，因此，称为四分位数，m25,ms0,m5分别称为第 一四分位数(Q)、第二四分位数(Q2)、第三四分位数(Q3): 2.箱线图：统计学上，箱线图直观地展示一组数据的统计特征值，便 5432 大值 三四分位数 于分析不同类别数据各层次水平的差异（如离散程度、分布差 三四分位数 异).箱线图通常会画出最小值、最大值和四分位数 第中琴在数 一最小值 S针对训练 1.一组数据的最大值为100，最小值为45，若选取组距为10，则这组数据可分成( A.6组 B.7组 C.8组 D.9组 2.小明的平时成绩、期中成绩、期末成绩分别为85分、80分、90分，若三者的权重分别为 20%、30%、50%,则小明的最终成绩为( A.85分 B.86分 C.87分 D.88分 追梦之旅真题·课本知识集锦·ZBK·八年级数学第8页⑧ 追梦之旅 THE ROAD TO DREAM 答案详解详析 初中期末真题篇 答案规范详尽 安徽专版 难题全面解析 ★易错剖析—避免踩坑 ★方法指导—触类旁通 赠 ★知识拓展—高效便捷 数学 ZBK与其说这是套答案，不如说是位答疑解惑的良师 八 年级下册 授人以鱼不如授人以渔一考前用追梦，做题有方法