精品解析：甘肃甘南藏族自治州临潭县第一中学2025-2026学年第二学期高三数学学业学情调研卷

临潭县第一中学2025-2026学年第二学期 2026届高三数学学业学情调研卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．考试范围：高考所有内容 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，复数满足 ，则（ ） A B. C. D. 2. 已知x，y是实数，则“”是“”是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. ，则（ ） A. B. C. D. 4. 在长方体中，，则异面直线与之间的距离是（ ） A. B. 3 C. D. 5. 2021年是中国共产党成立100周年，为了庆祝建党100周年，激发青少年学生爱国、爱党热情，引导青少年学生深入地了解党的光辉历史，加强爱国主义教育，甲、乙两所学校均计划于2021年7月组织师生参加“观看一部红色电影”活动．据了解，《1921》《革命者》《红船》《三湾改编》等多部电影将陆续上映．甲、乙两校分别从这4部电影中任选一部电影观看，则甲、乙两校选择不同电影观看的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 圆分别交x轴､y轴的正半轴于A，B两点，则（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 25 7. 已知函数在上单调，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆）的焦距为2c，F为右焦点，直线与椭圆C相交于A，B两点，是等腰直角三角形．若记椭圆C上任一点Q到抛物线的焦点P的距离最大值为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下图是2003年4月21日至5月15日上午10时，北京市非典型肺炎疫情新增数据走势图． 则下列说法正确的有（ ） A. 新增疑似的人数最多的是4月29日，新增确诊的人数最多的是4月27日 B. 新增疑似人数最多的是4月27日，新增确诊的人数最多的是4月29日 C. 新增治愈人数最多的是5月13日，新增死亡的人数最少的是5月15日 D. 从图中可以看出，本次疫情得到了有效控制 10. 设椭圆的右焦点为F，直线与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是（ ） A. 为定值 B. 的周长的取值范围是[6，12] C. 当时，为直角三角形 D. 当时，的面积为 11. 莫里茨•科内利斯•埃舍尔，荷兰版画家，因其绘画中的数学性而闻名.在他的作品中可以看到对分形､对称､密铺平面､双曲几何和多面体等数学概念的形象表达.如图所示的几何体就在他的作品《星辰》中出现.该几何体由正方体和正八面体（8个面都是正三角形）相互交错而成，正八面体的12条棱正好穿过正方体12条棱的中点.若正方体的棱长，为正方体一条棱的中点，为该几何体的顶点，则（ ） A. 该几何体的体积为12 B. 该几何体的表面积为 C. 该几何体可以被半径为的球完全包裹 D. 直线与直线所成角的余弦值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且，则的最小值为________． 13. 若直线l过点，且倾斜角是直线的倾斜角的一半，则直线l的方程为______． 14. （2011年苏州14）对于函数和其定义域的子集，若存在常数，使得对于任意的，存在唯一的，满足等式，则称为在上的均值.下列函数中以为其在上的唯一均值的是__________ ①； ②； ③； ④； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在① ，②这两个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答． 已知，，分别为的内角，，的对边，若，______，求面积的最大值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 16. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，点、分别在线段、上，且，其中，连接，延长与的延长线交于点，连接． （1）求证：平面； （2）若时，求二面角正弦值； （3）若直线与平面所成角的正弦值为时，求值． 17. 为激发户外运动爱好者健身热情，增进群众健身获得感、幸福感. 某市体育部门随机抽取200名群众进行每天体育运动时间的调查，按照时长(单位:分钟)分成6组:[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]. 处理后绘制了如下图的频率分布直方图. （1）求图中的值； （2）求运动时长在[50，70)的样本群众人数； （3）估计该市群众每天体育运动时间的众数、平均数、中位数(保留1位小数). 18. 已知椭圆的离心率是，且过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与交于两点． （i）若，且直线的倾斜角为，求线段的长； （ii）若直线的斜率不为，，是否存在点，使得为定值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数，. （1）令，若曲线在点处的切线的纵截距为，求的值； （2）设，若方程在区间内有且只有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临潭县第一中学2025-2026学年第二学期 2026届高三数学学业学情调研卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．考试范围：高考所有内容 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，复数满足 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算法则即可求出． 【详解】因为，所以． 故选：A． 2. 已知x，y是实数，则“”是“”是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的特征，举例说明充分必要性. 【详解】若，满足，此时，所以不是的充分条件， 反过来，若，满足，此时，所以也不是的必要条件，所以”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 3. ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用诱导公式化简条件得，再由平方关系及倍角余弦公式即可求值. 【详解】由，则， 所以，又，即， 则. 故选：C 4. 在长方体中，，则异面直线与之间的距离是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立如图所示空间直角坐标系，求出直线与的公垂线的方向向量，再代入空间异面直线间距离公式计算. 【详解】如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则. 设直线与的公垂线的方向向量为，则， 不妨令，则. 又，则异面直线与之间的距离. 故选：D 5. 2021年是中国共产党成立100周年，为了庆祝建党100周年，激发青少年学生的爱国、爱党热情，引导青少年学生深入地了解党的光辉历史，加强爱国主义教育，甲、乙两所学校均计划于2021年7月组织师生参加“观看一部红色电影”活动．据了解，《1921》《革命者》《红船》《三湾改编》等多部电影将陆续上映．甲、乙两校分别从这4部电影中任选一部电影观看，则甲、乙两校选择不同电影观看的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式即得. 【详解】分别用1，2，3，4表示《1921》《革命者》《红船》《三湾改编》， 由题可得基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，共有16种， 其中甲、乙两校选择不同电影有：，，，，，，，，，，，，共有12种， 所以甲、乙两校选择不同电影观看的概率是. 故选：D． 6. 圆分别交x轴､y轴的正半轴于A，B两点，则（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】 先求得AB的坐标，再求得 的坐标，然后利用数量积坐标运算求解 【详解】由题意得：， 令得，则， 令得，则， 又， 所以 ， 所以， 故选：A 7. 已知函数在上单调，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，求得，再令，求得，结合，求得函数的单调性，再由，结合函数在上单调递增，列出不等式组，即可求解. 【详解】令函数，可得， 令，可得， 所以函数在上单调递增，且， 所以当时，，即，函数单调递减； 当时，，即，函数单调递增，且． 要使得函数在上单调递增，则， 解得或，即实数的取值范围是. 故选：D. 8. 已知椭圆）焦距为2c，F为右焦点，直线与椭圆C相交于A，B两点，是等腰直角三角形．若记椭圆C上任一点Q到抛物线的焦点P的距离最大值为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得点A坐标为，进而得，故设点Q的坐标为，P坐标为，进而根据距离公式，利用换元法得，即，进而得答案. 【详解】解：由题意可得， 所以点A的坐标为，代入椭圆方程有， 又， 所以，解得或（舍去）， 所以， 所以椭圆C的方程可化为， 设点Q的坐标为， 则，抛物线的焦点P坐标为， 所以， 所以，． 故选：C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下图是2003年4月21日至5月15日上午10时，北京市非典型肺炎疫情新增数据走势图． 则下列说法正确的有（ ） A. 新增疑似的人数最多的是4月29日，新增确诊的人数最多的是4月27日 B. 新增疑似的人数最多的是4月27日，新增确诊的人数最多的是4月29日 C. 新增治愈的人数最多的是5月13日，新增死亡的人数最少的是5月15日 D. 从图中可以看出，本次疫情得到了有效控制 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用折线图提供的数据和变化趋势直接求解. 【详解】新增疑似的人数最多的是4月27日162例，新增确诊的人数最多的是4月29日157例，故A错误，B正确； 新增治愈的人数最多的是5月13日35例，新增死亡的人数最少的是5月15日1例，故C正确； 由图，预测这次北京市非典型性肺炎疫情的发展趋势为：疫情初期确诊病例和疑似病例数量快速上升，然后确诊病例和疑似病例数量逐渐下降，本次疫情得到了有效控制，故D正确. 故选：BCD. 10. 设椭圆的右焦点为F，直线与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是（ ） A. 为定值 B. 的周长的取值范围是[6，12] C. 当时，为直角三角形 D. 当时，的面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可求的值，结合三角形的边长关系可判断周长的取值范围，计算可判断不是直角三角形，计算，利用面积公式可求的面积. 【详解】设椭圆的左焦点为，则 ∴为定值，A正确； 的周长为，因为为定值6， ∴的范围是， ∴的周长的范围是，B错误； 将与椭圆方程联立，可解得，， 又∵，∴， ∴不是直角三角形，C不正确； 将与椭圆方程联立，解得，， ∴，D正确. 故选：AD 11. 莫里茨•科内利斯•埃舍尔，荷兰版画家，因其绘画中的数学性而闻名.在他的作品中可以看到对分形､对称､密铺平面､双曲几何和多面体等数学概念的形象表达.如图所示的几何体就在他的作品《星辰》中出现.该几何体由正方体和正八面体（8个面都是正三角形）相互交错而成，正八面体的12条棱正好穿过正方体12条棱的中点.若正方体的棱长，为正方体一条棱的中点，为该几何体的顶点，则（ ） A. 该几何体的体积为12 B. 该几何体的表面积为 C. 该几何体可以被半径为的球完全包裹 D. 直线与直线所成角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】分析整个组合体的组成，由已知棱长通过等于直角三角形得到四棱锥的棱长，再由正四棱锥得到高，从而求得各四棱锥体积，从而知道组合体体积；然后求得表面积；因为组合体对称性得到球心位置变得到组合体外接球半径；建立空间直角坐标系，写出点坐标便得向量坐标，由空间向量得到线线角的余弦值. 【详解】该几何体可以看出由1个正方体及6个四棱锥构成，由题意可得四棱锥的棱长均为，高为1，一个四棱锥的体积为，该几何体的体积为，A正确. 该几何体的表面积为，B正确. 该几何体中正方体外接球的半径为，正八面体外接球的半径为2，要使该几何体被一个球完全包裹，该球的半径最少为C错误. 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， ，， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为，D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：本题需要观察图形并能够将图形进行合理拆分，然后各个板块的进行求解体积和表面即可；可以建立的空间直角坐标系来一些空间夹角问题，需要注意的是建系的合理性和点的坐标的准确性，然后就可以利用空间向量求解. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得，代入变形可得，又,利用基本不等式，即可得到的最小值. 【详解】因为，且，所以， 所以 ， 因为，所以, 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 13. 若直线l过点，且倾斜角是直线的倾斜角的一半，则直线l的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二倍角的正切公式求出直线l的斜率，再利用直线的点斜式方程求出方程. 【详解】设直线的倾斜角为，则，显然， 由，得，而，解得， 所以直线l的斜率为3，方程为，即. 故答案为：. 14. （2011年苏州14）对于函数和其定义域的子集，若存在常数，使得对于任意的，存在唯一的，满足等式，则称为在上的均值.下列函数中以为其在上的唯一均值的是__________ ①； ②； ③； ④； 【答案】①②④ 【解析】 【分析】首先分析题目求对于任意的,存在唯一的,使成立的函数. 对于函数①,可直接取任意的,验证即可; 对于函数②,可直接取任意的,验证求出唯一的,即可得到成立. 对于函数③,特殊值法代入验证不成立.即可得到答案. 对于函数④,定义域为,值域为且单调,显然成立. 【详解】对于函数①，；定义域为，值域为．对于,使成立，故①对； 对于函数②，,可直接取任意的,由求出唯一的,所以②成立，故②对； 对于函数③，,取任意的，,可以两个的.故不满足条件. 对于函数④，,定义域为,值域为且单调,显然必存在唯一的,使成立.故成立. 故答案为：①②④， 【点睛】此题主要应用新定义的方式考查平均值不等式在函数中的应用.对于新定义的问题,需要认真分析定义内容,切记不可偏离题意，属于中档题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在① ，②这两个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答． 已知，，分别为的内角，，的对边，若，______，求面积的最大值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】条件选择见解析，. 【解析】 【分析】 选条件①：由正弦定理将化为，结合余弦定理得出，再由基本不等式得出的最大值，最后由三角形面积公式得出面积的最大值； 选择条件②：由正弦定理将化为得出，再由余弦定理以及基本不等式得出的最大值，最后由三角形面积公式得出面积的最大值； 【详解】选条件①．由和正弦定理得 化简得 所以由余弦定理得 因为是三角形的内角，所以． 又，，所以，当且仅当时等号成立 所以的面积，即面积的最大值为． 选条件②． 由得， 得，即 因，所以 因为是三角形的内角，所以． 因为，，所以，当且仅当时等号成立， 所以的面积，即面积的最大值为． 16. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，点、分别在线段、上，且，其中，连接，延长与的延长线交于点，连接． （1）求证：平面； （2）若时，求二面角的正弦值； （3）若直线与平面所成角的正弦值为时，求值． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）在线段上取一点，使得，证明，然后由线面平行判定定理求证； （2）以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用向量法，求解二面角的正弦值． （3）令，，，，求出平面的一个法向量，利用向量法求线面角即可求出，得到． 【小问1详解】 在线段上取一点，使得，如图， ，且， ，，且， 且，四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面． 【小问2详解】 以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，则 ，， ，， 易知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，令，，，， ，， 故二面角的正弦值为． 【小问3详解】 设，，，，， 设平面的一个法向量为， ，， ，令，则，，， 由题意可得：， ，，． 17. 为激发户外运动爱好者健身热情，增进群众健身获得感、幸福感. 某市体育部门随机抽取200名群众进行每天体育运动时间的调查，按照时长(单位:分钟)分成6组:[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]. 处理后绘制了如下图的频率分布直方图. （1）求图中的值； （2）求运动时长在[50，70)的样本群众人数； （3）估计该市群众每天体育运动时间的众数、平均数、中位数(保留1位小数). 【答案】（1） （2）90（人） （3）众数为，平均数，中位数为. 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1计算求参即可； （2）先求出的频率再计算频数即可； （3）应用频率分布图计算众数，平均数及中位数定义分别计算求解即可. 小问1详解】 根据题意， ， 解得. 【小问2详解】 运动时长为的频率为 所以运动时长为的样本群众人数为（人） 【小问3详解】 由图可知，该市群众每天体育运动时间的众数约为. 该市群众每天体育运动时间的平均数约为 由题意知， 前两组的频率为， 前三组的频率为. 所以 中位数在50和60之间，设为x，则+ (，解得， 即该市群众每天体育运动时间的中位数约为. 18. 已知椭圆的离心率是，且过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与交于两点． （i）若，且直线的倾斜角为，求线段的长； （ii）若直线的斜率不为，，是否存在点，使得为定值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）存在，最小值为，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由得，又得，由在椭圆上，利用待定系数法即可求解； （2）（i）由题意可得直线的方程为，与椭圆方程联立，由韦达定理得，利用弦长公式即可求解； （ii）可设，与椭圆方程联立，由韦达定理得，由为定值得，利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意，得，得， 又，所以， 又，两式联立，解得， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 设； （i）由题意可得直线的方程为， 联立，得， 所以， 所以； （ii）存在点，使得为定值，的最小值为； 由题意，可设，联立， 得， 则， 且， 因为， 所以 ， 因为为定值， 所以，得， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 19. 已知函数，. （1）令，若曲线在点处切线的纵截距为，求的值； （2）设，若方程在区间内有且只有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1）6；（2） 【解析】 【分析】（1）求得在点处的切线方程，根据切线的截距为列方程，解方程求得的值. （2）将方程转化为，构造函数，利用研究函数在内的零点，结合零点存在性定理列不等式组，解不等式组求得的取值范围. 【详解】（1）由题设知， ，， 则； ∴，又， ∴切点为， 则切线方程为， 令，则， 由题设知，， ∴； （2）∵，∴， 则方程， 即为， 即为； 令，于是原方程在区间内根的问题， 转化为函数在内的零点问题； ∵ ； ∵，∴当时， ，是减函数， 当时，，是增函数， 若使在内有且只有两个不相等的零点， 只需即可， 解得，， 即的取值范围是. 【点睛】本小题主要考查利用导数与切线方程求参数，考查利用导数研究方程的根，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $