广西玉林市第一中学2025-2026学年下学期高二自主测试四数学试卷（5.15）

玉林一中高二数学自主训练四（5月15日） 姓名：___________ 班级：___________ 一、单选题 1．在等差数列中，，则此数列的前13项的和等于（    ） A．8 B．26 C．13 D．162 2．将5封不同的电子邮件发送到4个电子信箱中，则不同的发送方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 3．下列散点图中，线性相关系数最小的是（    ） A． B． C． D． 4．若函数，则曲线在点处的切线的倾斜角是 A． B． C． D． 5．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知随机变量，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．下列命题中，错误的命题为（    ） A．已知随机变量服从二项分布，若，则 B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变 C．设随机变量服从正态分布，若，则 D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，，则当时概率最大 二、多选题 8．已知，则（   ） A． B． C． D． 9．已知等比数列的公比为q，前n项和为，若，且，，成等差数列，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 10．定义在上的函数，满足，且，下列说法正确的是（    ） A． B．的极大值为 C．有两个零点 D． 三、填空题 11．一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球，现进行如下试验：逐个不放回地随机摸出3个球，把取到白球的个数记为，则它的期望为______. 12．的展开式中，的系数为___________. 13．若数列的通项公式为，数列满足 ，则数列的前10项和为_______． 四、解答题 14．已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）令，求的前项和. 15．某中学高二年级参加市数学联考，其中甲､乙两个班级优秀率分别为和，现在先从甲､乙两个班中选取一个班级，然后从选取的班级中再选出一名同学.选取甲､乙两个班级的规则如下：纸箱中有大小和质地完全相同的个白球､个黑球，从中摸出1个球，摸到白球就选甲班，摸到黑球就选乙班. (1)分别求出选取甲班､乙班的概率； (2)求选出的这名同学数学成绩优秀的概率. 16．已知函数，其中为常数. (1)当时，试讨论的单调性； (2)若函数有两个不相等的零点，， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《玉林一中高二数学自主训练四（5月15日）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A B C B A ABD ACD AB 1．C 【详解】等差数列中，，，此数列的前13项的和等于． 2．B【详解】解：依题意，将5封不同的电子邮件发送到4个电子信箱中，共有种发送方法； 3．A【详解】观察选项A的散点图，这些点紧密地聚集在一条直线附近.其线性相关系数接近于； 选项B的散点图中，线性负相关程度不及A，比较分散，即线性相关系数要比选项A的大. 选项C的散点图里，散点呈现出一定的上升趋势，变量和之间具有强的线性相关关系，其线性相关系数为正数. 选项D的散点图中，散点比较分散，线性相关程度比选项A要弱，线性相关系数的比选项A的大. 综合比较四个选项，选项A，线性负相关程度最强，所以线性相关系数最小. 4．B【详解】因为，所以因此，倾斜角为，选B. 5．C【详解】因为随机变量服从正态分布，且，则，所以，所以. 6．B【详解】根据题意由可得；由可得，即；所以，解得，即A、C、D均错误；易知，即B正确. 7．A 【详解】A选项，根据二项分布的期望，方差公式可得，解得，A选项错误， 根据方差的定义容易判断B选项正确， 根据正态曲线的对称性：，C选项正确； 设，这里且，当时 ，并令，解得，又，于是，时，，即，另一方面，，结合可知时，即，综上可知最大，即时概率最大，D选项正确. 8．ABD【分析】令，再两边同乘以可判断A；令，，两式相减可判断B；对题目所给的式子，两边求导，再令，可判断C；根据二项式的展开式可得，即，继而即可判断D. 【详解】对于A，令，得， 两边同乘以，得，故A正确； 对于B，令，得，令，得， 两式相减，得，即，故B正确； 对于C，两边同时求导数，得， 再令，得，故C错误； 对于D，，所以，同理， 所以，故D正确. 9．ACD【详解】对于选项A，由，，成等差数列，得，即， 又，故，得，所以等比数列的公比为，选项A正确； 对于选项B，由，所以，得，所以，选项B错误； 对于选项C，，选项C正确； 对于选项D，，选项D正确. 10．AB 【详解】对于A，由得，，整理得，，为常数，又由，得，所以，，故A正确；对于B，，则，，则 时，，单调递增，，，单调递减，故的极大值为，故B正确； 对于C，，即函数在上有1个零点，而时，恒成立，即函数在无零点，故在定义域上只有1个零点，故C错误； 对于D， ，则，即，D错误； 11．/ 【详解】由题可得，的可能取值为. ；；； . 所以的期望为. 12．【详解】，要找到展开式中含有的项，需从中找到含有的项，即，故的系数为. 13． 【详解】因为，所以 所以的前10项和. .【点睛】本题考查求数列的通项，分组求和法和裂项相消求和，属于简单题. 14．（1）；（2）.【分析】（1）利用可得，从而得是以3为首项，3为公比的等比数列，进而可求出数列的通项公式；（2）由（1）可得，然后利用错位相减法求 【详解】（1）因为，①当时，，得；当时，，② ①②可得，即，即，所以是以3为首项，3为公比的等比数列，所以. （2）令，，① ，② ，①②得： ∴. 15．(1)甲、乙两个班的概率分别为和. (2).【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得； （2）根据全概率公式计算可得.【详解】（1）记事件“选取甲班”，事件“选取乙班” 则，故选取甲、乙两个班的概率分别为和. （2）由（1）可知“这名同学来自甲班”，“这名同学来自乙班”，“这名同学数学成绩优秀”， 则，且与互斥，根据题意得，，，，， 由全概率公式得因此，选出的这名同学数学成绩优秀的概率为. 16．(1)答案见解析； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）利用导数并讨论参数a的范围研究导数的符号，即可判断单调性； （2）（i）结合（1）的单调性判断、的符号，排除，再在的情况下研究的单调性和最值，根据零点的个数求参数范围； （ii）由（i）有，分析法将问题化为证明，进而构造并利用导数研究其符号，即可证结论. 【详解】（1）由题设，且， 当时，在上，在上，在上， 所以，在、上单调递增，在上单调递减； 当时，在上恒成立，故在上单调递增； 当时，在上，在上，在上， 所以，在、上单调递增，在上单调递减. （2）（i）由， 若时，，令且，则， 所以时，时，故在上递增，在上递减，则， 所以，结合（1）中的单调性，易知不可能出现两个不相等的零点， 又时，在上只有一个零点，不满足， 所以，此时，在上，在上，故在上单调递减，在上单调递增，则，又趋向于0或负无穷时，趋向正无穷，只需成立， 显然在上递减，且当时，所以，时恒成立，即所求范围为； （ii）由（i），在时，存在两个不相等的零点，不妨令，要证，即证，而，由（i）知：在上单调递增，只需证， 由，则令，且， 则 ， 所以，在上，即在上递增， 所以，即成立，所以，得证. 【点睛】关键点点睛：第二问，首先利用第一问及其零点个数将参数范围限定在，进而利用导数研究其最值求范围，再令，将问题转化为证是关键. 答案第2页，共4页 答案第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $