精品解析：甘肃省甘南藏族自治州临潭县第一中学2025-2026学年高三上学期数学学业学情调研卷（9）

临潭一中2025-2026学年第一学期 2026届高三数学学业学情调研卷（9） 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．考试范围：高考所有内容 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合集合交集的定义与运算，即可求解. 【详解】由集合， 根据集合交集的定义与运算，可得． 故选：B. 2. 若复数满足，其中为虚数单位，则共轭复数 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，故选B. 3. 已知空间中三条不同的直线a，b，c，三个不同的平面，，，则下列说法错误的是（ ） A 若，，，则 B. 若，，则与平行或相交 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中的线面关系逐一判断即可. 【详解】对于A，由线面平行判定定理可知A正确； 对于B，，，则与平行或相交，故B正确； 对于C，垂直于同一平面的直线和平面平行或线在面内，而，故正确； 对于D，，，，三条交线平行或交于一点， 如图1，正方体两两相交的三个平面ABCD，平面，平面， 平面平面，平面平面， 平面平面， 但AB，AD，不平行，故D错误， 故选：D． 4. 向量且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，且，然后由平面向量的夹角公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，则，即， 解得，所以，即，又因为，所以 ， 且， ， 则. 故选：D 5. 甲､乙等6名高三同学计划今年暑假在四个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个同学去打卡游玩，每位同学都会选择一个景点打卡游玩，且甲､乙都单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（ ） A. 96种 B. 132种 C. 168种 D. 204种 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，剩下4人去其他两个景点游玩，由此按游玩的人数分2种情况讨论，结合分类加法计数原理，即可求解. 【详解】由题意，甲、乙都单独1人去某一个景点打卡游玩， 则剩下的4人去其他两个景点游玩，有两种情况： ①若3位同学去一个景点，1位同学去另一个景点，有种不同游玩方法； ②分别都是2位同学去一个景点，有种不同游玩方法， 由分类计数原理得，共有种. 故选：C. 6. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，应用和差化积及已知可得，再由三角形内角和性质、诱导公式化简得，利用二倍角正切公式、平方关系求. 【详解】设，则①， ②， 得，在中， 所以，即， 又因为，即， 因为，代入得， 因为，所以． 故选：A 7. 已知是双曲线的左､右焦点，过点的直线与双曲线左､右两支分别交于两点.若为的中点，且，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题干条件得到，设出，利用双曲线定义表达出其他边长，得到方程，求出，从而得到，，利用勾股定理求出的关系，从而求出渐近线方程. 【详解】 因为P为AB的中点，且即，所以△为等腰三角形， 即， 因为， 设，则， 由双曲线定义可知：， 所以，则， 又， 所以， 解得：， 则， 由勾股定理得：， 在三角形中，由勾股定理得：， 即，即，解得. 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：B 8. 设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件构造函数，再判断函数的奇偶性和单调性，将不等式转化为，结合函数的性质，即可求解不等式. 【详解】设，， 所以函数是定义在上的偶函数， 由条件可知，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 不等式， 即， 即， 所以，即，得， 解得：. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，则下列式子中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式对各项依次判断从而得出答案. 【详解】对于A，由得， 结合，可得，所以，故A正确； 对于B，， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故B正确； 对于C，由，且， 可得，所以， 而，所以不一定成立，故C错误；. 对于D，由，可知， 结合，可得，故D正确． 故选：ABD． 10. 带有编号1、2、3、4、5的五个球，则（ ） A. 全部投入4个不同盒子里，共有种放法 B. 放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有种放法 C. 将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有种放法 D. 全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用分步乘法计数原理计算可判断A正确； 对于B，先将5个球分为4组，再全排，计算可判断B不正确； 对于C，利用分步乘法计数原理计算可判断C正确； 对于D，先将5个球分为4组，再全排，计算可判断D正确； 【详解】对于A，带有编号1、2、3、4、5的五个球，全部投入4个不同的盒子里，共有种放法，故A正确； 对于B，带有编号1、2、3、4、5的五个球，放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有种放法，故B不正确； 对于C，带有编号1、2、3、4、5的五个球，将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有种放法，故C正确； 对于D，带有编号1、2、3、4、5的五个球，全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种放法，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知函数，则（ ） A. 函数有两个极值点 B. 是函数的极小值点 C. 函数的单调递减区间为 D. 曲线的对称中心为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用导数研究的单调性、极值点可判断ABC；利用函数的对称性可判断D． 【详解】，则， 令，得或；令，得或；令，得， 所以的增区间为，减区间为，所以C错误； 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，故A正确，B错误； 因为 ，所以曲线的对称中心为，故D正确. 故选：AD 第二部分（非选择轭题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若数列通项公式为，则数列的前项和为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用分组求和法，结合等比数列求和公式和等差数列求和公式求结论. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以． 故答案为：. 13. 已知，，直线与曲线相切，则的最小值是______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意，由导数的几何意义代入计算可得，然后结合基本不等式即可得到结果. 【详解】因为，则，令，可得，然后将代入，可得，即，所以 ，当且仅当时，取等号. 所以的最小值是. 故答案为： 14. 若的展开式中含项的系数是，则________. 【答案】 【解析】 【分析】将展开得，求出展开式的通项公式，分别令或，解出，代入即可得出答案. 【详解】， 展开式的通项公式为 ，. 令，得，令，得. ∴依题设，有， 解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且，，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】 （1）利用等差数列基本量计算即可； （2），利用裂项相消法求前n项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意，，解得：，. ∴； （2）∵， ∴. 【点睛】本题考查等求差数列通项公式以及裂项相消法求数列的前n项和，考查学生的运算能力，是一道基础题. 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面平面，，是的中点，点在侧棱上， （1）求证：直线平面； （2）求的值，使得平面与平面夹角的余弦值为. 【答案】（1）证明见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）先利用等腰三角形的性质证明，即得，再由面面垂直的性质即可得证； （2）取的中点为，连，证明平面，建立空间直角坐标系，求出相关点和向量的坐标，利用空间向量的夹角公式列方程，求解即得的值. 【小问1详解】 因底面是边长为2的菱形，且，则是等边三角形， 又因是的中点，则，因，则， 因平面平面，平面平面， 平面， 故直线平面. 【小问2详解】 取的中点为，连，因，，则，且， 因平面平面，平面平面， 平面， 则平面，易得，且，则两两垂直， 故可以点为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系. 则， 因点在侧棱上，，则，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 又因平面，故可取平面的一个法向量为， 由题意， 解得或，均符合题意. 17. 今年5月以来，世界多个国家报告了猴痘病例，我国作为为人民健康负责任的国家，对可能出现的猴痘病毒提前做出防控部署．同时国家卫生健康委员会同国家中医药管理局制定了《猴痘诊疗指南（2022年版）》．此《指南》中指出：①猴痘病人潜伏期5—21天；②既往接种过天花疫苗者对猴痘病毒存在一定程度的交叉保护力．据此，援非中国医疗队针对援助的某非洲国家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求与猴痘病毒确诊患者的密切接触者集中医学观察21天．在医学观察期结束后发现密切接触者中未接种过天花疫苗者感染猴痘病毒的比例较大．对该国家200个密切接触者样本医学观察结束后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表： 感染猴痘病毒 未感染猴痘病毒 未接种天花疫苗 30 60 接种天花疫苗 20 90 （1）是否有99%的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关； （2）现从样本中结束医学观察后未感染猴痘病毒的密切接触者中，按照是否接种过天花疫苗分层抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人都接种过天花疫苗的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）没有 （2） 【解析】 【分析】（1）利用独立性检验计算公式，直接计算出，对照附表得出结论； （2）用分层抽样的方法计算出抽取的接种过天花疫苗和没有接种过天花疫苗的人数，再利用古典概型的概率计算公式，即可解出． 【小问1详解】 依题意知，， ∴没有99%的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关． 【小问2详解】 结束医学观察后未感染猴痘病毒的密切接触者中，未接种天花疫苗的有60人，接种过天花疫苗的有90人， ∵， ∴在未感染猴痘病毒且未接种天花疫苗的60人中应抽取2人，记为，； 在未感染猴痘病毒且接种过天花疫苗的90人中应抽取3人，记为，，． ∴从这5人中随机抽取2人的所有可能的结果为：，，，，，，，，，，共10种， 其中所抽取的2人都接种过天花疫苗的有：，，，共3种． ∴所求概率为． 18. 已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，过点的直线交椭圆于，两点. （1）求椭圆的方程； （2）求面积的最大值（O为坐标原点） （3）已知点，连接，过点作直线轴，且与直线交于点，点满足，若直线与椭圆的另一个交点为，证明：轴. 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用已知条件结合椭圆的几何性质及离心率列方程求出，进而求出椭圆标准方程； （2）设直线方程及坐标，联立直线与椭圆方程，运用根与系数的关系并结合三角形面积公式构造方程，结合基本不等式求出面积最大值； （3）根据已知条件结合三角形的几何性质得出直线恒过定点，设直线的方程，联立直线与椭圆方程利用根与系数的关系求出坐标关系，得出横坐标相等，从而证明轴． 【小问1详解】 因为椭圆的离心率为，点在椭圆上， 所以，解得， 椭圆的方程为． 【小问2详解】 因为过点的直线交椭圆于A，B两点， 当直线与轴重合时面积为0，不符合题意，所以直线与轴不重合， 设直线的方程为， 联立直线和椭圆方程，整理得， 由，得， 由根与系数关系得， 因为， 将代入， 所以， 令，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，的面积取最大值． 【小问3详解】 如图所示，设直线与轴交于点， 因为直线轴，所以， 又因为，所以，又因为点和点， 所以，故直线恒过定点． 设直线的方程为， 联立，整理得， 所以，且，又因为， 所以， 因为， 所以， 此时， 即，所以轴． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线过点的切线方程； （2）若函数有2个极值点，，且． （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）求证：． 【答案】（1）或． （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先写出的表达式，根据导数几何意义、设切点坐标，表示出切线方程，代入点，即可求得切点坐标，再代入切线方程，则问题得解； （2）（ⅰ）求导，根据极值点，可分离参数得，构造函数，求其导数分析单调性，再结合题目条件确定a的取值范围； （ⅱ）根据换元法（令，），转换对数运算，再根据待证不等式，构造相应函数，分析单调性，证明时，，从而得证. 【详解】（1）当时，，， 设切点为， ∴函数在处的切线方程为， 将点代入切线方程得， ，解得或1， ∴曲线在点处的切线为，在点处的切线为； （2）（ⅰ）， ∵有2个极值点，∴方程有2根，， 令，， 在上，，单调递增，在上，，单调递减， 当时，，当时，， ，当时，， ∴a的取值范围是； （ⅱ），， 令，， 则，，且， ∴， 令，则， ∴，； 要证，即证， 即证时，， 令，则， 当时，，单调递增，， ∴时，，不等式得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临潭一中2025-2026学年第一学期 2026届高三数学学业学情调研卷（9） 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．考试范围：高考所有内容 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，其中虚数单位，则共轭复数 A. B. C. D. 3. 已知空间中三条不同的直线a，b，c，三个不同的平面，，，则下列说法错误的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则与平行或相交 C. 若，，，则 D. 若，，，则 4. 向量且，则（ ） A. B. C. D. 5. 甲､乙等6名高三同学计划今年暑假在四个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个同学去打卡游玩，每位同学都会选择一个景点打卡游玩，且甲､乙都单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（ ） A. 96种 B. 132种 C. 168种 D. 204种 6. 中，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是双曲线的左､右焦点，过点的直线与双曲线左､右两支分别交于两点.若为的中点，且，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，则下列式子中正确的是（　　） A B. C. D. 10. 带有编号1、2、3、4、5的五个球，则（ ） A. 全部投入4个不同的盒子里，共有种放法 B. 放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有种放法 C. 将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有种放法 D. 全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法 11. 已知函数，则（ ） A. 函数有两个极值点 B. 是函数的极小值点 C. 函数的单调递减区间为 D. 曲线的对称中心为 第二部分（非选择轭题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若数列的通项公式为，则数列的前项和为_______． 13. 已知，，直线与曲线相切，则的最小值是______. 14. 若展开式中含项的系数是，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列前项和为，且，，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面平面，，是的中点，点在侧棱上， （1）求证：直线平面； （2）求的值，使得平面与平面夹角的余弦值为. 17. 今年5月以来，世界多个国家报告了猴痘病例，我国作为为人民健康负责任的国家，对可能出现的猴痘病毒提前做出防控部署．同时国家卫生健康委员会同国家中医药管理局制定了《猴痘诊疗指南（2022年版）》．此《指南》中指出：①猴痘病人潜伏期5—21天；②既往接种过天花疫苗者对猴痘病毒存在一定程度的交叉保护力．据此，援非中国医疗队针对援助的某非洲国家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求与猴痘病毒确诊患者的密切接触者集中医学观察21天．在医学观察期结束后发现密切接触者中未接种过天花疫苗者感染猴痘病毒的比例较大．对该国家200个密切接触者样本医学观察结束后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表： 感染猴痘病毒 未感染猴痘病毒 未接种天花疫苗 30 60 接种天花疫苗 20 90 （1）是否有99%的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关； （2）现从样本中结束医学观察后未感染猴痘病毒的密切接触者中，按照是否接种过天花疫苗分层抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人都接种过天花疫苗的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 18. 已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，过点的直线交椭圆于，两点. （1）求椭圆的方程； （2）求面积的最大值（O为坐标原点） （3）已知点，连接，过点作直线轴，且与直线交于点，点满足，若直线与椭圆的另一个交点为，证明：轴. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线过点的切线方程； （2）若函数有2个极值点，，且． （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $