精品解析：甘肃甘南藏族自治州临潭县第一中学2025-2026学年高三5月份模拟预测数学试题

临潭县第一中学2026年5月份高三模拟预测考试 高三数学 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．考试范围：高考所有内容 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设复数，得到，代入整理得，列出方程组，求得的值，结合复数的模的计算公式，即可求解. 【详解】设复数（），则， 代入得，整理得， 则，解得，，所以，则. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，， 在定义域内单调递增， ，即， ， ． 3. 已知平面向量，，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直求出，再用模长公式计算结果. 【详解】， 所以， 因为，则，即：. 解得：. 所以. 4. 已知递增的等比数列满足，，则的公比（ ） A. 5 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，可得，根据条件，求出的值，计算求解，即可得答案. 【详解】因为为等比数列，所以， 又，联立解得或， 又单调递增，则，所以， 则，解得. 5. 已知，则（ ） A. -4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过两角和与差的正余弦公式得出和的关系，再利用二倍角的正切公式即可得结果. 【详解】由，得， 即，所以， 所以，所以． 6. 2025年世界机器人大赛总决赛在江苏无锡圆满落幕，某参赛小队有1名指导老师，2名男生和2名女生，比赛结束后5人站成一排合影，则指导老师不在两端的不同排法总数为（ ） A. 120 B. 96 C. 72 D. 36 【答案】C 【解析】 【详解】首先指导老师有3个位置可以排，剩余4人有种排法， 根据分步乘法计数原理，得指导老师不在两端的不同排法总数为. 7. 已知双曲线C：（，）的左焦点为，右顶点为，过作垂直于轴的直线与两渐近线分别交于点，，若为等边三角形，则的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题得，即，即，整理得即可求解. 【详解】根据题意，不妨取在的上方， 则，，双曲线的渐近线方程为：. 由得： 又为等边三角形，所以， 则，即， 整理得，即， 解得或（舍）， 所以. 故选A. 8. 已知实数，函数的值域为，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的值域可得，令，，利用导数判断的单调性，利用单调性解不等式. 【详解】因为在内单调递增，则， 可知函数在内的值域为； 又因为在内单调递增，则， 可知函数在内的值域为； 由题意可知：，即， 令，，则， 因为， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 又因为，且， 则不等式的解集为，所以实数a的取值范围为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某地2026年3月1日至10日每天的最高气温（单位：）记录如下表： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 9日 10日 最高气温 13 5 8 10 16 9 19 22 16 12 则关于该地2026年3月1日至10日每天的最高气温，下列说法正确的是（ ） A. 从2日到8日持续上升 B. 极差为17 C. 平均数为13 D. 标准差为5 【答案】BCD 【解析】 【详解】对A，因为6日的最高气温低于5日的最高气温，故A错误； 对B，这10日的最高气温的最大值为8日的22，最小值为2日的5，所以极差为，故B正确； 对C：这10日的最高气温的平均数为：，故C正确； 对D，这10日的最高气温的方差为：， 所以标准差为5，故D正确. 10. 如图，矩形中，为的中点，将沿翻折成，得到四棱锥，点在线段上，则（ ） A. B. 存在，使平面 C. 四棱锥体积的最大值为 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】取的中点，以为原点建立空间直角坐标系，设，求出相关点的坐标，进而求出平面的法向量，再逐项求解判断. 【详解】取的中点，连接， 在矩形中，由为的中点，可得， 则，平面，则平面， 平面，于是平面平面，在平面内过点作， 而平面平面，因此平面，过作， 则直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设， ，的中点， 对于A，， ，不垂直，A错误； 对于B，，设平面的法向量， 则，取，得， 当为的中点时，， ，即， 而平面，因此平面，B正确； 对于C，梯形的面积， ，当且仅当，即平面时取等号，C正确； 对于D，， ，令，则 ，当且仅当时取等号， 因此直线与平面所成角的正弦值的最大值为，D正确. 故选：BCD 11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 的零点个数为3 C. 的极值点个数为2 D. 若方程有三个实数根，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于选项A，因为函数是定义在上的奇函数，所以，选项A错误； 对于选项B，当时，可知， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 因为函数是定义在上的奇函数，所以在上单调递减，在上单调递增， 可知，所以，且，所以B正确； 对于选项C，可知函数在处取得极大值，在处取得极小值，选项C正确； 对于选项D，可知时，且，可得， 当时，且，可得，因为， 其图象如下图所示： 所以方程有三个实数根时，的取值范围是，所以D正确； 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ，则______． 【答案】45 【解析】 【详解】，令， 则，即． 13. 过作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为___________． 【答案】 【解析】 【详解】解法一：由图可知，， 所以，所以直线方程为． 解法二：，所以四点均在以为直径的圆上，圆心为，半径为，故圆方程为， 由，得，所以直线方程为． 解法三：直线方程为，即， 故答案为． 14. 在中，角，，所对的边分别是，，，且，，，则的面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据正弦定理及二倍角公式求出的值，再求出，，的值，利用诱导公式及和角公式得到的值，最后根据的面积公式进行求解. 【详解】因为，，， 由正弦定理得， 即， 即， 因为， 所以， 即， 因为，所以， ， ， ， 所以的面积. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 数列满足：，． （1）数列满足：，试判断是否是等比数列，并说明理由； （2）数列满足：，求数列的前项和． 【答案】（1）是，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，结合等比数列的定义即可说明； （2）由（1）可知，从而得到，再由分组求和法及并项求和法计算可得. 【小问1详解】 是等比数列，理由如下： 因为，故， 又，故， 因为，所以，故是以为首项，为公比的等比数列． 【小问2详解】 由（1）可知，所以， 所以， 所以 ． 16. 如图，在直角中，，点、分别在线段、上，且，将沿折起到的位置，使得二面角的大小为． （1）设平面与平面的交线为，请直接写出与直线的位置关系． （2）若点为线段的靠近点的三等分点 （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）相交 （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）证明一，延长，交于点．连接．直接证明； 证明二（反证法），假设直线和直线不相交，由于两直线都在平面内，所以．然后推导矛盾； （2）（i）利用定义法求解是二面角的平面角，然后证明面，进而证明平面（ii）以为原点，分别为轴正方向， 标出相应坐标，设平面的法向量，求出法向量，进而求解PC与平面所成角的正弦值． 【小问1详解】 相交 （证明一（寻找交线）：如图，在平面中，因为为梯形，所以延长，交于点．连接， 因为，，所以平面，平面，所以即为交线，与相交于点． 证明二（反证法）：假设直线和直线不相交，由于两直线都在平面内，所以． 又平面，平面，所以平面． 又平面，平面平面，所以，矛盾！ 故直线和直线相交, 【小问2详解】 （ⅰ）证明：在中，，又， 所以． 所以翻折后，． 因为平面，平面，平面平面． 所以是二面角的平面角，． 又，，所以由余弦定理得， 所以，因此． 因为，，又，平面． 所以面， 又因为面，所以． 因为，，，平面， 所以平面． （ⅱ）因为，所以，． 又由（ⅰ）知，，所以两两垂直． 如图，以为原点，分别为轴正方向 建立空间直角坐标系，，，， ，， 设平面的法向量 由，得 令，得，， 所以为平面的一个法向量， 所以． 故与平面所成角的正弦值为. 17. 已知椭圆，椭圆以椭圆的短轴为长轴，且与椭圆有相同的焦距．椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线的方程为，求； （3）若直线过坐标原点，且四边形是矩形，求四边形的面积． 【答案】（1）； （2）； （3）2. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆的即可. （2）联立直线与椭圆方程，利用弦长公式计算即得. （3）根据给定条件，利用椭圆的定义求解. 【小问1详解】 椭圆的长半轴长为，短半轴长为2，半焦距为， 依题意，椭圆的焦点在轴上，其长半轴长，半焦距，则短半轴长， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由消去并整理得，设， 则，所以. 【小问3详解】 由（1）知，，由四边形是矩形，得， 则，而， 所以四边形的面积. 18. 随着人们健康意识的提高，全民健身热潮席卷而来.从城市到乡村，从清晨到傍晚，总能看到人们运动的身影.某社区从参加晨跑的25岁到50岁的人群中，随机抽查100人，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：. （1）求图中的值，并根据频率分布直方图估计这100人中年龄不低于40岁的人数； （2）经过一段时间的晨跑，这100人中每个人的身体状况都有所改变.其中跑步后身体状况得到明显改善的人，年龄在区间的人数为4，年龄在区间内的人数为12，现从身体状况得到明显改善的这16人中选择3人，记这3人中年龄不低于40岁的人数为，求的分布列和数学期望. 【答案】（1），55 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中矩形面积之和为1可以计算出的值，再利用相应公式计算出相应组中抽取的人数. （2）根据题意的可能取值为，利用超几何分布列的计算公式及数学期望公式即可求解. 【小问1详解】 因为直方图中各个小矩形的面积之和为1，所以， 解得. 所以估计这100人中年龄不低于40岁的人数为. 【小问2详解】 的可能取值为， 则. 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的零点个数； （3）若有3个零点，，，证明：. 【答案】（1） （2）当时，函数有且仅有1个零点； 当时，函数有3个零点. （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义求切线方程； （2）求导可得，根据函数定义域和判别式分和两种情况讨论，判断函数单调性并结合分析零点个数； （3）可证，分析可知，，，结合基本不等式分析证明. 【小问1详解】 若，则，， 可得，， 所以曲线在点处的切线方程. 【小问2详解】 由题意可知：函数的定义域为，且， 对于方程，则， 因为，若，则；若，即，则； 当时，则，即， 可知函数在定义域内单调递增， 且，所以函数有且仅有1个零点； 当时，则，可知有2个不相等的实数根，， 且，则， 若，则，即； 若或，则，即； 可知函数在，内单调递增，在内单调递减， 则，且，即， 因为， 令，则， 可知在内单调递减，则，可得； 又因为， 所以函数有3个零点； 综上所述：当时，函数有且仅有1个零点； 当时，函数有3个零点. 【小问3详解】 若有3个零点， 由（2）可知：，， 因为， 又因为，则，且，，则， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临潭县第一中学2026年5月份高三模拟预测考试 高三数学 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．考试范围：高考所有内容 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知递增的等比数列满足，，则的公比（ ） A. 5 B. 3 C. D. 5. 已知，则（ ） A. -4 B. C. D. 6. 2025年世界机器人大赛总决赛在江苏无锡圆满落幕，某参赛小队有1名指导老师，2名男生和2名女生，比赛结束后5人站成一排合影，则指导老师不在两端的不同排法总数为（ ） A. 120 B. 96 C. 72 D. 36 7. 已知双曲线C：（，）的左焦点为，右顶点为，过作垂直于轴的直线与两渐近线分别交于点，，若为等边三角形，则的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 已知实数，函数的值域为，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某地2026年3月1日至10日每天的最高气温（单位：）记录如下表： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 9日 10日 最高气温 13 5 8 10 16 9 19 22 16 12 则关于该地2026年3月1日至10日每天的最高气温，下列说法正确的是（ ） A. 从2日到8日持续上升 B. 极差为17 C. 平均数为13 D. 标准差为5 10. 如图，矩形中，为的中点，将沿翻折成，得到四棱锥，点在线段上，则（ ） A. B. 存在，使平面 C. 四棱锥体积的最大值为 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 的零点个数为3 C. 的极值点个数为2 D. 若方程有三个实数根，则的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ，则______． 13. 过作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为___________． 14. 在中，角，，所对的边分别是，，，且，，，则的面积为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 数列满足：，． （1）数列满足：，试判断是否是等比数列，并说明理由； （2）数列满足：，求数列的前项和． 16. 如图，在直角中，，点、分别在线段、上，且，将沿折起到的位置，使得二面角的大小为． （1）设平面与平面的交线为，请直接写出与直线的位置关系． （2）若点为线段的靠近点的三等分点 （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）求与平面所成角的正弦值． 17. 已知椭圆，椭圆以椭圆的短轴为长轴，且与椭圆有相同的焦距．椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线的方程为，求； （3）若直线过坐标原点，且四边形是矩形，求四边形的面积． 18. 随着人们健康意识的提高，全民健身热潮席卷而来.从城市到乡村，从清晨到傍晚，总能看到人们运动的身影.某社区从参加晨跑的25岁到50岁的人群中，随机抽查100人，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：. （1）求图中的值，并根据频率分布直方图估计这100人中年龄不低于40岁的人数； （2）经过一段时间的晨跑，这100人中每个人的身体状况都有所改变.其中跑步后身体状况得到明显改善的人，年龄在区间的人数为4，年龄在区间内的人数为12，现从身体状况得到明显改善的这16人中选择3人，记这3人中年龄不低于40岁的人数为，求的分布列和数学期望. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的零点个数； （3）若有3个零点，，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $