题海探秘10 正态分布讲义-2025-2026学年高二下学期数学《题海探秘》同步考点复习指南（人教A版选择性必修第三册）

2025-2026高二下学期数学《题海探秘》同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 题海探秘10 正态分布8考点复习指南 1．连续型随机变量 随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为0，称这类随机变量为连续型随机变量. 2．正态分布 (1)正态曲线 函数f(x)=，x∈R.其中∈R，>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正 态密度曲线，简称正态曲线. (2)正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为XN(,).特别地， 当=0，=1时，称随机变量X服从标准正态分布. (3)正态分布的均值和方差 若XN(,)，则E(X)=，D(X)=. 3．正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x=对称； (3)曲线在x=处达到峰值； (4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴； (5)对任意的>0，曲线与x轴围成的面积总为1； (6)在参数取固定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示； (7)当取定值时，正态曲线的形状由确定，当较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分 布比较集中；当较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示. 4．3原则 (1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(-X+)0.6827； P(-2X+2)0.9545； P(-3X+3)0.9973. (2)3原则 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(,)的随机变量X只取[-3，+3]中的值，这在统计学 中称为3原则. 考点1 正态曲线与正态密度函数 1．（2026高三·上海·课堂例题）根据正态密度函数的表达式，找出其均值和方差. (1)，； (2)，. 2．（2026高二·全国·课后作业）设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026高二·吉林长春·期中）设随机变量，X的正态密度函数为，则______. 4．【多选】（2026高三·全国·专题练习）已知随机变量和满足，若服从正态分布，其正态曲线对应的密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026高二·江苏·课后作业）函数(其中)的图象可能为（   ） A．  B．   C．   D．   6．（2026高二·全国·课后作业）关于标准正态分布的概率密度函数的说法中： ①为偶函数；②的最大值是； ③在时是单调递减函数，在时是单调递增函数； ④关于对称． 正确说法的编号有__________． 考点2 正态曲线的图象和性质 7．（2026高二·黑龙江佳木斯·期末）设两个正态分布和曲线如图所示，则有（    ）    A． B． C． D． 8．【多选】（2026高二·福建三明·期中）已知两种金属元件（分别记为，）的抗拉强度均服从正态分布，且，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项中正确的是（   ）（参考数据：若，则，） A．， B． C． D．对于任意的正数，恒有 9．【多选】（2026高三·全国·一轮复习）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 10．（2026·浙江宁波·模拟预测）设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（    ） A． B． C． D． 11．（2026高三·全国·课后作业）某校400名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，正态分布密度曲线如图所示，则成绩X位于区间的人数大约是_________． 12．（2026高三·广东佛山·月考）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（2026高二·全国·课后作业）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 14．（2026高二·浙江温州·期中）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 15．【多选】（2026高二·浙江嘉兴·期中）假设两所学校的数学联考成绩（分别记为X，Y）均服从正态分布，即，，X，Y的正态分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的有（    ） 参考数据：若，则， A． B． C． D． 考点3 利用正态曲线的对称性求概率 16．（2026·广东佛山·模拟预测）随机变量服从正态分布，，则______. 17．（2026·山东济南·模拟预测）已知随机变量X服从正态分布，且，则（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 18．（2026·山东聊城·模拟预测）已知随机变量，则（    ） A．0.12 B．0.16 C．0.22 D．0.26 19．（2026高二·山西临汾·期中）已知随机变量服从正态分布，且，则______． 20．（2026高二·北京·期中）随机变量服从正态分布，若，则________ 21．（2026高二·云南·期中）已知随机变量，若，则（   ） A．0.6 B．0.2 C．0.3 D．0.4 22．（2026·河南南阳·模拟预测）已知，且，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.35 D．0.45 23．【多选】（2026·山西晋城·模拟预测）已知随机变量，则（   ） A． B． C． D． 24．（2026高二·全国·课堂例题）设，试求： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点4 利用正态曲线的对称性求参数 25．（2026高二·山东临沂·期中）已知随机变量，，则值为（    ） A． B． C． D． 26．（2026高二·湖南邵阳·期中）已知随机变量服从正态分布，若，则实数的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 27．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知随机变量，若，则（   ） A．88 B．90 C．92 D．94 28．（2026·四川自贡·模拟预测）已知二项式的展开式中所有项的系数和为32，若且，则为（   ） A．1 B． C．2 D． 29．（2026高二·上海奉贤·月考）已知随机变量，且，则当时，的最小值为___________. 30．（2026·广西贵港·模拟预测）已知随机变量服从正态分布，若，其中，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 31．（2026·河北衡水·模拟预测）已知随机变量，且，则的展开式中的常数项为________.（用数字作答） 考点5 利用3原则求概率 32．（2026高二·江苏连云港·期中）某产品的质量指标服从正态分布，质量指标介于至之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到，则需要较高的生产工艺，使得不超过（    ）（备注：若，则） A． B． C． D． 33．（2026高三·湖北黄石·期末）假设某次考试的成绩服从正态分布.如果按的比例将考试成绩从高到低分为四个等级，则A等级的分数线约为（    ） 【若，则】 A．85 B．130 C．115 D．145 34．（2026高三·河北邢台·月考）袋装食盐标准质量为，规定误差的绝对值不超过就认为合格.某食盐包装生产线的误差服从正态分布，误差的样本均值为0，样本方差为4，则随机抽取10000袋食盐，估计合格的约（   ）袋. [附：若随机变量X服从正态分布，则，，.] A．6827 B．8161 C．9545 D．9759 35．（2026高三·全国·暑假作业）某奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量，则．记一天中旅客人数不少于万人的概率为，则的值约为（    ） （参考数据：若，则，，） A． B． C． D． 36．（2026高二·全国·单元测试）某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值，经计算．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，）（    ） A． B． C． D． 37．（2026高二·山东临沂·期末）已知0.9973.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（    ） A．286 B．293 C．252 D．246 38．（2026高二·陕西西安·期末）某市高中数学统考，假设考试成绩服从正态分布，将考试成绩从高到低按照、、、的比例分为、、、四个等级．若小明的数学成绩为分，则属于等级（    ） （附：，） A． B． C． D． 39．（2026高二·河南南阳·期末）西峡猕猴桃是河南特产、中国国家地理标志产品.据统计，西峡县某种植基地新品种猕猴桃的单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有随机采摘的该新品种猕猴桃10000个，估计其中单果质量不低于70g的猕猴桃个数为（   ） 参考数据：若，则，，. A．8413 B．9544 C．9772 D．9987 40．（2026高二·安徽合肥·期末）庐江某早餐店发现加入网络平台销售后，每天米饺的销售量（单位：个），估计200天内米饺的日销售量约在700到850个的天数大约是（   ） （附：随机变量，则， A．158 B．164 C．172 D．180 41．（2026高二·四川绵阳·期末）在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试.高二有名学生（百分制且卷面成绩均为整数）服从正态分布，则下列说法错误的是（    ）（人数保留整数） 参考数据：若则，. A．年级平均成绩为82.5分 B．成绩在95分以上（含95分）人数和70分以下（含70分）人数相等 C．成绩不超过77分的人数少于150 D．超过99分的人数约为1 考点6 标准正态分布的应用 42．（2026高三·山东济南·月考）设随机变量，其中，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 43．（2026·湖南）设随机变量服从标准正态分布，已知，则（    ） A． B． C． D． 44．（2026高三·全国·专题练习）设随机变量服从，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 45．（2026高二·江苏淮安·期末）随机变量，，若，则___________. 46．【多选】（2026·江苏宿迁·模拟预测）设随机变量，其中，下列说法正确的是（    ） A．变量的方差为1，均值为0 B． C．函数在上是单调增函数 D． 47．（2026高二·山东青岛·期中）随机变量X服从正态分布，当，时，称随机变量X服从标准正态分布. 现已知随机变量Y服从正态分布. 若随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布，则________. 48．【多选】（2026高二·江苏盐城·期中）若随机变量，，其中，下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 49．（2026·山东潍坊·模拟预测）设随机变量X服从标准正态分布，那么对于任意a，记，已知，则=______． 考点7 正态分布的实际应用 50．（2026高二·辽宁·月考）为研究某型号新能源汽车的耗电量（单位：kW·h/100km）情况，随机调查得到了1000个该型号新能源汽车样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量，若，则该型号新能源汽车样本中耗电量大于14kW·h/100km的汽车大约有（   ） A．700辆 B．350辆 C．300辆 D．150辆 51．（2026·重庆·模拟预测）据调查，某高校大学生每个月的生活费(单位：元) 服从正态分布，又，已知该校大学生人数较多，现从该校所有学生中，随机抽取10位同学， 则这10位同学中，每月生活费不低于1500的人数大约有_____人． 52．【多选】（2026·河南鹤壁·模拟预测）（多选题）某计步软件的后台数据显示，其用户的每日步数近似服从正态分布，则下列结论正确的是（　　） 附：若随机变量，则． A．约有95%的用户每日步数在3600到10800之间 B．每日步数多于5400和多于9000的用户比例大致相等 C．若某人每日步数为9000，则其步数超过了大约84%的用户 D．随机抽取100名用户，他们每日步数的方差接近1800 53．（2026·江苏·模拟预测）某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差.已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过495克的可能性约为（   ） A． B． C． D． 54．（2026高二·浙江宁波·月考）某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布. (1)估计数学成绩超过112分的人数占总人数的比例； (2)若该市有10000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数. 参考数据：若，则，，. 55．（2026高二·江西·期末）某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布，规定：分数高于93分为优秀． (1)估计数学成绩优秀的人数占总人数的比例； (2)若该市有60000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数． 参考数据： 若，则，． 考点8 正态分布与其他分布的综合 56．（2026·上海·模拟预测）班主任小明查阅了某大学发表的一项本市高三学生手机使用情况的研究报告.报告指出，高三学生每周手机使用时长（单位:小时）总体上服从正态分布. (1)小明老师将自己所带班级（共50名学生）视为从本市高三学生总体中随机抽取的一个样本，能以此正态分布模型估算出全班每周平均手机使用时长超过16小时的人数，在此估算基础上若在全班任选3位同学，则至少有2位同学的每周手机使用时长超过16小时的概率是多少?（结果用最简分数表示） 参考数据:若，则. (2)小明老师发现小虹同学每周手机使用时长超过16小时，对其进行疏导劝解，并跟进统计出之后5周小虹每周手机使用时长与该周数学练习得分（每周练习的难度相同且满分均为150分），制成表1.以这5组数据建立回归方程.请求出实数的值 表1 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 手机使用时长 20 18 22 16 14 练习得分 80 88 73 92 m (3)受到鼓励的小虹制定了寒假复习计划表递交给小明老师，严格控制手机使用时长.小明老师统计发现该计划表中若第n天能复习时长超过5小时（记为“高效复习”），则第天也能“高效复习”的概率为;若第天不能“高效复习”，则第天还能“高效复习”的概率为.设（，为正整数）表示第天能“高效复习”的概率，，若表示复习计划表第天有效.求证:数列是等比数列，并说明小虹的该复习计划表是否在寒假每一天均有效. 57．（2026·河南开封·模拟预测）某中学开展劳动教育实践活动，学生进行某种蔬菜种植实验，实验分为育苗、定植、收获三个阶段．已知每株蔬菜育苗成功的概率为，各株蔬菜苗是否成功相互独立；只有育苗成功的蔬菜才能进入定植阶段，定植后进入收获阶段的蔬菜，单株产量X（单位：kg）服从正态分布，市场上该品种蔬菜的售价为6元/kg，单株蔬菜从育苗到收获的平均种植成本为18元． (1)若对10株蔬菜进行育苗实验，记育苗成功的株数为Y，求至少有9株蔬菜苗育成功的概率与（结果用p表示）； (2)从进入收获阶段的蔬菜中随机抽取1株，估计其单株利润为正的概率． 附：若随机变量，则，，． 58．（2026高三·江苏扬州·月考）某零部件代加工基地为某科技公司生产了一批精密零件，其质量指标（单位：μm）服从正态分布，已知当时，．规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立． (1)现从该批零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； (2)从该批零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与期望； 59．（2026·江西萍乡·模拟预测）某企业产品质检员随机从一条生产线分两次共抽取50件样品进行误差检测，统计数据如下表： 抽取次数 抽取件数 平均误差 第一次 30 0.3 第二次 20      (1)已知这条生产线的产品误差X服从正态分布，若以这50件样品的平均误差作为的估计值，且误差落在区间内的产品为“特等品”，试估计这条生产线生产的10000件产品中“特等品”的件数； (2)已知这条生产线的“特等品”在某项测试任务中的达标率为80%，现随机抽取4件“特等品”进行该项测试任务，记其中达标的件数为随机变量Y，求Y的分布列及其数学期望． 附：若，则，；． 60．（2026高二·山西长治·期中）某厂甲、乙两条生产线同时生产某种零件，该厂规定这种零件的内径不小于100mm且不大于120mm为优等品.已知甲生产线生产的这种零件的内径X服从正态分布，乙生产线生产的这种零件的内径Y服从正态分布，且满足，.现将甲、乙两条生产线生产的这种零件的数量按3∶2的比例混合在一起. (1)从这批混合零件中随机抽取一件，求该零件是优等品的概率； (2)从这批混合零件中随机抽取4件，记这4个零件中优等品的个数为，求的分布列和数学期望. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026高二下学期数学《题海探秘》同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 题海探秘10 正态分布8考点复习指南 1．连续型随机变量 随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为0，称这类随机变量为连续型随机变量. 2．正态分布 (1)正态曲线 函数f(x)=，x∈R.其中∈R，>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正 态密度曲线，简称正态曲线. (2)正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为XN(,).特别地， 当=0，=1时，称随机变量X服从标准正态分布. (3)正态分布的均值和方差 若XN(,)，则E(X)=，D(X)=. 3．正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x=对称； (3)曲线在x=处达到峰值； (4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴； (5)对任意的>0，曲线与x轴围成的面积总为1； (6)在参数取固定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示； (7)当取定值时，正态曲线的形状由确定，当较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分 布比较集中；当较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示. 4．3原则 (1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(-X+)0.6827； P(-2X+2)0.9545； P(-3X+3)0.9973. (2)3原则 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(,)的随机变量X只取[-3，+3]中的值，这在统计学 中称为3原则. 考点1 正态曲线与正态密度函数 1．（2026高三·上海·课堂例题）根据正态密度函数的表达式，找出其均值和方差. (1)，； (2)，. 【答案】(1)均值0，方差1 (2)均值1，方差2 【分析】将所给的函数表达式与正态密度函数的表达式对照即可求得. 【详解】（1）根据正态密度函数及对照得： ，所以所求的均值0，方差1； （2）根据正态密度函数及对照得： ，所以所求的均值1，方差2. 2．（2026高二·全国·课后作业）设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合正态分布密度函数的解析式，即可求解. 【详解】由正态分布密度函数，可得. 故选：C. 3．（2026高二·吉林长春·期中）设随机变量，X的正态密度函数为，则______. 【答案】0 【分析】由正态密度函数结构直接可得. 【详解】由正态密度函数结构特征可知，. 故答案为：0 4．【多选】（2026高三·全国·专题练习）已知随机变量和满足，若服从正态分布，其正态曲线对应的密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据正态曲线对应的密度函数可确定中，继而结合方差的性质以及正态曲线的对称性意义判断各选项，即得答案. 【详解】由正态曲线对应的密度函数为，得，， 则，，A正确； 因为，所以，B错误； 因为，结合正态曲线可知，C正确； ，D错误． 故选：AC 5．（2026高二·江苏·课后作业）函数(其中)的图象可能为（   ） A．  B．   C．   D．   【答案】A 【分析】函数图象的对称轴为直线，由判断各选项.. 【详解】函数图象的对称轴为直线，因为，所以排除B，D； 又正态曲线位于x轴上方，因此排除C，所以A正确. 故选：A. 6．（2026高二·全国·课后作业）关于标准正态分布的概率密度函数的说法中： ①为偶函数；②的最大值是； ③在时是单调递减函数，在时是单调递增函数； ④关于对称． 正确说法的编号有__________． 【答案】①②③ 【分析】根据正态分布密度函数的解析式，逐项判定，即可求解. 【详解】由正态分布密度函数，可得的图象关于对称， 所以为偶函数，所以①正确，④不正确； 根据正态分布曲线的性质得，当时，函数取得最大值，所以②正确； 根据正态分布曲线的性质，可得在上单调递增，在单调递减，所以③正确. 故答案为：①②③ 考点2 正态曲线的图象和性质 7．（2026高二·黑龙江佳木斯·期末）设两个正态分布和曲线如图所示，则有（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从正态曲线关于直线对称，看的大小，从曲线越“矮胖”，表示总体越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．看出的大小即可解决． 【详解】从正态曲线的对称轴的位置看，显然， 正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，越小，则，所以A正确. 故选：A. 8．【多选】（2026高二·福建三明·期中）已知两种金属元件（分别记为，）的抗拉强度均服从正态分布，且，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项中正确的是（   ）（参考数据：若，则，） A．， B． C． D．对于任意的正数，恒有 【答案】AB 【分析】对于A，由正态分布的高矮和对称轴的位置可判断其正误，对于B，根据正态分布的对称性可求给定区间上的概率，故可判断其正误，对于CD，根据面积的大小可判断它们正误. 【详解】对于A，因为的正态分布曲线高而廋，的正态分布曲线矮而胖，故， 由两条曲线的对称轴的位置可得，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由A可得，故，C错误； 对于D，对于任意的正数t，由图象可知： 表示的面积始终小于表示的面积， 则恒有，D错误. 故选：AB 9．【多选】（2026高三·全国·一轮复习）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 【答案】AC 【分析】根据正态密度函数的图象，得到，，即可求解. 【详解】X，Y均服从正态分布，， 结合正态密度函数的图象可知，可得，， 故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确，B错误； 甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D错误． 故选：AC 10．（2026·浙江宁波·模拟预测）设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意和正态曲线即可求得，又根据正态曲线可得，进而即可求得． 【详解】根据题意，且，则， 由正态曲线得，所以． 故选：C． 11．（2026高三·全国·课后作业）某校400名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，正态分布密度曲线如图所示，则成绩X位于区间的人数大约是_________． 【答案】273 【分析】由图知：，利用原则可求出成绩X位于区间的概率，进而可得出大约人数. 【详解】由题意可知：，由图象可得：， ∵，即， ∴成绩X位于区间的人数大约是. 故答案为：273. 12．（2026高三·广东佛山·月考）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，随机变量服从正态分布，且， 可得随机变量的方差为，即，所以A错误； 对于B中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量， 所以，所以B错误； 对于C中，根据正态分布密度曲线图像，可得时，随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量对应的曲线与围成的面积， 所以，所以C正确； 对于D中，根据正态分布密度曲线图像，可得，， 即，所以D错误. 故选：C. 13．（2026高二·全国·课后作业）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【答案】A 【分析】根据正态分布的特征可得两者的均值、方差的大小关系，结合正态分布密度曲线可判断D，进而即得. 【详解】由题图可知甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称， 所以，，，故A正确，C错误； 因为甲图象比乙图象更“高瘦”（曲线越“高瘦”，越小，表示总体的分布越集中）， 所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误； 因为乙图象的最高点为，即，所以，故D错误． 故选：A． 14．（2026高二·浙江温州·期中）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态分布曲线的性质，确定出两个均值和方差的大小，然后结合图比较概率的大小 【详解】因为，，两曲线分别关于对称， 所以由图可知，，所以A错误， 因为的分布曲线“高瘦”，的分布曲线“矮胖”， 所以 ，所以B错误， 所以，， 所以C错误，D正确， 故选：D 15．【多选】（2026高二·浙江嘉兴·期中）假设两所学校的数学联考成绩（分别记为X，Y）均服从正态分布，即，，X，Y的正态分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的有（    ） 参考数据：若，则， A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由图可知，由此可判断A； 由图可知Y分布更集中，有，由此可判断B； 由计算可判断C； 由可知，，可判断D． 【详解】对A，由图可知，所以A错误； 对B，由图可知Y分布更集中，所以，则，所以B错误； 对C，由正态分布，， 则，故C正确； 对D，由图可知，，所以，故D正确． 故选：CD. 考点3 利用正态曲线的对称性求概率 16．（2026·广东佛山·模拟预测）随机变量服从正态分布，，则______. 【答案】/ 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以， 所以. 17．（2026·山东济南·模拟预测）已知随机变量X服从正态分布，且，则（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】B 【详解】因为随机变量X服从正态分布，所以， 由正态分布的对称性得，故B正确. 18．（2026·山东聊城·模拟预测）已知随机变量，则（    ） A．0.12 B．0.16 C．0.22 D．0.26 【答案】B 【详解】随机变量， ． 19．（2026高二·山西临汾·期中）已知随机变量服从正态分布，且，则______． 【答案】0.4 【详解】随机变量服从正态分布，其对称轴是直线. 因为，所以，所以， 所以. 20．（2026高二·北京·期中）随机变量服从正态分布，若，则________ 【答案】0.2/ 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】因为随机变量服从正态分布，若， 所以，. 所以. 21．（2026高二·云南·期中）已知随机变量，若，则（   ） A．0.6 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】C 【分析】根据题意，求得，结合正态分布的曲线的对称性，即可求解. 【详解】由随机变量，可得正态分布的均值为，其图象关于对称， 则，所以. 22．（2026·河南南阳·模拟预测）已知，且，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.35 D．0.45 【答案】C 【分析】应用正态分布的对称性求解即可. 【详解】由正态分布的对称性可知，，，已知， 所以，因为， 且，所以，又因为， 所以，代入， 可得，故，所以. 故选：C. 23．【多选】（2026·山西晋城·模拟预测）已知随机变量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据正态分布的概率求解思路，以及方差的性质，结合已知条件，对选项逐一分析，即可选择. 【详解】对A：因为随机变量，所以正态曲线关于直线对称，所以，故A正确； 对B：因为，且， 所以，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：，故D错误． 故选：AC. 24．（2026高二·全国·课堂例题）设，试求： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用正态分布三段区间的概率值求概率； （2）利用正态分布三段区间的概率值求概率； （3）利用正态分布三段区间的概率值结合对称性求概率； （4）利用正态分布三段区间的概率值结合对称性求概率. 【详解】（1），． 所以． （2）∵该正态曲线关于直线对称， 所以． （3）∵该正态曲线关于直线对称， ， . （4）因为该正态曲线关于直线对称， ， ． 考点4 利用正态曲线的对称性求参数 25．（2026高二·山东临沂·期中）已知随机变量，，则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正态密度曲线的对称性求解即可. 【详解】因为随机变量，， 所以和的平均数为，即，解得. 26．（2026高二·湖南邵阳·期中）已知随机变量服从正态分布，若，则实数的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】因为随机变量服从正态分布，且， 则，解得. 27．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知随机变量，若，则（   ） A．88 B．90 C．92 D．94 【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性可得. 【详解】因为，所以， 所以. 28．（2026·四川自贡·模拟预测）已知二项式的展开式中所有项的系数和为32，若且，则为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】因为二项式的展开式中所有项的系数和为32， 令，可得. 因为，且. 29．（2026高二·上海奉贤·月考）已知随机变量，且，则当时，的最小值为___________. 【答案】 【分析】根据正态分布的对称性，可得a值，根据基本不等式“1”的代换，计算化简，即可得答案. 【详解】因为，所以对称轴， 因为，所以， 则当时，， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 30．（2026·广西贵港·模拟预测）已知随机变量服从正态分布，若，其中，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正态分布得到的关系式，从而消元，变形，利用基本不等式求出最值 【详解】，， 由正态分布的对称性可知，故， 因为，所以，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 31．（2026·河北衡水·模拟预测）已知随机变量，且，则的展开式中的常数项为________.（用数字作答） 【答案】 【分析】先由正态分布的对称性得到a的值，然后写出二项展开式的通项公式，令x的指数为0即可求解. 【详解】随机变量，则图像关于对称，且， 由对称性可得，解得， 的通项公式为， 当时得到展开式的常数项为. 考点5 利用3原则求概率 32．（2026高二·江苏连云港·期中）某产品的质量指标服从正态分布，质量指标介于至之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到，则需要较高的生产工艺，使得不超过（    ）（备注：若，则） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为产品的质量指标服从正态分布，， 又质量指标介于至之间的产品为良品，良品率达到， 所以，解得，所以不超过. 33．（2026高三·湖北黄石·期末）假设某次考试的成绩服从正态分布.如果按的比例将考试成绩从高到低分为四个等级，则A等级的分数线约为（    ） 【若，则】 A．85 B．130 C．115 D．145 【答案】C 【分析】借助正态分布的原则，进行解题； 【详解】因为，则， 由于考试成绩从高到低分为四个等级，故等级对应“”， 因为考试的成绩服从正态分布，， 则， 则A等级的分数线约为115. 故选：C. 34．（2026高三·河北邢台·月考）袋装食盐标准质量为，规定误差的绝对值不超过就认为合格.某食盐包装生产线的误差服从正态分布，误差的样本均值为0，样本方差为4，则随机抽取10000袋食盐，估计合格的约（   ）袋. [附：若随机变量X服从正态分布，则，，.] A．6827 B．8161 C．9545 D．9759 【答案】C 【分析】根据题意得到误差的随机变量满足的条件，结合附加数值计算. 【详解】因为误差的样本均值为，样本方差为，所以， 又规定误差的绝对值不超过为合格，即合格时误差随机变量满足， 即，根据附加信息， 估计误差满足的概率约为， 所以估计合格的袋数约为. 故选：C. 35．（2026高三·全国·暑假作业）某奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量，则．记一天中旅客人数不少于万人的概率为，则的值约为（    ） （参考数据：若，则，，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正态分布曲线的对称性及原则直接求解即可. 【详解】，，， ， ， . 故选：A. 36．（2026高二·全国·单元测试）某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值，经计算．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算样本的平均数和方差，由此估计，再结合正态分布以及参考数据可计算身体素质合格的概率. 【详解】因为100个数据的平均值， 方差， 所以的估计值为72，的估计值为6． 设该市高中生身体素质指标值为，由， 得， ， 故． 故选：C 37．（2026高二·山东临沂·期末）已知0.9973.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（    ） A．286 B．293 C．252 D．246 【答案】C 【分析】根据正态分布的性质，结合所给区间概率公式进行求解即可. 【详解】由题意可知：， 由所给公式， 即， 所以， 因此被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为， 故选：C 38．（2026高二·陕西西安·期末）某市高中数学统考，假设考试成绩服从正态分布，将考试成绩从高到低按照、、、的比例分为、、、四个等级．若小明的数学成绩为分，则属于等级（    ） （附：，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的值，结合可得出结论. 【详解】由题意可得，，则， 因为， 故小明的数学成绩属于等. 故选：A. 39．（2026高二·河南南阳·期末）西峡猕猴桃是河南特产、中国国家地理标志产品.据统计，西峡县某种植基地新品种猕猴桃的单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有随机采摘的该新品种猕猴桃10000个，估计其中单果质量不低于70g的猕猴桃个数为（   ） 参考数据：若，则，，. A．8413 B．9544 C．9772 D．9987 【答案】C 【分析】计算出，从而估计出单果质量不低于70g的猕猴桃个数. 【详解】，， 又， 故， 估计其中单果质量不低于70g的猕猴桃个数为. 故选：C 40．（2026高二·安徽合肥·期末）庐江某早餐店发现加入网络平台销售后，每天米饺的销售量（单位：个），估计200天内米饺的日销售量约在700到850个的天数大约是（   ） （附：随机变量，则， A．158 B．164 C．172 D．180 【答案】B 【分析】首先确定，，从而确定，再根据原则求出概率，即可求解. 【详解】由条件可知，，， 则， ， 估计200天内米饺的日销售量约在700到850个的天数大约是. 故选：B 41．（2026高二·四川绵阳·期末）在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试.高二有名学生（百分制且卷面成绩均为整数）服从正态分布，则下列说法错误的是（    ）（人数保留整数） 参考数据：若则，. A．年级平均成绩为82.5分 B．成绩在95分以上（含95分）人数和70分以下（含70分）人数相等 C．成绩不超过77分的人数少于150 D．超过99分的人数约为1 【答案】C 【分析】由正态分布概念判断A正确，由对称性得出B正确，根据原则和对称性判断C错误，D正确. 【详解】对于A选项：由，得出，，故平均分为82.5，A正确； 对于B选项：因为，由对称性可知成绩在95分以上（含95分） 人数和70分以下（含70分）人数相等，故B正确； 对于C选项：， 则，故C错误； 对于D选项：， 所以，则超过98分的人数约为1，故D正确. 故选：C 考点6 标准正态分布的应用 42．（2026高三·山东济南·月考）设随机变量，其中，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据随机变量服从标准正态分布，得到正态曲线关于对称，再结合正态分布的密度曲线定义，由此逐一分析四个选项，即可得到答案． 【详解】解：因为随机变量， 所以正态曲线关于直线对称， 因为， 所以根据正态曲线的对称性可得，故选项B正确； 因为，，所以选项A错误； ，故选项C错误； 或，故选项D错误． 故选：B． 43．（2026·湖南）设随机变量服从标准正态分布，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据变量符合正态分布，且对称轴为，得到应用所给条件即可求出结果. 【详解】服从标准正态分布， ∴ ， 故选：C. 44．（2026高三·全国·专题练习）设随机变量服从，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）查询标准正态分布概率密度表求对应概率值. 【详解】（1）. （2）. （3）. 45．（2026高二·江苏淮安·期末）随机变量，，若，则___________. 【答案】/ 【分析】分析可知，结合正态分布的对称性运算求解. 【详解】因为，可知， 若， 可得， 所以. 故答案为：. 46．【多选】（2026·江苏宿迁·模拟预测）设随机变量，其中，下列说法正确的是（    ） A．变量的方差为1，均值为0 B． C．函数在上是单调增函数 D． 【答案】ACD 【分析】由正态分布的表示可判断A；由正态曲线及可判断B，根据正态曲线的性质可判断C，根据正态曲线的对称性可判断D. 【详解】随机变量，则A正确； ，则B错误； 随机变量，结合正态曲线易得函数在上是单调增函数，则C正确； 正态分布的曲线关于对称，，则D正确， 故选：ACD． 47．（2026高二·山东青岛·期中）随机变量X服从正态分布，当，时，称随机变量X服从标准正态分布. 现已知随机变量Y服从正态分布. 若随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布，则________. 【答案】/ 【分析】由标准正态分布的定义结合期望和方差的性质计算即可. 【详解】随机变量Y服从正态分布，所以， 因为随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布， 所以， 所以，. 即，解得，则. 故答案为：. 48．【多选】（2026高二·江苏盐城·期中）若随机变量，，其中，下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用正态密度曲线的对称性可判断各选项的正误. 【详解】对于A选项，利用正态密度曲线的对称性可知， 所以，，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项， ，C对； 对于D选项，，D对. 故选：ACD. 49．（2026·山东潍坊·模拟预测）设随机变量X服从标准正态分布，那么对于任意a，记，已知，则=______． 【答案】0.4/ 【分析】根据正太分布密度曲线的对称性即可求解. 【详解】由题可知， . 故答案为：0.4. 考点7 正态分布的实际应用 50．（2026高二·辽宁·月考）为研究某型号新能源汽车的耗电量（单位：kW·h/100km）情况，随机调查得到了1000个该型号新能源汽车样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量，若，则该型号新能源汽车样本中耗电量大于14kW·h/100km的汽车大约有（   ） A．700辆 B．350辆 C．300辆 D．150辆 【答案】D 【分析】求出耗电量大于14kW·h/100km的汽车的概率，结合汽车总量1000即可得解. 【详解】由正态曲线的对称性知，， 于是耗电量大于14kW·h/100km的汽车大约有. 51．（2026·重庆·模拟预测）据调查，某高校大学生每个月的生活费(单位：元) 服从正态分布，又，已知该校大学生人数较多，现从该校所有学生中，随机抽取10位同学， 则这10位同学中，每月生活费不低于1500的人数大约有_____人． 【答案】8 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出，进而求出目标人数. 【详解】由，， 得， 所以这10位同学中，每月生活费不低于1500的人数大约有. 故答案为：8 52．【多选】（2026·河南鹤壁·模拟预测）（多选题）某计步软件的后台数据显示，其用户的每日步数近似服从正态分布，则下列结论正确的是（　　） 附：若随机变量，则． A．约有95%的用户每日步数在3600到10800之间 B．每日步数多于5400和多于9000的用户比例大致相等 C．若某人每日步数为9000，则其步数超过了大约84%的用户 D．随机抽取100名用户，他们每日步数的方差接近1800 【答案】AC 【分析】由题意知，再由正态分布的性质计算即可． 【详解】设用户每日步数为， 对于A，，故A正确； 对于B，，二者显然不相等，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，正态分布的参数表示随机变量的方差，如果随机抽取部分样本进行统计，与1800接近的是标准差，而不是方差，故D错误. 故选：AC 53．（2026·江苏·模拟预测）某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差.已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过495克的可能性约为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态分布的对称性求值. 【详解】设1包糖果的质量为，则， 所以， 又， 所以. 故选：D 54．（2026高二·浙江宁波·月考）某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布. (1)估计数学成绩超过112分的人数占总人数的比例； (2)若该市有10000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数. 参考数据：若，则，，. 【答案】(1) (2)8186人 【分析】（1）由，结合对称性即可求解； （2）由正态分布对称性即可求解. 【详解】（1）由高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布， 可得，则， 所以数学成绩超过112分的人数占总人数的比例； （2）解：则 ， ， 所以估计成绩在内的学生人数为8186人. 55．（2026高二·江西·期末）某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布，规定：分数高于93分为优秀． (1)估计数学成绩优秀的人数占总人数的比例； (2)若该市有60000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数． 参考数据： 若，则，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到，求得，结合正态分布曲线的对称性，即可求解； （2）由，利用正态分布的对称性，求得的值，进而估计出成绩在内的学生的人数. 【详解】（1）由高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布， 可得，则， 所以数学成绩优秀的人数占总人数的比例, 所以数学成绩优秀的人数占总人数的比例为. （2）解：由， 则 , 因为全市有60000名考生，所以该区间内的人数人， 所以成绩在内的学生人数大约为人. 考点8 正态分布与其他分布的综合 56．（2026·上海·模拟预测）班主任小明查阅了某大学发表的一项本市高三学生手机使用情况的研究报告.报告指出，高三学生每周手机使用时长（单位:小时）总体上服从正态分布. (1)小明老师将自己所带班级（共50名学生）视为从本市高三学生总体中随机抽取的一个样本，能以此正态分布模型估算出全班每周平均手机使用时长超过16小时的人数，在此估算基础上若在全班任选3位同学，则至少有2位同学的每周手机使用时长超过16小时的概率是多少?（结果用最简分数表示） 参考数据:若，则. (2)小明老师发现小虹同学每周手机使用时长超过16小时，对其进行疏导劝解，并跟进统计出之后5周小虹每周手机使用时长与该周数学练习得分（每周练习的难度相同且满分均为150分），制成表1.以这5组数据建立回归方程.请求出实数的值 表1 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 手机使用时长 20 18 22 16 14 练习得分 80 88 73 92 m (3)受到鼓励的小虹制定了寒假复习计划表递交给小明老师，严格控制手机使用时长.小明老师统计发现该计划表中若第n天能复习时长超过5小时（记为“高效复习”），则第天也能“高效复习”的概率为;若第天不能“高效复习”，则第天还能“高效复习”的概率为.设（，为正整数）表示第天能“高效复习”的概率，，若表示复习计划表第天有效.求证:数列是等比数列，并说明小虹的该复习计划表是否在寒假每一天均有效. 【答案】(1) (2)100 (3)答案见解析 【分析】（1）根据正态分布的性质和概率相关知识计算即可. （2）先求出的平均值，然后代入回归方程即可求出结果. （3）先根据题意列出递推式，然后证明数列是以为公比的等比数列，进而可根据等比数列的通项公式求出，并根据的范围证明结论即可. 【详解】（1）由题意知，因为. 所以任取1人使用手机超过16小时的概率为， 50名同学中有位超过16小时， 那么至少2位同学使用手机超过16小时的概率为. （2）由题意得，. 代入回归方程有，解得. （3）证明：由题意知， 所以 所以是以为公比的等比数列. 所以. 因为时，恒成立，所以. 所以小虹的该复习计划表在寒假每一天均有效. 57．（2026·河南开封·模拟预测）某中学开展劳动教育实践活动，学生进行某种蔬菜种植实验，实验分为育苗、定植、收获三个阶段．已知每株蔬菜育苗成功的概率为，各株蔬菜苗是否成功相互独立；只有育苗成功的蔬菜才能进入定植阶段，定植后进入收获阶段的蔬菜，单株产量X（单位：kg）服从正态分布，市场上该品种蔬菜的售价为6元/kg，单株蔬菜从育苗到收获的平均种植成本为18元． (1)若对10株蔬菜进行育苗实验，记育苗成功的株数为Y，求至少有9株蔬菜苗育成功的概率与（结果用p表示）； (2)从进入收获阶段的蔬菜中随机抽取1株，估计其单株利润为正的概率． 附：若随机变量，则，，． 【答案】(1)概率为，； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用二项分布的概率公式列式求出概率，再利用二项分布的期望公式求出期望. （2）利用正态分布的对称性求出单株利润为正的概率. 【详解】（1）依题意，，则， ， 所以至少有9株蔬菜苗育成功的概率，. （2）由单株产量X（单位：kg）服从正态分布，得， 单株利润为，由单株利润为正，得，解得， 依题意，， 则， 所以单株利润为正的概率约为. 58．（2026高三·江苏扬州·月考）某零部件代加工基地为某科技公司生产了一批精密零件，其质量指标（单位：μm）服从正态分布，已知当时，．规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立． (1)现从该批零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； (2)从该批零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与期望； 【答案】(1) (2) 1 2 3 【分析】（1）先确定，由条件可得从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率，再结合独立重复试验概率公式求结论； （2）先求，由，判断的单调性，确定，再确定的可能取值，并求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望. 【详解】（1）因为，所以，， 所以从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率， 所以从该批零件中随机抽取个， 恰好有个为优质品的概率为. （2）设随机抽取的个零件中，优质品的个数为. 由题意得，， 所以， 因为， 当时，， 当时，， 所以. 由题意可得的所有可能取值为1，2，3， ，，， 所以的分布列为 1 2 3 . 59．（2026·江西萍乡·模拟预测）某企业产品质检员随机从一条生产线分两次共抽取50件样品进行误差检测，统计数据如下表： 抽取次数 抽取件数 平均误差 第一次 30 0.3 第二次 20      (1)已知这条生产线的产品误差X服从正态分布，若以这50件样品的平均误差作为的估计值，且误差落在区间内的产品为“特等品”，试估计这条生产线生产的10000件产品中“特等品”的件数； (2)已知这条生产线的“特等品”在某项测试任务中的达标率为80%，现随机抽取4件“特等品”进行该项测试任务，记其中达标的件数为随机变量Y，求Y的分布列及其数学期望． 附：若，则，；． 【答案】(1)9545件 (2) Y 0 1 2 3 4 P ． 【分析】（1）结合题意先确定，再结合正态分布的性质求出特等品的概率，最后结合题意求解估计值即可. （2）先确定变量服从二项分布，再利用二项分布的概率公式求解概率写出分布列，最后结合二项分布的期望公式求解期望即可. 【详解】（1）设这50件样品平均误差为，则，即，而， 故为“特等品”，即“特等品”的概率为， 故这条生产线生产的10000件产品中“特等品”件数约为件； （2）由题意得：， 则，， ，， ， 则Y的分布列如下： Y 0 1 2 3 4 P 其数学期望． 60．（2026高二·山西长治·期中）某厂甲、乙两条生产线同时生产某种零件，该厂规定这种零件的内径不小于100mm且不大于120mm为优等品.已知甲生产线生产的这种零件的内径X服从正态分布，乙生产线生产的这种零件的内径Y服从正态分布，且满足，.现将甲、乙两条生产线生产的这种零件的数量按3∶2的比例混合在一起. (1)从这批混合零件中随机抽取一件，求该零件是优等品的概率； (2)从这批混合零件中随机抽取4件，记这4个零件中优等品的个数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）先应用正态分布求解概率再应用全概率公式计算求解； （2）应用二项分布得出概率及分布列，最后应用二项分布数学期望公式计算求解. 【详解】（1）由正态分布可知，甲生产线生产的这种零件是优等品的概率为 ， 乙生产线生产的这种零件是优等品的概率为 从这批混合零件中随机抽取一件是甲生产线生产的概率为，是乙生产线生产的概率为， 由全概率公式可得，从这批混合零件中随机抽取一件，该零件是优等品的概率是 （2）由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，4，且 所以的分布列为 0 1 2 3 4 P 所以 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $